Stabilité des massifs fracturés Didier Hantz

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1 GEOTECHNIQUE 4 ème année Cours d'ngénere des roches Stablté des massfs fracturés Dder Hantz Premère parte Méthodes d'équlbre lmte 1. Introducton à la théore des blocs 2. Identfcaton des blocs amovbles 3. Détermnaton des modes d nstablté potentels 4. Stablté d'un bloc au glssement 5. Stablté d'un bloc au basculement 6. Stablté d'un ensemble de blocs Deuxème parte Méthodes d'éléments dscrets (dapostves) Année unverstare

2 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 2 Dans la premère parte de ce cours d ngénere des roches, on étude la stablté des blocs rocheux défns par les dscontnutés naturelles du massf. Par la sute, on tratera des nstabltés dues à la rupture du matérau rocheux. 1. INTRODUCTION A LA THEORIE DES BLOCS 1.1. OBJECTIF Dans les massfs rocheux fracturés, de nombreuses ruptures complexes sont déclenchées par le mouvement d'un smple bloc (le bloc clé) défn par des dscontnutés préexstantes. Dans certans cas, le danger potentel est représenté par un seul bloc, de talle mportante (exemple de Malpasset). Il sufft donc de le stablser pour empêcher la rupture. Goodman et Sh ont proposé une théore permettant de détermner les blocs clés pour n'mporte quel type de surface rocheuse (talus, cavté souterrane, surface naturelle) et pour des forces actves quelconques. Cette théore du bloc clé est présentée dans ce chaptre, ans que la méthode d'analyse de stablté à l'équlbre lmte. De plus, quelques mécansmes de rupture fréquents, fasant ntervenr des nteractons entre blocs, sont analysés MODELISATION DU MASSIF ROCHEUX Le massf rocheux est délmté par des surfaces lbres planes (plans d'excavaton) et découpé en blocs par des dscontnutés planes fermées (jonts). Les jonts sont réparts en famlles de plans parallèles. La stuaton de ces plans dans l'espace n'est généralement pas connue. Un plan d'excavaton délmte 2 dem-espaces : un dem-espace vde et un dem-espace rocheux. Un jont délmte 2 dem-espaces rocheux, notés 0 et 1 (0 pour celu qu est au-dessous, 1 pour celu qu est audessus). La matrce rocheuse est supposée suffsamment résstante pour qu'l n'y at pas de rupture des blocs METHODOLOGIE La méthode proposée peut être décomposée en tros phases (fgure 1.1). La premère consste à dentfer les blocs amovbles (ou déplaçables), c'est à dre les blocs pouvant être déplacés par rapport au massf. Pour une surface d'excavaton donnée (consttuée d'un ou pluseurs plans), ces blocs sont défns par rapport aux famlles de jonts qu les délmtent. Pour cette étape, seules des données géométrques sont nécessares. La deuxème phase consste à détermner les blocs potentellement nstables, c'est à dre ceux qu peuvent géométrquement se déplacer sous l'effet d'une force actve donnée, ans que les modes d'nstablté correspondant. La connassance de la résultante des forces actves s'exerçant sur les blocs amovbles est nécessare. D'autres forces que les pods propres des blocs dovent éventuellement être consdérées (forces hydrostatques notamment). Fnalement, l'analyse de stablté permet de détermner les blocs effectvement nstables. Elle tent compte des résstances au csallement des dscontnutés sur lesquelles un glssement potentel a été dentfé. Cette analyse permet auss de calculer la force nécessare pour stablser les blocs nstables OUTILS DE LA THEORIE DES BLOCS L'dentfcaton des blocs amovbles et la détermnaton de leurs modes d'nstablté nécesste de défnr précsément l'ensemble des drectons possbles de déplacement d'un bloc. Pour cela, Goodman et Sh ont ntrodut les notons de pyramde de jonts et de pyramde d'excavaton (fgure 2.1). Ces pyramdes (défnes dans un espace vectorel) représentent des ensembles de drectons lmtées par un ou pluseurs plans. Elles sont obtenues en translatant les plans de jont ou d'excavaton pour les fare passer par un même pont et peuvent être représentées en projecton stéréographque. D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

