Calcul de l induction et de ses dérivées sur l axe d une lentille électronique magnétique de révolution

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1 Calcul de l induction et de ses dérivées sur l axe d une lentille électronique magnétique de révolution M. Laudet To cite this version: M. Laudet. Calcul de l induction et de ses dérivées sur l axe d une lentille électronique magnétique de révolution. J. Phys. Phys. Appl., 1957, 18 (S7), pp < /jphysap: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1957 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 _ FIG, Différentes M. Ch. La LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM SUPPLÉMENT AU N 7 PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 18, JUILLET 1957, PAGE 73 A. CALCUL DE L INDUCTION ET DE SES DÉRIVÉES SUR L AXE D UNE LENTILLE ÉLECTRONIQUE MAGNÉTIQUE DE RÉVOLUTION Par M. LAUDET, Faculté des Sciences de Toulouse. T. Introduction. ~ méthodes peuvent être utilisées pour étudier la topographie de l induction B sur l axe d une lentille électronique magnétique de révolution. La plupart d entre elles se ramènent en définitive à déduire de la mesure du flux d induction 1> (a, z) qui traverse un cercle de rayon a de même axe que la lentille étudiée. Lorsque l extrémité M de la sonde est située dans une région d induction nulle, la f. é. m. induite ë a pour valeur v étant à l instant t, la vitesse de translation de la sonde. Fis. 3. i. z Posons : Deux dispositifs sont couramment utilisés pour effectuer cette mesure. 10 SYSTÈME PENDULAIRE. V. Ments et Le Poole [1] déterminent la force F qui s exerce sur une longue bobine parcourue par un courant i et dont l axe coïncide avec celui de la lentille (fige 2). et le terme fondamental de la f. e E cos 2nvt a pour amplitude : é. m. induite E est proportionnelle au flux 1>( a, zo). FIG. 2. Lorsque dans une région où l induction est pratiquement nulle, la force.~ a pour intensité l extrémité M de la sonde est située F ni 4l(a, z) ~c étant le nombre de spires par unité de longueur du solénoïde, a son rayon. La force.~ est proportionnelle au flux 0(~ z). 2~ SYSTÈME VIBRANT. FERT et P. Gautier [2] font vibrer sinusoïdalement, parallèlement à son axe une longue bobine dont l axe coïncide avec celui de la lentille (fig. 2). On est donc, dans les deux cas, ramené à déduire z). l induction B(z) de la mesure du flux 1>(a, Différents artifices expérimentaux ou graphiques ont été utilisés pour cette détermination. Nous allons montrer comment on peut effectuer aisément ce calcul par les méthodes numériques. II. Principe de calcul de Br z) à partir de (D (a, z). fonction flux (D(p, z) dont on connaît les valeurs aux limites (D(a, z) et qui obéit à l équation peut être calculée par la méthode des itérations successives dans tout le cylindre d axe oz et de rayon a [3]. L induction sur l axe se calcule ensuite sans difficulté à partir de la relation Article published online by EDP Sciences and available at

3 74 A Si l on opérait ainsi, on serait obligé de recommencer les itérations successives et les diférentiations numériques pour chaque lentille étudiée, Supposons en effet connue la solution du problème dans le cas particulier où z) est nul pour toutes les valeurs de z sauf pour z 0 où l on a I>(a, 0) 1. Cette répartition étant symétrique par rapport au plan z 0, il suffit de considérer seulement le domaine correspondant à z > 0. Soit bi la valeur de l induction sur l axe au noeud Mi du réseau ayant permis la détermination par itérations successives de z) (fig. 4a). Les équations (1) et (2) étant linéaires, aux conditions aux limites : est associée la solution (Dbi (fig. 4b) et à la distribution indi quée sur la figure 4c correspondra la solution : FIG. 4. nous allons montrer qu il est possible d effectuer ces calculs une fois pour toutes et d obtenir directement à partir de z) l induction sur l axe par un simple produit matriciel. obtenue par «superposition o de solutions (Dk bz. ha connaissance de la matrice élémentaire [b] ramène donc la détermination de la topographie de l induction sur l axe à la mesure du flux z) et au produit matriciel (3). Dans le cas des systèmes symétriques c estàdiredes systèmes pour lesquels et par suite la relation (3) devient : La méthode précédente se généralise immédiatement au calcul des dérivées successives de l induction B db/dz, B" d 2 B Jdz2,... sur l axe des lentilles. En posant avec et dans le cas particulier des systèmes métriques la matrice élémentaire relative à [ b~m?] a pour expression avec

4 Pour 75 A III. Calcul numérique des matrices élémentaires [~~ ~~]. La répartition du flux a été effectuée par la méthode des itérations successives à partir de l équation aux diff éren ces finies Fm. 5. dans laquelle G0, G1,..., (D4 désignent les valeurs du flux aux noeuds d indice... 0, 1, 4 et I le rapport po/h (fig. 5). Nous avons utilisé un réseau à mailles carrées de pas h a/10 et les calculs ont été conduits en prenant ponr 0) la valeur 10g. Les résultats obtenues sont rassemblés dans le tableau 1. Pour ne pas surcharger la figure, on a supprimé les trois derniers chiffres significatifs. Les valeurs numériques indiquées dans le tableau correspondent à (D(a, 0) 105. Les valeurs de b, b, b" obtenues à partir de G par les formules classiques de dérivation numérique sont rassemblées dans le tableau 2. IV. Application au cas particulier d une spire circulaire. donner un exemple d application de cette méthode et avoir une idée précise TABLEAU 1 TABLEAU 2

5 76 A des résultats auxquels on est conduit, nous calculerons l induction B et ses dérivées B et B" sur l axe d une spire circulaire de rayon c parcourue par un courant d intensité 1. Bo étant l induction au centre de la spire, B(z), B (z) et ont pour expression analytique : D autre part entre le potentiel vecteur Acp au point P(a, z) et le flux z) on a la relation [4] avec TABLEAU 3

6 Tandis Nous traiterons le cas particulier où c 2a et nous poserons z at. Les formules précédentes s écrivent alors : 77 A Nous donnons dans le tableau (3) les valeurs exactes de B, B et B" calculées à partir des formules. précédentes et celles résultant de l application de la méthode étudiée à partir des valeurs exactes de O Ja2 Bo rassernblées dans le tableau (4). Les erreurs relatives sur B, B et B sont respectivement inférieures à 0,002, 0,01 et 0,01. V. Conclusion. que la plupart des artifices proposés pour déterminer l induction et ses dérivées à partir de le mesure du flux font appel à des sondes différentes ou tout au moins comportant différents enroulements, la méthode précédente utilise une sonde unique ne comportant qu un seul enroulement. De plus elle permet l usage de solénoïde dont le diamètre soit sensiblement égal à celui du canal des pièces polaires des lentilles étudiées. Manuscrit reçu le 26 février TABLEAU 4 BIBLIOGRAPHIE [1] Appl. Research, 1947, vol. B. [2] C. R. Acad. Sc., 2951, 233, [3] DURAND (E.), Électrostatique et magnétostatique. Masson et Cie, éditeur, Paris, 1953, p [4] DURAND (P.), p. 491 et 519.