UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J.

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1 Année UNIVERSIÉ DE CERGY LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESION Seconde année - Semestre 3 PROBABILIÉS Cours de M. J. Stéphan ravaux Dirigés de Mme M. Barrié, M. J-M. Chauvet et M. J. Stéphan Livret d exercices I : Dénombrement 1

2 2 Exercice I Le morse utilise deux signaux : et «-». Un mot d ordre n est une succession de n signaux. 1. Combien de mots d ordre 3 (respectivement d ordre n) peut-on écrire? 2. Combien de mots d ordre n commençant et finissant par un peut-on écrire? Exercice II Calculer «à la main» les nombres suivants : A 10 10, ( 32 1 ), A 1 10, ( ) 12, A , A 8 12, ( ) 35, A Exercice III Le code confidentiel d une carte bancaire est un nombre de quatre chiffres pris parmi les 10 chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 1. Combien y-a-t-il de codes possibles? 2. Déterminer le nombres de codes : (a) qui sont des nombres pairs. (b) dont les quatre chiffres sont pairs. (c) dont les quatre chiffres sont distincts deux à deux. (d) qui contiennent une seule et unique fois le chiffre "9". Exercice IV On rappelle qu un jeu de 32 cartes contient l As, le 7, le 8, le 9, le 10, le valet, la dame et le roi de coeur, de carreau, de pique et de trèfle. Une «main» est un un ensemble de cinq cartes. 1. Combien y-a-t-il de «mains» différentes dans un jeu de 32 cartes? 2. Déterminer le nombre de «mains» qui : (a) contiennent le 7 de coeur. (b) contiennent exactement trois coeurs. (c) contiennent trois coeurs dont le roi de coeur. (d) contiennent la dame et le roi de coeur et deux trèfles. (e) contiennent au moins un coeur. (f) ne contiennent aucune «figure». (g) contiennent deux coeurs et trois piques Exercice V Un jury est composé de 7 membres tirés au sort parmi 12 hommes et 9 femmes. Combien de jurys peut-on former 1. comportant trois femmes et quatre hommes? 2. comportant au moins une femme 3. sachant que Madame X refuse de siéger avec Monsieur Y?

3 3 Exercice VI Une anagramme est une permutation des lettres d un mot. Par exemple MIGRAINE et IMAGI- NER. On s intéresse ici à toutes les anagrammes «mathématiques» possibles qui n ont pas forcément de signification. Déterminer le nombres d anagrammes des mots : MAHS, PAES, RESSES et ERRESRES. Exercice VII Une urne contient 5 boules blanches numérotées de 1 à 5 et 4 boules rouges numérotées de 1 à 4. On tire simultanément 3 boules. Combien y-a-t-il de tirages : 1. au total? 2. contenant 3 boules de même couleur? 3. contenant 1 boule blanche et 2 boules rouges? 4. contenant au moins une boule blanche? 5. contenant au plus une boule blanche? Exercice VIII On réparti sept jetons numérotés de 1 à 7, dans trois urnes U 1, U 2, U Combien de répartitions sont possibles? 2. Parmi ces répartitions, combien y en a-t-il où (a) l urne U 1 reste vide? (b) deux des trois urnes restent vides? (c) l urne U 1 est la seule qui reste vide? (d) une seule des trois urnes est vide? (e) aucune des trois urnes n est vide. Exercice IX On tire une à une cinq cartes en les remettant à chaque étape d un jeu de 32 cartes. Combien y-a-t-il de cas où : 1. on tire cinq fois la même carte? 2. les cinq cartes sont toutes différentes? 3. on tire au moins deux fois la même carte? Développer les expressions suivantes : 1. P (x) = (x 1) 5 2. Q(a, b) = ( 3a + 2b) 4 Exercice X

4 4 UNIVERSIÉ DE CERGY Année LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE / LICENCE de GESION Seconde année - Semestre 3 PROBABILIÉS Feuille d exercices N 2 : Espaces probabilisés Exercice I Dans un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) (ou plus simplement noté Ω), calculez la probabilité de l événement contraire de A dans les cas suivants : a)p(a) = 2 b)p(a) = 0 c)p(a) = 0, 24 3 Exercice II On considère l espace probabilisé Ω = {a, b, c}. Calculez la probabilité P({c}) sachant que P({a}) = 1 3 et P({b}) = 1 5 Exercice III On considère deux événements A et B d un espace probabilisé Ω tels que P(A) = 1 2, P(B) = 5 8 et P(A B) = 3 4. Calculer les probabilités : P(B), P(A B), P(A B), P(A B) et P(A B). Exercice IV Soient E 1 ete 2 deux événements d un même espace probabilisé Ω tels que P(E 1 ) = 0, 3 et P(E 2 ) = 0, 5. Calculer P(E 1 E 2 ), P(E 1 E 2 ), P E2 (E 1 ) et P E1 (E 1 E 2 ) dans les trois cas suivants : 1. E 1 et E 2 sont incompatibles. 2. E 1 et E 2 sont indépendants. 3. P(E 1 E 2 ) = 0, 7. Exercice V extrait du est d octobre 2012 Lors d un examen, on évalue la proportion des étudiants fraudeurs à p [0; 1]. On sait que 50% des étudiants non fraudeurs sont capables de répondre correctement à l exercice 3, alors que 90% des étudiants fraudeurs répondent correctement à cette question. On note l événement : «l étudiant a fraudé à l exercice V» J l événement : «l étudiant a répondu de manière correcte à l exercice V» 1. Déterminer en fonction de p la probabilité P(J). 2. Sur la copie que l enseignant lit, la réponse est correcte. Montrer que, dans ce cas, la 9p probabilité que l étudiant ait triché est égale à 4p L enseignant décide d annuler l exercice si la proportion de réponses justes dans le paquet de copies est supérieure à 0, 7. Quelle valeur p ne doit-elle pas dépasser?