3 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte Pyramde d excavaton La pyramde d excavaton assocée à une surface rocheuse convexe (PE) est l ntersecton des dem-espaces rocheux défns par les plans d excavaton (ces derners sont nclus dans la PE). Elle représente l'ensemble des drectons non affleurantes ssues d'un pont quelconque du massf (c'est à dre l'ensemble des drectons qu ne recoupent pas la surface lbre). La noton de pyramde d'excavaton est llustrée dans un espace à deux dmensons sur la fgure 2.1. Remarque : l'orgne du repère de l'espace vectorel ne représente pas une drecton et n'appartent donc pas à la pyramde d'excavaton Pyramde des jonts Les famlles de dscontnutés du massf rocheux défnssent, dans l'espace vectorel, des pyramdes appelées pyramdes de jonts (PJ). Ces pyramdes devennent des dèdres s'l n'y a que deux famlles, et des demespaces s'l n'y en a qu'une. Pour dstnguer les deux dem-espaces défns par une famlle non vertcale, on notera 0 pour le dem-espace nféreur et 1 pour le dem-espace supéreur. Les 4 PJ défnes par deux famlles sont notées 00, 01, 10 et 11. Un bloc correspondant à la PJ 01 est donc lmté vers le haut par un jont de la famlle n 1 et vers le bas par un jont de la famlle n 2. En général, tros famlles de jonts défnssent 8 PJ, notées 000, 001, 010. La pyramde de jonts assocée à un bloc (PJ) est l ntersecton des dem-espaces ntéreurs au bloc, défns par les jonts délmtant ce bloc (ces derners sont nclus dans la PJ). Un bloc fn comportant une seule face lbre a donc une PJ délmtée par au mons 3 plans. Un bloc comportant 2 faces lbres a une PJ délmtée par au mons 2 plans. La PJ d'un bloc représente l'ensemble des drectons ssues d'un pont quelconque du bloc, qu n'ntersectent aucun plan de jont. Autrement dt, elle représente l'ensemble des drectons de mouvement possbles du bloc, par glssement ou ouverture des jonts. 2. IDENTIFICATION DES BLOCS AMOVIBLES 2.1. THEOREME Une pyramde de jonts (PJ) et une pyramde d'excavaton (PE) défnssent une famlle de blocs, ayant la même forme mas des talles dfférentes. Ces blocs sont amovbles s les deux condtons suvantes sont remples (théorème de Sh): PJ PE = PJ La premère condton sgnfe que ces blocs sont fns. En effet, s'l exstat une drecton ssue d'un pont quelconque d'un bloc, qu n'ntersecte pas les jonts ( PJ) n la surface lbre ( PE), ce bloc serat nfn, donc non amovble. La seconde condton sgnfe que les blocs ne sont pas enfermés par des jonts, c'est à dre qu'un mouvement serat possble par ouverture ou csallement de ceux-c. La PJ représente donc l'ensemble des drectons de mouvement possbles pour ce bloc (l ne peut pas y avor fermeture des jonts). En pratque, cette condton est remple pour toute PJ représentée sur un stéréogramme. Il peut exster pluseurs PJ telles que PJ PE =. La réunon de pluseurs PJ adjacentes (c'est-à-dre qu ont un jont en commun) défnt de nouveaux types de blocs, qu dovent être consdérés dans l'analyse de stablté, en plus des types défns par chaque PJ. Ces nouveaux blocs détermnent le plus gros volume amovble, mas pas forcément le plus crtque. La réunon de 2 PJ adjacentes ayant en commun un jont est désgnée en affectant le chffre 2 au jont. Par exemple, la réunon des PJ 110 et 111 donne la PJ 112, qu est dentque à la PJ 11 obtenue s on ne consdère pas la 3 famlle de jonts. Blocs à faces parallèles Les pyramdes de jonts, telles que défnes jusqu'c, permettent d'dentfer des blocs amovbles, dont le déplacement mplque l'ouverture d'au mons un des jonts qu les délmtent. Mas certans blocs amovbles ne peuvent pas être détectés de cette manère. Il s'agt des blocs comportant deux faces parallèles, qu ne peuvent bouger que parallèlement à celles-c. Leur mouvement est généralement plus dffcle que celu des autres blocs, car la contrante normale aux deux faces parallèles augmente avec le déplacement s les jonts sont dlatants, ce qu a pour effet d'augmenter la résstance au csallement. Pour les détecter, l faut D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

