Polynômes. 1. Définitions Définitions. Objectifs : Effectuer une division euclidienne avec des polynômes

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1 Polynômes Pré-requis : Maîtriser le calcul littéral (développer, factoriser, manipuler des quotients) Trouver les racines d un polynôme du second degré à coefficients réels ou complexes Objectifs : Effectuer une division euclidienne avec des polynômes Factoriser un polynôme après en connaissant certaines de ses racines. Calculer un PGCD de deux polynômes (algorithme d Euclide) Savoir utiliser le lemme de Gauss Savoir écrire le polynôme interpolateur de Lagrange Savoir déterminer la multiplicité d une racine Décomposer en éléments simples une fraction rationnelle dans R et dans C Les polynômes sont des objets très simples mais aux propriétés extrêmement riches. Vous savez déjà résoudre les équations de degré 2 : ax 2 + bx + c = 0. Vous avez vu une méthode de résolution des équations de degré 3, dont la résolution a fait l objet de luttes acharnées dans l Italie du X V I e siècle? Un concours était organisé avec un prix pour chacune de trente équations de degré 3 à résoudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule générale des solutions et résout les trente équations en une seule nuit! Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la «méthode de Cardan». Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l algèbre : «Tout polynôme de degré n admet n racines complexes.» On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre K désignera l un des corps Q, R ou C mais pourrait désigner tout autre corps. 1. Définitions 1.1. Définitions Définition 1 Un polynôme à coefficients dans K est une expression de la forme P(X) = a n X n + a n 1 X n a 2 X 2 + a 1 X + a 0, avec n N et a 0, a 1,..., a n K. L ensemble des polynômes est noté K[X]. Les a i sont appelés les coefficients du polynôme. Si tous les coefficients a i sont nuls, P est appelé le polynôme nul, il est noté 0. On appelle le degré de P le plus grand entier i tel que a i 0 ; on le note deg P. Pour le degré du polynôme nul on pose par convention deg(0) =. Un polynôme de la forme P = a 0 avec a 0 K est appelé un polynôme constant. Si a 0 0, son degré est 0. 1

2 2 Exemple 1 X 3 5X est un polynôme de degré 3. X n + 1 est un polynôme de degré n. 2 est un polynôme constant, de degré Opérations sur les polynômes Égalité. Soient P = a n X n +a n 1 X n 1 + +a 1 X +a 0 et Q = b n X n +b n 1 X n 1 + +b 1 X +b 0 deux polynômes à coefficients dans K. P = Q ssi a i = b i pour tout i et on dit que P et Q sont égaux. Addition. Soient P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 et Q = b n X n + b n 1 X n b 1 X + b 0. On définit : P +Q = (a n + b n )X n + (a n 1 + b n 1 )X n (a 1 + b 1 )X + (a 0 + b 0 ) Multiplication. Soient P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0 et Q = b m X m + b m 1 X m b 1 X + b 0. On définit P Q = c r X r + c r 1 X r c 1 X + c 0 avec r = n + m et c k = i+ j=k a i b j pour k {0,..., r}. Multiplication par un scalaire. Si λ K alors λ P est le polynôme dont le i-ème coefficient est λa i. Exemple 2 Soient P = ax 3 + bx 2 + cx + d et Q = αx 2 + βx + γ. Alors P + Q = ax 3 + (b + α)x 2 + (c + β)x + (d + γ), P Q = (aα)x 5 + (aβ + bα)x 4 + (aγ + bβ + cα)x 3 + (bγ + cβ + dα)x 2 + (cγ + dβ)x + dγ. Enfin P = Q si et seulement si a = 0, b = α, c = β et d = γ. La multiplication par un scalaire λ P équivaut à multiplier le polynôme constant λ par le polynôme P. L addition et la multiplication se comportent sans problème : Proposition 1 Pour P,Q, R K[X] alors 0 + P = P, P +Q = Q + P, (P +Q) + R = P + (Q + R) ; 1 P = P, P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) ; P (Q + R) = P Q + P R. Pour le degré il faut faire attention : Proposition 2 Soient P et Q deux polynômes à coefficients dans K. deg(p Q) = deg P + degq deg(p +Q) max(deg P,degQ) On note R n [X] = { P R[X] deg P n }. Si P,Q R n [X] alors P +Q R n [X]. Conséquence : «intégrité» de K[X] Des calculs ci-dessus, il résulte que, si P et Q sont non nuls, alors PQ est non nul. Réciproquement : si PQ = 0, alors P = 0 ou Q = 0. Une conséquence encore plus utile de l intégrité est que l on peut simplifier : si l on a une égalité PQ = PR et si P est non nul, alors Q = R. (Pour le voir on écrit que P(Q R) = 0, d où P = 0 ou Q R = 0, d où Q R = 0.)

3 3 Remarque Cette propriété n est pourtant pas si banale. Ainsi, le produit de deux fonctions quelconques peut être nul sans qu aucune des deux ne le soit. Prenons les fonctions f, g : R R définies par les formules : f (x) = x x et g(x) = x + x. (Ces fonctions sont d ailleurs continues.) Alors f g = 0, mais aucune des deux fonctions f, g n est nulle. Ce phénomène est impossible avec des polynômes, ni avec des fonctions polynomiales sur un corps ayant un nombre infini d éléments Vocabulaire Complétons les définitions sur les polynômes. Définition 2 Les polynômes comportant un seul terme non nul (du type a k X k ) sont appelés monômes. Soit P = a n X n + a n 1 X n a 1 X + a 0, un polynôme avec a n 0. On appelle terme dominant le monôme a n X n. Le coefficient a n est appelé le coefficient dominant de P. Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polynôme unitaire. Exemple 3 P(X) = (X 1)(X n + X n X + 1). On développe cette expression : P(X) = ( X n+1 + X n + + X 2 + X ) ( X n + X n X +1 ) = X n+1 1. P(X) est donc un polynôme de degré n +1, il est unitaire et est somme de deux monômes : X n+1 et 1. Remarque Tout polynôme est donc une somme finie de monômes. Exercice 1 1. Soit P(X) = 3X 3 2, Q(X) = X 2 + X 1, R(X) = ax + b. Calculez P +Q, P Q, (P +Q) R et P Q R. Trouvez a et b afin que le degré de P QR soit le plus petit possible. 2. Déterminez le degré de (X 2 + X + 1) n ax 2n bx 2n 1 en fonction de a, b. 3. Démontrez que si deg P degq alors deg(p +Q) = max(deg P,degQ). Donnez un contre-exemple dans le cas où deg P = degq. 4. Démontrez que si P(X) = X n + a n 1 X n 1 + alors le coefficient devant X n 1 de P(X a n 1 n ) est nul Substitution de l indéterminée dans un polynôme Dès que nous pouvons donner un sens à la multiplication x x, et plus généralement à x n x m, ainsi qu à l opération (a, x) ax, pour a K, alors nous pouvons remplacer l indéterminée X par «sa valeur» x dans l expression de P(X). Le cas le plus simple est lorsque nous prenons x K. Nous obtenons alors une fonction x P(x), qui à x K associe sa valeur P(x) K. C est la fonction polynomiale associée à P. Ainsi, P(x) déf n = a a n x n = a k x k. Par exemple, P(0) = a 0, P(1) = a a n. k=0

