1. Le cercle trigonométrique

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Germain Pépin
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1 - Le retour de l trigonométrie TD Seconde. Le cercle trigonométrique TVTÉ (Enroulement de l droite numérique utour d un cercle) Sur une bobine de ryon cm représenté pr un cercle, on colle un fil symbolisé pr l droite en un point que l on mrque en rouge. n enroule ce fil utour de lbobine insi le point sur l bobine coïncide vec le point sur le fil.. hque fois que le fil repsse pr le point, on fit une mrque rouge. En déroulnt le fil, on remrque qu il l spect suivnt : lculer l longueur excte entre deux grdutions rouges.. () Quelle est l mesure de l ngle Î en degrés ssocié à l rc? (b) lculer l longueur excte de l rc c est à dire de l distnce. TVTÉ (Longueur d un rc). D E.8 F F E.8 D. Un point mobile se déplce sur un cercle de centre et de ryon cm dns le sens inverse des iguilles d une montre en prtnt du point. n indique pr des points certines de ses positions sur le cercle schnt que et sont des tringles équiltérux. () est l bissectrice de l ngle Î. Les utres points sont les imges pr symétries d xe (xx )ou(yy )ou pr symétrie de centre des points, et.. Donner l mesure des ngles, et.. En déduire l distnce excte prcourue pr le point lorsqu il s rrête : () en (b) en (c) en (d) en (e) en. Donner l longueur excte des rcs suivnts : () (b) E (c) E (d) (e) DÉFNTN (rienttion d un cercle, du pln, cercle trigonométrique) n se plce dns le pln. rienter un cercle, c est choisir un sens de prcours sur ce cercle ppelé sens direct (ou positif). L utre sens est ppelé sens indirect (négtif ou rétrogrde). rienter le pln, c est orienter tous les cercles du pln dns le même sens. L usge est de choisir pour sens direct le sens contrire des iguilles d une montre (ppelé ussi sens trigonométrique). M.5..5 y M + x Le pln est muni d un repère orthonormé ( ; ı, ȷ ). DÉFNTN n ppelle cercle trigonométrique le cercle de centre et de ryon unité prcouru dns le sens inverse des iguilles d une montre ppelé sens trigonométrique ou sens direct.. x.5 M.5.5. tout réel x sur l droite munie du repère (, j ) on ssocie le point M du cercle trigonométrique obtenue en enroulnt l droite dns le sens direct. Le point M est lors ppelé l imge de x sur le cercle trigonométrique.. n peut remrquer que pour tout point M du cercle trigonométrique on peut ssocier réciproquement les réels de l droite x, x +, x + ompléter le tbleu de vleurs suivnts en utilisnt des vleurs exctes : Réel x ngle en degrés N. SNS pge Lycée en Giono Turin

2 - Le retour de l trigonométrie TD Seconde Exercice Plcer un point sur le cercle trigonométrique. onstruire un cercle trigonométrique en prennt comme unité grphique cm.. onstruire sur le cercle trigonométrique,,, D et E les imges des réels,,, et.. Plcer sur le cercle trigonométrique,,, D et E lesimgesdesréels,,, et. Exercice Quelques ngles ssociés onstruire sur le cercle trigonométrique les imges des réels suivnts : () x = (b) x = (c) x = 5 (d) x = 5 (e) x = () x = (b) x = (c) x = 5 (d) x = 5 (e) x = 7. Une nouvelle unité de mesure des ngles : le rdin Dns l suite du chpitre, on suppose que le pln est orienté dns le sens trigonométrique. DÉFNTN L mesure d un ngle en rdin est égle à l longueur de l rc de cercle que cet ngle intercepte sur le cercle trigonométrique. Exercice onversions ompléter le tbleu suivnt : Mesure de l rc N =mesureenrdindel ngle N Mesure en degré de l ngle N 8. L trigonométrie Rppels étnt un tringle rectngle en. DÉFNTN Dns le tringle rectngle en, on défini : cos Â = sin Â = tn Â = sin Â cos Â = Remrque : Usge de l clcultrice L commnde [shift] [Set up] permet de choisir l unité de mesure de l ngle en degré ou en rdin. En sisissnt [sin] [], on trouve pr exemple sin ( ) =,8 rrondi à. Pour trouver une mesure de l ngle dont le cosinus vut, il fut sisir [shift] [cos] [.] et on trouve lors rrondi u degré près. PRPRÉTÉ Soit x l mesure de l ngle Â dns le tringle rectngle en.. Pour tout ngle igu x, cos(x) et sin(x).. Pour tout ngle igu x,(cos(x)) + (sin(x)) = (onécritussicos (x) + sin (x) = ) N. SNS pge Lycée en Giono Turin

3 - Le retour de l trigonométrie TD Seconde Des vleurs exctes à retenir TVTÉ n considère un tringle rectngle et isocèle en tel que = =.. lculer l vleur excte de l distnce en fonction de.. lculer l mesure de l ngle Â en degrés.. lculer l vleur excte, sns rdicl u dénominteur, de cos(5 ), sin(5 ).. En déduire tn(5 ). TVTÉ n considère un tringle équiltérl de côté.. Déterminer l mesure de l ngle Â en degrés.. Soit H le pied de l huteur issue de dns le tringle. lculer H et en fonction de en déduire H en fonction de.. lculer l vleur excte de cos( ), sin( ) sns rdiclu dénominteur.. () lculer l mesure en degrés de l ngle H. H (b) En déduire l vleur excte de cos(h), sin(h). Tbleu de vleurs à compléter et à svoir Mesure de x en degrés 5 9 cos(x) sin(x) Lignes trigonométriques DÉFNTN 5 Soit un nombre réel quelconque et soit M (x M ; y M )sonimgesurlecercletrigonométrique. Pr définition on pose cos() = x M et sin() = y M :..5 PRPRÉTÉ Pour un nombre réel quelconque x,on donc:. cos x M. sin(). sin x. cos x + sin x =.5. cos(x + ) = cos x 5. sin(x + ) = sin x..5 cos() Preuve L bscisse et l ordonnée d un point pprtennt à un cercle de centre et de ryon est nécessirement comprise entre et. De plus l distnce M est égle u ryon du cercle donc à et vérifie : M = x M + y M cos x + sin x = n en déduit que l on bien cos x + sin x =. N. SNS pge Lycée en Giono Turin

4 - Le retour de l trigonométrie TD Seconde DÉFNTN Soit x un réel et N (x n ; y n )lepointquiluiestssociéprenroulementsurlecercletrigonométrique. lors on : cos x = x n sin x = y n et, qund cos x,tn x = sin x cos x Exercice Tbleu de vleurs ompléter le tbleu de vleurs suivnts en utilisnt des vleurs exctes : Réel x ngle en degrés cos(x) sin(x) tn(x) Exercice 5 À svoir pour l S Trcer un cercle trigonométrique et plcer toutes les mesures principles à connître vec leurs vleurs ssociées en cosinus et sinus. Exercice Extensions prtiques. ompléter le tbleu suivnt : x cos x sin x tn x. Trcer dns trois repères orthogonux (ordonnées : 5 cm = une unité; bscisses : cm = unités) les courbes représenttives des fonctions sinus, cosinus et tngente.. Dresser le tbleu des vritions de ces fonctions pour x [ ;] N. SNS pge Lycée en Giono Turin

5 - Le retour de l trigonométrie TD Seconde Vleurs prticulières importntes à connitre!!! N. SNS pge 5 Lycée en Giono Turin

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