4 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 4 applquer le théorème de Sh aux facettes qu délmtent les PJ, qu sont en fat des PJ bdmensonnelles. Ans la facette qu délmte les PJ 000 et 010 est appelée la PJ 030. Blocs cylndrques ou quas-cylndrques S l'ntersecton d'une PJ avec la PE se rédut à une drote ou un plan, l n'y a théorquement pas de bloc amovble, mas la PJ défnt des blocs cylndrques nfns parallèles à la surface lbre. Dans le cas d'une galere ou d'un talus de grande longueur, l est peu probable, en pratque, qu'l n'exste pas de dscontnutés découpant ces blocs en blocs amovbles. De plus, s la longueur est suffsante, les contrantes de csallement aux extrémtés peuvent provoquer la rupture de la matrce rocheuse. Cela est vra également s PJ PE représente un angle solde très pett, c'est à dre une surface rédute sur la projecton stéréographque (blocs nfns quas-cylndrques). Pour un talus rectlgne comportant une seule famlle de jonts de même azmut et de pendage conforme et nféreur à la pente du talus, on consdère généralement qu'un glssement peut se produre s les azmuts des jonts et du talus dffèrent de mons de VOLUME DES BLOCS Dans l'analyse de stablté, l peut être nécessare de connaître le volume des blocs clés. Lorsque l'on étude un projet d'excavaton, on connaît généralement l'orentaton des famlles de jonts, mas pas la poston des jonts. On consdère alors l'hypothèse la plus défavorable, qu consste à supposer que les jonts sont placés de manère à découper les plus gros blocs possbles. Les volumes maxma sont détermnés à partr des dmensons de la surface lbre (hauteur d'une paro, largeur d'une cavté,...) et des orentatons des jonts: les angles des faces des blocs peuvent être mesurés sur un stéréogramme et reportés sur un dessn à l'échelle, sur lequel les dmensons manquantes peuvent être détermnées. Le volume V d'une pyramde est donné par la formule: V = BH / 3 H étant la hauteur et B la surface de base CAS DES SURFACES ROCHEUSES CONCAVES Dans le cas d'une surface lbre concave, la PE est la réunon des dem-espaces rocheux défns par les plans d'excavaton. Les blocs pouvant se détacher d'une surface d'excavaton concave sont donc forcément dentfés s on consdère séparément les plans d'excavaton (en revanche, s on consdérat séparément les plans formant une surface convexe, on rsquerat d'oubler les blocs amovbles les plus crtques). Mas pour défnr le plus gros bloc, l faut consdérer la surface concave dans son ensemble. La voûte d'un tunnel pourrat être modélsée par un grand nombre d'éléments plans. Il faudrat alors détermner les PJ défnssant des blocs amovbles pour chaque élément, pus dvser la voûte en partes correspondant à une même PJ, et enfn détermner les blocs les plus gros pour chaque parte. En pratque, on recherche drectement les partes de la voûte qu peuvent donner des blocs amovbles avec les dfférentes pyramdes de jonts. Pour cela, on examne successvement les PJ qu ne contennent pas l'axe du tunnel (ces dernères ont nécessarement une ntersecton avec toutes les PE), et on cherche les PE les plus grandes qu les contennent. Dans le cas général, ces PE sont lmtées par des arêtes de PJ EXEMPLES Massf découpé par 3 famlles de jonts a. Sol horzontal b. Tot d'une cavté souterrane c. Paros vertcales d'une cavté d. Talus et surface horzontale D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

5 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 5 Remarque Dans le cas d'un massf lmté par un talus et une surface horzontale, l est possble de n'utlser que l'ntéreur du cercle de référence pour détermner la PJ (ou la réunon de pluseurs PJ) défnssant le volume nstable maxmal. 3. DETERMINATION DES MODES D INSTABILITE POTENTIELS 3.1. MODES D'INSTABILITE Un bloc peut se mettre en mouvement par translaton ou par rotaton (ou basculement). Les mouvements translatonnels se répartssent en tros modes. Le décollement: tous les jonts délmtant le bloc s'ouvrent. Le glssement sur un plan: le bloc glsse sur un seul des jonts qu le délmtent, les autres jonts s'ouvrent. Le glssement sur deux plans (ou glssement dèdre): le bloc glsse sur deux des jonts qu le délmtent, les autres jonts s'ouvrent. La méthode présentée au paragraphe 3.2 permet de détermner lequel de ces modes d'nstablté rsque d'affecter un bloc amovble défn par une PJ. Le mode d'nstablté par basculement est analysé au paragraphe MODES D'INSTABILITE PAR TRANSLATION Notatons. n : vecteur untare normal au jont, drgé vers l'extéreur du bloc étudé (ne dot donc pas appartenr à la pyramde de jont) w j : vecteur untare de l'ntersecton des 2 jonts et j d'une pyramde de jonts, drgé dans le sens où le mouvement du bloc est possble (w j PJ). Remarque: s la PJ d'un bloc amovble n'est délmtée que par 2 plans, le mouvement est possble dans les 2 drectons de l'ntersecton, notée w + j (vers le haut) et w - j (vers le bas). R : résultante des forces actves s'exerçant sur le bloc R : projecton de R sur le plan (s R est le pods du bloc, R sut la lgne de plus grande pente du plan ) s : vecteur untare de la drecton du mouvement (s appartent nécessarement à la PJ) Remarque: en projecton de l'hémsphère nféreur (foyer supéreur), la drecton vertcale ascendante est rejetée à l'nfn. Une pyramde qu la content est représentée par un domane nfn stué à l extéreur d un trangle curvlgne Décollement La condton nécessare et suffsante pour que le mode d'nstablté potentel sot le décollement est: R PJ Cela sgnfe que R tend à ouvrr tous les jonts délmtant le bloc. La drecton du mouvement potentel est alors celle de R. Remarque: s R appartent à un ou pluseurs des jonts qu délmtent la PJ, l n'y a pas décollement au sens strcte, mas glssement sans frottement sur ces jonts Glssement sur un plan La condton nécessare et suffsante pour que le mode d'nstablté potentel sot le glssement sur le jont est: R (w j, w k, n ) ou: R au dem-espace côté PJ, défn par le jont, et R PJ D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

