Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace"

Transcription

1 Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l espace Le théorème de Thalès fait partie des théorèmes que l on rencontre pour la première fois au Collège. Tout d abord sous la forme du théorème des milieux, puis dans la configuration d'un triangle coupé par une droite parallèle à l'un des côtés. Pré requis : - Aire d un triangle. - Droite orientée. - Mesure algébrique. - Application affine et application linéaire associée. - Calcul vectoriel. Cadre : On se placera dans le plan P et l espace E en tant qu espaces affines euclidiens, en notant P ur et E ur leurs espaces vectoriels associés. Plan : I- Configuration triangulaire de Thalès. II- Théorème de Thalès dans le plan. III- Théorème de Thalès dans l espace. IV- Projections dans le plan et l espace. V- Théorème de Ménélaüs. Démonstrations proposées : - Théorème de Thalès dans le plan. - Théorème de Ménélaüs. Rappel : Axiome de Pasch : Étant donné trois points A, B, C, non alignés, si une droite D ne passant par aucun des sommets du triangle C, rencontre l'un des segments ][, ]BC[, ]CA[, alors elle en rencontre un autre.

2 I- Configuration Triangulaire de Thalès. Théorème 1 : Soient 1 et 2 deux droites strictement parallèles du plan P, et soient D et D deux droites sécantes en O, non parallèles à 1, qui coupent respectivement les droites 1 et 2 en OB O A, B et A, B. On a alors = ; O,A,B et O,, sont dans le même ordre. OA O Preuve : 1) On veut montrer que O, A, B sur D et O, A, B sur D' sont dans le même ordre. Pour cela supposons que le point A appartienne à ]OB[. Alors, 1 coupe ]OB[, comme 1 ne passe pas par O elle serait alors confondue avec D et ne passe pas par elle couperait 2 l axiome de Pasch assure alors qu elle coupe ]BB [ ou ]B O[. Supposons qu elle coupe ]BB [ en M. Alors 1 ne serait pas strictement parallèle à 2, donc 1 coupe]ob [. Si c'est le point B qui appartient à ]OA[, une démonstration analogue à la précédente point par point, montre que appartient à ]O[. OB O 2) On veut monter alors que OA O En notant h B la hauteur issue de B et h B la hauteur issue de B, on a : A(OBB ) = 1 2 OB.h B et A(O ) = 1 2 OA.h A ( OB) OB B. D où A ( OA) OA A ( OB) O De même, A(OBB ) =OB.h B et A(OA B) =OA.h B. D où A ( O B) O Montrons alors que A(O )=A(OA B). A(OBB )=A(O ) + A(B ), car A est entre O et B, et donc B et O ont une intersection réduite au segment [ ]. De même, A étant entre O et B, on a A(OBB )=A(OBA ) + A(A BB ). On en déduit que A(O )=A(OA B). OB O Et donc OA O Remarque : Le théorème que nous venons d énoncer est un cas particulier du théorème de Thalès. Un cas plus général est énoncé ci-après. II- Théorème de Thalès dans le plan. Théorème 2 : Soient D 1, D 2, et D 3 trois droites strictement parallèles, et soient d et d deux droites non parallèles à D 1 qui coupent respectivement D 1, D 2, et D 3 en A, B, C et en A, B, C. On a alors :

3 Si d est parallèle à d, le résultat est immédiat puisqu on obtient deux parallélogrammes. On suppose alors d et d sécantes. On note O leur point d intersection. On considère l homothétie h de centre O qui transforme A en B et h l homothétie de centre O qui transforme A en C. uuur uuur uuur uuur Alors il existe α et β appartenant à Ë, tels que : OB = α OA et OC = β OA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur On a alors : AC = AO + OC = ( β 1) OA et = ( α 1) OA. uuur uuur Si α = 1, OB = OA et donc D1 = D 2 ce qui est impossible. uuur 1 uuur uuur β 1uuur On peut alors écrire: OA = d où AC =. α 1 α 1 De plus h(a)=b et h (A )=K où K est l intersection de (OA ) et de la parallèle à (AA ) passant par B. uuuuur β 1uuuuur Donc h(a )=B. On a alors C ' =. α 1 Par le même raisonnement, h (A )=C. De plus A, B et C sont alignés, ainsi que A,B et C. En passant aux mesures algébriques, on a : Proposition 3: (Réciproque du théorème de Thalès). Soient deux droites d et d et trois droites D 1, D 2 et D 3 coupant respectivement d et d en A, B, C,distincts deux à deux, et A, B, C,distincts deux à deux. Si D 1 est parallèle à D 2 et si =, alors D 3 est parallèle à D 1 et D 2. Soit D ' 3 la parallèle à D 1, passant par C qui coupe d en K. D après le théorème direct, = = et comme par hypothèse, =, alors K AC K = C ', et comme A, K et C sont alignés, on a K = C', d où D 3 = D ' 3, et D 3 est parallèle à D 1, et à D 2.. III- Théorème de Thalès dans l espace. Théorème 4 : Soient P 1, P 2 et P 3 trois plans strictement parallèles, et D et D deux droites non parallèles à P 1. On note A, B, C, les points d intersection de D avec P 1, P 2 et P 3. On note également A, B, C ceux de D avec P 1, P 2 et P 3. Alors :