4 4 Définition Une fonction polynomiale dans K est toute fonction de la forme f : K K, x P(x), où P K[X]. Nous verrons plus bas que dès que le corps K a un nombre infini d éléments (c est bien évidemment le cas de Q,R et C), alors la connaissance de la fonction x P(x) détermine entièrement le polynôme P ( si P de degré n, il suffit même de connaître la valeur de P(x) pour n + 1 valeurs différentes de la variable x). En revanche, lorsque le corps est fini, il ne suffit pas de connaître P(x) pour tous les éléments x K pour pouvoir connaître P(X) pour n importe quel objet X pour lequel les calculs font sens : d où l intérêt de bien distinguer en général le polynôme P(X) de la fonction polynôme x P(x). Mais l intérêt de considérer des indéterminées X est de pouvoir remplacer X par n importe quelle «variable» pour lesquelles ces opérations ont un sens (nous verrons dans d autres cours que nous pouvons par exemple remplacer X par une matrice carrée, ou bien par un opérateur linéaire. En particulier, nous pouvons remplacer X par un polynôme Q K[X], puisque nous savons donner un sens à Q n, avec Q n Q m = Q n+m, ainsi qu à aq, pour a K. Nous obtenons ainsi un nouveau polynôme P(Q) K[X]. En ce qui concerne les degrés, nous vérifierons aisément le résultat suivant (exercice : le démontrer). Proposition 3 1. Si deg(q) 1 alors deg(p(q)) = deg(p) deg(q) (avec la règle ( ) n =, pour tout n N). 2. Si deg(q) = 0, alors deg(p(q)) Si deg(q) =, alors deg(p(q)) 0. (Pour les deux derniers points, si Q est constant et égal à a K, alors P(Q) = P(a) est constant, mais deg(p(q) peut être 0 ou selon les valeurs possibles de P(a). Observons quelques cas simples Si l on substitue X à X, cela ne change rien : P(X) = P. Si l on remplace X par X, en utilisant le fait que ( X) k = X si k est pair et ( X) k = X si k est impair, on trouve, pour P(X) = a a n X n : P( X) = a 0 a 1 X + + ( 1) n a n X n. Deux cas particuliers sont intéressants : 1. si tous les monômes effectivement présents dans X sont de degré pair, on a P( X) = P(X) : on dit que le polynôme est pair. 2. si tous les monômes effectivement présents dans X sont de degré impair, on a P( X) = P(X) : on dit que le polynôme est impair Résumons : Définition Un polynôme P K[X] est dit pair si P( X) = P, et impair si P( X) = P. Remarquons par exemple que pour tout polynôme P(X), le polynôme P(X 2 ) est pair. On peut également remplacer X par X + a, où a K est un scalaire quelconque. De la formule du binôme de Newton, on déduit d abord que ( ) k k (X + a) k = a k i X i, i puis : i=0 P(X + a) = a 0 + a 1 (X + a) + + a n (X + a) n = n a k (X + a) k k=0 = ) k a k( a k i X i 0 i k n i n = b i X i, i=0

5 5 où l on a posé : ) n k b i = a k( a k i. k=i i Comme b n = a n 0, on voit que P(X + a) est de degré n. En fait, il a le même terme dominant b n X n = a n X n que P. (On verra plus loin au paragraphe 3.3 que l une des formules de Taylor fournit une expression plus intelligible de P(X + a).) 2. Divisibilité dans K[X] Définition Le polynôme A divise le polynôme B, (on dit aussi que B est multiple de A), et nous notons A B, s il existe un polynôme C tel que B = AC. Il est facile de vérifier que tout polynôme divise 0, mais que 0 ne divise que lui-même. De même, 1 divise tout polynôme, mais les seuls polynômes qui divisent 1 sont les constantes non nulles. La relation de divisibilité possède les propriétés suivantes : Proposition 4 A, B et C sont trois polynômes. 1. elle est transitive : si A B et B C, alors A C, 2. elle est réflexive : on a A A. Exercice 2 Démontrez la proposition précédente. Exercice 3 1. Si un polynôme A divise un polynôme B alors il existe un polynôme Q tel que B = Q A. Démontrez que ce polynôme Q est bien unique. 2. Quelle propriété de K[X] avez-vous utilisée pour cette démonstration? Notation : Par la suite, on va noter B A l unique polynôme Q tel que B = Q A. Exercice 4 1. Démontrez la proposition suivante : "Si A divise B 0, alors deg A degb." 2. Expliquez pourquoi la condition B 0 est nécessaire La division euclidienne On peut faire avec les polynômes beaucoup d opérations similaires à celles qu on fait avec les nombres entiers 1. Le premier exemple de ceci est l existence d une division euclidienne : 1. En d autre termes, l arithmétique dans l anneau K[X] est assez semblable à l arithmétique dans l anneau Z

6 6 Théorème 1. Division euclidienne dans K[X] Soient A,B K[X] deux polynômes ; on suppose A 0. Il existe alors un unique couple (Q, R) de polynômes dans K[X] tel que : B = Q A + R et deg R < deg A. R s appelle le reste et Q le quotient. Remarque Lorsque deg(a) = 0, alors A est une constante non nulle a et on pose alors P = P a + 0 : le reste et nul et le a quotient est P. Nous ne nous intéressons dans ce qui suit qu au cas non trivial où deg(a) 1 a Commençons par montrer l unicité : si B = Q A+R = Q 1 A+R 1, avec deg(r) < deg(a) et deg(r 1 ) < deg(a), alors Q = Q 1 et R = R 1. En effet, nous obtenons (Q Q 1 )A = R 1 R. Si Q Q 1 0, alors deg(q Q 1 )A = deg(q Q 1 ) + deg(a) deg(a), tandis que deg(r 1 R) max(deg(r),deg(r 1 )) < deg(a). D où une contradiction. Pour l existence, remarquons tout de suite qu on peut se ramener au cas où A est unitaire. En effet, si A = aa 1, avec a K, et si l on sait faire la division avec le diviseur A 1, on sait la faire avec le diviseur A. Il suffit de diviser 1 a B par A 1 1 a B = Q A 1 + R, pour obtenir la division de B par A : B = Q A + ar. (Le quotient est inchangé et le reste multiplié par a, ce qui ne change pas son degré). Si deg(b) < deg(a), alors il n y a rien à faire : on pose R = B et Q = 0. Nous allons alors raisonner par récurrence sur le degré de B : Supposons que pour tout polynôme B de degré n, nous sachions qu il existe Q et R, avec deg(r) < deg(a), tel que B = Q A + R. Montrons que cela est encore vrai pour les polynômes B de degré n + 1. Il suffit évidement de supposer que deg(b) = n + 1, car sinon l hypothèse de récurrence s applique. Soit donc B = b n+1 X n b 0 et supposons que le degré de A soit p : A = X p + a p 1 X p a 0. (Rappelons que A est unitaire et que p 1.) Nous savons aussi que n + 1 p. Alors posons B 1 = B b n+1 X n+1 p A : les termes de plus haut degré se simplifient et deg(b 1 ) n. Il existe donc Q et R, avec deg(r) < deg(a) = p tel que B 1 = Q A + R, ce qui donne B = b n+1 X n+1 p A +QA + R = (Q + b n+1 X n+1 p )A + R, ce qui est bien une écriture de la division euclidienne de B par A. Cette démonstration nous donne aussi la méthode pratique (l algorithme) pour obtenir reste et quotient : on enlève le terme de plus haut degré et on recommence jusqu à ce qu on obtienne un polynôme de degré strictement inférieur à celui de A. Voyons le sur un exemple. (Nous avons choisi A non unitaire dans cet exemple, pour montrer qu au fond cela ne change rien Exemple 4 On pose une division de polynômes comme on pose une division euclidienne de deux entiers. Par exemple si A = 2X 4 X 3 2X 2 +3X 1 et B = X 2 X +1. Alors on trouve Q = 2X 2 + X 3 et R = X +2. On n oublie pas de vérifier qu effectivement A = BQ + R.