6 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 6 Cela sgnfe, d une part, que R tend à fermer le jont, d autre part, que R est comprs entre les ntersectons w j et w k (le glssement dans la drecton R n est pas "dévé" par un autre plan). La drecton du mouvement potentel est alors celle de R. Remarque 1: lorsque la PJ est défne par seulement 2 jonts (cas d'un dèdre), le domane (w j, w k, n ) devent un dèdre drot délmté par le dem-plan (w j +, n, w j - ) et le dem-plan qu délmte la PJ (vor fgure 4.1). Remarque 2: s la seule force actve est le pods du bloc amovble, R est parallèle au vecteur pendage (ou à la lgne de plus grande pente) du plan. Il sufft alors de regarder s celu-c appartent à la PJ Glssement sur deux plans La condton nécessare et suffsante pour que le mode d'nstablté potentel sot le glssement sur les jonts et j (dans la drecton w j ) est: R (n, n j, w j ) Remarque: lorsque la PJ est défne par seulement 2 jonts (cas d'un dèdre), le glssement sur ces jonts peut se fare dans deux drectons opposées, correspondant aux deux trèdres (n, n j, w j + ) et (n, n j, w j - ) Stablté S R n'appartent à aucun des domanes défns précédemment, le bloc est stable. R tend à fermer tous les jonts délmtant le bloc Remarques pratques En pratque, on n'envsage pas toutes les drectons possbles pour la force R. Il n'est donc pas nécessare de détermner les domanes correspondant à tous les modes d'nstablté possbles. S la drecton de la force résultante R est connue de manère certane (par exemple, s on ne consdère que le pods des blocs), l sufft de trouver dans quel domane elle se stue. S elle n'est pas connue de manère certane, on effectue une étude paramétrque en envsageant l'ensemble des drectons vrasemblables. Dans les cas smples, le mode d'nstablté peut être détermné ntutvement en vsualsant la géométre des blocs (mentalement ou à l'ade d'un schéma). Il peut être ensute vérfé en utlsant les condtons données c-dessus. Dans le cas smple d'un bloc découpé par deux jonts dans un talus et soums seulement à son pods, le mode d'nstablté est le glssement sur un plan s l'un des vecteurs pendage des jonts appartent à la PJ EXEMPLES Surface lbre horzontale Talus 3.4. INSTABILITE PAR BASCULEMENT La condton pour que le basculement d'un bloc sot possble est que la dem-drote portant la résultante des forces actves ntersecte une face lbre du bloc. En effet, dans ce cas, la réacton exercée par le massf ne peut pas être portée par la même drote que la résultante actve et les jonts sont soums à des moments fléchssants. Dans le cas smple d'un bloc paralléléppède reposant sur un plan nclné d'un angle α et soums à son seul pods, la condton de basculement potentel est : Y/X > cotgα Y étant la hauteur du bloc et X son épasseur. D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

7 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 7 4. STABILITE D'UN BLOC AU GLISSEMENT 4.1. INTRODUCTION Notatons (fgures 4.1 et 4.3) R : résultante des forces actves s'exerçant sur le bloc étudé (c'est en général une donnée du problème) R t : composante de R dans la drecton de glssement potentel; R t = R cos(r,s), avec s // R ou s // w j R n : composante de R normale à la drecton de glssement potentel; R n = R sn(r,s) R n : composante de R n sur la normale au plan ; R n = R n cos(r,n ) T: réacton parallèle à la drecton de glssement potentelle (opposée à R t ) N : réacton normale au plan (opposée à R n ) Hypothèses La réacton normale N n'a pas de lmte (le bloc ne peut pas s'enfoncer dans le massf), donc : N = R n La réacton T est lmtée par les résstances au csallement des plans de glssement potentels. T T max S ces résstances obéssent au crtère de Coulomb : T max = (N tg + c A ), c : angle de frottement et cohéson du plan A : are de la surface de glssement sur le plan Are d'un trangle dont les côtés ont des longueurs a, b et c, et les angles opposés à ces côtés valent respectvement α, β et γ : A = (a b snγ) / Condton de stablté S R t < T max, T = R t ; le bloc est stable. S R t = T max, T = R t = T max ; le bloc est en équlbre lmte. S R t > T max, T = T max ; le bloc se met en mouvement. Tant que le bloc glsse sur le ou les même(s) plan(s), l'équaton du mouvement est : M x" = R t T dyn avec M : masse du bloc; x" : accélératon; T dyn : résstance dynamque au csallement, T dyn = N tg dyn L'angle de frottement dynamque dyn est nféreur à l'angle de frottement statque Quantfcaton de la stablté On utlse le plus souvent le coeffcent de sécurté F, défn par : F = T max / R t (rapport de la force résstante maxmale moblsable à la force motrce). Un bloc est stable s son coeffcent de sécurté est supéreur à GLISSEMENT SUR UN PLAN Cas général (fgure 4.1) R t = R cos(r,r ) = R sn(r,n ) R n = R cos(r,n ) = N T max = R n tan + c A F = T max / R t En explctant, on obtent : R cos( R, n )tan c A F R sn( R, n ) S la cohéson est nulle : F tan tan( tan tan( R, n ) R, n ) ca R sn( R, n ) D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

