Ch.12 : Loi binomiale

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1 4 e - programme mathématiques ch.12 - cours Page 1 sur 5 1 RÉPÉTITION D'EXPÉRIENCES INDÉPENDANTES Lancer plusieurs fois un dé et noter les résultats successifs. Ch.12 : Loi binomiale Prélever des pièces sur une chaîne de fabrication et vérifier si elles sont conformes. Demander à personnes de choisir s'ils trouvent cette peinture de Delaunay (ci-contre) agréable ou désagréable à regarder. Toutes ces situations peuvent se modéliser par la répétition d'expériences identiques et indépendantes. Cette modélisation peut s'appuyer sur une représentation sous forme d'arbres pondérés. Cette représentation fonctionne suivant le principe multiplicatif : la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 2 ÉPREUVE DE BERNOULLI, SCHÉMA DE BERNOULLI Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : pile ou face, oui ou non, gagner ou perdre, etc. On note S (succès) et E (échec) les deux issues d'une épreuve de Bernoulli, et on pose p(s) = p et p(e) = q = 1 p. La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes s'appelle un schéma de Bernoulli. DÉFINITION 1 Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli à n épreuves, p désignant la probabilité d'obtenir le succès dans chaque épreuve. La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Notation : Cette loi est notée (n ; p). On lance trois fois de suite une pièce truquée, telle que la probabilité d'obtenir face soit 0,3. On s'intéresse au nombre de fois où on obtient face. On appelle S (pour «succès») l'événement «obtenir face à un lancer» et E (pour «échec») l'événement contraire. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de succès. X suit une loi binomiale de paramètres n et p, avec n = 3 et p = 0,3. On réalise un arbre pondéré (ci-contre) et on en déduit la loi de probabilité de X, en appliquant le principe multiplicatif. On convient par exemple de noter SEE la succession d'un succès et de deux échecs. p(x = 0) = p(eee) = 0,7 3 ; p(x = 1) = p(see) + p(ese) + p(ees) = 3 0,3 0,7 2 ; p(x = 2) = p(sse) + p(ses) + p(sse) = 3 0,3 2 0,7 ; p(x = 3) = p(sss) = 0,3 3. Exercice corrigé : Utiliser un arbre pondéré pour déterminer la loi d'une variable aléatoire Dans un salon automobile, un agent commercial propose deux modèles A et B de voitures. Lorsqu'un visiteur prend rendez-vous avec l'agent, on admet que : il achète un modèle A avec une probabilité p(a) = 0,1 ; il achète un modèle B avec une probabilité p(b) = 0,2 ; il n'achète rien avec une probabilité p(c) = 0,7. Deux clients prennent rendez-vous dans la journée. On considère que leurs attitudes sont indépendantes. 1) a) Construire un arbre pondéré décrivant la situation. b) Déterminer la probabilité de vendre deux voitures A. 2) La vente d'une voiture A rapporte au vendeur 500 euros de commission et celle d'une voiture B lui rapporte 300 euros. On appelle X la commission obtenue par le vendeur à la fin de la journée. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

2 4 e - programme mathématiques ch.12 - cours Page 2 sur 5 b) Calculer l'espérance de X. Interpréter le résultat obtenu. Solution : Méthode : 1) a) Les épreuves (définies par le comportement de chaque client) sont identiques (la probabilité de vendre chaque modèle est toujours la même) et indépendantes (les attitudes des clients sont indépendantes). On réalise donc un arbre pondéré. On repère, dans l'énoncé, les éventuelles hypothèses permettant d'identifier une succession d'expériences identiques et indépendantes. b) p(aa) = 0,1 0,1 = 0,01. On utilise le principe multiplicatif. 2) a) X peut prendre comme valeurs : 1 000, 800, 600, 500, 300 ou 0. p(x = 1 000) = p(aa) = 0,01 ; p(x = 800) = p(ab) + p(ba) = 0,02 + 0,02 = 0,04 ; p(x = 600) = p(bb) = 0,04 ; p(x = 500) = p(ac) + p(ca ) = 0,07 + 0,07 = 0,14 ; p(x = 300) = p(bc) + p(cb) = 0,14 + 0,14 = 0,28 ; p(x = 0) = p(cc) = 0,49. On associe à chaque valeur prise par X les chemins qui lui correspondent dans l'arbre, puis on utilise le principe multiplicatif. b) E(X) = 0 0, , ,14 + 0, , , = 200. Sous les hypothèses adoptées, le vendeur peut espérer une commission moyenne sur un grand nombre de jours de 200 euros par jour. 3 LOI BINOMIALE 3.1 Coefficients binomiaux On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p. DÉFINITION ET THÉORÈME Soit n et k deux entiers naturels tels que 0 n. On appelle coefficient binomial et on note n le nombre de chemins dans l'arbre pondéré menant à k l'événement (X = k), c'est-à-dire le nombre de chemins réalisant k succès parmi n épreuves répétées. Pour tout entier k tel que 0 n, la loi de probabilité de X est : p(x = k) = n pk (1 p) n k. Démonstration : Il y a n chemins menant à l'événement (X = k) ; chacun comporte k succès et n k échecs, ce qui correspond, en appliquant le principe multiplicatif, à une probabilité de p k q n k pour chacun de ces chemins. Représentation graphique : d'une loi binomiale avec p = 0,4 et n= 10. Le «bâton» associé, par exemple à la valeur x = 4, correspond à la probabilité d'obtenir 4 succès (et donc 6 échecs!) parmi les 10 épreuves. Remarque : Le nombre n se lit «k k parmi n».

