Langages Dérivés. Lycee Faidherbe, Lille MP1 & MP2 & MP3 Cours d informatique Langages dérivés Quotient... 3

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1 Lycee Fidhere, Lille MP1 & MP2 & MP3 Cours d informtique Lngges Dérivés 1 Lngges dérivés Définition 2 Propriété 2 2 Quotient Définition 3 Finitude 3 Automte des dérivés 4 3 Automte miniml Minimistion Équivlence de Nerode 6 Clcul prtique 6 Dérivés pge 1

2 1 Lngges dérivés 1.1 Définition L est un lngge rtionnel. M = (S, A, s 0, F, δ) est un utomte déterministe et complet qui reconnît L. Pour tout étt s Q (M, s) = (S, A, s, F, δ) est l utomte déduit de M en remplçnt l étt initil pr s. L(M, s) est le lngge reconnu pr (M, s). L = M(M, s 0 ). s est co ccessile si et seulement si L(M, s). Dns le cs d un utomte émondé cel crctérise l étt puits s pprtient à F si et seulement si ε L(M, s). 1.2 Propriété On suppose que s = s 0.u. Si w L(M, s) lors s.w F donc s 0.uw = (s 0.u).w = s.w F c est à dire uw L. Inversement si uw L lors s 0.uv F donc s.w = (s 0.u).w = s 0.uw F donc w L(M, s). Si s = s 0.u lors L(M, s) est le lngge des mots w A tels que uw pprtient à L. pge 2 Dérivés

3 2 Quotient 2.1 Définition On note, pour tout lout lngge L et pour tout u A, u 1.L = {w A / u.w L}. C est le quotient de L pr u. On dit ussi que c est un lngge dérivé de L. L propriété ci dessus peut s écrire L(M, s 0.u) = u 1.L Exemples ε 1.L = L. u 1.A = A Si L est le lngge des mots commençnt pr, 1.L = A et 1.L =. Si L est le lngge des mots contennt u moins un, 1.L = A et 1.L = L. 1.( ) =, 1.( ) = Si L = { n n ; n N} lors ( p ) 1 = { n n+p ; n N}. Propriété v 1. ( u 1.L ) = (uv) 1.L Si w (uv) 1.L lors uvw L donc vw u 1.L puis w v 1. ( u 1.L ). Inversement si w v 1. ( u 1.L ) lors vw u 1.L d où uvw L c est à dire w (uv) 1.L. 2.2 Finitude Si L est un lngge rtionnel et M = (S, A, s 0, F, δ) un utomte déterministe complet (émondé) le reconnissnt lors tout lngge dérivé u 1.L est de l forme L(M, s) vec s = s 0.u. L ppliction s L(M, s) définit donc une surjection de S vers l ensemle des lngges dérivés. L ensemle des lngges dérivés d un lngge rtionnel est fini. De plus le nomre des étts d un utomte déterministe le reconnissnt est minoré pr le nomre de lngges dérivés. Dérivés pge 3

4 2.3 Automte des dérivés On suppose que L n dmet qu un nomre fini de lngges dérivés : {L 0, L 2,..., L n 1 } vec L 0 = L. On définit un utomte déterministe complet M = (S, A, L 0, F, ) vec S = {L 1, L 2,..., L n } / F = {L i ε Li } (L i, x) = x 1.L i pour x A Lngge reconnu Pr récurrence sur u on prouve que (L i, u) = u 1.L i u est reconnu pr M si et seulement si L 0.u F. Or u L(M) u 1.L F ε u 1.L u = uε L Le lngge reconnu pr M est L. Crctéristion Ainsi un lngge vec un nomre fini de dérivés est reconnu pr un utomte donc est rtionnel. Comme on déjà prouvé l réciproque on le Theoreme L est rtionnel si et seulement si il n dmet qu un nomre fini de lngges dérivés. De plus on construit un utomte dont le nomre d étt est miniml (égl u nomre de dérivés) qui reconnît le lngge. pge 4 Dérivés

