, 2, 3, 6, 9, 18. 1,2,3,4,6,12 1, 2, 3, ,..., 90. 1, 3, 5, 15,25, 75. 1, 3, 5,

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1 Complète le tableau suivant, n'oublie pas les titres manquants des colonnes.tableau A a b diviseurs de a , 2, 3, 6, 9, 18. 1,2,3,4,6,12 1, 2, 3, , , 90. 1, 3, 5, 15,25, 75. 1, 3, 5, F E U I L L E On nomme le nombre obtenu en dernière colonne le PGCD de a et b. Donne la signification de chaque initiale : P G C D ( chaque groupe de 3 pts représente une lettre! ) Des définitions : Différence : résultat d'une soustraction. Algorithme : répétition d'un ensemble de procédures pour effectuer une tâche. Exemple, en tricot l'algorithme du jersey est «un rang de mailles à l'endroit, un rang de mailles à l'envers». Division euclidienne : division dans laquelle on utilise uniquement des nombres... Voici deux captures de feuilles de tableur qui me servent à calculer le PGCD plus rapidement en utilisant deux méthodes différentes.. Algorithme d'euclide Etape Nombre a Nombre b Reste PGCD 3 Différences successives Etape Nombre a Nombre b Différence PGCD 3 Soient a et d deux entiers. On dit que d est un diviseur de a s'il existe un entier k tel que : =k ou encore =k Tableau BComplète le tableau suivant, n'oublie pas les titres manquants des colonnes. a b c= à a, b et c , , 2, 3, Complète le tableau suivant, n'oublie pas les titres manquants des colonnes q à a, b et r , , Exemple : soit, en ligne :... =.. x. +.. et plus généralement : 6 a=b q r avec r b

2 M é t h o d e s u t i l i s é e s = 1x PGCD(18 ; 12)=PGCD(12 ; 6) = = 2x PGCD(12 ; 6) = PGCD(6 ; 6) = 13 Donc PGCD(18 ; 12) = 6. 3 PGCD(6 ; 6) = PGCD(6 ; 0) = =...x PGCD(6 ; 0) = 6. Donc PGCD(18 ; 12) = = = 7 25 =...x =...x Complète le tableau ci-dessus, n'oublie... pas -... les = titres... des colonnes, avec le numéro... =...x... correspondant + 0 à chaque calcul 2 de PGCD ci-dessous, certains sont... à -... compléter. = 1. Donc PGCD(165 ; 25) = PGCD(108 ; 135)=PGCD(108 ; 27) PGCD(108 ; 27)=PGCD(27 ; 81) Le dernier reste non nul est PGCD(... ;...)=PGCD(... ;...) 15. PGCD(... ;...)=PGCD(... ;...) PGCD(... ;...) = 27. Donc PGCD(90 ; 75) = 15. Donc PGCD(108 ; 135) = 27. Des indices pour les problèmes (en vrac) : PGCD(... ;...) = 1 Donc PGCD(45 ; 16) = 1. 4 PGCD(28 ; 35)=PGCD(28 ; 7) PGCD(28 ; 7)=PGCD(21. ; 7) PGCD(21 ; 7)=PGCD(14 ;...) PGCD(14 ; 7)=PGCD(7 ; 7) PGCD(7 ; 7) =... Donc PGCD(28 ; 35) =... Il faut diviser les deux nombres par la même quantité. la réponse est 20. certains comptent pour deux. on cherche le diviseur le plus grand possible. la réponse est 116. F E U I L L E 2 J'affirme que la fraction est irréductible. Prouvez-moi le contraire! Définitions (à compléter) : On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à... Par exemple, 45 et 16 sont premiers entre eux. Irréductible : se dit d'une fraction que Il faut pour cela que le... et le... soient... entre eux. Problèmes tableau C Voici des énoncés de problèmes que tu dois résoudre sur ton cahier en utilisant les méthodes présentes dans les documents : ➀ Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges ; tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires ; toutes les billes rouges et les billes noires sont utilisées. a) Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser? b) Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet? 2 Ecrire sous forme de fraction irréductible le nombre Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il a reçu la consigne suivante : «Découper dans ces plaques des carrés tous identiques, les plus grands possibles, de façon à ne pas avoir de perte». a) Quelle sera la longueur du côté d un carré? b) Combien obtiendra-t-il de carrés par plaques? 4 Christophe a un champ rectangulaire qu il veut clôturer. Les dimensions du champ sont, en mètres, 39 sur 135. Il veut planter des poteaux à distance régulière supérieure à 2 m et mesurée par un nombre entier en mètres. De plus, il place un poteau à chaque coin. a) Quelle est la distance entre deux poteaux? b) Combien de poteaux doit-il planter?.

