Licence MIMP Semestre 1. Math 11A : Fondements de l algèbre. Exercices

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1 Licence MIMP Semestre 1 Math 11A : Fondements de l algèbre Exercices Septembre 2013

2 2 Table des matières Chapitre I. Vocabulaire de théorie des ensembles 3 1 Logique Ensembles Applications - Injections - Surjections - Bijections Dénombrement Relations d équivalence Chapitre II. Arithmétique dans Z 10 1 Divisibilité Equations diophantiennes Congruences Chapitre III. Groupes 12 1 Groupes et sous-groupes Morphismes Chapitre IV. Nombres complexes 14 1 Représentations de nombres complexes Formule d Euler Racines de nombres complexes et résolution d équations Interpretation géométrique Racines n-ième

3 3 Chapitre I. Vocabulaire de théorie des ensembles 1. Logique Exercice 1. Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s impose :,,. (1) x R, x 2 = x = 2 ; (2) z C, z = z z R ; (3) x R, x = π e 2ix = 1. Exercice 2. Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans. Exercice 3. [Le missionnaire et les cannibales] Les cannibales d une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie? (d après Cervantès) Exercice 4. Ecrire la négation des assertions suivantes, où P, Q, R, S sont des propositions. 1) P Q, 2) P et non Q, 3) P et (Q et R), 4) P ou (Q et R), 5) (P et Q) (R S). Exercice 5. Soit f une application de R dans R. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent (on ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d écrire la négation d un énoncé) : 1. Pour tout x R f(x) L application f est croissante. 3. L application f est croissante et positive. 4. Il existe x R + tel que f(x) 0. Réécrire ensuite les phrases et leur négation à l aide de quantificateurs.

4 4 CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES Exercice 6. Soient les quatre assertions suivantes : (a) x R, y R, x + y > 0 ; (b) x R, y R, x + y > 0 ; (c) x R, y R, x + y > 0 ; (d) x R, y R, y 2 > x. (1) Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses? (2) Donner leur négation. Exercice 7. Nier les assertions suivantes : 1) tout triangle rectangle possède un angle droit ; 2) dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ; 3) pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique la relation z < x + 1 ; 4) ε > 0, α > 0, x 7/5 < α 5x 7 < ε. Exercice 8. Dire, en justifiant, si les phrases suivantes sont vraies ou fausses et écrire leur négation : 1. ( x R)( n N)/(x n). 2. ( M R)/( n N)( u n M). 3. ( x R)( y R)(xy = yx). 4. ( x R)( y R)/(yxy 1 = x). 5. ( ε > 0)( N N)/( n N)( u n < ε). Exercice 9. Soit f, g deux fonctions de R dans R. Traduire en terme de quantificateurs les expressions suivantes : 1. f est majorée ; 2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ; 5. f ne s annule jamais ; 6. f est périodique ; 7. f est croissante ; 8. f est strictement décroissante ; 9. f n est pas la fonction nulle ; 10. f n a jamais les mêmes valeurs en deux points distincts ; 11. f atteint toutes les valeurs de N ; 12. f est inférieure à g ; 13. f n est pas inférieure à g. Exercice 10. Montrer par récurrence : 1. n N, n = n(n+1) 2 ; 2. n N, n 2 = n(n+1)(2n+1) 6.

5 2. ENSEMBLES 5 2. Ensembles Exercice 1. Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble : 1. A, B P(E) (A B = A B) A = B, 2. A, B, C P(E) (A B = A C et A B = A C) B = C. Exercice 2. Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E. Montrer que (A B) (B C) (C A) = (A B) (B C) (C A). Exercice 3. x, y, z étant des nombres réels, résoudre le système : { (x 1)(y 2)z = 0 (x 2)(y 3) = 0 Représenter graphiquement l ensemble des solutions. Exercice 4. Soit A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l application f de E dans l ensemble à deux éléments {0, 1}, telle que : f(x) = { 0 si x / A 1 si x A Soit A et B deux parties de E, f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d ensembles que l on déterminera : 1 f ; fg ; f + g fg. Exercice 5. Donner la liste des éléments de P(P({1, 2})). Exercice 6. Soient A, B E. Résoudre les équations en l inconnue X E 1. A X = B. 2. A X = B.