3 4 e - programme mathématiques ch.12 - cours Page 3 sur Propriétés des coefficients binomiaux PROPRIÉTÉS 1 Symétrie : on a, pour 0 n : n = n n k. Triangle de Pascal : on a, pour 0 n : n + n k n + 1 k + 1. Démonstration du triangle de Pascal : On considère un schéma de Bernoulli à n + 1 épreuves. Il y a, par définition, n + 1 k + 1 chemins qui mènent à l'événement (X = k + 1). Ces chemins se décomposent en deux parties disjointes : ceux qui commencent par un succès : l'arbre représentant les épreuves suivantes (de la deuxième à la dernière) est alors un arbre de n épreuves, où il reste à choisir k succès : il y a donc n chemins de ce type possibles. ceux qui commencent par un échec : l'arbre représentant les épreuves suivantes (de la deuxième à la dernière) est alors un arbre de n épreuves, où il reste à choisir k + 1 succès : il y a donc n k + 1 chemins de ce type possibles. On obtient ainsi : n + n k + 1 = n + 1 k + 1. Illustration du triangle de Pascal : k n Espérance et variance de la loi binomiale PROPRIÉTÉ 2 On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p. L'espérance de X est : E(X) = np. La variance de X est : V(X) = np(1 p). Démonstration : Cette propriété est admise Exercice corrigé : Reconnaître une loi binomiale La «javanaise des jeux» propose à ses clients une tombola, sous la forme de tickets à acheter. La probabilité qu'un ticket commercialisé soit gagnant est de 0,2. Un client tire au hasard de façon indépendante dix tickets et les achète. On appelle X la variable aléatoire dénombrant les tickets gagnants parmi les dix achetés par ce client. 1) a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Représenter graphiquement la loi de probabilité de X. 2) Calculer l'espérance de X. Interpréter ce nombre. Autre présentation : Solution : Méthode : 1) a) On est en présence d'une série d'épreuves identiques et indépendantes : acheter un ticket et examiner s'il est gagnant. X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2. On a donc, pour 0 10 : p(x = k) = 10 0,2 k 0,8 10 k. On a donc le tableau suivant, en arrondissant les valeurs à 0,01 près : On doit repérer les mots clés comme identiques, répétition, indépendantes, puis repérer le nombre d'épreuves n et la

