THEOREMES DES MILIEUX DROITES PARALLELES Corrigés 1/9

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1 DROITES PARALLELES Corrigés 1/9 Corrigé 01 Corrigé 02 On sait que ABC est un triangle, que I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ BC ]. (IJ) est donc parallèle à la droite (BC). Corrigé 03 On sait que ABC est un triangle. On sait que I est le milieu de [ AB ] et que (IJ) est une droite parallèle à (BC). Par conséquent J est le milieu de [ AC ]. Corrigé 04 On sait que I et J sont les milieux respectifs de [ AB ] et [ AC ]. On sait que BC mesure 5 cm. Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. Par conséquent IJ mesure 2,5 cm. Corrigé 10 1/ On sait que ABC est un triangle rectangle en B donc (AB) est perpendiculaire à (BC). On sait que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (BC). Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles. Par conséquent, la droite (IJ) est parallèle à (AB). 2/ On sait que la droite (IJ) est parallèle à (AB) et on sait que I est le milieu de [ AC ]. Par conséquent, J est le milieu de [ BC ].

2 DROITES PARALLELES Corrigés 2/9 Corrigé 11 On sait que A, B et C sont trois points non alignés, donc ABC est un triangle. On sait que A le symétrique de C par rapport à A et B le symétrique de C par rapport à B, par conséquent A est le milieu de [ A C ] et B est le milieu de [ CB ]. (AB) est donc parallèle à (A B ). Corrigé 12 1/ On sait que AD = 1/2 AB par conséquent DB = 1/2AB et comme AB = DE car les triangles sont DE. identiques, DB = 1/2DE. B est donc le milieu de [ ] On sait que DJ = 1/2 DF par conséquent J est le milieu de [ DF ]. Dans le triangle DEF, la droite (JB) est donc parallèle à la droite (FE). C,J et B sont alignés donc (CB) est parallèle à (FE). 2/ CB. Dans le triangle ABC, la droite (IJ) est donc parallèle à la droite (AE). On sait que I est le milieu de [ AC ] et que J est le milieu de [ ] Dans le triangle DEF, on sait donc que la droite (JK) est parallèle à la droite (DE). On sait que J est aussi le milieu de [ DF ]. Par conséquent, K est le milieu de [ FE ].

3 DROITES PARALLELES Corrigés 3/9 Corrigé 13 On sait que ABC un triangle équilatéral et que I est le pied de la hauteur issue de A et que J le pied de la hauteur issue de B. Dans un triangle équilatéral, les 4 droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues. Par conséquent, les hauteurs sont aussi des médianes et donc I est le milieu de AC. [ CB ] et J le milieu de [ ] (IJ) est donc parallèle à (AB). Corrigé 14 On sait que C est un cercle de centre O et de diamètre [ AB ]. Donc O est le milieu de [ ] On sait que (OC) est parallèle à (BI). Par conséquent C est le milieu de [ AI ]. AB. Corrigé 15 AD. Par conséquent, (HE) est parallèle à (DB). On sait que dans le triangle ABD, E est le milieu de [ AB ] et que H est le milieu de [ ] DC. Par conséquent, (GF) est parallèle à (DB). On sait que dans le triangle BCD, F est le milieu de [ BC ] et que G est le milieu de [ ] Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (HE) est parallèle à (GF). Corrigé 16 On sait que ABC est un triangle, que M est le milieu de [ AB ] et que (BC) est parallèle à (MO). O est donc le milieu de [ AC ].

4 DROITES PARALLELES Corrigés 4/9 On sait que, dans le triangle ABC, O est le milieu de [ AC ]. On sait que (ON) est parallèle à (AB). N est donc le milieu de [ BC ]. Corrigé 17 On sait que ABCD un rectangle de centre O, donc O est le milieu de [ AC ] dans le triangle ACF. On sait que (BD) qui passe par O est parallèle (FE). Par conséquent B est le milieu de [ FC ]. On sait que O est le milieu de [ AC ] dans le triangle ACE. On sait que (BD) qui passe par O est parallèle (FE). Par conséquent D est le milieu de [ EC ]. Corrigé 18 On sait que ABCD est un losange, que ABD est un triangle et que E est le milieu de [ AB ]. On sait que (AD) est parallèle à (EF). Par conséquent F est le milieu de [ DB ]. On sait que ABCD est un losange, que ACD est un triangle et que F est le milieu de [ AC ]. On sait que (AD) est parallèle à (FG). Par conséquent G est le milieu de [ DC ]. Corrigé 20 OA OB = OA OB = AA BB

5 DROITES PARALLELES Corrigés 5/9 Corrigé 21 Dans le triangle, IKK, on sait que (KK ) et (JJ ) sont deux droites parallèles. J appartient à [ IK] et J appartient à [ IK ]. IK = 7,7 cm et IJ = 5,7 cm, par conséquent KJ mesure 2 cm car les points I,J et K sont alignés. KK = 6,5 cm IK = 10,3 cm IJ IK = IJ IK = JJ KK Calculons JJ KK x IJ 6,5 x 5,7 JJ = = = 4,8 IK 7,7 JJ mesure 4,8 cm. JJ x IK IJ = KK IJ = 4,8 x 10,3 / 6,5 = 7,6 cm IJ mesure 7,6 cm. Corrigé 22 Pour montrer que le triangle est isocèle, il faut montrer que AC = AB Dans le triangle ABC, on sait que (MN) et (CB) sont deux droites parallèles. M appartient à AB. [ AC ] et N appartient à [ ] AM AC = AN AB = MN CB AB = CB x AN MN AB = 4,9 x 4,1 / 3,5 = 5,7 AB mesure 5,7 cm AB est égal à AC, le triangle ABC est donc isocèle de sommet A.

