Calcul formel Calcul modulo un polynôme. SALSA - LIP6/Université Paris 6

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1 Calcul formel Calcul modulo un polynôme Guénaël Renault SALSA - LIP6/Université Paris 6

2 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 2/38 Part I Introduction - Motiviation

3 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 3/38 Calcul modulo C est le moyen de représenter les structures mathématiques en informatique et de faire du cacul exact : Calcul Formel! Résolution de problèmes géométriques (géo. - alg.) Utilisation des groupes en combinatoire Théorie algorithmique des nombres, cryptologie...

4 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 4/38 Calcul modulo un polynôme en une variable Il faut bien commencer par une variable! Pourquoi? Représentation symbolique de solutions Représentation de structures mathématiques (applications). Exemples importants : Représentation des corps finis (théorie de l information). Représentation des solutions issues de la géométrie. Représentation des corps de nombres et de fonctions.

5 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 5/38 Part II Euclide et l arithmétique

6 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 6/38 Arithmétique : quelques définitions importantes Soit A un anneau (commutatif avec unité). L arithmétique dans A c est étudier la notion de divisibilité dans cet anneau. Définitions anneau intègre divisibilité idéal (exemple : a b aa ba) élément inversible (éléments associés) élément irréductible élément premier a, b A, pgcd(a, b)

7 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 7/38 Décomposition d Euclide en général Un anneau A factoriel si A intègre a A non nul et non inversible, on a une décomposition unique (association près) de la forme a = i p vp(a), p irréductibles Arithmétique de base possible ici! Le PGCD peut être défini. Exemple : Z, Z[X]

8 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 8/38 Bézout et anneau principal Soient a,b et c trois éléments de A. Ils sont en relation de Bézout si ca = aa + ba et dans ce cas nous avons c = pgcd(a, b) Réciprocité? les idéaux de type fini sont principaux suffit! Anneau principal intègre tout idéal est principal (monogène) Contre-exemple important : Q[X, Y] n est pas principal! A[X] principal ssi A est un corps.

9 Anneaux euclidiens : où l on commence à faire des calculs! Comment calculer le pgcd et la relation de Bézout? Anneau euclidien intègre Il existe une application φ : A R + tq pour tout a, b 0 dans A on peut trouver q et r vérifiant a = bq + r division euclidienne avec φ(r) < φ(b) Algorithme d Euclide étendu. euclidien principal factoriel Comment faire des calculs si non euclidien? Bases de Gröbner, à suivre! UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 9/38

10 Euclide : le monde parfait! UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 10/38 A = Q[X] P irreductible K (pgcd(a, b)) = (a) + (b) A = (1) = (X + 1) + (X + 5) A = Z p entier premier {1, 1} (pgcd(a, b)) = (a) + (b) A = (1) = (3) + (2)

11 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 11/38 Extensions de corps et espace vectoriel Définition-Propositions Soit L K deux corps. L est appelé extension de K. Le degré de L sur K (noté [L : K]) correspond à la dimension de L en tant que K-ev. Si L et K sont finis L = K n où n = [L : K]. Montrer que si M L K et {e i } est une base de M sur L et {f j } une base de L sur K alors {e i f j } est une base de M sur K. En déduire le degré de M sur K.

12 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 12/38 Part III Racines d un polynôme et rupture

13 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 13/38 Polynômes : racines Définition Soit P A[X] un polynôme. Un élément α de A est une racine de P si P(α) = 0. Théorèmes Lorsque A est un corps on a Si α est une racine de P alors P = (X α)q(x). Si P est de degré n alors P a au plus n racines. on compte avec les multiplicités.

14 Polynômes : racines UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 14/38 Problème Comment calculer formellement avec les racines d un polynôme irréductible de K[X]? Exemple : X 2 3 Q[X] a pour racine α = 3. Comment un ordinateur peut-il manipuler α pour calculer ( 3 1) 1 par exemple? Calcul formel.

15 Polynômes : racines Rupture On construit le plus petit sur-corps K(α) de K contenant α : K(α) = {P(α) : P K[X]} Représentation On a la construction formelle (P irréductible) par isomorphisme : K(α) = K[X]/(P) α est représenté par la classe de X modulo P. On ne peut distinguer algébriquement les racines de P. Les éléments de K(α) sont de la forme k 0 + k 1 α + + k n 1 α n 1 où n est le degré de P. Faire des calculs dans Q( 3) revient a calculer modulo X 2 3 dans Q[X]! UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 15/38

16 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 16/38 A retenir et point vue vectoriel Soit P un polynôme irréductible de K[X]. K[X] est principal P engendre un idéal maximal L = K[X]/(P) est un corps (extension de K). K[X]/(P) K[α] où α est une racine (indistinguable) de P. Du point de vue vectoriel L est engendré par 1, α,..., α d 1 où d est le degré de P. Exemple : C = R[X]/(X 2 + 1)

17 Calcul formel UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 17/38 Exemple : X 2 3 a pour racine α = 3. Comment un ordinateur peut-il manipuler α pour calculer ( 3 1) 1 par exemple?

