Smileys bien tassés. Collège Carnot de Lille Maths en Jeans 2017

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1 Smileys bie tassés. Collège Carot de Lille Maths e Jeas 07 Participatios : Mme DANIEL (professeur au collège Carot de Lille) Mme FRADON (chercheuse à l uiversité Lille ) Elèves de ème du collège Carot de Lille Soizic MAYER Marylou MADEJ Noah RIMOND Romai ASTORI Juliette BENADOUCHE Fouâd DJALLAL I Sujet: Commet mettre u maximum de smileys das u miimum de place? U smiley c est rod, c est tout petit, et surtout c est plat! Doc les smileys e boite se mettet das ue grade boite plate : u carré, u rectagle, etc. Quel pourcetage de la surface peut-o couvrir avec des smileys? Règles du jeu :. La boite est grade et les smileys sot petits. Das ue boite rode à sa taille, u smiley recouvre 00 % de la surface, mais ce est pas du jeu!. O a pas le droit de superposer les smileys. II Approche expérimetale : Nous avos travaillé avec des jetos circulaires (jetos de poker et jetos de ai jaues) avec différets rayos. Nous avos essayé de placé u maximum de smileys sur ue feuille A et ous avos essayé de les orgaiser. Nous avos commecé par mettre les diagoales mais c est u échec. Voici os résultats:

2 Formule utilisée pour les calculs du pourcetage de l aire de la surface occupée par les jetos : Aire des jetos Nombre de jetos ( x 00) Aire A x 9,7 III Démostratios par pavage : Nous avos trouvé deux formatios possibles pour disposer les jetos )La formatio «liges et coloes» (carrée) Pour la formatio «liges et coloes» (carrée), les cetres des disques formet u carré. O remarque que, quad o relie les cetres de quatre disques ça forme u carré. U côté du carré est égal à u diamètre. Das u carré, il y a quatre quarts de disque. O e coclut doc que das u carré il y a u disque etier. Proportio du carré occupé aire du disque de rayo r aire du carré de coté r r² r ² ( r) ² r² par le disque (eviro 78,5%) )La formatio «triagulaire» (hexagoale) Pour la formatio «triagulaire» (hexagoale), les 3 cetres des disques formet u triagle équilatéral Nous avos u triagle équilatéral dot les cotés sot u diamètre. O sait que les agles d u triagle équilatéral sot égaux à 60.

3 Doc das le triagle équilatéral il y a trois sixièmes de cercle.o peut e coclure qu il y a u disque das le triagle équilatéral. Proportio occupée par le aire du / disque disque das le triagle équilatéral aire du triagleéquilatéral Pour calculer l aire du triagle équilatéral, ous avos besoi de sa hauteur ; Notre chercheuse ous à aidé,elle ous a doé la formule pour la hauteur et l a démotrée avec Pythagore aire du triagle 3 3 d d r r 3 r ² r ² aire du demi disque aire du triagle 3 3 r ² (eviro 9% ) est iférieur à doc la proportio de l espace occupé par u demi 3 disque das u triagle est supérieur a la proportio de l espace occupé par u disque das u O remarque que carré. IV Recherche de la feuille parfaite : Les résultats trouvés cofirmet l idée que la formatio triagulaire est plus optimale que la formatio liges et coloes, mais les résultats trouvés au début das l approche expérimetale e sot pas tout à fait les mêmes car o a pas pris e compte les effets de bords. Petit rappel : les effets de bords sot de la place perdue car la feuille utilisée e s adapte pas à la forme de l empilemet des jetos.

4 Pour éviter les effets de bords o doit chercher les dimesios de la feuille parfaite pour x m jetos e formatio triagulaire. ( et m sot des ombres etiers) Par exemple pour 5 m dimesios: 5 x diamètre 5d x diamètre d Par exemple pour 5 m dimesios: 5 x diamètre+ x rayo5,5d x diamètre+ hauteurd+h Par exemple pour 5 m3 dimesios: 5 x diamètre+ rayo5,5d x diamètre+ x hauteursd+h

5 Par exemple pour 5 m dimesios: 5 x diamètre+ x rayo 5,5d x diamètre+3 x hauteursd+3h coclusio : aire des disques m r ² e remplaçat h par aire de la feuille ( m+0,5) d (d+( ) h) m r ² 3 ( m+ 0,5) d (d+( ) d) d² m 3 (m+ 0,5) d d (+( ) ) 3 d m (m+ 0,5) (+( ) 3) o simplifie par d²

6 (m+0,5) (+( ) 3) m (+ o divise par m et par 0,5 ) ( +( ) 3) m 3 o,5 et Si les valeurs m et sot très très grades, o cosidère que les valeurs sot très petites m doc o va simplifier et o obtiet 3 ce qui correspod au résultat de la proportio de l'aire du triagle occupé par le demi-disque. Cette proportio e déped par de la taille des jetos choisis.