7 7 2X 4 X 3 2X 2 + 3X 1 X 2 X + 1 2X 4 2X 3 + 2X 2 X 3 4X 2 + 3X 1 X 3 X 2 + X 2X 2 + X 3 3X 2 + 2X 1 3X 2 + 3X 3 X + 2 Exemple 5 Pour X 4 3X 3 + X + 1 divisé par X on trouve un quotient égal à X 2 3X 2 et un reste égale à 7X + 5. X 4 3X 3 + X + 1 X X 4 + 2X 2 3X 3 2X 2 + X + 1 3X 3 6X X 2 3X 2 2X 2 + 7X + 1 2X 2 4 7X Racines d un polynôme Nous avons déjà vu qu on peut remplacer dans un polynôme l indéterminée X par un élément x K (on obtient ainsi la fonction polynomiale associée). Définition Soit P(X) un polynôme. Tout élément r K tel que P(r) = 0 s appelle une racine de P. Le résultat le plus important est le suivant : Théorème 2 L élément r K est une racine du polynôme P(X) si et seulement si (X r) divise P. Tout d abord, il est clair que si (X r) divise P, alors P(r) = 0. En effet, si P(X) = (X r)q(x), P(r) = (r r)q(r) = 0. Réciproquement, effectuons la division euclidienne de P par A = X r. Nous écrivons P(X) = (X r)q(x) + R(X), avec deg(r) < deg(x r) = 1. Donc R est un polynôme de degré au plus 0 : c est une constante c K. On a alors P(r) = 0 Q(r) + c = c. Donc, c = 0 si et seulement si P(r) = 0. En d autres termes, si P(r) = 0, alors P(X) = (X r)q(x), et (X r) divise P. Par exemple, le polynôme P(X) = X n 1 satisfait P(1) = 0. Il est donc divisible par X 1. dans ce cas, nous avons la formule fondamentale suivante

8 8 Proposition 5 X n 1 = (X 1)(X n 1 + X n X + 1). Développons le produit (X 1)(X n 1 + X n X + 1) = X n +X n X X n 1 X = X n 1 1 Exercice 5 Écrivez de même le quotient X n a n X a. Corollaire 1 [Racines distinctes] Si r 1,, r k sont des racines distinctes de P(X), alors (X r 1 )(X r 2 )...(X r k ) divise P. On va la faire par récurrence sur k. Nous savons que c est vrai pour k = 1, grâce au théorème 2. Supposons donc que c est vrai pour k 1 et montrons le pour k + 1 racines. Puisque r k+1 est une racine de P, alors P(X) = (X r k+1 )Q(X), pour un certain polynôme Q. Mais pour q = 1,, k, P(r q ) = 0 = (r q r k+1 )Q(r q ) = 0. Puisque les racines sont distinctes, alors (r q r k+1 ) 0 et donc Q(r q ) = 0. Le polynôme Q admet donc les k racines r 1,, r k. Par l hypothèse de récurrence pour un certain polynôme R, et donc C est ce que nous voulions démontrer. Q(X) = (X r 1 ) (X r k )R(X), P(X) = (X r 1 ) (X r k )(X r k+1 )R(X). Corollaire 2 Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes. Si P admet k racines distinctes, alors on a P(X) = (X r 1 ) (X r k )R(X). Si P n est pas nul, alors R n est pas nul non plus, et deg(p) = k + deg(r) k. Remarque 1 Ceci explique que sur un corps ayant un nombre infini d éléments, un polynôme est entièrement déterminé par sa fonction polynomiale associée. En effet, supposons qu on ait deux polynômes P et Q, et que, pour tout x K, P(x) = Q(x). Alors le polynôme P Q admet une infinité de racines distinctes, et est donc nul. Donc,

9 9 P(X) = Q(X). Pour aller plus loin, voir l exercice 53. Lorsque a n est pas une racine de P il est possible de calculer les restes (et parfois les quotients) dans la division par (X a), et même par (X a)(x b). Exemple 6 Si A = X a, le reste de la division de B par A est de degré deg R < 1 : c est donc une constante. En appliquant l égalité B = Q(X a) + R en X = a, on trouve B(a) = R(a). Le reste est donc la constante B(a). Pour calculer le quotient Q, on observe tout d abord que : Q = B B(a) p X a = k=0 b i(x k a k ) X a On peut alors utiliser l identité remarquable vue dans l exercice 5 : X k a k X a k 1 = j=0 a k 1 j X j, d où l on tire : Q = p k=0 k 1 b k j=0 a k 1 j X j = p 1 j=0 ( p k= j+1 b k a k 1 j ) X j = p 1 j=0 ( ) p j 1 b k+ j+1 a k X j k=0 Exemple 7 Si A = (X a)(x b), le reste de la division de B par A est de degré deg R < 2 : il est donc de la forme R = αx +β. En appliquant l égalité B = Q(X a)(x b) + R en X = a, on trouve B(a) = R(a) = αa + β. En appliquant la même égalité en X = b, on trouve B(b) = R(b) = αb + β. Si a = b, on a deux fois la même équation, qui ne peut suffire à déterminer les deux constantes inconnues α et β. On verra plus loin (exemple à la fin du paragraphe 3.3, page 13) comment traiter ce cas. Supposons donc a b. Le système : { αa + β = B(a), αb + β = B(b), B(b) B(a) bb(a) ab(b) admet pour unique solution α =, β =, d où le reste : b a b a Le quotient est plus compliqué à calculer dans ce cas. B(b) B(a) bb(a) ab(b) R = X +. b a b a 2.3. Les PGCD et les PPCM Définition 3 Soient A,B K[X]. Un plus grand commun diviseur (PGCD) de A et B est un diviseur commun D de A et B tel que pour tout autre diviseur commun C de A et B, C divise D. Si D est un PGCD de A et B, alors l ensemble de tous les PGCD de A et B est { cd c K }. «Le» PGCD n est donc défini qu à un facteur multiplicatif non nul près. En particulier, on pourra toujours en trouver un unique unitaire. Remarquons que si B = 0, alors PGCD(A,B) = PGCD(A,0) = A.

