Espaces probabilisés.

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1 Espaces probabilisés Chapitre 6 : otes de cours Esembles déombrables Esemble fii, (hors programme) esemble ifii Esemble déombrable Eumératio des élémets d u esemble fii ou déombrable Produit cartésie d esembles déombrables (hors programme) Parties de (hors programme) Caractérisatio des esembles fiis ou déombrables (hors programme) Réuio déombrable d esembles au plus déombrables Espaces probabilisés Tribu, propriétés élémetaires d ue tribu Probabilité sur (Ω,), espace probabilisé Coséqueces de la défiitio d ue probabilité, probabilité d ue partie fiie Cotiuité croissate et décroissate d ue probabilité Probabilité d ue réuio d évèemets Probabilités coditioelles Probabilité coditioelle Formule des probabilités composées et gééralisatio de la formule des probabilités composées Idépedace d évèemets et idépedace mutuelle et caractérisatio de l idépedace de deux évèemets Lies etre les otios d idépedace Système complet déombrable d évèemets Evéemet presque sûr, évéemet égligeable Formule des probabilités totales et gééralisatio avec u système quasi complet d évéemets Formule de Bayes Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - -

2 Espaces probabilisés Chapitre 6 : otes de cours Esembles déombrables Défiitio : esemble fii Soit E u esemble O dit que E est fii si et seulemet si il existe u etier :, tel que E soit e bijectio avec : {,, } Si :,, et cet esemble caractérise l esemble vide Exemples : {,3} est fii car e bijectio avec {,} L esemble : E {z, z 5 }, est fii et cotiet 5 élémets Remarques : O admet que l etier précédet est uique (o motre que s il existe ue ijectio de N das N p, alors : p, et doc s il existe ue bijectio de N das p (par l itermédiaire d u esemble fii E), alors : p) est évidemmet le cardial de E Ue défiitio équivalete est de dire qu il existe :, tel que E soit e bijectio avec {,, } E effet, l applicatio f de das {,, }, qui à k fait correspodre k, est bijective Défiitio 3 : esemble déombrable Soit E u esemble O dit que E est déombrable s il existe ue bijectio de E das Exemples : * est déombrable, avec la bijectio ϕ de * das, défiie par : *, ϕ ( ) L esemble : E, des etiers pairs est déombrable car e bijectio avec par : a E, est déombrable O cosidère pour cela l applicatio ϕ de das défiie par : +, ϕ, ( ) - *, ϕ ( ) a f ( a) ϕ est bie ue applicatio de das ϕ est ijective car si : ϕ() ϕ(p), alors et p sot de même sige puisque ϕ() et ϕ(p) ot même parité et o déduit (das les deux cas) que : p ϕ est surjective car pour : m, si m est pair, o a : si m est impair, o a : m m ϕ, et : m + m ϕ ϕ est doc ue bijectio de das et est déombrable Remarques : O dit qu u esemble est au plus déombrable lorsqu il est fii ou déombrable Si o admet que est pas déombrable (voir exercices), u esemble E tel qu il existe ue ijectio de das E ou qui cotiet u esemble o déombrable est o déombrable L esemble 3 est pas déombrable car l applicatio : x a (x,,), est ijective de das 3 Théorème : éumératio des élémets d u esemble fii ou déombrable Soit E u esemble Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - -

3 Si E est fii, alors :, E {x,, x }, où les x i sot disticts deux à deux Si E est ifii, alors : E {x k, k }, où les x k sot disticts deux à deux Remarques : Toute partie d u esemble fii est fiie Si E et F sot fiis, alors (E F), (E F), (E \ F) et E F sot fiis Théorème : produit cartésie d esembles déombrables Soiet E et F deux esembles déombrables lors E F, esemble des couples formés d u élémet de E et d u élémet de F, est déombrable Exemples :, et : *, sot déombrables Le deuxième poit s obtiet bie sûr par récurrece sur est déombrable Tout d abord * est déombrable comme produit cartésie d esembles déombrables et il existe ue bijectio ψ de das * Cosidéros esuite l applicatio ϕ de * das défiie par : a b (a,b) *, ϕ ( a, b) ϕ est alors clairemet surjective (puisque tout élémet de admet au mois ue décompositio sous forme de fractio irréductible) L applicatio ϕoψ de das est alors surjective et est déombrable (théorème 3) puisque coteat e peut être fii Espaces probabilisés Défiitio 5 : tribu Soit Ω u esemble Ue famille de parties de Ω (soit u sous-esemble de Ω)) est appelée tribu sur Ω si et seulemet si elle vérifie les propriétés suivates : Ω,,, ( ), U N Théorème 5 : propriétés élémetaires d ue tribu Si est ue tribu sur Ω, alors :, ( i ) i, U, i i N ( i ) i, I ( ), I,, (,, B Remarques : La otio de tribu permet d étedre le cadre Ω) utilisé pour défiir des probabilités sur les esembles fiis L esemble Ω est toujours cesé servir de cadre à la modélisatio d ue expériece aléatoire et représete l esemble des évéemets evisagés pour le résultat de cette expériece Si o lace deux dés idiscerables et équilibrés, o peut choisir u uivers où les dés sot redus artificiellemet discerables, u résultat de l expériece état alors u élémet de : Ω {,,3,,5,6} {,,3,,5,6}, et la probabilité d obteir u résultat est la probabilité uiforme sur Ω Pourtat les évéemets élémetaires décrits au-dessus e sot pas de réels évéemets de otre expériece, Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - 3 -

4 puisque (,) est pas u évéemet, alors que {(,), (,)} l est (l évéemet «obteir u et u») D où l idée de développer la otio de tribu Défiitio 5 : probabilité sur (Ω,), espace probabilisé Soit Ω u esemble et ue tribu sur Ω O appelle probabilité sur (Ω,) ue applicatio P de das [,] telle que : Ω), pour toute suite ( ) d élémets de disjoits deux à deux (évéemets deux à deux icompatibles), la série P ( ) est covergete et : U ) ) N Cette derière propriété est appelée σ-additivité de P U tel triplet (Ω,,P) est alors appelé espace probabilisé Les élémets de sot alors appelés évéemets Théorème 5 : coséqueces de la défiitio d ue probabilité Soit (Ω,,P) u espace probabilisé ), Soit : ( i ) i, tel que les élémets ( i ) sot deux à deux disjoits lors : P U i i ) i i, ) ) (,, ( ( ) ) (,, ) + e particulier : (,, P ( ) + (,, ( B ) ( P ( ) + ) (,, (B ) ( \ ) ) calcul de probabilité das u esemble ifii P ( ) O admet que :, { }, permet de défiir ue probabilité sur (voir fi du paragraphe) Calculer la probabilité des évéemets : {, divise et 3 e divise pas }, B {, ou 3 e divise pas } Pour, o remarque que :, ( ) ( est pair o divisible par 3) ( est pair, o divisible par 6) Doc : ) \ 6) ) 6) Or : k, k) U{ k } ) { k } Doc : N 6 ) 63 P ( 6 Pour B, o a : B {, et 3 diviset } 6 Doc : ( 6 P k k k k ) ( ) k Théorème 53 : probabilité d ue partie fiie Soit (Ω, Ω), P) u espace probabilisé Si : Ω), et est ue partie fiie de Ω, alors : ) ω) ω rappel d u calcul de probabilité das le cas d u uivers fii et utilisatio du déombremet O cosidère le lacer de trois dés idiscerables et équilibrés et o cherche la probabilité que deux au mois des trois dés présetet des résultats égaux O utilise l uivers : Ω {,,3,,5,6} 3, (e redat les trois dés discerables) et la probabilité uiforme sur Ω Il est plus facile de chercher la probabilité que les trois dés doet des résultats différets Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - -

5 Il y a : 65 cas où cela arrive et ue probabilité égale à : Doc la probabilité cherchée est : 5 ' 9 9 p p O utilise ici le même pricipe que celui doé das le théorème 3 avec le résultat vu e sup pour les uivers Ω fiis (et pour ue probabilité uiforme) doat : Ω), card( ) ) card( ) ω) card( Ω) card( Ω) Rappel : correspodace de vocabulaire : ω probabiliste esembliste résultat possible de l expériece ω, élémet de Ω évèemet est réalisé ω implique B B ou B B et B B cotraire de ( e se produit pas) (complémetaire de das Ω) évèemet impossible évèemet certai Ω et B sot icompatibles B Théorème 5 : probabilité d ue réuio d évèemets Soit (Ω,,P) u espace probabilisé Si ( ) i est ue famille fiie de d élémets de, alors : P ) ) + + ) ( Si de plus : ( ), et si la série P ( ) coverge, alors : U ) ) Théorème 55 : cotiuité croissate et décroissate d ue probabilité Soit (Ω,,P) u espace probabilisé et soit : ( ) Si :, +, alors la suite ( )) coverge et : lim ) ) Si :, +, alors la suite ( )) coverge et : lim ) ) probabilité sur Motrer que l applicatio P défiie par :, { } N U N I N P ( ), permet de défiir ue probabilité sur Il faut d abord compredre ce que sigifie cette phrase Tout d abord, toutes les valeurs proposées sot positives Esuite, o sous-eted que la tribu autorisée est la tribu ) De plus, si P doit défiir ue probabilité sur, alors pour tout etier, le théorème motre qu o doit poser : ) k k Plus gééralemet, si est ue partie de fiie, sa probabilité est la somme des probabilités élémetaires, et si est ifiie (déombrable doc) o calcule ) à l aide d ue éumératio {x, } des élémets de E effet, si o suppose que les x doet les élémets de sous forme croissate, alors :, x, la série x coverge Si alors o ote :, {x k, k }, la suite ( ) est croissate, et : O peut aisi obteir ) comme limite des probabilités de ) U N Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - 5 -

6 U k E particulier : ) N ) lim N ) N k Efi, si (B ) est ue suite d élémets de (doc de parties de ) deux à deux disjoits, la série coverge Ce derier poit est le plus délicat à démotrer et se traite (assez bie) à l aide d ue otio hors programme que sot les familles sommables de réels Remarque : E pratique, pour vérifier qu e posat :, { } cotetera de vérifier que :, a, la série Probabilités coditioelles a coverge, et : a P ( P ( ) a, o défiit ue probabilité sur, o se Théorème 6 et défiitio 6 : probabilité coditioelle Soit (Ω,,P) u espace probabilisé Si B est u évèemet tel que : >, alors l applicatio P B défiie par :, P B ( ), est ue probabilité sur (Ω,), appelée probabilité coditioelle sachat B O otera égalemet : P B ( ), et o lira «probabilité de sachat B» covetio : Si (Ω,,P) est u espace probabilisé et si : B, avec :, alors o coviet de oter :, P B ( ) à ouveau das le cas fii Das u chapeau il y a tickets umérotés de à O tire successivemet trois tickets du chapeau Quelle est la probabilité de e tirer que des uméros pairs? Notos i l évéemet : «le i ème ticket tiré est pair» L évéemet dot o cherche la probabilité est doc : 3 lors : De même : Efi : 5 ( ) P ( ) 9 3 P ( ) 3 8 P Fialemet, la probabilité cherchée est :, qui correspod à tirer u deuxième ticket pair sachat que le premier est pair, qui correspod à tirer u troisième ticket pair sachat que les deux premiers sot pairs 3 ) P ( 3 ) ) P ( 3 ) P ( ) ) Théorème 6 : formule des probabilités composées et gééralisatio Soit (Ω,,P) u espace probabilisé Soiet et B deux évèemets de lors : P ( ) P ( ) B Plus gééralemet, pour :, et,, des évéemets de tels que : I P i, alors : i B ) Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - 6 -

