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1 1 Exercices d introdution Exercice 1 (Des cas usuels) 1. Combien y a-t-il de codes possibles pour une carte bleue? Réponse : Combien y a-t-il de numéros de téléphone commençant par 0694? Réponse : Combien y a-t-il de mots (ayant un sens ou non) de 5 lettres de l alphabet occidental? Réponse : 26 5 = Exercice 2 Pour son vélo, Toto possède un antivol à code qui est une succession de trois chiffres compris entre 0 et 9. Mais Toto a oublié son code. 1. Combien de combinaisons doit-il essayer dans le pire des cas avant de retrouver la bonne? 2. Même question en supposant que Toto se souvient que son code (a) commence par le n o 8 ; (b) se termine par un chiffre pair ; (c) ne contient que des chiffres pairs ; (d) ne contient que des chiffres impairs ; (e) contient au moins un chiffre pair ; (f) contient exactement un chiffre pair. Un corrigé de Toto doit essayer 10 3 combinaisons au maximum. 2. (a) 10 2 ; (b) 500 ; (c) 5 3 = 75 ; (d) 75 ; (e) = 925 ; (f ) = Exercice 3 On veut placer huit boules dans onze boites numérotéss de 1 à 11. De combien de façon peut-on le faire si l on met dans chaque coffre : 1. au plus une boule et (a) les boules sont toutes différentes? (b) les boules sont identiques? 2. un nombre quelconque de boules (qui sont deux à deux distinctes)? Exercice 4 Six chevaliers ont le choix de six tavernes pour giter ce soir. Ils choisissent chacun une taverne au hasard. Déterminer le nombre de solutions possibles si on suppose : (i) qu il n y ait aucune rencontre? (ii) que trois cavaliers se rencontrent et que les trois autres ne se rencontrent pas? Exercice 5 Un diététicien rédige le régime de 120 patients. Il ordonne que : 24 mangent de la viande grillée, 15 mangent des œufs, 6 mangent des œufs et de la viande grillée. 1. Combien de patients mangent (i) des œufs ou de la viande grillée. (ii) des œufs mais pas de viande grillée. 2. On constitue un groupe quatre patients parmi les 120 de l échantillon. Dénombrer les groupes tels que : (a) aucun des quatre patients ne mangent des œufs ou de la viande grillée. (b) exactement trois patients mangent des œufs mais pas de viande grillée. (c) exactement trois patients mangent des œufs et de la viande grillée. Hypokhâgne B/L 2010/2011 1/5 Lycée Félix Éboué, le 23/03/11

2 2 Applications, familles, p listes 2.1 Vocabulaire Exemple 1 (Code) Un code de carte bleue est la donnée de quatre chiffres numérotés (car l ordre compte) C 1, C 2, C 3, C 4, éléments de {0,,9}. On peut donc le voir comme une application de [[1;4]] dans {0,,9}. Réciproquement, toute application [[1; 4]] u {0,,9} détermine un et un seul code : (C 1,C 2,C 3,C 4 ), avec C 1 = u(1),,c 4 = u(4). Définition 1 (p liste) Soient U un ensemble et p un entier naturel. Une p liste de U est une application de [[1, p]] dans U. Construire une p liste de U revient à choisir l image x 1 de 1,, l image x p de p. Il est équivalent de choisir une famille (x 1,, x p ) d éléments de U. Construire une p liste de U revient à choisir choisir successivement (en tenant compte de l ordre) p éléments de U (avec repetitions possibles). Remarque 1 (Convention) U 0 = { }, c est-à-dire que est la seule 0 liste de U (et Card(U 0 ) = 1). Exemple 2 (Suite numérique) De même, une suite de scalaires (x n ) n N définit une application { N K x : i x(i) := x i. On note K N l ensemble des suites à valeurs dans K. Proposition 2 (Nombre de p-listes) Si U est fini alors l ensemble des p listes U p est fini et possède [Card(U )] p éléments. Plus généralement, si Card(E) = p et Card(F ) = n alors Card ( F E) = n p. Exercice 6 (Démonstration de la proposition) On pose n = Card(U ) et on montre par récurence sur p 0 que Card(U p ) = n p. 1. Justifier que, lorsque p = 0, les conventions concernant U 0 et n 0 sont cohérentes. 2. Que vaut Card(U 1 )? 3. Hérédité : Soit un entier k 1. On suppose que : Card(U k ) = n k (HR). On souhaite montrer que : Card(U k+1 ) = n k+1 (CR). (a) Combien existe-t-il d applications de [[1, k]] dans U? ϕ (b) Soit [[1,k]] U l une d elles. Combien f admet-elle de prolongements à [[1,k + 1]]? (c) En déduire (CR). 4. Conclure ; puis étudier le cas particulier n = p. Remarque 2 (Autre formulation) Soient E et J deux ensembles. On note A (J,E) ou E J l ensemble des applications de J vers E. Si E et J sont finis alors E J est fini et Card(E J ) = Card(E) Card(J). Soient E et F deux ensembles. Définition 3 (Application de E dans F) Lorsqu à tout élément x de E on associe un unique élément y = u(x) de F, on dit qu on définit une application u de E dans F. On note E u F. Hypokhâgne B/L 2010/2011 2/5 Lycée Félix Éboué, le 23/03/11