8 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 8 Il s'ensut que la condton de stablté (F>1) s'écrt : ( R, n) <. Cela sgnfe que la résultante R dot être stuée dans un cône d'axe n et d'angle Ф (cône de frottement). La représentaton stéréographque de ce cône et de la résultante des forces actves permet une analyse graphque de la stablté, ans que le calcul du coeffcent de sécurté Glssement dû au seul pods du bloc (fgure 4.2) S W est le pods du bloc, R = W. (R,n ) est égal au pendage du plan de glssement. Wcosψ tanφ ca tanφ ca F = Wsn ψ tan ψ Wsn ψ S la cohéson du plan de glssement est nulle, tan F = tan S la résstance au csallement obét au crtère lnéare de Coulomb ( ndépendant de N ), le coeffcent de sécurté ne dépend pas du pods du bloc Glssement dû au pods et aux forces hydraulques La force V résultant des pressons ntersttelles s'exerçant sur une surface de glssement, lu est perpendculare et dmnue l'effort normal sur celle-c et, par conséquent, sa résstance au csallement. Dans les études de dmensonnement de talus, on admet généralement que celu-c est drané et que la presson est nulle à l'ntersecton d'un plan de glssement et du talus. On admet également que la conductvté hydraulque du plan de glssement est constante, ce qu mplque que la charge hydraulque, et donc la presson, vare lnéarement le long de celu-c. La force V est alors donnée par le produt de la presson moyenne par la surface du plan de glssement. De plus, on consdère souvent que le bloc amovble est lmté, en amont, par une fracture vertcale ouverte, susceptble de se remplr d'eau sur une certane hauteur h w. La presson dans celle-c augmente lnéarement avec la hauteur d'eau, pour attendre la valeur maxmale: u max = w h w La force U résultant de cette presson se décompose en une composante motrce, dans la drecton du mouvement potentel, et une composante normale, qu dmnue l'effort normal sur le plan de glssement Problème plan Lorsque le bloc susceptble de glsser a une forme prsmatque et que les forces actves sont perpendculares à l'axe du prsme, l'analyse peut se fare en plan, en consdérant une tranche de 1 m d'épasseur. Les forces hydraulques U et V sont alors données par les expressons : U = w h w 2 / 2 et V = w h w L / 2 où L est la longueur du plan de glssement Surface de glssement avec pont rocheux Il arrve que le plan de glssement potentel comporte des ponts rocheux, qu ont une cohéson beaucoup plus élevée que celle du reste du jont. La force résstante est alors la somme des résstances du pont rocheux et du reste du jont Glssement avec pont rocheux dans un jont sollcté en tracton Le problème est alors hyperstatque. La méthode la plus smple consste à supposer que la force exercée par le pont rocheux est parallèle à la drecton du glssement du bloc. D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

9 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte GLISSEMENT SUR DEUX PLANS ET j Cas général (fgure 4.1 et 4.3) R t = R cos(r,w j ) R n = R sn(r,w j ) R n = N et R nj = N j sont données par les équatons suvantes : R n sn(r n,n j ) = R n sn(n, n j ) R n sn(r n,n ) = R nj sn(n, n j ) F = T max / R t avec T max = (N tg + c A ) Glssement dû au seul pods du bloc, sur deux plans sans cohéson et de même angle de frottement (fgure extrate de Hoek et Bray) R t = W cos(w,w j ) = W sn j R n = W sn(w,w j ) = W cos j j étant l'nclnason de l'ntersecton des deux plans. On obtent une expresson smple du coeffcent de sécurté, en ntrodusant les angles et, qu représentent respectvement l'ouverture du dèdre de glssement (angle entre les deux plans dans la pyramde de jonts) et son déversement (défn sur la fgure 4.4) : sn tan F = sn( tan j Les angles et peuvent être détermnés en représentaton stéréographque (fgure 4.5). tan F est toujours plus grand que, coeffcent de sécurté pour le glssement sur un plan de pendage j. tan j Le coeffcent de sécurté est d'autant plus fable que le dèdre est ouvert et déversé Glssement dû au pods et aux forces hydraulques (fgure extrate de Panet et Rotheval) Analyse graphque du glssement sur deux plans R peut être décomposée en 2 composantes s'exerçant sur les plans et j et appartenant respectvement aux plans (n, w j ) et (n j, w j ). A l'équlbre lmte, le frottement est moblsé sur les 2 plans. Les composantes de R sur chacun des plans appartennent alors respectvement au cône de frottement du plan correspondant. Le domane de stablté est donc lmté par les deux cônes et par le plan défn par les ntersectons respectves de ces cônes de frottement avec les plans (n, w j ) et (n j, w j ). 5. STABILITE D'UN BLOC AU BASCULEMENT Coeffcent de sécurté = Moment résstant maxmal moblsable / Moment moteur Bloc reposant sur un jont de résstance en tracton nulle : s le moment moteur tend à ouvrr le jont, celu-c ne peut opposer aucun moment résstant et le bloc est nstable. Bloc reposant sur un jont de résstance en tracton non nulle : le jont est sollcté d'un côté en tracton, de l'autre en compresson. 6. STABILITE D'UN ENSEMBLE DE BLOCS L'analyse de stablté d'un bloc nécesste de connaître la résultante des forces actves s'exerçant sur celu-c. Or, dans certans cas, les blocs amovbles sont soums à des forces actves exercées par d'autres blocs. L'analyse de stablté dot alors concerner pluseurs blocs. Un exemple smple est celu du glssement à deux D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