4 Si D et D sont coplanaires, on est ramené au cas du théorème de Thalès dans le plan. On suppose donc D et D non coplanaires. On trace la parallèle D 1 à D passant par A. Elle coupe P 2 en B 1 et P 3 en C 1. On est alors ramené au cas plan du théorème de Thalès dans le plan déterminé par D et D 1. AC AC1 Ainsi, 1 Dans le plan déterminé par D 1 et D, on obtient Donc AC 1 1 C ' Proposition 5 : Si trois points A, B et C, d une droite D et trois points A, B et C, d une droite D vérifient =, et si D et D ne sont pas coplanaires, alors il existe un plan de l espace auquel les trois droites (AA ), (BB ) et (CC ) sont parallèles. Soit deux droites D et D non coplanaires. On a alors (AA ) non parallèle à (BB ), car sinon le plan défini par les droites (AA ) et (BB ) contiendrait D et D. Soit (Ax) la parallèle à (BB ) passant par A, et (By) la parallèle à (AA ) passant par B. Le plan P 1 défini par (AA ) et (Ax), et le plan P 2, défini par (BB ) et (By), sont parallèles car deux sécantes de l un sont parallèles à deux sécantes de l autre. Soit P le plan passant par C parallèle à P 1 et P 2. Il coupe D en K et d après le théorème de Thalès dans l espace : K AC Or =, donc K = C ', et comme A,C et K sont alignés, K = C. Les trois droites sont donc bien dans trois plans parallèles. Remarque : Cet énoncé ne constitue pas une réciproque du théorème de Thalès dans l espace. IV- Projections dans le plan et l espace. I) Dans le plan. Rappel : Dans le plan, étant donné un point M et une droite D, il existe une seule droite d M passant par M et parallèle à D. Si D est une droite non parallèle à D, d M et D sont alors sécantes en un point m.

5 Définition 6 : L intersection de D avec la droite passant par M et parallèle à D est appelée le projeté de M sur D parallèlement à D. L application qui à tout point M du plan associe son projeté m sur D parallèlement à D, s appelle la projection ponctuelle sur D parallèlement à D. Proposition 7 : (Traduction du théorème de Thalès en terme de projection) Soient D et D deux droites non parallèles, et uuur A, B et uuur C, trois points du plan. Si A, B, C sont alignés, il existe un réel λ tel que AC = λ uuuuur, uuuuur alors les projetés A, B, C de A, B, C sur D parallèlement à D vérifient également C ' = λ. (Utilisation direct du théorème de Thalès). Proposition 8 : Les projections conservent les milieux. Cas particulier de la proposition 7. Il suffit de prendre λ = 2. Proposition 9 : L image d un parallélogramme par une projection ponctuelle est un parallélogramme aplati. (On parle de conservation de l équipollence). Soit CD un parallélogramme.

