Introduction à la Physique des Particules Fondamentales CHAPITRE 2

Transcription

1 Introduction à la Physique des Particules Fondamentales CHAPITRE Appendice la notion géométrique de la diffusion des particules - les définitions du taux des désintégrations des particules, et de la section efficace des interactions. - Pour les interactions entre particules fondamentales, il y a aspects : le cinétique (la conservation de l impulsion et de l énergie), et la dynamique de l interaction. 1

2 a) Imageons la réaction a + b c + d, dans le référentiel du laboratoire Le flux des particules a, dans un faisceau parallèle, à travers la cible b sera Φ a = n a v a où n a = # particules/unité de volume v a = vitesse des particules a Si chacune des particules b a une section géométrique efficace, σ, et si n b sera le densité des particules dans le cible, le nombre d interactions par unité de temps et par unité de surface du cible sera : N = Φ a σ n b dx = Lσ où L = luminosité = Φ a n b dx Le taux des interactions par particule b sera: W = Φ a σ et la section efficace est le taux des interactions par particule du cible, et par unité du flux incident.

3 b) L unité de mesure est le barn (1 barn = 10-8 m ). c) On a plusieurs types des interactions exclusives, par exemple : pp pp (élastique) pp ppπ 0 pp ppk + K (inélastique) etc La section efficace totale (ou inclusive) sera σ tot = Σσ i Pour une cible d épaisseur δx, la différence du flux, après le passage du faisceau, sera : δφ = Φn b σ (δx), donc Φ = Φ init e -x L où L = 1 n b σ s'appelle la longeur de collision 3

4 d) La Section Efficace Elastique pour une Sphère de rayon R Imageons une collision avec valeur d impact b. Donc, b = Rsinα = Rcos( θ ) Pour un impact entre b et (b+db), la particule sera déviée par une angle entre θ et (θ + dθ). Donc, nous pouvons écrire dσ = D(θ)dΩ dω = sinθ.dθ.dφ dσ = b.db.dφ donc D(θ) = dσ dω = donc D(θ) = et b db sinθ dθ Rbsin(θ ) sinθ σ = D(θ)dΩ = πr = R 4 4

5 e) La Section Efficace pour la diffusion classique de Coulomb (diffusion de Rutherford). Si q 1 et q seront les charges des particules, et se E sera l energie de la particule incidente: Dans le cas d une potentiel centrale, le moment cinétique sera : L = pb dφ dt = mr, donc dt r = dφ vb (conservation de moment cinétique autour de l'originr (r = OX) Dans ce cas,σ tot =. La raison est que la force est proportionnelle à 1/r. Au niveau quantique, le problème sera résolu par le phénomène qu on appelle screening ou blindage. Si nous considérons maintenant le composant d impulsion dans la direction, OD à chaque pointe, la changement totale sera de mvsin θ jusqu'à + mvsinθ. Donc, q mvsinθ = 1 q 1 cosφ dt 4πε 0 r = q q (π θ )/ 1 1 cosφ dφ 4πε 0 vb (π θ )/ b = q q 1 E cot θ En introduisant b dans la formule de dσ dω, dσ dω = b sinθ db dθ = 1 4 q 1 q E 1 sin 4 θ ( ) 5

6 f) Pour le cas non relativiste, le taux des interactions du type : sera A n ou A + B n W = π M if ρf où - M if est la matrice de transition entre l état initial i et l état final - M if inclut toute la dynamique de l interaction (Appendix..1) g) La quantité W est le taux des interactions par unité de temps et si Φ sera le flux incident, W = σ Φ Dans ce chapitre, nous traitons seulement le cinétique des interactions (donc M if = 1). h) La quantité ρ F = dn est la densité des états finaux dans le sens quantique, par unité de l énergie de tot finale, et où l énergie dans la transition sera conservée. 6

7 7

8 Chapitre Le Taux de Transition Bibliographie: Griffiths Chapitre 6 Perkins Appendix B Halzen et Martin, Chapitre 3.6 et Introduction Taux de Transition, W (non-rélativiste) Ce traitement est non rélativiste et simplifié, à voir le cours de Mécanique Quantique II pour une discussion plus complète. a) Nous avons un Hamiltonian H 0 ayant un ensemble des états propres E n avec les fonctions d ondes φ n. H 0 sera perturbé par le potentiel V(x,t). Nous devrons résoudre l équation H = H 0 (t) + V(x,t) H 0 φ n = E n φ n où φ m* φ n d 3 x = δ m,n V (H 0 (t) + V(x,t))ψ = i ψ t 8

