Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010

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1 Corrigé du bcclurét S Pondichéry vril EXERCICE Commun à tous les cndidts Prtie A : Restitution orgnisée de connissnces 6 points f et g sont deu fonctions continues sur un intervlle [ ; b] donc g f est continue sur [ ; b]. Pour tout de [ ; b], f () g () donc g () f () donc f ()] d [g () f ()]d = b f () d soit Prtie B b g ()d g () d b f ()d et f () d... Pour tout de [ ; + [, f ()=ln(+ ). Soit X = +, lim X =+ ; + f ()=ln X or lim ln X =+ donc lim f ()=+. + X + b. f est l composée de deu fonctions : [g () [g () f ()]d donc g ()d + continue et dérivble sur [ ; + [, à vleurs dns [ ; + [ et ln, continue et dérivble sur [ ; + [, donc f est continue et dérivble sur [ ; + [. f ()= + donc pour tout de [ ; + [, f ()> donc f est strictement croissnte sur [ ; + [. u ()= u()= + c. Soit : v()=ln(+ ) v ()= + u et v sont continues et dérivbles sur [ ; + [, de même que u et v donc I = [u()v()] u()v () d ; I = [(+)ln(+)] ; + + d = [(+)ln(+)] I = ln. d= ln f ()= et f est strictement croissnte sur [ ; + [ donc f est positive sur [ ; ]. f est continue sur [ ; ] donc I est l ire (en unité d ires) du domine limité pr l e des bscisses, les droites d éqution =, = et l courbe représenttive de f... Pour tout entier nturel non nul n, f n est l composée de deu fonctions continues sur [ ; + [ : + n et ln donc f n est continue sur [ ; + [. Pour tout de [ ; ], n donc + n. L fonction logrithme népérien est strictement croissnte sur ] ; + [ donc ln ln (+ n ) ln. L fonction f n est continue sur [ ; ] et pour tout de [ ; ], f n () ln.

2 A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S Donc pour tout entier nturel non nul n, I n ln. ln d, soit I n b. Pour tout de [ ; ], donc pr produit pr n, n+ n puis + n+ + n. L fonction logrithme népérien est strictement croissnte sur ] ; + [ donc ln ln ( + n+) ln (+ n ), soit f n+ f n. Les fonctions f n+ et f n sont continues sur [ ; ] et pour tout de [ ; ], f n+ f n donc I n+ I n. L suite (I n ) est décroissnte et minorée pr. c. L suite (I n ) décroissnte et minorée pr est donc convergente vers un nombre positif... g est l différence de deu fonctions continues dérivbles sur [ ; + [ : et f () donc g est continue et dérivble sur [ ; + [ et g ()= = + +. Pour tout >, g ()< et g ()= donc g est strictement décroissnte sur [ ; + [. b. g est strictement décroissnte sur [ ; + [ et g ()= donc g est strictement négtive sur [ ; + [. Si est un réel positif lors pour tout entier nturel n non nul, n est un réel positif donc g ( n ) donc pour tout entier nturel n non nul, et pour tout réel positif, on : ln(+ n ) n soit ln(+ n ) n. c. Les fonctions f n et n sont continues sur [ ; + [ et pour tout de [ ; + [ on : ln(+ n ) n ; donc I n n d, soit I n [ ] n+ n+, ou encore I n n+. Comme lim = d près le théorème des gendrmes ppliqué u n + n+ suites, lim I n =. n + EXERCICE Commun à tous les cndidts. Un vecteur directeur de l droite D de représenttion prmétrique = t+ y = t est u de coordonnées ( ; ; ). z = t 5 points Un vecteur norml u pln P est n de coordonnées ( ; ; ). Or u n = +( ) + = donc u et n sont orthogonu, l droite D est prllèle u pln P dont une éqution crtésienne est : + y + z =. Il étit possible ussi de chercher le(s) point(s) d intersection de D et de P et chercher t tel que (t+ )+( t)+(t )= ceci est équivlent à = ce qui est impossible, donc D et P n ont ps de point commun, D est strictement prllèle à P. VRAI. Pour chercher les points communs à ces trois plns il fut résoudre le système : + y z = 6 L y+ z = L 4 y+ 4z = L L + L + L et L L conduisent u système : { y+ z = 7+ 5z = y+ z = 7+ 5z = 7+ 5z = soit Pondichéry vril