3 Définir une application u de E dans F c est associer, à chaque élément x de E, un et un seul élément u(x) de F. L ensemble des applications de E dans F est noté F E. Exercice 7 (Illustration) Étudier l injectivité des applications suivantes : { { { R R R R R R c : x x 2 ; C : x x 3 ; α : x x ; Exemple 3 (Application induite par une fonction) La fonction f définit sur R par f (x) = 1 x 2 1 induit une application de D f = R \ { 1;1} dans R (qu on note encore f ). Définition 5 (Arrangement) Soient un entier p 1 et un ensemble U. Un arrangement p à p des éléments de U est une injection de [[1, p]] dans U. 3 Injections et arrangements On considère deux ensembles E et F ainsi qu une application E Définition 4 (Injection) On dit que f est une injection si pour tous x, x E, f (x) f (x ) dès que x x. Remarque 3 (Caractérisations d une injection) Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) f est injective ; (ii) Contraposée : pour tous x, x E, si f (x) = f (x ) alors x = x ; (iii) tout élément de F admet au plus un antécédent par f. f F. Choisir un arrangement p à p des éléments de U revient à : choisir une p liste (x 1,, x p ) de U où les x i sont deux à deux distinctes ; c est-à-dire : choisir successivement (en tenant compte de l ordre) p éléments dans U, sans répétition. Proposition 6 (Nombre d arrangements) On suppose que U est est un ensemble fini et on pose n = Card(U ). Le nombre d arrangements p à p des éléments de U ne dépend que de n et p et se note A p n. De plus : si 1 p n alors A p p 1 n = (n i) = n(n 1) (n p + 1) ; si 0 n < p alors A p n = 0. Exemple 4 (Cas extrèmes) Pour p = 0, on convient que A 0 n = 1. Pour n = 0 (c est-à-dire si U = ), le nombre d arrangements p à p est i=0 A p 0 = { 1 si p = 0 0 si p 1. Remarque 4 (Rappel{ : suite factorielle) 0! = 1 Elle est définie par : n! = n (n 1)! si n 1. Hypokhâgne B/L 2010/2011 3/5 Lycée Félix Éboué, le 23/03/11