6 6 CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES 3. Applications - Injections - Surjections - Bijections Exercice 1. Soient f : R R et g : R R telles que f(x) = 3x+1 et g(x) = x 2 1. A-t-on f g = g f? Exercice 2. Soit l application de R dans R, f: x x Déterminer les ensembles suivants : f([ 3, 1]), f([ 2, 1]), f([ 3, 1] [ 2, 1]), f([ 3, 1] [ 2, 1]), f 1 (], 2]), f 1 ([1, + [), f 1 (], 2] [1, + [) et f 1 (], 2] [1, + [). Exercice 3. Soient E et F deux ensembles, f : E F. Démontrer que : A, B P(E) (A B) (f(a) f(b)) ; A, B P(E) f(a B) f(a) f(b) ; a-t-on f(a) f(b) f(a B)? A, B P(E) f(a B) = f(a) f(b) ; A, B P(F ) f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) ; A P(F ) f 1 (F \ A) = E \ f 1 (A). Exercice 4. Donner des exemples d applications de R dans R (puis de R 2 dans R 2 ) injective et non surjective, puis surjective et non injective. Exercice 5. Soit f : R R définie par f(x) = x 3 x. f est-elle injective? surjective? Déterminer f 1 ([ 1, 1]) et f(r + ). Exercice 6. Les applications suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives? f 1 : Z Z, n 2n ; f 2 : Z Z, n n f 3 : R R, x x 2 ; f 4 : R R +, x x 2 Exercice 7. Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives? 1. f : N N, n n g : Z Z, n n h : R 2 R 2, (x, y) (x + y, x y) 4. k : R \ {1} R, x x+1 x 1 Exercice 8. Soit f : R R définie par f(x) = 2x/(1 + x 2 ). 1. f est-elle injective? surjective? 2. Montrer que f(r) = [ 1, 1]. 3. Montrer que la restriction g : [ 1, 1] [ 1, 1] g(x) = f(x) est une bijection. 4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f. Exercice 9. On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A B, g : B C, h : C D. Montrer que : (g f et h g sont bijectives ) (f, g et h sont bijectives).

7 3. APPLICATIONS - INJECTIONS - SURJECTIONS - BIJECTIONS 7 Exercice 10. Soit f : X Y. Montrer que 1. B Y f(f 1 (B)) = B f(x). 2. f est surjective ssi B Y f(f 1 (B)) = B. 3. f est injective ssi A X f 1 (f(a)) = A. 4. f est bijective ssi A X f( A) = f(a). Exercice 11. Soit f : X Y. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : i) f est injective. ii) A, B X f(a B) = f(a) f(b). iii) A, B X A B = f(a) f(b) =. Exercice 12. Soit f la fonction d une variable réelle à valeurs complexes t e it. Donner un ensemble de départ et un ensemble d arrivée les plus grands possible qui rendent f bijective. Exercice 13. Soit X un ensemble. Si A X on note χ A la fonction caractéristique associée : χ A : X {0, 1}, χ A (x) = 1 si x A, 0 sinon. Montrer que Φ: P(X) F(X, {0, 1}), A χ A est bijective. Exercice 14. Soit X un ensemble et f une application de X dans l ensemble P(X) des parties de X. On note A l ensemble des x X vérifiant x / f(x). Démontrer par l absurde qu il n existe aucun x 0 X tel que A = f(x 0 ). En déduire qu il n existe pas de bijection entre X et P(X).