10 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 10 blocs, dans lequel un bloc, dt passf, est nstable à cause de l'acton exercée par un deuxème bloc, dt actf. Une analyse de stablté du bloc passf, ne prenant en compte que son pods, conclurat à sa stablté. Des méthodes d'analyse à l'équlbre lmte ont été développées pour étuder quelques mécansmes partculers d'nteracton entre blocs. Théorquement, les méthodes d'éléments dscrets (décrtes dans un autre chaptre) permettent de détecter systématquement ce type d'nstablté GLISSEMENT FRACTIONNE Une masse rocheuse peut glsser sur une surface polyédrque en se déformant. Le plus souvent, la déformaton se produt par csallement de dscontnutés préexstant dans la masse rocheuse. S les forces motrces sont dans un même plan vertcal, le problème peut être traté en 2 dmensons Glssement fractonné en 2D (fgure 11 de Panet et Rotheval) Consdérons une masse rocheuse susceptble de glsser sur une surface polyédrque consttuée de N plans de glssements, et comportant (N-1) dscontnutés permettant le mouvement de N compartments ndépendants ("blocs" au sens large). Remarque Pour les glssements dans les sols, on consdère souvent des tranches vertcales fctves, pour les besons du calcul. Dans les massfs rocheux, les lmtes entre tranches ne sont généralement pas fctves n vertcales. Pour analyser les mouvements qu, à l'évdence, n'mplquent pas de rotaton des blocs, on admet que l'équlbre des moments est réalsé. La méthode de l'équlbre lmte consste à supposer, dans un premer temps, que le système est à la lmte de l'équlbre. Les équatons d'équlbre des N blocs (2N équatons), et les crtères de rupture des N plans de glssement et des (N-1) plans délmtant les blocs fournssent alors (4N-1) équatons. Les nconnues sont les composantes des forces s'exerçant sur les N plans de glssement et les (N-1) dscontnutés délmtant les compartments ((4N-2) nconnues). Comme, dans le cas général, toutes les équatons ne sont pas satsfates, on ntrodut un paramètre supplémentare, qu est le plus souvent un coeffcent de sécurté F, s'applquant sur la résstance au csallement de certanes dscontnutés. Le coeffcent de sécurté peut donc se défnr comme le coeffcent par lequel l faut dvser les résstances au csallement pour satsfare l'équlbre lmte. Dans le cas d'un glssement translatonnel, cette défnton est équvalente à celle donnée au paragraphe On peut dstnguer deux méthodes : la méthode globale, qu consste à résoudre le système d'équatons en applquant le même coeffcent de sécurté à toutes les dscontnutés (méthode de Sarma, 1979, utlsée également en mécanque des sols) ; la méthode pas à pas, qu consste à analyser d'abord la stablté du bloc le plus haut, supposé sans nteracton avec les blocs nféreurs, pus, s'l n'est pas stable, à calculer la réacton nécessare, à l'nterface avec le bloc nféreur, pour obtenr l'équlbre lmte (Panet et Rotheval font l'hypothèse que cette réacton est drgée dans la drecton de glssement du bloc supéreur, et vérfent que cela est compatble avec l'angle de frottement ; dans le cas contrare, la drecton de la réacton est donnée par l'angle de frottement) ; on analyse ensute la stablté du 2 bloc, et ans de sute jusqu'au bloc le plus bas, dont on calcule le coeffcent de sécurté Glssement fractonné en 3D Il est possble de fare des analyses trdmensonnelles suvant le même prncpe BASCULEMENT ET GLISSEMENT Une rupture par basculement peut se produre dans un talus, lorsque le massf est découpé par deux famlles de jonts, comme sur la fgure extrate de Goodman et Bray (1976). Le glssement est possble cnématquement sur une des deux famlles, mas l'angle de frottement est supéreur au pendage, de sorte que la masse rocheuse serat stable s elle n'état pas découpée par une seconde famlle de jonts. Dans ce cas, on observe généralement tros groupes de blocs : un groupe de blocs stables en amont ; un groupe ntermédare de bocs nstables par basculement ; en ped, des blocs qu glssent sous la poussée des blocs ntermédares (pour certanes géométres de talus, ce trosème groupe peut être absent). D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