3 F E U I L L E 3 Voici une liste pour te permettre de complétercertains trous dans le cours ci-dessous, des expressions peuvent servir plusieurs fois : «premiers entre eux», «différent», «PGCD», «reste», «entier(s)», «diviseur commun», «algorithme d'euclide», «premiers entre eux», «méthodes», «division euclidienne», «plus grand diviseur commun», «différence(s)» Chapitre 4... de deux entiers. 1. Diviseurs d'un nombre... Définition : Soient a et d deux... On dit que d est un diviseur de a s'il existe un... k tel que : = k ou encore = Exemple : 13 est un diviseur de 91 car =7 ou 91=13 7. Propriété 1 : Si d est un... à a et b alors c'est aussi un diviseur de la....de a et b. Exemple : 3 est un diviseur de 12 et de 27 donc c'est aussi un diviseur de : 27 12=15. Propriété 2 : Si d est un... à a et b alors c'est aussi un diviseur du...de la......de a par b.. Exemple : 5 est un diviseur commun à 165 et 25 et on a : 165= , alors 5 divise le reste qui est 15. Remarque : 5 ne divise pas le quotient qui est de deux entiers. Définition : On appelle PGCD de deux entiers le à ces deux entiers. Exemple : 15 a pour diviseurs 1, 3, 5 et 15 et 6 a pour diviseurs 1, 2, 3 et 6 donc le PGCD de 15 et 6 est 3. On note PGCD(15 ; 6) = 3. Définition : On dit que deux entiers sont si leur... est égal a 1. Exemple : 8 a pour diviseurs 1, 2, 4 et 8 et 13 a pour diviseurs 1 et 13 donc PGCD(8 ; 13) = 1. 8 et 13 sont donc de calcul du PGCD Il y a deux... qui utilisent les propriétés 1 et 2.

4 a)... successives. On utilise la propriété 1. On donne a et b deux entiers avec : a b. On utilise la propriété 2. On donne a et b deux entiers avec : a > b. On note c leur... : c= a b. Alors : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; c). Et on recommence avec les nombres b et c et leur... Le dernier nombre obtenu... de zéro est le PGCD des nombres a et b. Exemple : PGCD(14 ; 4) = PGCD(10 ; 4) car 14 4=10. on recommence : PGCD(10 ; 4) = PGCD(6 ; 4) car 10 4=6. on recommence : PGCD(6 ; 4) = PGCD(4 ; 2) car 6 4=2. on recommence : PGCD(4 ; 2) = PGCD(2 ; 2) car 4 2=2. et là on s'arrête car 2 2=0. Donc : PGCD(14;4)=2. b)... On note r le reste de la de a par b. Alors : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r). Et on recommence avec le reste de la de b par r. Le dernier reste obtenu... de zéro est le PGCD des nombres a et b. Exemple : PGCD(34 ; 6) = PGCD(6 ; 4) car 34= ou On recommence : PGCD(6 ; 4)=PGCD(4 ; 2) car 6=4 1 2 ou On recommence : PGCD(4 ; 2)=PGCD(2 ; 0) car 4= ou On s'arrête car le reste est nul. Donc : PGCD(24 ; 6) = 2. car 2 est le dernier reste non nul Le calcul du PGCD de deux nombres entiers est utilisé dans des problèmes de répartition de deux groupes d'objets, de partages communs de mesures (longueurs, masses) ou pour simplifier des fractions avec de grands nombres. Voir les exercices d'application pour des exemples. Remarque : certaines calculatrices savent effectuer les divisions euclidiennes et même peuvent directement calculer le PGCD de deux nombres. Consulter la notice pour son utilisation F E U I L L E 4

5 Intitulé:PGCD de deux entiers oui Fichier open Fichier pdf Professeur: Eric Olivier Discipline: Mathématiques Etablissement scolaire: Clg E Le Roy Bergerac Objectif: Découverte du PCGD, techniques d'obtention Niveau: 3ème Durée:3 + 2 séquences Démarche:Les deux premières feuilles sont données aux élèves pour une recherche SESA sur deux séquences. La troisième séquence, les élèves complètent le cours sur les 2 autres feuilles, toujours seul et reviennent éventuellement sur les premiers documents pour finir de les compléter. La quatrième séquence, par groupes de trois ou quatre, les élèves mettent en commun leur travail et doivent rédiger la solution complète des exercices d'application, d'autres leur sont fournis (manuel) pour prolonger le travail à la maison. Une cinquième séance collective permet de valider le cours (sans erreur) et de donner des éléments de correction pour les applications pratiques afin de valider les méthodes. Notre analyse des énoncés