8 8 CHAPITRE I. VOCABULAIRE DE THÉORIE DES ENSEMBLES 4. Dénombrement Exercice 1. Démontrer que pour tous les entiers naturels 0 k p n, on a C k nc p k n k = Ck p C p n. En déduire que pour tous les entiers naturels p n, on a n k=0 C k nc p k n k = 2p C p n. Exercice 2. En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que En déduire la valeur de 0 2k n n ( 1) k Cn k = 0. k=0 C 2k n. Exercice 3. Calculer le module et l argument de (1 + i) n. En déduire les valeurs de S 1 = 1 C 2 n + C 4 n C 6 n + S 2 = C 1 n C 3 n + C 5 n Exercice 4. En utilisant la fonction x (1 + x) n, calculer : n Cn k ; k=0 n kcn k ; k=1 n k=1 1 k + 1 Ck n. Exercice 5. Soit E un ensemble á n éléments. Quel est le nombre d éléments de E P? Quel est le nombre de parties de E p.? Exercice 5. Soit E un ensemble à n éléments, et A E un sous-ensemble à p éléments. Quel est le nombre de parties de E qui contiennent un et un seul élément de A? Exercice 6. Soit E un ensemble non vide, a E et 1. Montrer que f est une bijection. f : P(E) P(E) { X {a} si a / X X X \ {a} si a X 2. On suppose désormais que E est fini et Card(E) = n. On pose P 0 (E) l ensemble des parties de E de cardinal pair et P 1 (E) l ensemble des parties de E de cardinal impair. Montrer que Card (P 0 (E)) = Card(P 1 (E)). 3. Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de n ( 1) k Cn. k k=0

9 5. RELATIONS D ÉQUIVALENCE 9 5. Relations d équivalence Exercice 1. Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant? xry yrx car R est symétrique, or (xry et yrx) xrx car R est transitive, donc R est réflexive. Exercice 2. Dans C on définit la relation R par : zrz ssi z = z. 1. Montrer que R est une relation d équivalence. 2. Déterminer la classe d équivalence de z C. Exercice 3. Dans R 2 on définit la relation R par : (x, y)r(x, y ) ssi y = y. 1. Montrer que R est une relation d équivalence. 2. Déterminer la classe d équivalence d un élément (x, y) R 2. Exercice 4. Montrer que la relation R définie sur R par : xry xe y = ye x est une relation d équivalence. Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d éléments de la classe de x modulo R.

10 10 CHAPITRE II. ARITHMÉTIQUE DANS Z Chapitre II. Arithmétique dans Z 1. Divisibilité Exercice 1. Dire en justifiant la réponse, si les énoncés suivants sont vrais ou faux. 1. Si a divise mn, a divise m ou n ; 2. Si a divise n ou a divise m, a divise mn ; 3. Si a divise mn et a ne divise pas m, a divise n ; 4. Si a divise 42n + 37 et 7n + 4, alors a divise 13. Exercice 2. Montrer que 1. Si n est un entier pair, 4 divise n 2 et si n est impair, 8 divise n Si n est impair et 3 ne divise pas n, 24 divise n divise n 5 n. Exercice 3. En divisant un nombre par 8, un élève a obtenu 4 pour reste ; en divisant ce même nombre par 12, il a obtenu 3 pour reste. qu en pensez-vous? Exercice 4. Quel est le reste de la division euclidienne de 2008 k=0 k! par 15? Exercice 5. Montrer que 1. Si a = bn + m, pgcd(a, b) =pgcd(b, m) ; 2. il n existe pas d entiers m et n tels que m + n = 15 et pgcd(m, n) = 7 ; 3. pgcd(m, m + n) divise n ; 2. Equations diophantiennes Exercice 6. Calculer pgcd(132, 60), pgcd(99099, 43928) et pgcd( 1023, 4561). Résoudre dans Z les équations : 132x + 60y = 8 ; 99099a b = 5 ; 1023x z = 1. Exercice 7. Trouver les solutions entières de l équation : 102x 18018y = 18. Combien y a-t-il de solutions telles que x et y soient compris entre 0 et 4000? Exercice 8. Résoudre dans Z l équation : 5a + 15b + 6c = 2. Exercice 9. Supposons que pgcd(a, b) = d et soit x et y tels que d = ax + by. Montrer que pgcd(x, y) = 1 et que x et y ne sont pas uniques. Exercice 10. Montrer que 1. Si pgcd(m, n) = 1, pgcd(m + n, m n) = 1 ou 2 ; 2. Si pgcd(a, n) = pgcd(a, m) = 1, alors pgcd(a, mn) = 1 ; 3. tout entier peut s écrire sous la forme 5a + 19b, a, b Z.