7 j, I j P i, et : i P I i ) P ( ) ( ) ( ) P 3 P i Paul ivite Virgiie à dîer Sachat qu il y a ue chace sur deux qu elle accepte l ivitatio au restaurat (évéemet R), qu il y a ue chace sur trois qu elle accepte u derier verre chez lui (évéemet V) si elle accepte l ivitatio au restaurat et qu alors il y a ue chace sur ciq qu elle reste passer la uit chez lui (évéemet N) si doc elle a accepté le restaurat et le derier verre, quelle est la probabilité que Paul coclue ce soir (e égligeat les autres facteurs tels que tchatche, charme aturel, musique)? Notos : O a alors : ( R) P R ( V ), et : P R V ( N) 3 5 R V N) R) P ( V ) PR V ( N) P, R Ca est doc pas gagé pour Paul Das l histoire origielle de Berardi de Sait-Pierre, Paul ivite fialemet Virgiie à aller faire du bateau, avec la fi tragique que l o sait Défiitio 6 : idépedace d évèemets et idépedace mutuelle Soit (Ω,,P), u espace probabilisé Deux évèemets et B de sot dits idépedats si et seulemet si : ) Les évèemets d ue famille ( j ) j J quelcoque de sot dits idépedats das leur esemble ou mutuellemet idépedats si et seulemet si, pour toute partie fiie : J I, o a : P ) ) (I i i E particulier, si ( i ) i est ue famille fiie d évèemets, ils sot idépedats si et seulemet si : j < < j k, o a : P ) ) ) ( j jk j jk O repred l exemple précédet des chapeaux (u chapeau et tickets umérotés de à ) Si o tire deux tickets successivemet avec remise, obteir u ticket uméroté pair au ème tirage e déped pas de ce qu o a obteu au premier tirage E effet, e otat i l évéemet «le i ème ticket tiré porte u uméro pair», alors : 5 55 P ( ) ), et : P ( ) ) ) La deuxième probabilité est obteue avec ue probabilité uiforme sur l esemble des couples de ombres de à, modélisat aisi les deux tirages successifs (avec remise) Il y a bie idépedace «mathématique» des évéemets, cofirmat l idépedace «ituitive» qu o peut imagier Théorème 6 : caractérisatio de l idépedace de deux évèemets Soit (Ω,,P) u espace probabilisé et soit : (, Si : >, et B sot idépedats si et seulemet si : P B ( ) ) Remarque : La lecture «aïve» de cette propriété traduit l idée «ituitive» qu o se fait de l idépedace : si et B sot idépedats, la probabilité de voir se produire est la même que celle de voir se produire coaissat la réalisatio ou pas de B, autremet dit B iflue pas sur la probabilité de voir se produire Théorème 65 : lies etre les otios d idépedace Soit (Ω,,P) u espace probabilisé si :, das la défiitio précédete, o retrouve la première défiitio la coditio d idépedace pour ue famille fiie d évèemets correspod à égalités Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours i J i J

8 si des évèemets sot mutuellemet idépedats, ils sot idépedats deux à deux, mais la réciproque est fausse Remarque : O motre (voir exercices) que si et B sot idépedats alors et B le sot aussi, aisi que et B Exemples : si o cosidère u esemble : Ω {a,b,c,d}, mui de la probabilité uiforme et les évéemets : {a,d}, B {b,d}, et : C {c,d}, alors : ( ) C) P ( d ) ) B ( B C) d ) P, avec le théorème Puis : { } ) P, alors que : Mais : { }, de même pour C) et B C) ( ) C) 8 P Ils sot doc idépedats deux à deux sas être mutuellemet idépedats Les coditios précédetes correspodet bie à l idée «ituitive» qu o peut se faire de l idépedace Cosidéros e effet u lacer simultaé de deux dés à six faces, et les évéemets : : «le premier dé doe u résultat pair», B : «le secod dé doe u résultat pair», C : «la somme des deux dés est paire» lors : ( ) P Par exemple, pour il y a 3 cas favorables (,, 6) sur 6 cas au total (,,3,,5,6) De même e examiat tous les cas (36 possibilités e tout) : ( C) P, ( C) B C) P Pour C) par exemple, cela correspod aux 8 sommes favorables : ( couple : (,)), (3 couples : (,3), (,), (3,)), 6 (5 couples : (,5), (,), (3,3), (,), (5,)), 8 (5 couples : (,6), (3,5), (,), (5,3), (6,)), (3 couples : (,6), (5,5), (6,)) et ( couple : (6,6)) sur 36 cas au total possibles utremet dit les évéemets,b et C sot deux à deux idépedats Mais, toujours avec l exame de tous les cas : P ( B C) ) C) C est assez cohéret avec l approche «ituitive» qu o a des choses E effet, si et B sot réalisés (les deux dés doet chacu u résultat pair), la somme a de très fortes chaces (!) d être paire égalemet Défiitio 63 : système complet déombrable d évèemets Soit (Ω,,P) u espace probabilisé O dit que ( ) est u système complet déombrable d évèemets si et seulemet si : (i,j), (i j) ( i j ), (icompatibles deux à deux), Ω U N Cela correspod à ue partitio de l esemble Ω Remarques : Cela viet e complémet des systèmes complets fiis d évéemets das le cas d u uivers fii Das le cas d u système complet déombrable d évéemets, o peut oter :, Doc : U i B i, et la suite (B ) est croissate N lim B ) U ) Ω) lim ), i puisque les i sot disjoits deux à deux utremet dit la série P ( ) coverge et sa somme vaut i 8 Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - 8 -