6 DROITES PARALLELES Corrigés 6/9 Corrigé 23 1/ BC. (IJ) est donc parallèle à la droite (AC). On sait que ABC est un triangle, que I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ ] 2/ On sait que ABC est un triangle isocèle, donc AB = BC = 5 cm. On sait que I est le milieu de [ AB ] et J le milieu de [ BC ], donc BI = BJ = 2,5 cm On sait que (IJ) est parallèle à la droite (BC). D après la propriété des triangles proportionnels, on a donc dans le triangle ABC : BI BA = BJ BC = IJ AC BI BA = BJ BC = 1 2 IJ AC = 1 2 AC = 2 IJ AC = 2 x 3 AC = 6 cm AC mesure 6 cm. Corrigé 24 Dans le triangle, ABC, on sait que (PO) et (CB) sont deux droites parallèles. O appartient à [ AC ] et P appartient à [ AB ]. AO = 3 PO = 6 AP = 4,9 PB = 1,9 AO OC = AP AB = OP CB Pour calculer le périmètre de la figure, il nous faut calculer OC et CB. OC = AB x AO / AP AB = AP + PB car A,P et B sont alignés. AB = 4,9 + 1,9 = 6,8 cm OC = 6,8 x 3 /4,9 = 4,2 cm. CB = AB x OP / AP CB = 6,8 x 6 / 4,9 CB = 8,3 Périmètre de la figure = AO + OC + CB + AB Périmètre de la figure = 3 + 4,2 + 8,3 + 6,8 = 22,3

7 DROITES PARALLELES Corrigés 7/9 La figure mesure 22,3 cm. Corrigé 25 1/ Dans le triangle EAC, on sait que (FB) et (EC) sont parallèles. On sait que F appartient au segment [ EA ] et que B appartient au segment [ AC ]. On sait que : EF = 2,3 cm, FA = 5,8 cm donc EA = 8,1 cm EC = 10 cm AF AE = AB AC = BF CE AF x CE BF = AE BF = 5,8 x 10 / 8,1 = 7,2 cm BF mesure 7,2 cm 2/ Dans le triangle ADE, on sait que (DE) et (GF) sont parallèles. On sait que F appartient au segment [ EA ] et que G appartient au segment [ DA ]. On sait que : FA=5,8 cm, EA = 8,1 cm AG = 3,6, DG = 1,4 donc AD =5 cm ED = 7,7 cm AF AE = AG AD = FG DE AF x DE FG = AE 5,8 x 7,7 FG = 8,1 FG = 5,5 cm FG mesure 5,5 cm. Corrigé 26 On sait que : DC = 95 cm AD = 30 cm AE = 11 cm. Les panneaux sont tous les deux verticaux donc ils sont parallèles. E appartient au segment [ AD ], B appartient au segment [ AC ].

8 DROITES PARALLELES Corrigés 8/9 AE AD = AB AC = EB DC AE x DC EB = AD 11 x 95 EB = 30 EB = 35 cm Le panneau rouge mesure 35 cm de haut. Corrigé 27 On sait que (DB) et (EC) sont toutes deux perpendiculaires à (AC) par conséquent (DB) et (EC) sont parallèles entre elles. D appartient à [ AE ] et B appartient à [ AC ]. AC = 3,5 km BC = 1 km donc AB = 2,5 km car A,B et C sont alignés. EC = 3 km AB AC = AD AE = DB EC AB x EC DB = AC DB = 2,5 x 3 3,5 DB = 2,1 km L avion est à 2,1 km d altitude lorsqu il passe à la perpendiculaire de la forêt. Corrigé 28 1/ On sait que ABCD est un rectangle. DH = 2 m DC = 4,7 m FG = 1,6 m FH = 4,4 m (FH) est parallèle à (EC) donc (GH) est parallèle à (BC) car les points F,G et H sont alignés et les points E, B et C le sont également. Dans le rectangle, on a donc : DH = AG = 2 m DC = AB = 4,7 m et par conséquent GB = 2,7 m Dans le triangle, ABE, on sait que (FG) et (EB) sont deux droites parallèles. F appartient à [ AE] et G appartient à [ AB ].

9 DROITES PARALLELES Corrigés 9/9 AG AB = AF AE = FG EB EB = FG x AB AG EB mesure 3,8 m. = 1,6 x 4,7 2 = 3,8 2/ Dans le triangle ABE rectangle en B, on a d après le théorème de Pythagore : AE² = AB² + BE² AE² = 4,7² + 3,8² AE = 4,7² + 3,8² AE = 6 m 3/ Superficie ADCBE = Superficie ABE + superficie ABCD Superficie ABE = AB x AE 2 = 4,7 x 3,8 2 Superficie ABCD = AB x BC BC = GH= FH - FG (points alignés) BC = 4,4 1,6 = 2,8 m Superficie ABCD = 4,7 x 2,8 = 13,2 m² = 8,9 m² Superficie ADCBE = Superficie ABE + superficie ABCD Superficie ADCBE = 8,9 + 13,2 = 22,1 m² La superficie de ADCBE est de 22,1 m². 4/ Superficie de ADD A E = 2 x superficie ADCBE La superficie du pignon de la maison est de 44,2m².

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