11 3. CONGRUENCES Congruences Exercice 11. Démontrer les propriétés suivantes : 1. Si a b (mod m) et c d (mod m), alors a + c b + d (mod m) et ac bd (mod m) (résultat du cours). 2. Si a b (mod m), alors a k b k (mod m) pour tout k N (résultat du cours). 3. Si a b (mod m) et P un polynôme à cœfficients dans Z, alors P (a) P (b) (mod m). 4. Si a b (mod m), alors pgcd(a, m) = pgcd(b, m). 5. Si a b (mod m i ), pour i = 1,..., k, alors a b (mod ppcm(m 1,..., m k )). Exercice 12. Montrer qu un entier n est divisible par : 1. 3 (resp. 9), si la somme des chiffres de n est divisible par 3 (resp. 9). 2. 5, si le chiffre des unités de n est 0 ou , si le nombre obtenu en faisant alternativement l addition et la soustraction des chiffres de n est divisible par 11. L entier est-il divisible par 495? (sans effectuer une division). Exercice 13. Trouver le chiffre des unités de et Exercice 14. Résoudre les congruences : 1. 20x 3 (mod 10) ; x 7 (mod 5) ; x 112 (mod 11). Exercice 15. Montrer qu il existe une infinité de nombres premiers de la forme 3+4k. Indications : Que peut-on dire d un nombre premier impair modulo 4? Supposer qu il y a un nombre fini de nombres premiers congrus à 3 modulo 4, soit p 1,..., p k ces nombres et considérer la décomposition en facteurs premiers de l entier n = 4p 1 p k + 3. Exercice 16. Dire en justifiant la réponse, si les énoncés suivants sont vrais ou faux. 1. pgcd(a, b).p P CM(a, b) = ab ; 2. pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c) ; 3. Le chiffre des unités de est 3 ; 4. La somme des diviseurs de 7 3 est Exercice 17. Soit p un nombre premier. Montrer que pour tout entier k tel que 1 < k < p, on a C k p 0 (mod p). (Résultat du cours). En déduire, en utilisant la formule du binôme, que si a et b sont deux entiers, on a (a + b) p a p + b p (mod p). Exercice 18. Soit p un nombre premier et a un entier. Montrer que si pgcd(a, p) = pgcd(a 1, p) = 1, alors 1 + a + + a p 2 0 (mod p). Exercice 19. Soit p et q deux nombres premiers distincts. Montrer que : p q 1 + q p 1 1 (mod pq).

