Équations du second degré

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1 Équations du second degré Racines du trinôme factorisation Soit le trinôme, avec. Transformation de l écriture de : ( ) [ ] [ ]. On a donc l égalité : [ ] pour tout réel. La factorisation éventuelle de dépend du signe de. Définition On appelle discriminant du trinôme, avec, le nombre réel. Remarque Le nombre est appelé discriminant car c est lui qui perm de différencier les différents cas possibles dans la résolution des équations du second degré. Propriété Si,, le trinôme s écrit [( ) ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] ) [ ( )] [ ( )] est la forme factorisée du trinôme N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 1

2 Exemple Soit la fonction définie sur par. Déterminer le discriminant de, ses racines sa forme factorisée. donc la fonction a deux racines La forme factorisée de est. Si, le trinôme s écrit ( ) : ( ) est la forme factorisée de Exemple Soit la fonction définie sur par. Déterminer le discriminant de, sa racine double sa forme factorisée. donc la fonction a une racine La forme factorisée de est. Si, alors ( ) Comme n est pas nul, le trinôme n est jamais nul donc n adm aucune racine réelle. Il n existe aucun réel tel que le trinôme se factorise par (sinon serait une racine). Exemple Soit la fonction définie sur par. Montrer que l on ne peut pas factoriser. donc n a pas de racines n est donc pas factorisable. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 2

3 Théorème Solutions de l équation factorisation du trinôme Solution(s) de l équation Pas de solution Une solution «double» : Deux solutions distinctes : Factorisation de Pas de factorisation par des termes du premier degré. ) Exemples a) Résoudre dans l équation. C est une équation du type avec. Comme, l équation a deux solutions distinctes : b) Résoudre dans l équation. donc l équation n a pas de solution. c) Résoudre dans l équation donc l équation a une solution unique Théorème Signe de Étude du signe du trinôme Le trinôme est du signe de sauf entre les racines si elles existent. Plus précisément : Si Le polynôme a deux racines distinctes. est du signe de à l extérieur des racines, c est-à-dire : N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 3

4 Exemple C est une fonction du type avec., la fonction a deux racines distinctes : Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Exercice a deux racines 0 5. Le coefficient est négatif. D où le tableau de signes : Si Le polynôme a une racine unique. est du signe de sauf en où il est nul, c est-à-dire : N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 4

5 Exemple C est une fonction du type avec. Comme, la fonction a une racine double: Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Exercice Comme, la fonction a une racine double: Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Si Le polynôme n a pas de racine. est du signe de, c est-à-dire : Exemple C est une fonction du type avec., donc la fonction n a pas de racine. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 5

6 Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Exercice C est une fonction du type avec., donc la fonction n a pas de racine. Comme, on obtient le tableau de signes suivant : Application - Résolution d équations d inéquations Exemple Résolution de l équation a) Déterminer les valeurs de pour lesquelles cte équation est définie. L équation est définie si seulement si On recherche les racines éventuelles de :, donc a deux racines distinctes : L équation est définie si { } b) Résoudre l équation. Dans { }, On recherche les racines éventuelles de :, donc a deux racines distinctes : est l unique solution de l équation dans { } N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 6

7 c) En utilisant les résultats des questions précédentes résoudre l inéquation Exercice Équations inéquations se ramenant au second degré Résoudre les équations suivantes Cte équation est définie si. On résout donc l équation dans { } :, donc l'équation a deux solutions : L équation a deux solutions dans { } : Exercice Avec un paramètre Soit un réel la fonction définie sur par 1) Pour quelles valeurs de l équation est un polynôme de degré 2? est un polynôme de degré 2 si seulement si 2) On suppose. Pour quelles valeurs de l équation a-t-elle une seule solution? Calculer alors cte solution. a une seule solution si de ce polynôme du second degré d inconnue., donc l'équation a deux solutions : Donc si ou, donc a une solution unique. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 7

8 3) Quel est l ensemble des nombres pour lesquels l équation a deux solutions distinctes? a une deux solutions distinctes si seulement si On sait que le coefficient de est. Donc le tableau de signes de est : 0 On a donc si ] [ ] [ a deux solutions distinctes. 4) Quel est l ensemble des nombres pour lesquels l équation pour tout nombre réel. pour tout nombre réel si seulement si. Donc, d après la question précédente, si alors. 5) Vérifier les résultats sur Geogebra après avoir créé un curseur une fonction Exercice Position relative de deux courbes Soit les fonctions définies sur par:. On note les courbes respectives de dans le repère orthogonal 1) a) Résoudre par le calcul l inéquation Étude du signe de le polynôme adm deux racines donc est négative entre les racines c est-à-dire [ ] b) Résoudre par le calcul l inéquation Étude du signe de Le polynôme n'adm pas de racine. Il est du signe de. Donc quelque soit 2) a) Résoudre par le calcul l équation Étude de N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 8

9 le polynôme adm deux racines ou b) Déterminer les coordonnées des points d intersection de ( ) ( ) Les points d intersection de ( ) 3) a) Déterminer le signe de suivant les valeurs de. Comme on en déduit le tableau de signes suivant : b) En déduire la position relative des courbes Si ] ] [ [ alors. On en déduit que. Si [ ] alors. On en déduit que. 4) a) Après avoir donné un tableau de valeurs pour chacune des courbes, tracer soigneusement les courbes dans le repère Unités graphiques : 1cm sur l axe des abscisses 0,25 cm sur l axe des ordonnées. N. Duceux - LFIB Année 2014/15 Page 9

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