9 pour une particule en mouvement dans un potentiel V(x,t). b) Nous écrivons ψ = a n (t)φ n (x)e ie nt avec =1 n si a n (t) ne dépend pas sur x. Donc, da i n dt φ n(x)e ie n t = V(x,t)a (t)φ (x)e ient n n Laissons i) multiplier les côtés par φ f * ; ii) intégrer les côtés sur la volume V ; et iii) utiliser l orthonormalité des fonctions d ondes et on obtient n n da f dt = i a n (t) φ f* Vφ n d 3 x e i(ef E i )t n V 9

10 c) Supposons que le potentiel V interagisse sur la particule dans l état propre initial, i, pendant la période. Il faut noter qu une transition entre états ne modifie pas l existence de la base orthonormale. T,T Supposons en plus que l effet du potentiel V est petit (a f <<1). Puis, T a i T = 1 a f T = 0; f i da f = i d 3 x φ f* Vφ i e i(e f E i )t dt V a f = i dt' d 3 x φ f* Vφ i e i(e f E i )t + C où C = δ fi T V et T fi = a f ( T ) T = i dt T V d 3 x φ f* e ie f [ t ]V φ i e ie i t = i d 4 xφ f* (x)vφ i (x) + C [ ] + C 10

11 d) Dans le cas d aucune dépendance en temps de V, V(x,t)=V(x) : T fi = iv fi dt e i(e f E i )t = πi V fi δ E f E i ( ) (conservation d'énergie) Ce résultat reste valable dans le cas rélativiste, et H=H(t). e) Nous définissons W fi comme la probabilité par unité de temps d un état i à l état f. Donc T fi = lim t T = π V fi δ ( E f E i )) W fi = d dt T fi L équation devra être intégré sur l ensemble des états initiaux (normalement un état seulement pour la physique des particules) et les états finaux. Pour un état initial, et une densité des états ρ(e) finaux : ( ) W fi = π de f ρ(e f ) V fi δ E f E i ) = π V fi ρ(e f ) 11

12 . Espace de Phase, ρ F. a) Commençons avec le cas non relativiste. La quantité dn = ρ(e)de tot = ρ(p) dp de tot de tot où ρ(p) est le nombre des états dans l intervalle d impulsion («momentum») (p, p+dp). Dans une dimension de longeur L, a valeur de p sera limité à p = h λ = π n π avec dn = dp L L Pour un volume V, le nombre des états quantiques dans l espace d impulsion (p, p+dp) et région angulaire dω, sera dn = V V h 3 p dpdω = (π ) 3 p dpdω Pour assurer une normalisation de volume, il faut en plus un facteur d onde, dans la matrice M fi. b) Pour n particules non relativistes dans un état final, 1 V de normalisation pour chacun des fonctions V dn = 1 (π ) p V 3 1 dp 1 dω 1... n (π ) p 3 ndp n dω n 1

13 c) Dans la transformation d un système non relativiste au cas relativiste, i) La quantité d 3 p sera remplacée par la quantité d 4 p. En effet, d 3 p = p dpdω d 4 p = d 3 p de δ(e p m ) d 3 p d(e p m ) = δ(e p m ) E d 3 p = E δ(e p m ) ii) La quantité d 3 p i E est un invariant de Lorentz pour les états libres. Avec les unités c=1 Donc, ' ' p x = γ(p x βe) p y E ' = γ(e βp x ) dp x ' = p ' x p x = p y p z ' dp x + p ' x E de dp E x = γ 1 β p x Puisque m = E p x p y p z et pour p y, p z fixes p x dp x = EdE : p x = p z dp x ' E ' = dp x E et d 3 ' p E ' = d 3 p E 13