10 10 Théorème 3 Pour tous A,B K[X] non nuls, il existe un PGCD. La démonstration repose sur l algorithme d Euclide, à partir de la remarque suivante : si A 1 et A 2 sont deux polynômes, avec deg(a 2 ) deg(a 1 ), et si nous effectuons la division euclidienne A 1 = Q 1 A 2 + A 3, alors P divise A 1 et A 2 si et seulement si P divise A 2 et A 3. Ainsi, PGCD(A 1, A 2 ) = PGCD(A2, A 3 ). Supposons que nous voulions chercher le PGCD de A 1 et A 2, avec n 2 = deg(a 2 ) (deg(a 1 ) = n 1. Alors, en effectuant la division euclidienne A 1 = Q 1 A 2 + A 3, nous sommes ramenés à PGCD(A 2, A 3 ), avec deg(a 3 ) < deg(a 2 ) deg(a 1 ). Nous pouvons alors recommencer A 2 = Q 2 A 4 + A 4, avec deg(a 4 ) < deg(a 3 ) et PGCD(A 1, A 2 ) = PGCD(A 2, A 3 ) = PGCD(A 3, A 4 ). Nous pouvons ainsi par récurrence construire des polynômes A n avec deg(a n ) < deg(a n 1 ), tels que PGCD(A n, A n 1 ) = PGCD(A n 1, A n 2 ) = PGCD(A 1, A 2 ). Nos pouvons recommencer l opération jusqu à ce que A n soit nul (puisque le degré décroit strictement, à un moment donné on doit aboutir à un reste nul). Dans ce cas, le dernier reste non nul est le PGCD de A 1 et A 2. En effet, si A n 1 est le dernier reste non nul, on a PGCD(A 1, A 2 ) = PGCD(A n 1, A n ) = PGCD(A n 1,0) = A n 1. Exemple 8 Trouvons le PGCD de A = X 4 X 3 + 2X 2 X + 1 et B = X Par division euclidienne de A par B, on trouve que Posons C = X 2 X + 1. Par division euclidienne de B par C, on trouve que Ainsi C est un PGCD de B et C et donc de A et B. A = (X 1)B + 2X 2 2X + 2. B = (X + 1)C. Définition 4 Deux polynômes sont dits premiers entre eux si leur PGCD est constant. Ainsi, si C = PGCD(A,B), alors A C = A 1 et B C = B 1 sont premiers entre eux. Réciproquement, si A = CA 1 et B = CB 1, avec A 1 et B 1 premiers entre eux alors C est le PGCD de A et B. De l algorithme d Euclide, nous pouvons en déduire une propriété importante. Proposition 6. Identité de Bézout Deux polynômes A 1 et A 2 sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes P 1 et P 2 tels que A 1 P 1 + A 2 P 2 = 1. Montrons d abord que la condition est suffisante : supposons que P 1 A 1 + P 2 A 2 = 1. Si un polynôme P divise A 1 et A 2, alors il divise P 1 A 1 + P 2 A 2. Donc P divise 1 donc P est une constante, et par conséquent le PGCD est une constante. Réciproquement, il est équivalent de montrer qu il existe une constante non nulle a K telle que PP 1 +QQ 1 = a. Cette constante va être le dernier reste non nul dans l algorithme d Euclide. En effet, si nous définissons A n par récurrence à partir de A 1 = Q 1 A 2 + A 3, A n 1 = Q n 1 A n + A n+1, nous allons vérifier que, si pour p n, il existe des polynômes P p et R p tels que A p = P p A 1 + R p A 2 (c est évidement vérifié pour p = 1,2,3), alors c est encore vrai pour A n+1. En effet A n+1 = A n 1 Q n 1 A n = P n 1 A 1 + R n 1 A 2 Q n (P n A 1 + R n A 2 ) = (P n 1 Q n P n )A 1 + (R n 1 Q n R n )A 2,

11 11 et la propriété est donc vérifiée à l ordre n + 1 avec P n+1 = P n 1 Q n P n, R n+1 = R n 1 Q n R n. Corollaire 3. Lemme de Gauss Si A 1 divise A 2 P et si A 1 et A 2 sont premiers entre eux, alors A 1 divise P. Nous écrivons A 2 P = A 1 Q, ainsi que l identité de Bézout A 1 R 1 + A 2 R 2 = 1. Multiplions cette dernière par P. Il vient P = A 1 R 1 P + A 2 PR 2 = A 1 R 1 P + A 1 QR 2 = A 1 (R 1 P + R 2 Q), et P et donc bien un multiple de A 1. Nous pouvons maintenant définir le PPCM Définition 5 Soient A,B K[X]. Un plus petit commun multiple (PPCM) de A et B est un multiple commun M de A et B tel que pour tout autre multiple commun C de A et B, M divise C. Comme pour le PGCD, le PPCM n est défini qu à une constante non nulle près. Compte tenu de ce qui précède, l existence est immédiate : Proposition 7 Soient A et B deux polynômes, C leur PGCD, avec A = CA 1, B = CB 1. Alors, le PPCM de A et B est CA 1 B 1. Il est immédiat de voir que si CA 1 B 1 est un multiple commun. Si maintenant Q est un multiple commun de A et B, C divise Q, et nous écrivons Q = CQ 1. Alors, A 1 divise Q 1, donc Q 1 = A 1 R. Par ailleurs, B 1 divise Q 1, donc B 1 divise A 1 R. D après le lemme d Euclide, B 1 divise R, soit R = B 1 R 1. Alors, Q 1 = A 1 B 1 R 1 et Q = CA 1 B 1 R 1 : CA 1 B 1 est bien un diviseur de Q. 3. Dérivation des polynômes 3.1. Polynôme dérivé Définition 6 Le polynôme dérivé du polynôme P = a a n X n K[X] est le polynôme P déf = a 1 + 2a 2 X + + na n X n 1. Par contraste avec la dérivation des fonctions, 2 les règles suivants s appliquent au polynômes sans aucune hypothèse supplémentaire : 1. (P +Q) = P +Q, 2. (PQ) = P Q + PQ («la règle de Leibniz»), 3. (P(Q)) = P (Q)Q, 4. P = 0 si et seulement si P est constant. Observons que si P est non constant, alors deg P = deg P 1. (En tout cas, deg P deg P 1.) Remarquons aussi que nous n introduisons pas ici la dérivée à partir de limites (comme on le fait pour des fonctions dans R). Pour un corps général, cela n aurait aucun sens. Il s agit d une définition purement algébrique conçue de sorte à être cohérente avec la notion de dérivée vue pour les fonctions polynômes définies sur R. 2. Dans le cas de fonctions, on exige normalement que les fonctions en question soient dérivables sur le même ensemble, ou mieux encore qu elles soient dérivables sur R.