12 12 CHAPITRE III. GROUPES Chapitre III. Groupes 1. Groupes et sous-groupes Exercice 1. Dans R, on définit l opération par : x y = e x+y, x+y étant la somme usuelle de deux réels. (R, ) est-il un groupe? Exercice 2. On considère R 2 muni des deux opérations et définies par : (a, b) (c, d) = (a + c, b + d), a + c et b + d étant la somme usuelle de deux réels ; (a, b) (c, d) = (ac, bd), ac et bd étant le produit usuel de deux réels. (R 2, ) et (R 2, ) sont-ils des groupes? Exercice 3. (résultat du cours) Soit G un groupe et H et K deux sous-groupes de G. 1. Montrer que H K est un sous-groupe de G. 2. Montrer que H K est un sous-groupe de G SSI H K ou K H. Exercice 4. (1) Soit m et n deux entiers non nuls. On note d = pgcd(m, n) et mz + nz = {mu + nv, u Z et v Z}. Montrer que mz + nz est un sous-groupe de Z et que mz + nz = dz. (2) 6Z 15Z est-il un sous-groupe de Z? (3) Caractériser les sous-groupes suivants : 25Z 15Z ; 4Z 6Z 8Z 15Z. Exercice 5. Montrer que l ensemble { 1+2n 1+2m ; n, m Z} est un sous-groupe de (Q,.). Exercice Soit n N. Dans Z/nZ, on définit deux opérations, appelées addition et multiplication par : a + b = a + b a.b = ab Vérifier que ces deux opérations sont bien définies, que (Z/nZ, +) est un groupe abélien et que (Z/nZ,.) n est pas un groupe (résultat du cours). 2. Ecrire la table d addition et de multiplication de Z/nZ, dans les cas : n = 3, 4, 5, Montrer que dans Z/nZ muni de la multiplication, un élément a est inversible ssi pgcd(a, n) = 1. On notera (Z/nZ) l ensemble des éléments de Z/nZ inversibles pour la multiplication. Montrer que ((Z/nZ),.) est un groupe abélien (résultat du cours). 4. Les éléments 11 et 100 sont-ils inversibles pour la multiplication dans Z/121Z? Si oui, déterminer leurs inverses. 5. Déterminer le cardinal de (Z/7Z), (Z/8Z) et (Z/30Z).

13 2. MORPHISMES Morphismes Exercice 7. Soit l application f: Z Q n 2n. Montrer que f est un homomorphisme de groupes. Déterminer ker f, Imf et f 1 (N). f est-elle injective? surjective? Exercice 8. Soit A = {z R; a Z, b Z, z = a + b 2}. 1) Montrer que A est un sous-groupe de (R, +). 2) Montrer que pour tout élément z A, il existe un unique entier a et un unique entier b tels que z = a + b 2. 3) On considère l application f : A Q \ {0} définie par : Si z = a + b 2 A, f(z) = 2 a. (a) Montrer que f est un morphisme du groupe (A, +) dans le groupe (Q \ {0}, ). (b) Déterminer kerf. (c) f est-elle injective? surjective? bijective? Exercice 9. (1) Décrire les éléments du groupe symétrique S 3. (2) Montrer que pour tout σ S 3, l ensemble σ := {σ k k Z} (où σ n = σ σ (n fois) pour n N ; σ 0 = Id S3 ; σ n = σ 1 σ 1 (n fois) pour n N ) est un sous-groupe de S 3 différent de S 3. (3) Montrer que les groupes Z/6Z et S 3 ne sont pas isomorphes. Exercice 10. Soit (G, ) un groupe et l application f : G G x x 2 = x x. Montrer que f est un endomorphisme de groupes si et seulement si G est abélien. Exercice 11. Soit (G,.) un groupe et H une partie non vide et finie de G. Montrer que si x y H, pour tout x, y H, alors H est un sous-groupe de G.

14 14 CHAPITRE IV. NOMBRES COMPLEXES Chapitre IV. Nombres complexes 1. Représentations de nombres complexes Exercice Ecrire sous la forme a + ib le nombre complexe de module 2 et d argument π Calculer le module et la détermination principale de l argument des nombres complexes : 1, 2, i, 1 + i (1 + i 3) 6 3, 1 + i, (1 + i) 4. Exercice 2. Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les nombres : 3 + 6i 3 4i ; ( ) 1 + i i 2 i 3 4i ; 2 + 5i 1 i + 2 5i 1 + i. Exercice 3. Déterminer l ensemble des nombres complexes z tels que : 1. z 3 z 5 = 1 ; 2. z 3 2 z 5 = 2. Exercice 4. Soit z 1, z 2 C, montrer que z 1 + z z 1 z 2 2 = 2 z z 2 2. Exercice 5. Soit z C tel que 1 + iz = 1 iz, montrer que z R. 2. Formule d Euler Exercice 6. En utilisant les nombres complexes, calculer cos 5θ et sin 5θ en fonction de cos θ et sin θ. Exercice 7. Calculer les sommes : S 1 = n k=1 cos kx et S 2 = n k=1 sin kx, x R. Exercice Vérifier que pour tout x R, on a exp(ix) 1 = 2i exp ( ) ( ix 2 sin x ) Soit n N. Calculer pour tout x R la somme : Z n = 1 + exp(ix) + exp(2ix) + + exp((n 1)ix), et en déduire les valeurs de X n = 1 + cos(x) + cos(2x) + + cos((n 1)x) Y n = sin(x) + sin(2x) + + sin((n 1)x). Exercice 9. Soit z C tel que z + 1 z naturel n, on a z n + 1 z = 2 cos nθ. n = 2 cos θ, θ R, montrer que pour tout entier