14 iii) Egalement, la normalisation M if = T fi = ψ f U ψ i dv devra être modifiée par la normalisation de ψ f et ψ i V pour assurer l invariance relativiste (dans la solution de l équation Klein-Gordon, pour les fonctions ψ = Ne ip x, j µ = p µ N ). Par convention, chaque fonction d onde sera normalisée par un facteur 1 et pour le E cas relativiste avec n particules dans l état final : iv) W π ρ F = d de tot M if Π(E init i ) ρ F Pour ce cas, ρ F et M if seront invariantes de Lorentz. d 3 p 1...d 3 p n 1 (π ) 3(n 1) Π(E fin i ) ; p = - n -1 p n k k =1 La densité des particules (E par unité de volume dans le référentiel laboratoire et m dans le référentiel de repos) sera compensé par la contraction (m/e) de la volume. 14

15 .3 Le Règle d Or de Fermi pour les Désintégrations a) Le taux pour les désintégrations A n sera : πs c d 3 p dγ = M 1 if (E ) A ( π ) 3 E... cd 3 pn 1 π où p = E i i c, p i et ( ) 3 E n S = le produit des facteurs 1 pour j particules identiques dans j! l'état final; E i = m i pour une désintégration en répos; et c sont inclus dans l'équation. E A = l'énergie totale du système = l'énergie de la particule de désintégration = m A si la particule sera en repos.. π ( ) ( ) 3 δ 4 p A p 1... p n 15

16 b) Pour le cas =1, c =1 et la désintégration A 1+, S d 3 p dγ = M if 1. d 3 p m A E 1 E. 1 π et ( ) δ 4 ( p A p 1 p ) Γ = S 1 m A (4π) M if d 3 p δ 4 ( p A p 1 p ) 1. d 3 p E 1 E c) Laissons nous évaluer un exemple d une désintégration A 1+ Pour simplicité, nous prenons le cas π 0 γγ où m γ = 0. Dans ce cas, p π = p A = (m,0) E 1 = p 1 et E = p ( ) = δ m E 1 E δ 4 p A p 1 p donc Γ = S 3m A π M if ( ) ( ) δ 3 p 1 p δ( m p 1 p )δ 3 ( p p 1 p 1 p )d 3 p 1 d 3 p = K M if δ ( m p )d 3 p p S = 16πm M if ; Mif évalué à p 1 = p, p = m et S = 1 16

17 Dans le cas d une désintégration à corps, la quantité M if sort de l intégral puisqu elle devra ètre évaluée à des valeurs cinématiques fixes. Exercice (Griffiths ex. 6.6) : Montrer que, pour les désintégrations A 1+ avec m A,m 1,m 0, Γ = S p M if avec p = p 1 = p 8πm A Exercice : R = π e ν e π µ ν µ = (1.67 ± 0.03) Comparer l'espace de phase pour chaque cas. Le résultat? Ce n'est pas la raison. (A revoir dans la sec tion sur parité ) 17

18 .4 Le Règle d Or de Fermi pour la Diffusion a) Pour les interactions A + B n S dσ = M if 4 (p A p B ) (M A M B c ) [ ] ( π ) 4 δ 4 ( p A + p B p 1... p n ) c d 3 p 1 ( π ) 3 E... cd 3 p n 1 π ( ) 3 E n. où p i = E i c, p i et S = le produit des facteurs 1 j! pour j particules identiques dans l' état final; et c sont inclus dans l' équation. p A (E A + E B ) c = [(p A p B ) (M A M B c ) ] dans le centre - de - masse (c.m.s.) b) Pour le cas simple de l interaction A + B 1+, nous pouvons évaluer dσ en détail ( = c =1). 18

19 Dans le centre de masse, p A + p B = 0 et le facteur de flux incident sera ( p A p B ) ( m A m B ) = ( E A + E B ) p A Nous pouvons écrire la section efficace (avec = 1 et c = 1) comme : S dσ = ( 8π ) M if E A + E B ( ) p A d 3 p 1 d 3 p δ 4 p E 1 E A + p B p 1 p ( ) Maintenant, δ 4 ( p A + p B - p 1 - p ) = δ( E A + E B E 1 E )δ 3 ( p 1 p ) et E i = m i + p i et faut une intégration sur la quantité p (p p 1 ) dσ = [ ( ) ( p 1 + m ) ] d 3 p 1 ( ) ( m + p 1 ) S M if δ E ( A + E B ) p 1 + m 1 ( 8π ) ( E A + E B ) p A m 1 + p 1 19