11 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 11 Pour cette confguraton, une méthode d'analyse pas à pas a été proposée par Goodman et Bray (1976). Elle consste d'abord à rechercher le premer bloc qu peut basculer et à détermner la force P n-1,t nécessare pour assurer son équlbre. La condton de basculement d'un bloc n, qu ne subt pas de poussée en amont, est : Y n / x > cotg (notatons de Goodman et Bray) Ensute les forces P n-1,t et P n-1,s nécessares pour assurer l'équlbre des blocs respectvement en rotaton et en glssement, sont détermnées pour chaque bloc, et la force la plus grande est applquée sur le bloc nféreur : P n-1 = max (P n-1,t, P n-1,s ) S la force P 0, nécessare pour stablser le derner bloc, est postve, le talus est nstable pour l'angle de frottement chos. S elle est négatve, le talus est stable. Le coeffcent de sécurté du talus peut être obtenu en recherchant l'angle de frottement r nécessare pour obtenr l'équlbre lmte : F = tg / tg r Les méthodes numérques par éléments dscrets permettent d'analyser des stuatons plus complexes sans avor à défnr à l'avance le mécansme de rupture. De plus, elles permettent de smuler les mouvements des blocs jusqu'à l'arrêt (fgure d'après Alfons et al.). BIBLIOGRAPHIE CFMR. Manuel de mécanque des roches, tome 1, Fondements. Les Presses de l'ecole des Mnes, Pars, 2000, 265 pages. CFMR. Manuel de mécanque des roches, tome 2, Applcatons. Les Presses de l'ecole des Mnes, Pars, 2004, 458 pages. Goodman R.E. Introducton to Rock Mechancs. Wley, 1989, 562 pages. Goodman R.E. et Sh G. Block theory and ts applcaton to rock engneerng. Prentce-Hall, 1985, 338 pages.. Hoek E. et Bray J.W. Rock Slope Engneerng. The Insttuton of Mnng and Metallurgy, Londres, 1981, 358 pages. Panet M. et Rotheval J-P. Stablté des masses rocheuses. La mécanque des roches applquée au géne cvl, Ecole Natonale des Ponts et Chaussées, 1976, pp D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

12 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 12 Fgure 1.1. Types de blocs dans un massf rocheux fracturé, dans le cas où les blocs sont soums seulement à leur pods (d'après Goodman, 1989, Introducton to rock mechancs, Wley) D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

13 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 13 I. Massf rocheux II. Espace vectorel P1 P2 P1 P3 Massf rocheux Pyramde d'excavaton P3 P2 J1 PJ11 Jont 2 PJ01 PJ10 Jont 1 J2 PJ00 Pyramdes de jonts (PJ) Blocs amovbles PJ11 PJ01 PJ10 PJ00 Blocs nfns PE Fgure 2.1. Défntons de la pyramde d'excavaton (PE) et des pyramdes de jonts (PJ), et llustraton de la règle d'amovblté dans le cas d'une géométre bdmensonnelle. Dans les cas trdmensonnels, on utlse les représentatons stéréographques des PE et PJ. Les blocs défns par les PJ 11 et 10 sont amovbles, car ces PJ n'ont pas d'ntersecton avec la pyramde d'excavaton. D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

14 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 14 s (drecton du mouvement potentel: R ou w j ) Pyramde de jont du bloc amovble R t R (résultante de forces actves) R n Fgure 4.1. Glssement sur un ou deux plans. Vue dans le plan défn par la résultante des forces actves R et la drecton du mouvement potentel s (R ou w j suvant le mode de glssement). R n = W cos R t = W sn R = pods = W Fgure 4.2. Glssement d'un talus, dû au seul pods du bloc. Vue dans le plan vertcal contenant la drecton du mouvement potentel. plan j plan R n R nj n j n R n Fgure 4.3. Glssement sur deux plans. Vue dans le plan des normales (perpendculare à la drecton du mouvement). Décomposton de R n suvant n et n j. Projecton sur le plan j: R n sn (R n, n j ) = R n sn (n, n j ) Projecton sur le plan : R n sn (R n, n ) = R nj sn (n, n j ) D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

15 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 15 Fgure 4.4. Analyse de stablté - Glssement d'un bloc soums a son seul pods, sur 2 plans sans cohéson et de même angle de frottement. Fgure 4.5. Analyse de stablté - Glssement d'un bloc soums a son seul pods, sur 2 plans sans cohéson et de même angle de frottement. Détermnaton des angles. D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

16 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 16 Fgure 4.6. Glssement sur 2 plans d'un bloc soums à des pressons hydraulques (extrat de Panet et Rotheval, 1976). W : pods du bloc. U r : résultante de la presson hydraulque sur le plan P r. D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

17 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 17 Fgure 5.1. Glssement fractonné en 2 dmensons (extrat de Panet et Rotheval, 1976) D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

18 Stablté des massfs fracturés Equlbre lmte 18 Fgure 6.1. Basculement-glssement d'un ensemble de blocs (extrat de Hoek et Bray, 1981). D. Hantz, Ecole Polytechnque de l'unversté Grenoble 1

