Probabilité. Il y a deux fois plus de bijoux argentés que de bijoux dorés. Soit x le nombre de bijoux dorés. On a donc x + 2x = 90 donc x = 30

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1 2 nde Eléments de correction du DNS 15 du 12 Mai 2015 Objectifs : réviser en vue de l évaluation aborder un problème ouvert Probabilité Une étudiante fabrique chaque semaine un petit stock de bijou fantaisie qu elle vend en fin de semaine afin de s assurer quelques revenus. Sa production hebdomadaire de bijou se répartit comme suit : 20 % de boucles d oreilles, 40 % de colliers et 40 % de bracelets. Chaque bijou est réalisé soit en métal argenté, soit en métal doré. Il y a deu fois plus de bijou argentés que de bijou dorés. Elle fabrique autant de colliers argentés que de colliers dorés. Trois quarts des bracelets sont argentés. 1. Compléter le tableau suivant sachant qu elle fabrique chaque semaine 90 bijou fantaisie : 20 % de boucles d oreilles d où un nombre de boucles d oreilles égal à : 40 % de colliers d où un nombre de colliers égal à : Idem pour le nombre de bracelets donc à donc à Il y a deu fois plus de bijou argentés que de bijou dorés. Soit le nombre de bijou dorés. On a donc + 2 = 90 donc = 30 Elle fabrique autant de colliers argentés que de colliers dorés. Or il y en tout 36 colliers. On en déduit qu il y a 18 colliers de chaque sorte. Trois quarts des bracelets sont argentés, d où un nombre de colliers argentés égal à 3 36 soit 27 4 Colliers Bracelets(B) Boucles d oreilles Total Argentés(A) Dorés Total Pour se rendre sur son lieu de vente, elle range en général sa production en vrac dans une mallette. Elle prend au hasard un bijou dans celle-ci. a) Calculer la probabilité des événements suivants : A : «le bijou pris est argenté» ; B : «le bijou pris est un bracelet». p ( A ) = = 2 p ( B ) = 36 = 0,4 ( voir aussi l énoncé : «40 % de colliers») 3 90 b) Décrire par une phrase l événement A B puis calculer sa probabilité. A B : «le bijou pris est un bracelet argenté» p ( A B ) = = 0,3 c) Décrire par une phrase l évènement A B puis déduire sa probabilité des résultats précédents. A B : «le bijou pris est un bracelet ou est argenté» p ( A B ) = p ( A ) + p(b) - p ( A B ) = ,4 0,3 = ,1 = ( avec les résultats 3 30 précédents) autre méthode : en utilisant le tableau à double entrée : p ( A B ) = = = d) Décrire par une phrase l évènement A puis calculer sa probabilité.

2 A : «le bijou pris n est pas argenté» p ( A ) = 1 p ( A ) = = Il lui arrive parfois de ranger séparément les bijou argentés et les bijou dorés. C est le cas cette fois-ci. Elle prend, toujours au hasard, un objet mais cette fois-ci dans la partie de la mallette contenant les bijou dorés. a) Quelle est la probabilité p 1 que le bijou pris soit un bracelet? p 1 = 9 30 = 0,3 b) Quelle est la probabilité p 2 que le bijou pris ne soit pas un collier? p 2 = = = 0,4 Problème ouvert Un bijou a la forme d un rectangle de 3 cm sur 4 cm. Il comporte un trou également rectangulaire. Pour que ce bijou soit harmonieu, il faut et il suffit que l aire de la partie pleine, en métal, et l aire de la partie vide soient égales. La largeur de la partie pleine est égale à. (Voir figure ci-contre.) 1. Aider le fabricant en lui donnant la valeur de Remarque : on pourra utiliser les résultats obtenus avec un logiciel de calcul formel 2. a) A quel intervalle I appartient la variable? Justifier. appartient à ] 0 ; 1,5 [ En effet, il faut que 2< 3 et 2< 4 soit < 1,5 et < 2 De plus est une distance qui ici ne peut être nulle (vu qu il faut une partie pleine) 4 donc I = ] 0 ; 1,5 [ b) Un élève a eprimé en fonction de, l aire en cm 2, f() de la partie vide et l aire en cm 2, g() de la partie en métal. Ses réponses sont consignées dans le tableau ci-dessous. Retrouver en justifiant soigneusement votre réponse, les epressions respectives de chaque aire L aire, en cm 2, de la partie vide est égale à l aire d un rectangle de largeur (3 2) et de longueur (4 2) donc f () = (3 2) (4 2) = f() = L aire en cm 2, de la partie pleine est égale à la différence entre l aire du 3