20 En écrivant ρ = p 1, d 3 p 1 = α dα dω = α dα d ( cosθ) dφ, et en intégrant sur α, dσ dω = S ( 8π ) E A + E B M if ( ) p 0 A δ ( E A + E B ) α ( + m 1 ) α [ ( + m ) ]α dα ( m 1 + α ) ( m + α ) Il faut ajouter que M if dépend sur la direction et la magnitude de p 1, et donc nous n'essayons pas d'intégrer M if sur dω. Néanmoins, puisque p 1 = -p et p A = -p B, M if sera une fonction seulement de p A et p 1. Dans le cas que ne dépend pas explicitement sur p 1 (p A est fixe) : dσ dω = S M if ( 8π ) ( E A + E B ) p 1 p A c) La section efficace pour une interaction sera spécifiée pour le spin des particules initiales et finales d une interaction (ou d une désintégration). Dans l absence de la spécification de l état du spin, chaque amplitude M if de spin final devra être ajouté, et il faut faire le moyen selon les possibles spins initiaux. 0

21 d) Dans l absence de polarisation des particules initiales d une interaction, il y a une symétrie cylindrique autour de la direction des particules initiales, et dσ dσ = π d cosθ dω (exercice) Egalement, on peut montrer que dans le centre de masse, t = p A (1 cosθ CM ) et dσ dt = π p A dσ dω CM (exercice) 1

22 .4.1 L Espace de Phase pour 3 particules. a) Laissons nous considérer le cas d une interaction A + B , par exemple, l interaction K + p K 0 pπ +, dans le centre de masse des particules A et B. Dans ce cas, laissons pour l instant M if = constant (c est à dire qu il y a aucune dynamique dans l interaction). La densité des états sera ( = c =1) proportionnelle à : ρ R 3 où 3 d 3 p R 3 = Π i i=1 δ 4 p A + p B p 1 p p 3 E i ( ) 3 d 3 p = Π i i=1 δ E A + E B E 1 E E 3 E i Puisque p 3 = p 1 + p ( ) ( ) δ 3 p 1 + p + p 3 ( ) et d 3 p i = p i dp i dω i, R 3 = d 3 p 1 d 3 p δ ( E A + E B E 1 E E 3 ) 8E 1 E E 3.

23 et en intégrant sur dω 1 et dω où dω 1 = 4π, dω = π d(cosθ 1 ), nous devrons écrire : R 3 = 1 8 p 1 E 1 dp 1 p = π 1 dp 1 E 1 Maintenant, p dω dp 1 dω δ ( E A + E B E 1 E E 3 ) E E 3 p ( ) ( ) d cosθ dp 1 δ E A + E B E 1 E E 3 E E 3 (i) p 3 = p 1 + p + p 1 p cosθ 1 et si p 1, p sont fixes, (ii) p 3 d p 3 = p 1 p d cosθ 1, et (iii) E i d E i = p i d p i Avec ces simplifications, ( ) R 3 = π de 1 de de 3 δ E 1 + E + E 3 E I = π de 1 de b) Le résultat est que dρ = constant de 1 de Ce résultat important indique que, dans l absence des effets de M if (cinétique seulement) la distribution d E 1 et E des évènements sera plate 3

24 c) Pour le cas A + B , m ij = ( p i + p j ) Donc, = s + m k s E k dm ij = s de k et de i de j = 1 d m jk 4s = constant dm ki 4

25 EXEMPLE : L interaction K + p K 0 pπ + 5

26 Dans ce cas, il y a importantes résonances (particules), le K*(89) et le Δ(138). La distribution de m pπ + vs. m K est 0 π + Figure : Diagramme de Dalitz pour l interaction K + p K 0 pπ +, avec p K + = 3 GeV/c. 6

27 Dans le cas du K*(89), le temps de désintégration est τ = 1.3 x 10-3 secs, caractéristique des interactions fortes. La largeur Γ d une résonance, et le temps de vie de l état, sont connectée par la relation Γ = τ. La forme des résonances (Breit-Wigner) est (chapitre 8) : Γ 4 σ (E E R ) + Γ 4 et cette dépendance en énergie n est rien d autre que la transformation de Fourier d une distribution exponentielle dans le temps. ψ(t) =ψ(0)e t(ie R +Γ ) avec =1 et c =1 Donc, si ω = E/ = E, g(ω) = g(e) = 0 0 ψ(t)e iωt dt ψ(t)e iet dt =ψ(0) e iet e t(ie R = 0 K (E R E) iγ +Γ ) dt 7