12 Dérivées itérées Notons P (k) la dérivée k-ième du polynôme P K[X]. En particulier, pour k = 0,1,2,3, on a : P (0) = P, P (1) = P, P (2) = P, P (3) = P. D après la règle deg P = deg P 1 (valable pour un polynôme non constant P), on a plus généralement que pour tout k deg P, deg P (k) = deg P k. En particulier, si n = deg P, alors P (n) est un polynôme constant non nul et P (n+1) = 0. Réciproquement, si P est un polynôme tel que P (k) = 0, alors deg P < k. Exemple 9 Les dérivées successives du polynôme X p sont : X p, px p 1, p(p 1)X p 2,..., p!x, p!, 0. Plus précisément : si 0 k p, k entier, alors la dérivée k e de X p est Cette dérivée est nulle si k > p. (X p ) (k) = p! (p k)! X p k. La formule de Leibniz Les règles concernant la k e dérivée ressemblent un peu à celles concernant la dérivation. On a évidemment : (P +Q) (k) = P (k) +Q (k). Pour la dérivée k e d un produit, c est plus compliqué. On trouve facilement pour les petites valeurs de k : (PQ) = P Q + 2P Q + PQ et (PQ) = P Q + 3P Q + 3P Q +Q. La ressemblance avec le carré et le cube de (a + b) s impose, et l on peut conjecturer une formule générale utilisant les coefficients binomiaux. C est la formule de Leibniz, qui est en effet vraie : Théorème 4. Formule de Leibniz Soient P,Q K[X]. Pour tout entier naturel k : ( ) (PQ) (k) k k = P (i) Q (k i). i=0 i Elle se fait par récurrence sur k. Pour k = 0, on a l égalité PQ = PQ. Pour k = 1, on retrouve la règle de Leibniz (PQ) = P Q + PQ. Supposons la formule vérifiée au rang k. Alors : ( ( ) k (PQ) (k+1) k = )P (i) Q (k i) i=0 i ( ) k k ( = P (i) Q (k i)) i=0 i ( ) k k ( = P (i+1) Q (k i) + P (i) Q (k i+1)) i=0 i ( ) ( ) k k = P (i+1) Q (k i) k k + P (i) Q (k i+1) i=0 i i=0 i ( ) ( ) k+1 k = P (i) Q (k i+1) k k + P (i) Q (k i+1) i=1 i 1 i=0 i (( ) ( )) k+1 k k = + P (i) Q (k i+1) i=0 i 1 i ( ) k+1 k + 1 = P (i) Q (k i+1). i=0 i

13 13 C est la formule voulue au rang k Formules de Taylor La formule de Taylor pour les polynômes admet de nombreuses formes. Dans tous les cas, elle permet de développer P(A + B), où P est un polynôme et A,B sont des expressions simples. Commençons par un petit lemme. Lemme 1 Soit Q = b b p X p. Alors, pour tout entier naturel k : Q (k) (0) = { k! bk si k p, 0 si k > p. C est immédiat à partir du calcul des dérivées successives de chaque X i dans l exemple vu plus haut. Théorème 5. Formule de Taylor Soit P K[X] un polynôme de degré n et soit a K. Alors : P(X) = P(0) + P (0)X P (0)X n! P(n) (0)X n n 1 = k! P(k) (0)X k, k=0 P(X + a) = P(a) + P (a)x P (a)x n! P(n) (a)x n n 1 = k! P(k) (a)x k, k=0 P(X) = P(a) + P (a)(x a) P (a)(x a) n! P(n) (a)(x a) n n 1 = k! P(k) (a)(x a) k, k=0 P(A + B) = P(A) + BP (A) B2 P (A) n! Bn P (n) (A) n 1 = k! Bk P (k) (A) pour tous A,B K[X]. k=0 La première formule est immédiate en appliquant le lemme : si P = a a n X n, alors a k = 1 k! P(k) (0). La deuxième se prouve en appliquant la première au polynôme Q(X) = P(X + a), dont les dérivées sont données par la relation Q (k) (X) = P (k) (X + a). La troisième s obtient en remplaçant X par X a dans la seconde. La dernière s obtient par développant les parties gauche et droite. Exemple 10 En utilisant la dernière formule, on voit maintenant facilement que le reste de la division euclidienne de P par (X a) 2 est P(a) + P (a)(x a) Une application : l interpolation de Lagrange

14 14 Exercice 6 M. Dupont est passionné de météo et de jardinage. Matinal, M. Dupont a effectué son premier relevé à 5h puis 4 autres relevés au fil de la journée. Le relevé est donné ci-dessous. 5h 10h 12h 14h 18h 21h Alors qu il s apprête à se coucher, l état de son cerisier lui laisse croire qu une gelée matinale a eu lieu... Pouvez-vous aider M. Dupont en lui proposant un modèle mathématique? Quels modèles pouvez-vous lui proposer? Quels en sont les avantages et défauts? Seule une idée est attendue dans cet exercice, on répondra à la question de M. Dupont dans l exercice 8. Exercice 7 Dans cet exercice, on ne cherchera pas à développer ou simplifier les expressions manipulées. 1. Donnez l expression d un polynôme de degré 2 s annulant en 3 et 4 et prenant la valeur 1 en Donnez l expression d un polynôme P 1 de degré 2 s annulant en 3 et 4 et prenant la valeur 10 en Donnez l expression d un polynôme P 2 de degré 2 s annulant en 3 et 5 et prenant la valeur 15 en Donnez l expression d un polynôme P 3 de degré 2 s annulant en 4 et 5 et prenant la valeur 7 en Donnez l expression d un polynôme P de degré 2 tel que P(3) = 7, P(4) = 15 et P(5) = On souhaite trouver l expression d un polynôme Q tel que Q(1) = 2, Q(2) = 5, Q(3) = 6 et Q(4) = 9. (a) Quel doit être le degré de ce polynôme? (b) Quel est ce polynôme? De façon plus générale, on se donne n couples de nombres (a 1, b 1 ),,(a n, b n ), avec les a i distincts, et et on cherche un polynôme P de degré le plus petit possible tel que pour tout i = 1,, n, on aie P(a i ) = b i. D un point de vue géométrique, il s agit d un processus qui permet de faire passer par un nombre fini de points fixés du plan, d abscisses distinctes, le graphe d un polynôme de degré aussi petit que possible. Si l on n a qu un point (a, b), on prend le polynôme constant b (degré 0) et le graphe est une droite horizontale. Si l on a deux points (a, b) et (a, b ), avec a a, il passe une et une seule droite par ces deux points, qui n est pas verticale ; c est le graphe d une fonction affine, qui est donc polynomiale et associée à un polynôme P = αx + β (degré 1). On peut imaginer que, dans le cas de n points d abscisses distinctes, on s en tirera avec un polynôme de degré n 1. C est bien le cas. Théorème 6. Interpolation de Lagrange Soient (a 1, b 1 ),...,(a n, b n ) des points de K 2 d abscisses a i deux à deux distinctes. Il existe alors un unique polynôme P K[X] de degré deg P n 1 dont le graphe passe par ces n points, autrement dit, tel que P(a i ) = b i pour i = 1,..., n. L unicité peut se voir comme suit. Si P et Q sont deux polynômes de degrés deg P,degQ n 1 et tels que P(a i ) = Q(a i ) = b i pour i = 1,..., n, alors le polynôme P Q, dont le degré est n 1, admet les n racines : a 1,..., a n ; il est donc nul et P = Q. L existence s obtient par une construction explicite. On pose d abord, pour i = 1,..., n : L i = 1 j n j i (X a j ) (a i a j (Dites pourquoi le dénominateur ne s annule jamais. Quel est le degré des polynômes L i?) On voit par ailleurs que : { 1 si i = j, L i (a j ) = 0 si i j.