4 4 e - programme mathématiques ch.12 - cours Page 4 sur 5 k p(x = k) 0,11 0,27 0,30 0,20 0,09 0,03 0, Les valeurs 0 dans le tableau ne correspondent pas à des probabilités nulles, mais à des arrondis à 0,01 près nuls). probabilité de succès p. b) On peut alors appliquer la formule du cours. On obtient le tableau en calculant les combinaisons grâce à la calculatrice, par exemple Un diagramme à bâtons permet de visualiser la loi binomiale. 2) On a E(X) = 10 0,2 = 2. Sur un grand nombre d'achats de «lots» de dix tickets, on peut espérer avoir en moyenne 2 tickets gagnants sur ÉCHANTILLONNAGE 4.1 De quoi s'agit-il? On considère une expérience aléatoire On applique la formule de l'espérance vue dans le cours. et on note p(a) la probabilité d'un événement A donné. On pense pouvoir affirmer que la probabilité p(a) prend une valeur connue p. Comment décider que cette affirmation est «raisonnable» ou pas? On lance une pièce. On appelle A l'événement : «obtenir pile». Compte tenu des procédés de fabrication de la pièce, de sa forme, et du fait qu'elle est neuve, on pense qu'elle est équilibrée. On est donc conduit à affirmer que p(a) = 1 2. Avec les notations ci-dessus, la valeur supposée p de p(a) est donc égale à 1 2. Mais comment savoir si un vice de fabrication, par exemple, ne met pas cette hypothèse en défaut? Pour examiner «l'hypothèse p(a) = p», on réalise l'expérience aléatoire un certain nombre de fois, et on mesure la fréquence f d'apparition de l'événement A. Si les valeurs de f et de p sont «trop éloignées», en un sens que l on précise ci-dessous, on rejettera l'hypothèse. Ce rejet ne peut pas être fait «à coup sûr» : il faut fixer une «marge d'erreur», ou «seuil». On fixera le seuil de 95 %, ce qui signifie que la probabilité de rejeter l'hypothèse p(a) = p, alors qu'elle est vraie, ne doit pas dépasser 5 %. Fluctuations de la fréquence de succès pour 100 échantillons d'une loi binomiale de paramètres p = 0,4 et n = Le principe de la méthode L'expérience On réalise n fois l'expérience aléatoire et on note f la fréquence d'apparition de l'événement A Le modèle On peut modéliser l'expérience par une épreuve de Bernoulli : le succès correspond à l'événement A, et l'échec à l'événement contraire A de A. La répétition de cette épreuve n fois, de façon indépendante, est modélisée par un schéma de Bernoulli à n épreuves. On appelle X la variable aléatoire dénombrant les succès obtenus au cours des n épreuves. Si on suppose que p(a) = p, la loi de probabilité de X est la loi binomiale (n ; p), de paramètres n et p. Si on pose Y = X, alors la variable aléatoire Y correspond à la «fréquence théorique» d'obtention du succès n

5 4 e - programme mathématiques ch.12 - cours Page 5 sur 5 au cours des n épreuves (Y est égal au nombre de succès obtenus, divisé par le nombre d'épreuves). On peut alors comparer la fréquence observée expérimentalement avec cette «fréquence théorique» Comparaison entre modèle et résultat expérimental On examine si la fréquence observée f appartient à «l'intervalle de fluctuation à 95 %» associé à la loi binomiale (n ; p). Si tel n'est pas le cas, l'hypothèse p(a) = p est rejetée, avec une probabilité inférieure à 0,05 de réaliser un rejet par erreur. Commentaire La méthode est basée sur la comparaison empirique-théorique : le résultat d'une expérience (fréquence mesurée, empirique) est comparé au résultat obtenu à partir d'un modèle (loi de probabilité, théorique). 4.3 Prise de décision à l'aide d'une loi binomiale DÉFINITION 2 L'intervalle de fluctuation à 95 %, associé à une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n et p, est l'intervalle k 1 n, k 2 n, ou k 1 et k sont les deux entiers naturels définis par : 2 k 1 est le plus petit des entiers k vérifiant p(x k) > 0,025 ; k 2 est le plus petit des entiers k vérifiant p(x k) 0,975. On considère une variable aléatoire X suivant la loi binomiale de paramètres 100 et 1. Cette variable 2 aléatoire modélise 100 lancers d'une pièce de monnaie équilibrée. À l'aide d'un tableur, on détermine les valeurs de p(x k) pour tous les entiers k entre 0 et 100. L'écran ci-contre propose les valeurs de k en colonne A, celles de p(x k) en colonne B. Les valeurs copiées depuis ce tableau en colonnes D et E permettent d'affirmer : k 1 = 40 et k 2 = 60. Ainsi, l'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la variable aléatoire X est : I = , 60 = [0,4 ; 0,6]. 100 Remarque : À l'aide de la calculatrice, on peut obtenir le calcul des valeurs de p(x k). Voir les fiches Calculatrices, pages 395 et 397. CRITÈRE DE DÉCISION On veut examiner l'hypothèse p(a) = p. Soit f la fréquence d'apparition observée de l'événement A dans un échantillon d'expériences répétées de taille n. On désigne par I l'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la loi binomiale de paramètres n et p. Si f I, on accepte l'hypothèse. Si f I, on rejette l'hypothèse avec une probabilité inférieure à 5 % de rejeter une hypothèse pourtant vraie. On a lancé 100 fois une pièce de monnaie, et le côté pile est apparu 65 fois ; on s'interroge sur la nature équilibrée de la pièce. Tester si la pièce est équilibrée, c'est tester l'hypothèse que la sortie de «pile» a une probabilité égale à 0,5. On a vu ci-dessus que l'intervalle de fluctuation à 95 % associé à la loi binomiale (100 ; 0,5) est I = [0,4 ; 0,6]. La fréquence observée d'apparition de piles sur les 100 lancers effectués est de 0,65, et on a : 0,65 I. On rejette donc l'hypothèse d'une pièce équilibrée.

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