18 Calcul formel UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 17/38 Exemple : X 2 3 a pour racine α = 3. Comment un ordinateur peut-il manipuler α pour calculer ( 3 1) 1 par exemple? A l aide de la construction précédente, calculer ( 3 1) 1 revient à calculer l inverse de X 1 dans Q[X]/(X 2 3). Pour ça on utilise Euclide pour trouver une relation de Bézout :

19 Calcul formel UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 17/38 Exemple : X 2 3 a pour racine α = 3. Comment un ordinateur peut-il manipuler α pour calculer ( 3 1) 1 par exemple? X 2 3 = X(X 1) + X 3 X 1 = 1(X 3) + 2 X 3 = 1 (X 3)

20 Calcul formel UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 17/38 Exemple : X 2 3 a pour racine α = 3. Comment un ordinateur peut-il manipuler α pour calculer ( 3 1) 1 par exemple? X 2 3 X(X 1) = X 3 X 1 1(X 3) = 2 2 = (X 1) (X 2 3) + X(X 1)

21 Calcul formel UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 17/38 Exemple : X 2 3 a pour racine α = 3. Comment un ordinateur peut-il manipuler α pour calculer ( 3 1) 1 par exemple? 1 = 1 2 (X + 1)(X 1) 1 2 (X2 3) ( 3 1) 1 = 1 2 ( 3 + 1)

22 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 18/38 Part IV Représentation régulière des nombres algébriques

23 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 19/38 Matrice de multiplication Représentation des nombres algébriques à l aide d une matrice. Corps de nombres - Q-espace vectoriel Soit K = Q[X]/(P) un corps de rupture de degré n et α une racine de P (image de X dans le quotient). K est un Q-espace vectoriel de degré n Une base de K est donnee par {1, α,..., α n 1 }. Exemple : P(X) = X 2 2 α = 2 K = Q[α] = Q[X]/(P) K = Q 1, 2

24 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 20/38 Matrice de multiplication Représentation des nombres algébriques à l aide d une matrice. K est un Q-ev de dimension n de base {e 1,..., e n }. Proposition-Défintion Soit ω = ω i e i K, la multiplication par α est un endomorphisme du Q-ev K. M ω : K K a aω Sa représentation matricielle M ω = (ω i,j ) est donnée par : ou encore n ωe j = a i,j e i i=1 ω(e 1,..., e n ) = (e 1,..., e n )M ω

25 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 21/38 Matrice de multiplication Représentation des nombres algébriques à l aide d une matrice. K est un Q-ev de dimension n de base {e 1,..., e n }. Propriétés M ab = M a M b M a dépend de la base choisie Une fois la base fixée on a un morphisme d algèbre F : K M n a M a Faire des calculs avec les nombres algébriques revient à faire de l alèbre linéaire.

26 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 22/38 Matrice de multiplication Représentation des nombres algébriques à l aide d une matrice. K est un Q-ev de dimension n de base {e 1,..., e n }. Invariants Soit a K on définit La trace de a : Tr(a) := Tr(M a ) La norme de a : N(a) := Det(M a ) Pour b K et λ Q on a Tr(a + b) = Tr(a) + Tr(b) Tr(λa) = λtr(a) N(ab) = N(a)N(b) N(λa) = λ n N(a) La trace est linéaire. La norme est multiplicative, homogène de degré n.

27 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 23/38 Anneau des entiers Entier algébrique Soit a K. L élément a est un entier algébrique s il existe un polynôme unitaire à coefficients dans Z annulant a. Théorème Un élément a K est un entier algébrique ssi le polynôme charactéristique de M a est unitaire à coefficients entiers. Le polynôme charactéristique de M a : P a (t) = det(ti n M a ) est annulateur de a (c est aussi son polynôme charactérisque). Les matrices à coeffcients entiers sont stables par addition et multiplication : c est bien un anneau!

28 Anneau des entiers de Q[ d] UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 24/38 Exemple : on cherche l anneau des entiers de Q[ d] pour d Z {0, 1} un entier sans carré.