5 5 Exercice VI extrait du est d octobre 2011 Dans le but de dépister une maladie dans une population, on dispose d un test de dépistage qui possède les caractéristiques suivantes : La probabilité qu une personne malade ait un test positif est de 0, 99 La probabilité qu une personne non malade ait un test négatif est aussi de 0, 99 On estime la proportion des personnes malades à f (où f est un réel appartenant à [0, 1]). On note M l événement «la personne est malade» et l événement «le test est positif». M et désignent respectivement les événements contraires de M et. 1. Reproduire et compléter l arbre de probabilité suivant : f M M Dans la suite, tous les résultats seront donnés sous forme littérale (c-a-d en fonction de f). 2. Déterminer la probabilité de l événement M. 3. Déterminer la probabilité de l événement. 4. Démontrer que la probabilité d un «faux positif», c est-à-dire la probabilité qu une personne qui a un test positif ne soit pas malade est : P (M) = 1 f 98f + 1. Exercice VII extrait du est d octobre 2012 Les trois parties de cet exercice sont indépendantes entre elles. ous les résultats seront donnés sous forme de fractions rationnelles irréductibles. Une urne contient 8 boules : 5 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher. Première partie : On tire au hasard simultanément 3 boules parmi les Décrire l univers associé à cette expérience aléatoire et donner son cardinal. 2. Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : (a) A : «on a tiré trois boules blanches» (b) B : «on a tiré exactement une boule noire» Seconde partie : On tire au hasard successivement et avec remise 3 boules. On suppose les tirages indépendants les uns des autres. On note N i l événement «on a tiré une boule noire au i ième tirage» (i {1; 2; 3}) 1. Que peut-on dire de P N1 (N 2 ) et P(N 2 )? 2. Décrire à l aide des événements N i et des connecteurs logiques, les événements : (a) C : «on a tiré deux boules noires puis une boule blanche» (b) D : «on a tiré exactement deux boules noires» 3. Déterminer les probabilités des événements C et D. 4. Calculer la probabilité de l événement E «on a tiré au moins une boule noire»

6 6 roisième partie : On tire au hasard, successivement et sans remise, trois boules de l urne. 1. Pour cette expérience aléatoire, un étudiant choisi de prendre comme univers Ω l ensemble des 3-listes d éléments pris dans {N, N} (où N est l événement «on a tiré une boule noire») : quel est alors le cardinal de Ω? En quoi cette idée peut être source d erreurs dans le calcul de la probabilité d un événement? 2. Comme dans la seconde partie, on note N i l événement «on a tiré une boule noire au i ième tirage» (i {1; 2; 3}) Décrire à l aide des événements N i et des connecteurs logiques, les événements : (a) F : «on a tiré trois boules noires» (b) G : «on a tiré une boule noire au second tirage» 3. Calculer la probabilité de l événement F en écrivant explicitement la formule des probabilités composées. 4. Calculer la probabilité de l événement G. Exercice VIII On dispose de trois urnes contenant chacune 8 boules : dans U 1, il y a 3 boules blanches, dans U 2, 4 boules blanches et dans U 3, 2 boules blanches. On lance un dé bien équilibré : si un chiffre impair apparaît on tire une boule dans U 1, si le «2» apparaît on tire une boule dans U 2, sinon on tire une boule dans U Quelle est la probabilité d obtenir une boule blanche? 2. On a tiré une boule blanche, quelle est la probabilité que la face du dé soit un chiffre pair? Exercice IX Un sac contient 9 jetons numérotés de 1 à 9. On suppose que tous les tirages sont équiprobables. On tire successivement trois jetons : les trois chiffres obtenus permettent de former un nombre de [[111, 999] : le premier chiffre tiré correspond au chiffre des unités, le second au chiffre des dizaines et le troisième au chiffre des centaines. 1. Les tirages se font sans remise. Décrire l univers associé à cette expérience aléatoire. Calculez la probabilité des événement suivants : (a) A : «Le nombre obtenu a 9 pour chiffre des unités». (b) B : «Le nombre obtenu comporte le chiffre 9». (c) C : «La somme des trois chiffres est égale à 9». 2. Les tirages se font avec remise. Décrire l univers associé à cette expérience aléatoire. Calculez la probabilité que le chiffre 9 apparaisse une fois exactement dans le nombre obtenu. Exercice X Une urne contient 10 boules : 6 blanches et 4 noires. On effectue dans l urne n tirages d une boule avec remise après chaque tirage. Quelle est la probabilité des événements suivants : 1. E : «on n obtient aucune boule blanche» 2. F : «on obtient 1 boule blanche suivie de (n 1) boules noires» 3. G : «on obtient exactement une boule blanche» 4. A k : «on obtient k boules blanches suivies de (n k) boules noires» (Pour k [[1, n]) n 5. B k : «on obtient k boules blanches» (Pour k [[0, n]). Vérifier que P(B k ) = 1. k=0

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