6 uuur uuur Alors = DC, et [AC] et [BD] ont même milieu. D après la proposition 8, [A C ] et [B D ] ont même milieu. Donc A B C D est un parallélogramme. De plus A, B, C et D sont alignés, donc A B C D est un parallélogramme aplati. II) Dans l espace. Rappel : Dans l espace, étant donné un point M et un plan P, il existe un seul plan P M passant par M et parallèle à P. Si D est une droite non parallèle à P, P M et D sont sécants en un point m. Définition 10 : L intersection de D avec le plan passant par M et parallèle à P, est appelée le projeté de M sur D parallèlement à P. L application qui à tout point M de l espace, associe son projeté m sur D parallèlement à P, s appelle la projection ponctuelle sur D parallèlement à P. Définition 11 : L intersection de P avec la droite passant par M et parallèle à D, est appelée projeté de M sur P parallèlement à D. L application qui à tout point M de l espace associe son projeté m sur P parallèlement à D, s appelle la projection ponctuelle sur P parallèlement à D. III) Projection vectorielle associée dans le plan. Définition 12 : Dans le plan, soit p la projection sur D parallèlement à D. L application de ur P dans lui-même qui à tout vecteur u r uuur de représentant associe le vecteur u uur ' uuuuur de représentant avec A et B les projetés de A et B par p, est appelée projection vectorielle associée à la projection ponctuelle p. On la note Π. Proposition 13 : r r Π est ur une ur application linéaire: ( u, v ) P P, α R, on a : r r r r Π u + v = Π u + Π v r r Π α u = α Π u. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; Démonstration r : ur r uuur Soit u P avec u =. α R, α u r uuur uuur a pour représentant AC = α. Alors, d après le théorème de Thalès : uuuuur uuuuur Si A, B, C sont les projetés de A, B et C par p, on a α = C ', c'est-à-dire : uuur uuur uuur α.π( ) = Π( AC ) = Π(α. ) et donc Π(α. u r ) = α.π(u r ). Soit (, ) r r ur ur uuur r uuur r u v P P, et A, B, C trois points de P avec = u et BC = v.

7 Si A, B, C sont les projetés de A, B et C par p, on a : Π(u r uuuuur ) = et Π( v r uuuuur ) = C '. Et donc, Π(u r ) + Π( v r uuuuur uuuuur uuuuur uuur uuur ) = + C ' = C ' = Π( AC uuur ) = Π( + BC ) = Π( u r + v r ). Remarque : Par ce procédé, on vient de démontrer que Π est une application linéaire et donc que p est une application affine. IV) Projection vectorielle associée dans l espace. Dans l espace, on définit de la même manière la projection vectorielle associée à la projection ponctuelle sur P parallèlement à D ou la projection vectorielle sur D parallèlement à P. Sa linéarité entraîne le caractère affine de p. V- Théorème de Ménélaüs dans le plan Théorème 14 : Soit un triangle C, et trois points tels que A soit sur (BC), B soit sur (AC), C soit sur (), tous trois distincts des sommets. B C C ' A Si A, B et C sont alignés, alors on a l égalité suivante : = 1. C A C ' B Supposons A, B, C, alignés sur une droite. Soit p la projection sur (AC) parallèlement à. Les points A, B, C, C, A ont respectivement pour images A, B 1, B, C, B. D après le théorème de Thalès : C ' A A C ' A B1 B B1 B C = = 1, et = = 1. C ' B B1 C ' B A C C C B1 D où le résultat, en multipliant entre elles les deux égalités à 1. Remarque : Le théorème que l on vient d énoncer admet une réciproque qui n utilise pas directement le théorème de Thalès. C est pourquoi elle n est pas mentionnée. Le Théorème de Ménélaüs admet également un énoncé dans l espace.

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Fragments de géométrie du triangle

Fragments de géométrie du triangle Fragments de géométrie du triangle Pierre Jammes (version préliminaire du 2 août 2013) 1. Dénitions On donne ici les dénitions des principaux objets mis en jeu dans le début du texte. Dans le plan euclidien,

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit..

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points )

ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points ) Copie numéro :.. 4 points sont attribués pour l orthographe, le soin, les notations et la rédaction. L utilisation de la calculatrice est autorisée. NE PAS OUBLIER DE RENDRE L ANNEXE AVEC LA COPIE! ACTIVITES

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a.

Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a. Cours 2 BARYCENTRES Définition Un point pondéré est un couple ( A, a ) formé d un point A et d un coefficient réel a 2 Barycentre d un système de plusieurs points pondérés On se place par exemple dans

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

Mathématiques niveau CFG

Mathématiques niveau CFG Mathématiques niveau CFG Chapitre 4 : Géométrie COURS 4 : QUADRILATERES 1. IDENTIFIER UN QUADRILATERE ABCD est une figure géométrique formée de 4 côtés et de 4 sommets : c est un quadrilatère Le segment

Plus en détail

Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013. Test du mercredi 9 janvier Corrigé

Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013. Test du mercredi 9 janvier Corrigé Olympiades Françaises de Mathématiques 202-203 Test du mercredi 9 janvier Corrigé Exercice. Soit ABC un triangle isocèle en A. On note O le centre de son cercle circonscrit. Soit D un point de [BC]. La

Plus en détail

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2 MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Exercice 2. Exercice 3