5 3 Automte miniml L est un lngge qui dmet n lngges dérivés. On vu que tout utomte déterministe complet qui reconnît contient u moins n étts. Soit S un utomte à n étts reconnissnt L. L ppliction s L(M, s) définie ci dessus est lors une ijection cr c est une surjection entre deux ensemles de même crdinl. De plus L ( M, δ(s, x) ) = L(M, s.x) = {u A / (s.x).u F} = {u A / s.xu F} = {u A / xu L(M, s)} = x 1.L(M, s) = ( L(M, s), x ) Ainsi l ijection s L(M, s) trnsporte les trnsitions : [s = δ(s, x) ] [ L(M, s ) = ( L(M, s), x )] Les utomtes de crdinl miniml reconnissnts L sont donc tous isomorphes à l utomte des dérivés ; seuls les noms des étts chngent. On peut prler de l utomte miniml ssocié à L. Exemple L est le lngge des mots contennt ou. On 1.L = A L, 1.( 1.L) = 1.L et 1.( 1.L) = A. De même pour vec, toujours, 1.A = A et 1.A = A. D où l utomte miniml 1.L L A 1.L Dérivés pge 5

6 4 Minimistion 4.1 Équivlence de Nerode Comme tous les lngges dérivés sont de l forme L(M, s) l ensemle des u 1.L est l ensemle des clsses d équivlence pour l équivlence de Nerode, définie pr : [s t] [ L(M, s) = L(M, t) ]. On définit ussi l reltion à l ordre k : [ ] [s k t] L (k) (M, s) = L (k) (M, t) vec L (k) (M, s) = { u L(M, s) ; u k }. Propriétés s t si et seulement si s k t pour tout k N Pour k = 0 L (0) (M, s) = {ε} si s F, L (0) (M, s) = si s F. Si u L (k) (M, s) vec k 1 lors soit u k 1 donc u L (k 1) (M, s) soit u = u vec u = k 1 et s.(u ) = (s.).u F d où u L (k 1) (M, s.) Ainsi L (k) (M, s) = L (k 1) (M, s).l (k 1) (M, s.) A Crctéristion On donc, pour [ k 1, ] s k 1 t [s k t] A, s. k 1 t. Ainsi l églité des reltions déquivlence p et p+1 entrîne, pr récurrence, l églité des reltions déquivlence l et p pour tout l p puis celle de p et. Si [s p t] [s p+1 t] lors [s p t] [s t] 4.2 Clcul prtique On détermine donc les clsses d équivlence pour k pr récurrence. Comme les clsses d équivlences successives sont incluses dns les précédentes les clsses d équivlences forment des prtitions de plus en plus fines donc il y églité près u plus n 2 itértions (n est le nomre mximl de clsses, égl u nomre d étts, et 2 est le nomre de clsses pour 0 ). pge 6 Dérivés

7 Exemple Les clsses d équivlences pour 0 sont I 0 = {1, 2, 5, 6} et II 0 = {3, 4}. Le tleu des trnsitions est I 0 I 0 II 0 II 0 I 0 I I 0 I 0 II 0 II 0 I 0 I 0 II 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 II 0 II 0 II 0 II 0 II 0 1 I 1 II 1 III 1 III 1 II 1 II 1 On 1. terminl lors que 2. ne l est ps ; ces deux éléments qui sont équivlents pour 0 ne le sont plus pour 1. Dérivés pge 7

8 I 1 II 1 III 1 III 1 II 1 II 1 III 1 II 1 II 1 II 1 II 1 II 1 I 1 III 1 III 1 III 1 III 1 III 1 2 I 2 II 2 III 2 III 2 II 2 II 2 Ainsi les reltions 1 et 2 sont les mêmes donc définissent. Les étts finux sont les clsses d équivlence qui contiennent des étts finux de M : III. L étt initil est l clsse de l étt initil de M : I. L utomte miniml est donc I III II pge 8 Dérivés