3 A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S L intersection de deu plns est une droite donc FAUX.. Pour déterminer l éventuel point d intersection des droites citées, il fut chercher des réels t et u tels que = t = 7+u t+ u = 5 z = +t = 6 u donc résoudre le système t+ u = y = + t = +u t u = { { { t+ u = 5t = 5 t = et dns ce t u = t u = u = cs on bien t + u = 5 donc les deu droites sont sécntes et leur point d intersection est A(5 ; ; 5). VRAI 4. On considère les points A, de coordonnées ( ; ; ), B de coordonnées ( ; 4 ; ), et C, de coordonnées ( ; 4 ; ). Le pln (ABC) pour éqution + z =. AB pour coordonnées ( ; 4 ; ) AC pour coordonnées (4 ; 4 ; 4) Ces deu vecteurs ne sont ps colinéires donc le pln (ABC) eiste. Les coordonnées de A, B et C vérifient + z = donc le pln (ABC) pour éqution + z =. VRAI. 5. AB pour coordonnées ( ; ; ) AC pour coordonnées (5 ; ; ) Ces deu vecteurs ne sont ps colinéires donc C n pprtient ps à l droite (AB). On ne peut ps écrire C comme brycentre des points A et B donc FAUX. EXERCICE Commun à tous les cndidts 5 points. Le joueur tire deu fois successivement et sns remise une boule de l urne donc on est en sitution d équiprobbilité. Le nombre initil de boules est n+, le joueur choisit une boule donc (n+ ) choi possibles et ne remet ps cette boule dns l urne donc le nombre de boules possibles lors du second tirge est (n+ 9).. Lors d un tirge de deu boules, soit le joueur tire deu boules blnches, et ggne 4 soit le joueur tire une boule blnche et une boule rouge, et ggne = soit le joueur tire deu boules rouges, et ggne 6. Si le joueur tire une boule rouge u premier tirge, l urne contient boules blnches et n boules rouges. Si le joueur tire une boule blnche u premier tirge, l urne contient 9 boules blnches et n boules rouges. D où l rbre de choi : Pondichéry vril

4 A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S er tirge e tirge Gin n n+ n+ R B n n 9 R B R B 6 4 p(x = )= n n+ n+ 9 + n+ 9 n+ 9 = n (n+ )(n+ 9). b. p(x = 6)= n n+ n n+ 9 = n(n ) (n+ )(n+ 9). p(x = 4)= n+ 9 n+ 9 = 9 (n+ )(n+ 9). c. E(X )=4p(X = 4)+( )p(x = )+( 6)p(X = 6) donc 6 E(X )= (n+ )(n+ 9) n 6n(n ) (n+ )(n+ 9) (n+ )(n+ 9). E(X )= 6n + 6n n+ 6 (n+ )(n+ 9) d. E(X )> 6n 4n+ 6>. = 6n 4n+ 6. (n+ )(n+ 9) = or = = 94, donc les solutions sont = 9, =. Le trinôme est négtif suf entre les rcines, donc n étnt un entier supérieur ou égl à, l espérnce mthémtique est strictement positive si n 6.. Les évènements «obtenir u moins une boule rouge u cours de ces tirges» et «obtenir boules blnches u cours de ces tirges» sont contrires ( ) donc : p=. n+ ( ) ( ) p >,999 <,999 <, n+ n+ n+ <, n+ >, n>, n 5.. P(Z k)= k,e, d = [ e,] k donc P(Z k)= e,k.. P(Z 5)= e, 5 = e,5 donc P(Z 5),9. P(5< Z 6) b. P(Z 6/Z > 5)=. P(Z > 5) P(5< Z 6)= 6 5,e, d = [ e,] 6 5 = e,5 e,6. P(Z 5)= e,5 donc P(Z > 5)= P(Z 5)=e,5, donc P(Z 6/Z > 5)= e,5 e,6 e,5 = e,. EXERCICE 4 Commun à tous les cndidts 4 points Pondichéry 4 vril

5 A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S. Si n=, u n+ = u n+ n devient : u = u + soit u = = 5 ; Si n=, u n+ = u n+ n devient : u = u + soit u = 4 9. Si n=, u n+ = u n+ n devient : u = u + soit u = Si n=, u n+ = u n + n devient : u 4 = u + soit u 4 = 67 8, donc u 4. L propriété est vrie pour n = 4. Montrons que l propriété est héréditire c est-à-dire que pour tout n 4, si u n lors u n+. u n+ = u n+ n ; comme n 4, n >, de plus u n. L somme de nombres positifs étnt un nombre positif, donc u n + n soit u n+. L propriété est héréditire donc vrie pour tout entier nturel n 4. b. En déduire que pour tout entier nturel n 5, u n n. u 5 = u 4+ 4 = 55 4, soit u 5,8 donc u 5 5. L propriété est vrie pour n = 5 ; Montrons que l propriété est héréditire c est-à-dire que pour tout n 5, si u n n lors u n+ n+ ou encore u n+ n. u n+ = u n+ n, n 5 donc u n n donc u n + (n )+n soit u n+ n+ n ; comme n 5, n donc u n+ +n soit u n+ n. L propriété est héréditire donc vrie pour tout entier nturel n 5. Remrque : On peut églement montrer que l on vient de démontrer que pour n 4, u n, d où u n u n + n n u n+ n u n+ (n+ ) u n n. c. lim (n ) = + et pour tout entier nturel n 5, u n n donc n + d près le théorème de comprison : lim u n =+. n +.. v n+ = u n + +(n+ ) ( ) v n+ = u n+ n + n+ ; v n+ = u n n+ 4+n+ = u n+ n 7 v n+ = ( u n)+ n ; v n+ = ( u n + n ) v n+ = v n. Pondichéry 5 vril