Exercice 2. Exercice 3 Feuille d eercices n 10 Eercice 1 Une voiture parcours 150 km. Elle effectue une première partie du trajet à la vitesse moyenne de 80 km/h. On notera la longueur de cette partie, eprimée en km Suite à

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques

La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant

Plus en détail

Activités numériques

Activités numériques Sujet et correction Stéphane PASQUET, 25 juillet 2008 2008 Activités numériques Exercice On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre pas 3. b) Ajouter le carré

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

BAREME (Présentation et rédaction : 4 pts)

BAREME (Présentation et rédaction : 4 pts) 10 décembre 2013 Corrigé du Devoir Commun de Mathématiques 3 ème Exercice 1 (3 pts) BAREME (Présentation et rédaction : 4 pts) Le débit d une connexion internet varie en fonction de la distance du modem

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

L essentiel du cours

L essentiel du cours Terminale S et concours L essentiel du cours mathématiques Arithmétique - matrices Jean-Marc FITOUSSI Progress Editions Table des matières Arithmétique 01 LA DIVISIBILITÉ page 6 02 LA DIVISION EUCLIDIENNE

Plus en détail

Géométrie dans l espace

Géométrie dans l espace Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en

Plus en détail

Bissectrices. Daniel Perrin

Bissectrices. Daniel Perrin Bissectrices Daniel Perrin Introduction Le but de ce texte est d essayer de donner une référence fiable sur la question des bissectrices, pour traiter notamment l exposé de CAPES intitulé Droites remarquables

Plus en détail

Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs Exercice Exercices sur les vecteurs ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O () Compléter par un vecteur égal : a) AB = b) BC = c) DO = d) OA = e) CD = () Dire si les affirmations

Plus en détail

Calculs d'aires au Collège

Calculs d'aires au Collège Sommaire Calculs d'aires au Collège Partage de parallélogrammes. Aire d'une couronne, d'une lunule, d'un pentagone : figures avec GéoPlan.. Aire du parallélogramme, du trapèze. Aire du triangle 3. Aire

Plus en détail

CHAPITRE 1 CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES

CHAPITRE 1 CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES CHAPITRE 1 CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES 1. La médiatrice d'un segment 2 2. La bissectrice d'un angle 3 3. Les triangles 4 4. Parallèles et perpendiculaires 6 5. Les parallélogrammes 7 6. Le problème de Napoléon

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

DNB, Métropole, correction, mathématiques

DNB, Métropole, correction, mathématiques DNB, Métropole, correction, mathématiques jeudi 28 juin 2012 Activités numériques, 12 points Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est donnée. Exercice n o 1 1.

Plus en détail

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION

x x² = y x -3-2 -1-0,5 0 0,5 1 2 3 y CHAPITRE 12 I. INTRODUCTION CHAPITRE 2 FONCTIONS I. INTRODUCTION Une fonction est «une machine à transformer des nombres». Par eemple, la fonction «carré» désigne la «machine» qui transforme les nombres en leurs carrés. Ainsi elle

Plus en détail

Partie I : Activités numériques (12 points)

Partie I : Activités numériques (12 points) Correction du brevet blanc février 2011 Exercice n 1 (2 points) 8 + 1 A = 5 6 1 = 8 Partie I : Activités numériques (12 points) Calculer A en détaillant les étapes. Donner le résultat sous forme d une

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

Mathématiques. Enseignement 2010-2012. Clément BOULONNE. Les Maths en Stage. http://cboumaths.wordpress.com. Licence Creative Commons BY: $

Mathématiques. Enseignement 2010-2012. Clément BOULONNE. Les Maths en Stage. http://cboumaths.wordpress.com. Licence Creative Commons BY: $ Enseignement [chapter] Mathématiques [chapter] Clément BOULONNE Les Maths en Stage 2010-2012 http://cboumaths.wordpress.com Licence Creative Commons BY: $ \ C les maths en stage clément BOULONNE S O

Plus en détail

Géométrie vectorielle plane, cours, première S

Géométrie vectorielle plane, cours, première S Géométrie vectorielle plane, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2015 Table des matières 1 Géométrie vectorielle dans un repère 2 1.1 Compléments sur la colinéarité.................................

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

CHAPITRE III VECTEURS

CHAPITRE III VECTEURS CHAPITRE III VECTEURS EXERCICES 1) Recopiez le point A et le vecteur u sur le quadrillage de votre feuille : 4 e Chapitre III Vecteurs a) Construisez le point B tel que AB = u. b) Construisez le point

Plus en détail

CRPE 2011-2012 derniers réglages avant l écrit (2).