15 15 En posant (comme à la question 5 de l exercice 7). n P = b i L i, i=1 on obtient donc un polynôme P de degré deg P n 1 et tel que : n P(a i ) = b j L j (a i ) = b i pour tout i = 1,..., n. j=1 C est bien ce que l on voulait. Exercice 8 Le cerisier de M. Dupont a-t-il gelé? Après avoir fait cet exercice, vous pouvez consulter http ://tube.geogebra.org/material/show/id/ et modifier les «points de contrôle». Exercice 9 Cherchez un polynôme P de degré 2 tel que P(1) = 2, P(2) = 3 et P(3) = 1. Calcul Formel A l aide de Géogébra, voici comment on peut obtenir le polynôme de Lagrange aux points ((x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n )) ainsi : P :=Polynôme(((x 1, y 1 ),(x 2, y 2 ),...,(x n, y n ))) 3.5. Racines multiples Définition 7 Soit P K[X] un polynôme. On dit que le scalaire a K est racine d ordre k de P si (X a) k divise P. On dit que a est racine d ordre k de P si (X a) k divise P et (X a) k+1 ne divise pas P. On dit que a est racine simple si c est une racine d ordre 1, et que a est racine multiple si c est une racine d ordre 2. Une racine est automatiquement d ordre 1. Exemple 11 Soient a 1,..., a k K deux à deux distincts et soient m 1,..., m k N. Le polynôme P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k admet pour seules racines les a i. Comme (X a i ) m i divise P, la multiplicité de chaque racine a i est m i. En fait, c est exactement m i. En effet, si par exemple (X a 1 ) m 1+1 divisait P, on aurait : et donc, par «intégrité» de K[X], (X a 1 ) m 1+1 Q = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k, (X a 1 )Q = (X a 2 ) m2 (X a k ) m k. L évaluation de la partie gauche et de la partie droite en a 1 donne une contradiction : car a 1 est distinct de a 2,..., a k. 0 = (a 1 a 2 ) m2 (a 1 a k ) m k,

16 16 Lemme 2 k Pour que le polynôme Q = b i (X a) i soit nul, il faut, et il suffit, que tous les b i le soient. i=0 La suffisance de la condition est évidente. Réciproquement, vu que Q(X + a) = k b i X i, si Q = 0, alors les b i sont nuls. i=0 Théorème 7 Pour que a soit racine d ordre k de P, il faut, et il suffit, que les k premières dérivées de P en a, à partir de P lui-même, soient nulles, i.e. P(a) = P (a) = = P (k 1) (a) = 0. Dire que a est racine d ordre k de P, c est dire que le reste de la division euclidienne de P par (X a) k est nul ; mais, d après la formule de Taylor, ce reste est le polynôme et il suffit d appliquer le lemme ci-dessus. P(a) + P (a)(x a) P (a)(x a) k! P(k 1) (a)(x a) k 1, Ainsi, lorsqu on a une racine double au point a, le polynôme et sa dérivée s annulent au point a. C est un phénomène que nous avons déjà vu pour les polynômes réels de degré 2. Lorsque le déterminant s annule, les deux racines du polynôme sont confondues, et la dérivée s annule à la racine Lien avec la factorisation On a vu plus haut que, si a 1,..., a k sont des racines distinctes de P K[X], alors (X a 1 ) (X a k ) divise P. Le quotient Q est donc de degré n k. Ainsi, si k = n = deg P, on obtient une factorisation de P : P = a(x a 1 ) (X a n ), où a est une constante non nulle. En comparant les termes dominants des deux membres de l égalité, on voit même que a = cd(p). Par exemple, si α,β sont deux racines distinctes d un trinôme du second degré T = ax 2 + bx + c, alors T = a(x α)(x β). On voit aussi facilement que si α est une racine double de T = ax 2 + bx + c, alors T = a(x α) 2. Cela reste vrai en général des racines multiples, ce que nous allons à présent expliquer. Lemme 3 Supposons que P = (X a) k Q et que Q(a) 0, de sorte que a est racine d ordre k de P. Soit b a une racine d ordre l de P. Alors b est également racine d ordre l de Q. On a P = (X b) l S = (X a) k Q pour un polynôme S. Comme (b a) k Q(b) = (b b) l S(b) = 0, on conclut que b est racine de Q. On peut donc écrire Q = (X b)q 1 et, par «intégrité» de K[X], (X b) l 1 S = (X a) k Q 1.

17 17 Si l > 1, l on recommence avec Q 1 : b est racine de Q 1, Q 1 = (X b)q 2, etc. On va trouver : Q = (X b) l Q l Théorème 8 Soient a 1,..., a k des racines distinctes de P K[X], de multiplicités respectives m 1,..., m k. Alors (X a 1 ) m1 (X a k ) m k P. Puisque a 1 est racine de P de multiplicité m 1, on a P = (X a 1 ) m 1 P 1. D après le lemme qui précède, a 2,..., a k sont des racines distinctes de P 1, de multiplicités respectives m 2,..., m k. On recommence donc avec P 1, etc. On finira par trouver : P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k P k. Le corollaire suivant complète le corollaire 2 qui est son équivalent pour les racines simples. Corollaire 4 Si P est non nul, le nombre de ses racines comptées avec leurs multiplicités est inférieur ou égal à deg P. Puisque (X a 1 ) m1 (X a k ) m k divise P qui est non nul, on a : k m i = deg(x a 1 ) m1 (X a k ) m k deg P. i=1 Si a 1,..., a k sont des racines distinctes de P K[X] de multiplicités respectives m 1,..., m k, et que le degré de P est n, alors P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k Q, où le quotient Q est de degré n k i=1 m i. Ainsi, si k i=1 m i = n, on obtient une factorisation de P : P = a(x a 1 ) m1 (X a k ) m k. où a est une constante non nulle. En comparant les termes dominants des deux membres de l égalité, on voit encore que a = cd(p). On dit que l on a complètement factorisé P, ou encore qu on l a décomposé. Notons que, lorsqu elle existe, cette factorisation ci-dessus est essentiellement unique : les seules racines de P sont en effet les a i et leurs multiplicités sont les exposants m i. 4. Propriétés dépendant du corps de base Jusqu ici, tout ce que nous avons dit s applique indistinctement à tous les corps K. Nous allons nous intéresser maintenant plus précisément aux cas de R et C 4.1. Polynômes de C[X] Nous avons vu qu un polynôme de degré 2 sur le corps des nombres complexes dament toujours deux racines, distinctes ou confondues. En fait, c est une propriété générale