6 A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S L suite (v n ) n N est une suite géométrique de rison et de premier terme v = u + = 5. Donc v n = 5 ( ) n. ( ) n donc u n = 5 ( b. v n = u n + n = 5 u n = 5 ( ) n + n ; u n = [ ( ) 5 n + n ] donc pour tout n N, u n = 5 4 ( k=n c. S n = u k = u + u u n = 5 k= 4 soit S n = 75 8 [ ( ) n + n 4. ( ) n+ ]+ n 4 9n 4. ) n+ ) n n+ soit + n(n+ ) (n+ ), 4 EXERCICE Cndidts ynt suivi l enseignement de spécilité Prtie A 5 points. Soit (, b) un tel couple et d = PGCD(, b). Il eiste deu entiers u et v premiers entre eu tels que = du et b= d v. Donc en remplçnt : (du) = (d v) soit d u = d v et comme d, u = d v.. u = d v donc v divise u, soit v divise u u ; d près le théorème de Guss, v divise u u et v et u sont premiers entre eu, donc v divise u. PGCD(u ; v)= or si v divise u, PGCD(u ; v)= v donc v =.. si = b, d près l question précédente v = donc en remplçnt dns b = d v et u = d v, on obtient b = d et u = d donc = du = u et b = u donc et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier. Réciproquement : Si et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier d, lors = d et b= d donc = ( d ) = d 6 et b = ( d ) = d 6 donc = b. Conclusion : = b si et seulement si et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier. 4. Montrer que si n est le crré d un nombre entier nturel et le cube d un utre entier, lors n [7] ou n [7]. S il eiste deu entiers et b tels que n = = b lors d près l question précédente il eiste un entier d tel que = d et b= k donc tel que n= d 6. d d d 6... [7] donc n [7] ou n [7]. Remrque : On peut églement dire : Pondichéry 6 vril

7 A. P. M. E. P. Corrigé du Bcclurét S Prtie B si d =, lors n [7] ; si d =, lors n [7] ; si d > et n multiple de 7, lors n [7] ; si d > et d non multiple de 7, donc d premier, lors d près le petit théorème de Fermt : d 7 [7] ou encore d 6 = n [7]. Dns l espce muni d un repère orthonorml ( O, ı, j, ) k on considère surfce S d éqution y = z. Pour tout réel λ, on note C λ l section de S pr le pln d éqution z = λ.. C λ pour équtions : y = λ et z = λ. Si λ< il est impossible que y qui est positif ou nul, soit égl à λ donc C λ est le grphique. Si λ= lors y = = ou y = donc C λ = C est le grphique, C λ est l réunion des deu es dns le pln d éqution z = λ=. Si λ> pr élimintion, le grphique représente l courbe C λ. Si λ>, C λ est l ensemble des points du pln d éqution z = λ tels que y = λ ce qui se décompose en deu prties : y = λ et y = λ soit λ λ y = et y =. C λ, qund λ>, est donc l réunion de deu hyperboles équiltères C 5 pour équtions : soit y = soit y = dns le pln d éqution z = 5. Donc C 5 pour équtions : soit y = 5 soit y = 5 dns le pln d éqution z = 5. Si les coordonnées des points de C 5 sont des nombres entiers strictement positifs lors y > et 5 est un entier strictement positif donc est un entier strictement positif qui divise 5, soit = ou = 5 ou = 5 ou = 5. Les points cherchés ont donc pour coordonnées ( ; 5 ; 5), (5 ; 5 ; 5), (5 ; 5 ; 5) et (5 ; ; 5) b. C pour équtions : ( y) = z vec z =. D près l question.. : = b si et seulement si et b sont respectivement le cube et le crré d un même entier, vec ici = y et b = z ; or n est ps le crré d un nombre entier (= 5 67) donc l éqution ( y) = n ps de solutions entières. Pondichéry 7 vril

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