15 3. RACINES DE NOMBRES COMPLEXES ET RÉSOLUTION D ÉQUATIONS15 3. Racines de nombres complexes et résolution d équations Exercice 10. Déterminer les racines carrées de 3 4i, 1, i, 3 + 4i, 8 6i et i. Exercice 11. Calculer les racines carrées de 1+i 2. En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). Utilser la même méthode pour calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). Exercice 12. Pour z C \ {2i}, on pose : f(z) = 2z i z 2i. 1. Résoudre l équation z 2 = i, z C. 2. Résoudre l équation f(z) = z, z C \ {2i}. Exercice 13. Résoudre dans C les équations : 1. z 2 (11 5i)z i = 0 ; 2. z 2 + z + 1 = 0 ; 3. z 2 (5 14i)z 2(5i + 12) = 0 ; 4. z 4 (1 i)z 2 i = 0 ; 5. x 4 30x = 0 ; 6. z 3 + 3z 2i = z 4 + 4z 3 + 6z 2 + 4z 15 = 0 Exercice 14. On note j = e 2iπ Mettre j et j 2 sous forme algébrique. 2. Vérifier que 1 + j + j 2 = Factoriser le polynôme z 3 8i. Exercice 15. Pour tout nombre complexe Z, on pose P (Z) = Z Factoriser P (Z) et en déduire les solutions dans C de l équation P (Z) = Déduire de 1. les solutions de l équation d inconnue z : ((2z + 1)/(z 1)) 4 = 1 Exercice 16. Déterminer les racines cubiques de 2 2i. Exercice 17. Résoudre dans C les équations suivantes : 1. z 3 = 1 ; 2. z 4 = 1 ; 3. z 3 = 1 ; 4. z 4 = (1 i) / ( 1 + i 3 ) ; 5. z 7 = z, z étant le conjugué de z. Exercice Calculer les racines n-ièmes de i et de 1 + i. 2. Résoudre z 2 z + 1 i = En déduire les racines de z 2n z n + 1 i = 0. Exercice 19. Soit z 1,..., z n les racines n ièmes de l unité. Calculer z z n et z 1 z n.

16 16 CHAPITRE IV. NOMBRES COMPLEXES 4. Interpretation géométrique Exercice 20. L application f : C \ {0} C, z z + 1/z est-elle injective? surjective? bijective? Donner l image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1. Donner l image réciproque par f de la droite ir. Exercice 21. Le plan P est rapporté à un repère orthonormé et on identifie P à l ensemble des nombres complexes C par M(x, y) x + iy = z, où z est appelé l affixe de M. Soit g: P P qui à tout point M d affixe z 1 associe g(m) d affixe z = 1 z 1+z. (1) Calculer z + z pour z = 1. (2) En déduire l image du cercle de rayon 1 de centre 0 privé du point de coordonnées ( 1, 0) par l application g. 5. Racines n-ième Exercice 22. Soit n N, U n = {z C; z n = 1} et V n = {z C; z n = 1}. U n et V n sont-ils des sous-groupes de (C,.)? Exercice 23. Soit n N et U n = {z C; z n = 1}. On considère l application f : Z U n k e 2ikπ n Montrer que f est un morphisme surjectif de groupes. Déterminer ker f. f est-elle injective?