3 rectangle de côtés 3 cm et 4cm et l aire de la partie vide. On a donc g() = 3 4 f () = 12 ( ) = g() = c) Conjecturer avec la calculatrice la largeur de la partie métallique pour que le bijou soit harmonieu. puis ZOOM Auto Il semble que le bijou est harmonieu pour = 0,5 d) Montrer que f () = g () équivaut à ( = 0 et I ) f () = g() équivaut à = et I = 0 et I = 0 et I e) Justifier que pour tout réel : = (8 4)( 3) Pour tout réel : (84) ( 3) = = f) Résoudre alors l équation : f () = g (). La conjecture émise à la question 3. est-elle vérifiée? Epliquer D après la question 4) f () = g() équivaut à ( = 0 et I) Or d après la question 5) = (8 4) ( 3) On a donc à résoudre : (8 4) ( 3) = = 0 ou 3 = 0 = 0,5 ou = 3 Or ] 0 ; 1,5 [ donc la seule solution est = 0,5. Le bijou est harmonieu si et seulement si l aire de la partie pleine, en métal, et l aire de la partie vide soient égales, c est-à-dire si et seulement si f () = g(). Vu le résultat précédent ceci se produit lorsque est égal à 0,5 cm. Ceci confirme la conjecture trouvée avec la calculatrice.

4 2. Ce bijou est réalisé en alliage. 75 % du volume est de l or pur. L or pur a une masse volumique de 19,3 g/cm 3 et vaut /kg. On pose : = 0,5. Quelle épaisseur maimale le bijou doit-il avoir pour que le pri de l or nécessaire à la fabrication n ecède pas 250 euros? (on donnera une valeur approchée à 0,01 cm près) Soit e l épaisseur, en centimètres, de ce bijou. a) Eprimer en fonction de e le poids, en grammes, d or entrant dans la composition du bijou. Ce bijou a un volume, en cm 3, égal à e g (0,5) (puisque g() est l aire, en cm 2, de la partie en métal) Or g (0,5) = 4 0, ,5 = 6 Donc le volume de métal est de 6ecm 3. De plus, 75 % de ce volume est de l or pur, donc le volume d or pur, en cm 3, est de 0,75 6e soit 4,5e. L or pur ayant une masse volumique de 19,3 g/cm 3, on en déduit que la masse de ce bijou en or est de :19,3 4,5e grammes soit (86,85e) grammes. b) Quelle épaisseur maimale le bijou doit-il avoir pour que le pri de l or nécessaire à la fabrication n ecède pas 250 euro? (on donnera une valeur approchée à 0,01 cm près) La masse de ce bijou en or est de 86,85e grammes. Au pri de /kg, on obtient le pri de ce bijou en euros : ,85e 0,001 = 1997,55e On cherche e, tel que : 1997,55e 250 e ,55 Or ,55 0,1252 donc l épaisseur maimale recherchée serait de 0,12 cm (valeur approchée par défaut à 0,01 près)

5 Soit ABCD un parallélogramme, et I le milieu de [CD]. On se place dans le repère (A ; AB ; AD ). Géométrie et repérage 1. a) Donner sans justifier les coordonnées de A, B, C et D. A ( 0 ; 0 ) B ( 1 ; 0 ) C ( 1 ; 1 ) D ( 0 : ; 1) b) Calculer les coordonnées de I. C D 1 0 I 2 I y C y D I 1 2 yi yi yi d où I ( 1 2 ; 1) 2. Soit E le point défini par CE = 2 BI - DC. Déterminer les coordonnées de E, puis le placer sur la figure. I B 1 BI BI yi y B 1 2 donc 2 1 BI 2 1 de même on a DC 0 donc 2 BI - 11 DC 2 BI - 2 DC or E 1 CE ye 1 Ainsi CE = 2 BI - DC équivaut à E 1 2 y 1 2 E E 1 ye 3 d'où E ( 1 ; 3 ) 3. Soit le point F de coordonnées ( 0,5 ; y). Déterminer le réel y pour que les droites (AF) et (BE) soient parallèles, puis le placer sur la figure. les droites (AF) et (BE) soient parallèles donc les vecteurs AF et BE sont colinéaires Or AF 0,5 0 BE 1 1 AF y 0 0,5 y 3 0 BE 2 3 Première méthode : les coordonnées de AF et BE sont proportionnelles donc ( 0,5) 3 = ( 2) y 1,5 = 2 y y = 0,75 Seconde méthode (plus longue) Il eiste donc un réel k tel que AF = k BE 0,5 2k 0,25 k 0,25 k y 3k y 3k y 0,75 j i 4. Soit G le point de coordonnées ( 1 ; 2). Les points E, F et G sont-ils alignés? 8 Cherchons si les vecteurs EF et EG sont colinéaires

6 EF 0, ,75 3 EG EF 0,5 2,25 EG Cherchons si les coordonnées de ces deu vecteurs sont proportionnelles XY = 0,5 ( 5) = 2,5 X Y = ( 2,25) 9 8 = 2,5325 On a donc XY X Y On peut donc affirmer que les coordonnées des vecteurs EF et EG ne sont pas proportionnelles, donc EF et EG ne sont pas colinéaires d'où les points E, F et G ne sont pas alignés j i