4 Lorsque n 1, on peut écrire n! = n k = 1 2 (n 1) n. k=1 Exemple d application : si 1 p n alors A p n = Exercice 8 (Démonstration de la propostion) Soient n et p deux entiers naturels. 1. Justifier les cas n = 0, p = 0 et p = Hérédité : Soit k un entier tel que 1 k < n. On suppose que A k n = n! (H k ). (n k)! On souhaite montrer que A k+1 n! n = (n k 1)! On note pour cela E = {a 1,, a n } et J = {b 1,,b k,b k+1 }. (i) Combien y-a-t-il d injections de J = {b 1,,b k } dans E? (H k+1 ). n! (n p)!. (ii) Soit J u E une injection. Combien admet-t-elle de prolongements à J injectifs. (iii) En déduire le nombre d injections de J = J {b k+1 } dans E. 3. Prouver que la propriété (H k ) est héréditaire dans le cas k n. Conclure en synthétisant tous les cas. 4 Bijections et permutations Soient E, F deux ensembles et E f F une application. Définition 7 (Bijection) On dit que f est une bijection si tout élément de F admet un et un seul antécédent par f, i.e. pour tout y F, il existe un unique x E tel que f (x) = y. Exercice 9 (Bijection complexe) Montrer que la fonction complexe f : z 3z + i induit une bijection sur son ensemble i z + 1 de définition. Déterminer l application réciproque. Définition 8 (Permutations) Soit U un ensemble. Une permutation de U est une bijection de U dans U. Remarque 5 (Cas d un ensemble fini) Supposons que U = {u 1,,u n }. Construire une permutation U revient à choisir une n liste (x 1,, x n ) de U où : pour tout i [[1,n]], x i est l image de u i ; les x i sont deux à deux distincts. Comme Card(U ) = n, alors {u 1,,u n } = {x 1,, x n }. Construire une permutation de U revient finalement à ordonner ses éléments. Proposition 9 (Nombre de permutations) Si U est un ensemble fini de cardinal n N, le nombre de permutations de U est n!. Exercice 10 (Applications pratiques) 1. Lors du championnat des six nations de rugby, combien y-a-t-il de classements possibles. Réponse : 6! = Combien y-a-t-il de manière de battre un jeu de 32 cartes? Réponse : 32! = Combien y-a-t-il de nombres possédant 10 chiffres. Même question lorsque les chiffres sont deux à deux distincts. Réponses : et 10! = Hypokhâgne B/L 2010/2011 4/5 Lycée Félix Éboué, le 23/03/11

5 Exercice 1 (Des situations usuelles) 1. Pour une course de 10 partants : Travaux dirigés (a) Combien y-a-t-il de classements possibles? (b) Combien y-a-t-il de podiums possibles, au total? sans le n o 1? sans numéro pair? 2. Reprendre les questions précédentes pour un quarté de 15 partants. 3. Un code comporte trois lettres 2 à 2 distinctes suivies d un chiffre non nul. Combien peut-on former de codes distincts? 4. Combien y a-t-il de nombres de 3 chiffres écrits avec 3 chiffres deux à deux distincts? Exercice 2 (p listes et arrangments) Soit E l ensemble des nombres à quatre chiffres ne comportant aucun chiffre 0. Calculer : le nombre d éléments de E ; le nombre d éléments pairs de E ; le nombre d éléments de E qui ont quatre chiffres différents ; le nombre d éléments de E qui sont multiples de 5. Exercice 3 (Une situation classique) Dans un jeux de 32 cartes, on tire sucessivement trois cartes sans les remettre dans le jeu. 1. Déterminer le nombre de tirages possibles. 2. Dénombrer les tirages suivants : (i) les trois cartes sont des piques. (ii) la deuxième carte tirée est un trèfle. (iii) la seconde carte tirée est un roi et la troisième est un as. (iv) la deuxième carte tirée est un valet et les deux autres sont des coeurs. Exercice 4 (Selections) Mon lecteur mp3 contient 32 morceaux de musique et une de ses fonctions permet d en écouter 3 différents au hasard. 1. Combien de possibilités existe-t-il pour cette écoute aléatoire de 3 morceaux? 2. Combien de possibilités existe-t-il si l on suppose que le premier morceau joué est mon morceau préféré? 3. Combien de possibilités existe-t-il si l on suppose que mon morceau préféré ne figure pas parmi les trois morceaux joués? 4. Combien de possibilités existe-t-il si l on suppose qu aucun de mes 3 morceaux préférés ne figure parmi les 3 morceaux joués? 5. Combien de possibilités existe-t-il pour que les 3 morceaux joués soient mes 3 préférés? Hypokhâgne B/L 2010/2011 5/5 Lycée Félix Éboué, le 23/03/11

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