19 Analyse de la stablté d'un massf fracturé Département Géotechnque Méthode de l'équlbre lmte Méthodes dynamques Cours d'ngénere des roches Deuxème parte Stablté des massfs fracturés Méthodes d'éléments dscrets T T = F max T W N T W N Dder Hantz On cherche par quel coeffcent F l faut dvser les résstances pour que le massf sot en équlbre lmte. -S F > 1, le massf est stable -S F < 1, le massf est nstable On calcule les mouvements des blocs. -S les déplacements sont acceptables, le massf est consdéré comme stable -Snon, la méthode permet de prévor les trajectores des blocs jusqu'à leur stablsaton 2 Méthodes analytques -lmtées à un ou quelques blocs -tratement smplfé des rebonds Méthodes dynamques Méthodes numérques (méthodes d'éléments dscrets) -permettent de smuler les déplacements et les rotatons des blocs (rgdes ou déformables) -reconnassent automatquement les nouveaux contacts entre blocs -actualsent à chaque pas de temps les forces de contact entre blocs Méthode des éléments dscrets Prncpe Equaton du mouvement (translaton) d'un solde de masse m soums à une force résultante F varable: du& F ( t) = dt m u& : vtesse dans la drecton ; F : composante de F dans la drecton Intégraton par un schéma de dfférence centré t du& dt u& u& = ( t+δt Δu = u u& Δt ( t+ Δt ( t Δt = u& ( t Δt = u& ( t) F + m Δt ( t+ Δt) ( t) ( t+δt u Δt Exemple F(t) ΔF t F(t) Δu ΔF n 3 ΔF = f(δu) (Lo de comportement du jont ou du pont de contact) F(t+Δt) = F(t) + ΔF 4

20 Méthode des éléments dscrets Prncpe Méthode des éléments dscrets Prncpe Lo de comportement du jont ou du pont de contact Représentaton schématque 2 Intégraton par dfférence centrée Equaton du mouvement 3 4 Crtères de rupture ou plastcté, en tracton et csallement Lo de comportement 1 t 5 t+δt ΔF n = K n Δu n ΔF s = K s Δu s K n et K s dépendent de l'état du jont (élastque ou plastque) 5 6 Méthode des éléments dscrets Prncpe Méthode des éléments dscrets Prncpe Equaton du mouvement (rotaton) d'un bloc de moment d'nerte I soums à un moment résultant M (2D): d & θ M ( t = ) & dt I θ : vtesse de rotaton Exemple M(t) Δθ Lo de comportement du jont ou du pont de contact Δσ n = ΔF n / l = k n Δu n Δσ s = ΔF s / l = k s Δu s k n et k s dépendent de l'état du jont (élastque ou plastque) Intégraton par un schéma de dfférence centré & θ ( t+δt Δθ = θ = & θ ( t Δt θ + ( M t ) I = & θ Δt ( t+ Δt) ( t) ( t+δt Δt Contact face-face Contact con-face: surface mnmale mposée Calcul des déplacements des cons du bloc ΔF = f(δu) (Lo de comportement du jont ou du pont de contact) l l 7 Ordres de grandeur pour des jonts peu altérés en roche dure. k n : Pa/m ; k s : 10 9 Pa/m 8

21 & θ dt θ : vtesse de rotaton d = M j ji 1 j Méthode des éléments dscrets Prncpe Modélsaton trdmensonnelle Equaton du mouvement (rotaton) d'un bloc de tenseur d'nerte (I j ) soums à des moments M j : 9 Méthode des éléments dscrets - Prncpe Amortssement Il est nécessare d'ntrodure un amortssement, snon les blocs osclleraent ndéfnment. Cet amortssement peut être ntrodut dans l'équaton du mouvement des blocs ou au nveau des contacts. Dans le premer cas, l'équaton du mouvement en translaton devent: du& F ( t + αu& ) = dt m u& : vtesse dans la drecton Intégraton par un schéma de dfférence centré t du& dt u& u& = ( t+δt u& Δt ( t+ Δt ( t Δt = u& ( t Δt u& u& = t + u& 2 ( t+δt ( t Δt (1 αδt F Δt + (1 + αδt m (1 + αδt L'équaton du mouvement en rotaton s'obtent de la même manère 10 Méthode des éléments dscrets - Prncpe Chox du pas de temps Δt Méthode des éléments dscrets Exemple de smulaton d'une rupture par basculement de blocs (d'après Alfons et al., 1998, Bull. des Laboratores des Ponts et Chaussées, 214, pp.31-43) Δt dot être nféreur à la pérode de résonnance la plus courte sur l'ensemble des blocs Dans le code UDEC, le pas de temps maxmal est donné par la formule: Δt max = 2 f (M mn / K max ) 1/2 M mn : plus pette masse de bloc K max : plus grande radeur de contact f : paramètre fxé par l'utlsateur (valeur typque : 0,1) Rappel Pérode d'un oscllateur smple = 2π (M/K) 1/2 Smulaton jusqu'à stablsaton. Angle de frottement : 25. Modèle ntal (avant excavaton de la vallée). Pente du futur versant : 75 Pendage des strates :

22 Méthode des éléments dscrets (avec blocs déformables) Exemple de smulaton de basculement par flexon Modélsaton de la déformaton du versant de Séchlenne après la fonte du glacer (méthode des éléments dstncts) déplacements amplfés Profl ntal Tassement Bombement Ouverture de crevasses avec contrepentes d'après Vengeon (1999) Méthode des éléments dscrets (avec éléments sphérques ndéformables) Exemple de smulaton de chute de blocs a. Blocs sphérques Méthode des éléments dscrets Vtesses des blocs à dfférentes étapes de la smulaton Φ m : angle de frottement entre blocs δ : angle de frottement du substratum Epasseur (m) Vtesse (m/s) b. Blocs formés de pluseurs sphères assemblées 15 16