CRPE 2011-2012 derniers réglages avant l écrit (2). CRPE 2011-2012 derniers réglages avant l écrit (2). Problème 1 OAB et OAC sont deux triangles distincts, tous les deux isocèles en O et tels que AOB = AOC. D est le symétrique de B par rapport à O. Démontrer

Plus en détail

CORRECTION BREVET BLANC

CORRECTION BREVET BLANC Partie numérique Exercice 1 : CORRECTION BREVET BLANC Question 1 : on teste les trois valeurs en remplaçant x par la valeur. La solution est Question 2 : Les solutions sont et -2 Question 3 : on fait deux

Plus en détail

(2) 1 Côté du carré par rapport au rayon du disque :

(2) 1 Côté du carré par rapport au rayon du disque : Cet article est rédigé par des élèves. Il peut comporter des oublis et imperfections, autant que possible signalés par nos relecteurs dans les notes d'édition. La géométrie de Pierre Année 01-014 LEGENDRE

Plus en détail

Contrôle de mathématiques

Contrôle de mathématiques Contrôle de mathématiques Correction du Lundi 18 octobre 2010 Exercice 1 Diviseurs (5 points) 1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810. D 810 = {1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 81; 90;

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace)

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l espace) Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Géométrie barycentre et produit scalaire dans l espace) Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 24 avril 2011 1. frederic.demoulin

Plus en détail

Zone Europe-Afrique-Asie

Zone Europe-Afrique-Asie Zone Europe-Afrique-Asie Exercice national 1 : Essuie-glaces (les parties 1, et 3 sont indépendantes) On se propose de calculer l aire de la surface essuyée par plusieurs modèles de balais d essuieglace

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S

Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S Géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, cours, terminale S F.Gaudon 21 mars 2013 Table des matières 1 Vecteurs de l'espace 2 1.1 Extension de la notion de vecteur à l'espace.........................

Plus en détail

Brevet blanc de mathématiques

Brevet blanc de mathématiques Brevet blanc de mathématiques avril 2011 L'usage de la calculatrice est autorisé. I Activités numériques 12 points II Activités géométriques 12 points III Problème 12 points Qualité de rédaction et présentation

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Vecteurs dans le plan

Vecteurs dans le plan Vecters dans le plan 1. Définition d n vecter : (classe de seconde) Soient A et B dex points d plan. La translation transformant A en B est la transformation qi transforme tot point M en n point M tel

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

MATHEMATIQUES BREVET BLANC. Vendredi 3 Avril 2015

MATHEMATIQUES BREVET BLANC. Vendredi 3 Avril 2015 MATHEMATIQUES BREVET BLANC Vendredi 3 Avril 2015 Exercice 1 : ( 2,5 points) Un sac contient 5 boules noires numérotées de 1 à 5 et 3 boules blanches numérotées de 1 à 3. Chacune de ces boules a la même

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

Corrigé Exercice 1 : ROBOT 2 AXES.

Corrigé Exercice 1 : ROBOT 2 AXES. TD 11 corrigé - Cinématique graphique - Composition des vecteurs vitesses Page 1/8 Corrigé Exercice 1 : ROBOT 2 AXES. Question 1 : Tracer les trajectoires TB 2/1, TA 1/0 et TB 1/0. Le mouvement de 2/1

Plus en détail

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire

Séquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé

X-ENS PSI - 2009 Un corrigé X-ENS PSI - 009 Un corrigé Première partie.. Des calculs élémentaires donnent χ A(α) = χ B(α) = X X + et χ A(α)+B(α) = X X + 4α + 4 On en déduit que Sp(A(α)) = Sp(B(α)) = {j, j } où j = e iπ 3 Sp(A(α)

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays.

Tous droits de traduction, de reproduction et d adaptation réservés pour tous pays. Maquette de couverture : Graphir Maquette intérieure : Frédéric Jély Mise en page : CMB Graphic Dessins techniques : Gilles Poing Hachette Livre 008, 43, quai de Grenelle, 790 Paris Cedex ISBN : 978--0-8-

Plus en détail

Exercices de géométrie affine et euclidienne

Exercices de géométrie affine et euclidienne Exercices de géométrie affine et euclidienne version du 22 décembre 2006 Quadrilatère Composition de symétries centrales Composition d homothéties Le trapèze Polygone des milieux Le tourniquet dans le

Plus en détail

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014

Angles orientés. exercices corrigés. 21 février 2014 exercices corrigés 21 février 2014 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Exercice 6 Exercice 7 Exercice 8 Exercice 9 Exercice 1 Enoncé Soit A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm.