18 18 Théorème 9. de D Alembert - Admis Sur C, tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 admet au moins une racine. On exprime cette propriété en disant que le corps C est algébriquement clos. Un corollaire immédiat est le suivant : Corollaire 5 Sur C, tout polynôme de degré n 1 admet n racines distinctes ou confondues. Ou encore, si un polynômep de degré n admet comme racines r 1,, r k de multiplicités respectives m 1,, m k, alors m m k = n. Cela se démontre par récurrence sur le degré n. Initialisation : Lorsque n = 1, P = αx + β a une racine simple qui est β α. Hérédité : Démontrons que si c est vrai pour tout polynôme P avec deg(p) n, c est encore vrai pour les polynômes des degré n + 1. Soit Q un polynôme de degré n + 1. D après le théorème de d Alembert, il admet une racine, que nous appelons r n+1. Alors, P(X) = (X r n+1 )Q, où Q est un polynôme de degré n. Par l hypothèse de récurrence, Q admet n racines (distinctes ou confondues) r 1,, r n, et donc P admet les n + 1 racines r 1,, r n+1. Conclusion : Tout polynôme de degré n 1 admet n racines en les comptant avec leur multiplicité. Ainsi, si P est un polynôme de degré n, il s écrit P(X) = a(x r 1 ) m1 (X r k ) m k, avec m m k = n, et où a est le coefficient du terme dominant de P. Cette décomposition est unique à l ordre des coefficients près. Par analogie avec les nombres entiers, on dira Définition 8 Un polynôme est irréductible si il n est divisible que par les constantes et lui-même (à un facteur multiplicatif près). ceci veut dire que si Q divise P, alors il existe une constante a telle que Q = a ou bien Q = ap. D après ce que l on vient de voir, les seuls polynômes irréductibles sur C sont les polynômes constants et les polynômes de degré 1. Exemple 12 Les racines du polynôme X n 1, autrement dit les racines n es de l unité, sont les j k = e 2iπk/n pour 0 k n 1. On a donc une décomposition dans C[X] : X n n 1 n 1 1 = (X j k ) = (X e 2iπk/n ). k=0 k= Polynômes de R[X] Il n est pas vrai que tout polynôme non constant de R[X] admet une racine réelle : voir par exemple X 2 +1, et, plus généralement, tout polynôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif.

19 19 Théorème 10 Tout polynôme de degré impair de R[X] admet une racine réelle. Une première méthode fait appel à l analyse : elle repose sur le théorème des valeurs intermédiaires, qui affirme qu une fonction continue qui prend des valeurs positives et des valeurs négatives doit s annuler quelque part. Or, les fonctions polynômes sont des fonctions continues. Il reste à démontrer que si P est de degré impair, la fonction polynôme associée prend des valeurs positives et négatives. Soit P R[X] un polynôme de degré impair 2m + 1 et de terme dominant ax 2m+1, a R. La fonction x P(x) est polynomiale et donc continue sur R. Posons Q = P ax 2m+1, alors degq 2m et P = ax 2m+1 +Q. Chaque monôme bx k de Q est de degré k 2m, et l on a donc : bx k lim x + ax 2m+1 = x lim bx k = 0. ax2m+1 En additionnant ces limites, on en déduit : On a donc : Q(x) lim x + ax 2m+1 = x lim Q(x) = 0. ax2m+1 P(x) lim x + ax 2m+1 = x lim P(x) = 1. ax2m+1 D autre part, si a > 0, alors lim x + ax 2m+1 = + et lim x ax 2m+1 =, et si a < 0, alors lim x + ax 2m+1 = et lim x ax 2m+1 = +. En combinant avec les limites précédentes (multiplication de limites) : 1. si a > 0, alors 2. si a < 0, alors lim P(x) = + et lim P(x) =, x + x lim P(x) = et lim P(x) = +. x + x Dans tous les cas, la fonction continue x P(x) prend des valeurs positives et des valeurs négatives. D après le théorème des valeurs intermédiaires, elle doit s annuler quelque part. Ce théorème ne suffit malheureusement pas pour obtenir la factorisation dans R[X]. En effet, si l on part de P de degré 2m + 1 et qu on lui trouve une racine α, on écrit P = (X α)q avec degq = 2m, et l on ne peut pas appliquer le théorème à Q. De plus, même si Q n admet aucune racine dans R, il est peut-être factorisable dans R[X]. Par exemple, X n admet évidemment aucune racine réelle, et pourtant : X = (X 4 + 2X 2 + 1) 2X 2 = (X 2 + 1) 2 ( 2X) 2 = (X X)(X X) En fait, tout polynôme de R[X] se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. Les facteurs de degré 1 correspondent aux racines réelles. Les facteurs de degré 2 sont des trinômes du second degré n admettant pas de racine réelle (sinon on les décomposerait en deux facteurs de degré 1), donc de discriminant strictement négatif. Étrangement, la possibilité d obtenir une telle factorisation dans R[X] repose sur la factorisation dans C[X]. Nous allons esquisser le raisonnement et la méthode. Elle repose sur le lemme suivant Lemme 4 Si P R[X] admet une racine complexe a R, alors le conjugué ā de a est encore une racine de P. Attention : ce résultat ne s applique qu aux polynômes à coefficients réels. Il suffit d observer que, si les coefficients de P sont réels, par exemple P(X) = a n X n + +a 0, alors P(a) = P(ā), puisque a n a n + + a 0 = a n ā n + + a 0. Dans ce cas, si P(a) = 0, alors P(ā) = 0.

20 20 De la même manière, on montre que si a est une racines complexe de P d ordre k, alors ā est aussi une racine d ordre k. Ainsi, les racines complexes non réelles d un polynôme réel vont toujours par paire. Donc, si P est de degré impair, comme P a un nombre impair de racines complexes, il y en a au moins une réelle, ce qui nous redonne le résultat du théorème 10. Si α = u + iv est non réelle, donc u, v R et v 0, on voit que le conjugué α est aussi racine : P(α) = P(α) = 0 = 0, où la première égalité est justifiée par le fait que P R[X]. Une fois que l on sait que α et α sont toutes deux racines, comme elles sont distinctes (ceci parce que α R), on sait que P est divisible par : T = (X α)(x α) = (X u iv)(x u + iv) = X 2 2uX + (u 2 + v 2 ). C est un trinôme du second degré de discriminant 4v 2 < 0 et à coefficients réelles. Ainsi P = TQ, et on peut recommencer avec Q, si Q n est pas constant. Pour conclure : on peut factoriser dans P tous les X α où α est une racine réelle ; et tous les trinômes à discriminant strictement négatif T = (X α)(x α) R[X], où α,α est une paire de racines complexes conjuguées non réelles de P. On a ainsi démontré le théorème suivant. Théorème 11 Tout polynôme de R[X] se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. On peut également montrer que, en un certain sens, cette décomposition est unique, à l ordre des facteurs près. Exemple 13 La racine n e de l unité j k = e 2iπk/n (pour 0 k n 1) est réelle pour k = 0 (elle vaut alors 1) ; et, ( si n = ) 2p est pair, pour k = p (elle vaut alors 1). Le conjugué de j k est j n k et : (X j k )(X j n k ) = X 2 2 cos 2πk n X + 1. On a donc : X n 1 = (X 1) p k=1 X n 1 = (X 1)(X + 1) ( ( X 2 2 cos 2πk n p 1 k=1 ( X 2 2 ) ) X + 1 ( cos 2πk n si n = 2p + 1, ) ) X + 1 si n = 2p. 5. Fractions rationnelles Une fraction rationnelle est une expression de la forme P(X), où P,Q sont des éléments de K(X), avec Q 0. On Q(X) convient que P Q = P 1 Q 1 si et seulement si PQ 1 = QP 1. On dit alors que ce sont deux représentants différents de la même fraction rationnelle. Ainsi, si le PGCD de P et Q est C, on peut toujours simplifier une telle expression par C, et si P C = P 1, Q C = Q 1, alors P Q = P 1. Q 1 P s appelle le numérateur et Q le dénominateur. Ainsi, les fractions rationnelles sont aux polynômes ce que les nombres rationnels sont aux nombres entiers. Sur les fractions rationnelles, nous pouvons opérer les opérations suivantes P 1. Addition : Q + P 1 = PQ 1 +QP 1. Pour que cette opération ait un sens, il faut bien sûr vérifier que le Q 1 QQ 1 résultat ne dépend pas du représentant choisi pour les deux fractions rationnelles. (Exercice : vérifiez le). 2. Multiplication : P Q P 1 = PP 1, avec la même remarque que pour l addition. Q 1 QQ 1 L ensemble des fractions rationnelles, muni de ces deux opérations, se note K(X) Degré d une fraction rationnelle De la même manière que pour les polynômes, nous pouvons définir le degré d une fraction rationnelle par ( ) P deg = deg(p) deg(q). Q