9 Théorème 66 : formule des probabilités totales Soit (Ω,,P) u espace probabilisé et ( ) u système complet d évèemets telle que :, ) > lors pour tout : B, la série P ( B ) coverge et : B ) P ( ), qu o écrit parfois ecore : P ( B ) ) Exemples : toujours das le cas fii Das u chapeau se trouvet tickets umérotés de à, et o tire deux tickets de suite sas remise Quelle est la probabilité qu au deuxième tirage, le uméro tiré soit pair? O cosidère les évéemets : P k «le uméro obteu au k ème tirage est pair», pour : k, I k «le uméro obteu au k ème tirage est impair», pour : k {P, I } costitue alors u système complet d évéemets O cherche la probabilité P ), qui s obtiet doc avec : 5 P ) P ( P ) P ) + P ( P ) I) + I 9 9 P Etat doé deux ures idiscerables, das la première ure u se trouvet 3 boules Rouges et boules Noires et das la secode u se trouvet 3 boules Rouges et 5 boules Noires O choisit au hasard ue ure, puis o tire ue boule de cette ure Quelle est la probabilité que la boule tirée soit Noire? O suppose tout d abord que l ure choisie l est de faço équiprobable puis que les boules das les deux ures sot idiscerables et doc que la probabilité modélisat l extractio d ue boule est uiforme O utilise alors le système complet d évéemets : U i «l ure choisie pour le tirage est l ure uméro i», pour : i lors l évéemet : N «la boule tirée est Noire», a pour probabilité : 5 N) P ( N) U) + P ( N) U) + U U Défiitio 6 : évéemet presque sûr, évéemet égligeable Soit (Ω,,P) u espace probabilisé O dit qu u évéemet de est presque sûr lorsque : ) O dit à l iverse qu u évéemet de est égligeable lorsque : ) Le complémetaire d u évéemet presque sûr est doc u évéemet égligeable Théorème 67 : gééralisatio (système quasi complet d évéemets) Soit (Ω,,P) u espace probabilisé et ( ), ue famille d évèemets deux à deux icompatibles, telle que : P ( ) lors le résultat précédet reste valable, autremet dit pour : B, la série P ( B ) coverge et : B ) P ( ) B ) Cosidéros ue successio de lacers d ue pièce équilibrée pour laquelle o va se coteter d éocer des résultats ituitifs (le théorème garatissat l existece d ue probabilité correspodat à cette «ituitio» sera éocé et admis das le chapitre «Variables aléatoires») Les évéemets défiis par : «obteir u premier Pile au lacer», costituet, pour variat de à l ifii u système quasi complet d évéemets E effet, deux tels évéemets sot bie icompatibles deux à deux (o e peut obteir u premier Pile à la fois au lacer et au lacer p, avec : p) La probabilité «ituitive» de est (e utilisat par exemple ue variable de Beroulli) :, ) ), soit obteir ( ) Face puis Pile, Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - 9 -

10 et : P ( ) Ça e costitue pas u système complet d évéemets car u évéemet de l uivers «échappe» à la réuio, celui où l o obtiet que des Face Remarque : La situatio précédete correspod au cas où U est u évéemet certai, so complémetaire état u évéemet égligeable Théorème 68 : formule de Bayes Soit (Ω,,P) u espace probabilisé ) P ( Si et B sot des évéemets de probabilité o ulle, alors : PB ( ) Si de plus ( ) u système complet (ou quasi complet) d évèemets tel que :, ) >, alors : ) P ( B, tel que : >, o a :, PB ( ) ) P ( Cosidéros deux ures idiscerables au toucher telles que U cotiet 97 boules Blaches et 3 boules Noires, et U cotiet 98 boules Noires et boules Blaches O tire les yeux fermés ue boule das ue ure choisie au hasard et o costate qu elle est Noire Quelle est la probabilité que l ure das laquelle la boule a été tirée soit l ure U? La répose ituitive est que cette probabilité est importate puisque si o a tiré la boule de l ure U, il y a peu de «chaces» qu o ait tiré ue boule Noire Là ecore la formule de Bayes doe la répose : ( U ) U ) P, et : P U, d où o déduit qu o a effectivemet : P N 97 + i 3 98 ( N) P U ( N), ( U ) i i Chapitre 6 : Espaces probabilisés Notes de cours - -