29 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 25/38 Part V Corps finis

30 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 26/38 Corps finis : définition A partir des corps premiers F p = Z/pZ on veut pouvoir construire des corps de même caractéristique p mais de cardinal plus grand. On utilise la rupture Définition Soit P un polynôme irréductible de degré n F p n := F p [X]/(P)

31 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 27/38 Corps finis : résultats Théorèmes F p n est de cardinal p n. Pour tout p premier et tout entier n > 0 il existe un polynôme irréductible de degré n dans F p. Exemple : F p = Z/2Z et P = X 2 + X + 1 F 4 = F 2 [X]/(X 2 + X + 1) Si on note ω une racine de P (image de X modulo P) on a : F 4 = {0, 1, ω, ω + 1}

32 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 28/38 Comment les représenter? Il existe approximativement q k /k polynômes irréductibles de degré k sur F q. Lemme(Gauss) Soit P un polynôme de degré d dans F q et p i les premiers divisant d. P est irréductible ssi pgcd(p, X qd/p i X) = 1 i P divise X qd X Choix des polynômes important pour arithmétique efficace Trinôme ou pentanôme unitaires irréductibles, problème ouvert en tout degré (ok pour d < 10000).

33 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 29/38 Calculs dans F q Addition et multiplication : on utilise les algos sur le l anneau de base et on applique les réductions Division = Inversion : Euclide!

34 Calculs dans F q Inversion en carac 2 de f modulo m de deg d (Brunner et al.). u := 1 ; v := 0 ; s := m ; δ := 0 for i := 1 to 2d do i f f d = 0 then f := Xf ; u := Xu mod m ; δ++ else i f s d = 1 then s := s f ; v := v u mod m end i f s := Xs i f δ = 0 then t := f ; f := s ; s := t t := u ; u := v ; v := t u := Xu mod m δ := 1 else u := u/x mod m ; δ end i f ; end i f ; UPMCend - Masterfor STL - ; Calcul Formel /07 30/38

35 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 31/38 Part VI Corps finis - représentation par base normale - Syst. Lin.

36 Base normale et multiplication Définitions Un élément α de F p k est dit normal si α, α p,..., α pk 1 sont linéairement disjoints. {α, α p,..., α pk 1 } est une base de l ev F p k sur F p dite normale. Facilite le calcul de β p (shift) dans cette représentation (notamment en caractéristique 2 pour l exponentiation). Difficile de multiplier : utilisation d une matrice de multiplication Matrice de multiplication T = (t i,h ) telle que k 1 α pi α pj = t i j,h j α ph Si u et v sont représentés dans cette base alors w = uv est donné par h=0 w h = (u h, u h+1,..., u h+k 1 )T(v h, v h+1,..., v h+k 1 ) t (indices mod k) Exemple : calcul d une matrice de multiplication par réduction de Gauss. UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 32/38

37 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 33/38 Multiplication et inversion pour un degré donné modéré a = a 0 + a 1 θ + a 2 θ 2 et b = b 0 + b 1 θ + b 2 θ 2 Multiplication : Karatsuba Inversion : pré-calcul par algèbre linéaire Exemple en degré 3.

38 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 34/38 Part VII Application : NFS light

39 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 35/38 Number Field Sieve : crible algébrique On utilise un nouveau concept dans QS, celui du calcul avec une racine d un polynôme. Idée de base pour factoriser n en criblant: On considère f Z[X] et α une racine de f. On va cribler dans l anneau Z[α] et dans Z/nZ simultanément. Lumière φ : Z[α] Z/nZ a 1,..., a k Z[α] de produit un carré γ 2 Z[α] φ(a 1 ),..., φ(a k ) Z/nZ de produit un carré v 2 Z/nZ u 2 := φ(γ) 2 = φ(a 1 a k ) = φ(a 1 ) φ(a k ) = v 2 mod n Comment trouver des carrés dans Z[α].

40 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 36/38 Number Field Sieve : crible algébrique Comment choisir f et φ? Constantes d = 5 (heuristique) m = n 1/d On écrit n en base m, pour n suffisament grand on aura : n = m d + c d 1 m d c 0 f = X d + c d 1 X d c 0 φ : a = a 0 +a 1 α+ +a d 1 α d 1 t = a 0 +a 1 m+ +a d 1 m d 1 t mod n

41 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 37/38 Number Field Sieve : crible algébrique Que cherche-t-on? Les couples recherchés On considère les éléments a bα Z[α]. On cherche un ensemble E de couples (a, b) d entiers étrangers l un de l autre tels que En effet on aura alors (a,b) E (a,b) E (a bα) = γ 2, γ Z[α] (a bm) = v 2, v Z φ(γ) 2 = v 2 mod n

42 UPMC - Master STL - Calcul Formel /07 38/38 Number Field Sieve : crible algébrique Crible? Ce que l on crible On considère la norme F(a, b) := N(a bα) = b d f (a/b) et la fonction G(a, b) = a bm On cherche des couples (a, b) tels que le produit F(a, b)g(a, b) soit B smooth Par algèbre linéaire on reconstruit des carrés (on double la longueur des vecteurs, les premiers de F(a, b) d un coté, ceux de G(a, b) de l autre. Pas si simple que ca! La condition sur la norme ne suffit pas a dire que l on a un carré dans Z[α] mais on peut s arranger!.