Plus en détail

Géométrie Vectorielle

Géométrie Vectorielle Géométrie Vectorielle M Renf Jean-Philippe Javet Sources : http://www.josleys.com Table des matières Vecteurs, composantes - points, coordonnées. Les vecteurs..........................................

Plus en détail

Journées Nationales APMEP : Atelier géométries non-euclidiennes. 1. Quelle est la somme des angles d un triangle de la sphère unitaire S 2?

Journées Nationales APMEP : Atelier géométries non-euclidiennes. 1. Quelle est la somme des angles d un triangle de la sphère unitaire S 2? Journées Nationales APMEP : Atelier géométries non-euclidiennes IREM DE GRENOBLE Quatre questions de géométrie ont été proposées aux participants de l atelier des Jounées Nationales de Grenoble : 1. Quelle

Plus en détail

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME 2012 FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME NOUS VOUS PRESENTONS ICI UN FORMULAIRE CONTENANT LES DEFINITIONS, PROPRIETES ET THEOREMES VUS EN COURS DE MATHEMATIQUES TOUT AU LONG DE VOTRE SCOLARITE

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7

Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Brevet Juin 2007 Métropole Réunion Corrige Page 1 sur 7 Exercice 1 : ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) 1. (3x + 5)² = (3x) 2 + 2 3x 5 + 5 2 = 9x² + 30x + 25 2. 4(4 + 1) = 20 (4 + 1)(4 2) = 10 (4 + 1)² =

Plus en détail

Corrections preparation BB 2012

Corrections preparation BB 2012 Corrections preparation BB 2012 Brevet 2007 - Solution Activités numériques 1 Les explications ne sont pas demandées mais nous vous les fournissons tout de même. 1) la bonne réponse est 9x 2 + 30x + 25

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2

Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Devoir commun Décembre 2014 3 ème LV2 Collège OASIS Corrigé de l Epreuve de Mathématiques L usage de la calculatrice est autorisé, mais tout échange de matériel est interdit Les exercices sont indépendants

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

CALQUES GÉOMÉTRIQUES UN LOGICIEL POUR AIDER A LA COMPREHENSION DES FIGURES GEOMETRIQUES

CALQUES GÉOMÉTRIQUES UN LOGICIEL POUR AIDER A LA COMPREHENSION DES FIGURES GEOMETRIQUES 155 UN LOGICIEL POUR AIDER A LA COMPREHENSION DES FIGURES GEOMETRIQUES La géométrie, par la richesse de ses situations, est une matière privilégiée pour l'apprentissage du raisonnement et de la démonstration.

Plus en détail

I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) BREVET BLANC 1_DECEMBRE 2011 I-ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) Exercice 1 : (4 pts) Soit les expressions 1) Calculer A et B en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

13. Géométrie analytique

13. Géométrie analytique 13. Géométrie analytique La géométrie analytique permet de résoudre par le calcul des problèmes de géométrie. Il convient toutefois de ne pas perdre de vue que la géométrie analytique est d abord de la

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Triangle rectangle et cercle

Triangle rectangle et cercle Objectifs : 1 Savoir reconnaître et tracer une médiane. 2 Connaître et savoir utiliser la propriété qui caractérise le triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle. 3 Connaître et savoir

Plus en détail

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme...

Espaces affines. 2 Applications affines 7. 2.2 Projections et symétries affines ; affinités... 8 2.3 Alignement et parallélisme... Maths PCSI Cours Espaces affines Table des matières 1 Espaces et sous-espaces affines 2 1.1 Espaces affines et translations.................................... 2 1.2 Exemples d espaces affines......................................

Plus en détail

Mathématiques. Première S. Rédaction : Philippe Bardy Sébastien Cario Isabelle Tenaud. Coordination : Jean-Michel Le Laouénan

Mathématiques. Première S. Rédaction : Philippe Bardy Sébastien Cario Isabelle Tenaud. Coordination : Jean-Michel Le Laouénan Mathématiques Première S Rédaction : Philippe Bardy Sébastien Cario Isabelle Tenaud Coordination : Jean-Michel Le Laouénan Ce cours est la propriété du Cned Les images et textes intégrés à ce cours sont

Plus en détail