21 21 Remarquons que puisque Q 0, ce degré est bien défini (et vaut si P = 0). Il faut bien évidemment vérifier que cette définition ne dépend pas du représentant choisi : Si P 1 Q 1 = P 2 Q 2, c est à dire que P 1 Q 2 = P 2 Q 1, alors deg(p 1 ) deg(q 1 ) = deg(p 2 ) deg(q 2 ). De la même manière que pour les polynômes, on a, pour deux fractions rationnelles avec égalité dès que deg(r 1 ) deg(r 2 ), et aussi deg(r 1 + R 2 ) max{deg(r 1 ),deg(r 2 )}, deg(r 1 R 2 ) = deg(r 1 ) + deg(r 2 ). Par division euclidienne A = QB + R avec deg R < degb, on peut écrire toute fraction rationnelle F = A B sous la forme F = Q + G où Q K[X] et degg < 0 : il suffit de prendre G := R. Cette écriture est de plus unique. Par B analogie avec les nombres rationnels, le polynôme Q est alors appelé partie entière de F Fractions irréductibles, forme réduite Rappelons que, parmi toutes les écritures 6/9 = 4/6 = ( 2)/( 3) d un même rationnel, il en est une plus simple que toutes les autres, la «forme irréductible» ou «forme réduite» : ici, c est 2/3. De plus, tous les représentants de 2/3 sont de la forme 2k/3k. De manière générale, la forme réduite de a/b s obtient en divisant numérateur et dénominateur par leur pgcd : a/b = a 0 /b 0, où a = da 0, b = db 0 et a 0 et b 0 sont «premiers entre eux», autrement dit, n ont aucun diviseur commun autre que ±1. Quitte à changer le signe au numérateur et au dénominateur, on peut de plus supposer que le dénominateur est positif (donc un entier naturel). Une fois que l on a trouvé la «forme irréductible», ou encore «forme réduite» a 0 /b 0, on constate que toutes les écritures de ce rationnel sont de la forme ka 0 /kb 0, avec k Z. Des propriétés analogues sont valables pour les fractions rationnelles. Nous allons les énoncer précisément, sans toutefois les démontrer. Rappelons que deux polynômes sont «premiers entre eux» s ils n ont aucun diviseur commun autre que les constantes non nulles. Exemple 14 Soient T := ax 2 + bx + c et T := a X 2 + b X + c, avec a, a 0. Si T et T ont une racine commune α, ils sont tous deux divisibles par X α et ne sont donc pas premiers entre eux. Si T et T ne sont pas premiers entre eux, ils ont un diviseur commun D de degré 1. Si deg D = 2, la seule possibilité est que T = (a/d)d et T = (a /d)d, où d := cd(d). On a alors T = (a /a)t. Si deg D = 1, alors on peut écrire D = d(x α) et T, T ont la racine commune α. Proposition 8 Toute fraction rationnelle F K[X] admet un unique représentant A 0 B 0 tel que A 0 et B 0 sont premiers entre eux et B 0 est unitaire (coefficient dominant cd(b 0 ) = 1). Toutes les écritures A B de cette fraction rationnelle sont alors de la forme P A 0 PB 0, où P K[X] est non nul. Les fractions A B := P A 0 telles que A et B sont premiers entre eux sont celles telles que P K : on les PB 0 appelle formes irréductibles de F. Le représentant A 0 B 0 est parfois appelé forme irréductible de F. Pratiquement, on procède comme avec les rationnels. Tant que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun non constant, on les divise tous les deux par ce facteur commun. Quand on ne peut plus le faire, c est que l on a trouvé une forme irréductible. Si l on désire forme irréductible, on divise numérateur et dénominateur par le coefficient dominant de ce dernier.

22 Fonctions rationnelles A = P une fraction rationnelle, nous pouvons associer la fonction fraction rationnelle associée : elle est définie Q pour x K en dehors des racines de Q. Si {x 1,, x p } sont les racines de Q, c est une fonction de K\{x 1,, x p } K, qui à x associe sa valeur P(x) Q(x). Les règles de calcul que nous avons données sur K(X) font que le résultat ne dépend pas du représentant choisi, que la valeur de la somme de deux fractions est la somme des valeurs, et de même pour le produit. Il y a cependant une petite difficulté, qui provient de ce qu il peut y avoir plusieurs écritures possibles de la fraction R, et qu ainsi le domaine de définition peut dépendre de son écriture. C est pourquoi on se ramène toujours à une écriture irréductible de R. Définition 9 Soit une fraction rationnelle R K(X) écrite sous forme irréductible A, l ensemble des pôles de R, est B l ensemble des racines de B dans K. Cet ensemble a un nombre fini d éléments. Son complémentaire dans K est l ensemble D R des α K tels que R(α) est défini. On l appelle ensemble de définition de R. Comme pour les polynômes, dès que le corps K a un nombre infini d éléments (Q,R et C), alors la connaissance de la fonction x P(x) Q(x) détermine entièrement la fraction rationnelle P. C est ce qu affirme en d autres termes la Q proposition ci-dessous : Proposition 9 K est infini et R, S sont deux fractions rationnelles. Si R et S sont égales sur leur ensemble de définition, alors R = S. Soit R = A B et S = C D, on a (AD BC)(α) = 0 pour tout α dans l ensemble infini D R D S, donc AD BC = 0. Comme pour les polynômes, on peut donc identifier la fraction rationnelle R avec la fonction rationnelle x R(x) de D R dans K. Cette identification est évidemment compatible avec l addition et la multiplication des fractions rationnelles d un côté, des fonctions de l autre. La seule petite difficulté est celle-ci : il peut arriver que R + S ou RS soit défini en un point où R ou S n est pas défini. Par exemple 1 X 1 X et X 1 X sont définies partout. X X 1 Nous reverrons plus tard la définition de la dérivée d une fonction. Mais en anticipant un peu, on sait qu une fonction rationnelle de R dans R est dérivable sur son ensemble de définition et que la dérivée se calcule à l aide de la formule : (u/v) = (u v uv )/v 2. Cette formule s étend à toutes les fractions rationnelles de la manière suivante. Proposition 10 Soit R := A B K(X). La fraction rationnelle A B BA choisie. On l appelle dérivée de R et on la note R. B 2 ne dépend que de R et non de l écriture particulière Soit A 0 B 0 la forme irréductible de R. Il existe un polynôme P tel que P = P A 0 et B = PB 0, d où : A B AB = P 2 (A 0 B 0 A 0 B 0 ) = A B AB B 2 = A 0 B 0 A 0 B 0 B 2 0