Méthodes d'intégrations Approches déterministes Quadratures

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1 Méthodes d'intégrations Approches déterministes Quadratures

2 Approches déterministes Quadratures

3 Qu'est ce qu'intégrer Intégration Mesurer l'aire sous une courbe. y b a f ( x)d x f(x) b I = a f ( x)d x Définitions : f(x) est l'intégrande a = borne inférieure b = borne supérieure 3 a b x

4 Intégrale au sens de Riemann n I = n k = f ( x k ) (x k x k ) lim n x I = n n x 0 f ( x )= I f

5 Intégration numérique D - Rectangles Méthode des rectangles A droite I n = b a n n k = f (x k ) A gauche I n = b a n n k = f (x k ) Convergence Si f est C 0 : O (n - )

6 Intégration numérique D Points du milieu Méthode des points du milieu I n = b a n n k = f ( x k + x k 2 ) Convergence Si f est C 0 : O (n - ) Si f est au moins C 2 : O (n -2 )

7 Intégration numérique D Intervalles uniformes Méthode des rectangles Méthode des trapèzes Formule de Simpson I n = b a n f (x k ) k = n I n = b a 2n k = n (f ( x k )+f (x )) k f Convergence O(n - ) O(n -2 ) I n = b a n 6n k = (f ( x k )+4f (x k / 2 )+f ( x k )) f O(n -4 )

8 Quadrature de Gauss en D I = M f ( x) d x m= W m f (ε m ) Poids Positions d'intégration Les poids et les positions maximisent la précision M positions pour l'espace des polynômes de degré 2M- Le calcul des intégrales est exact sur cet espace p P 2 M, p (x)d x= m= Les positions sont les racines du polynôme de Legendre Base de polynômes orthogonale sur [-,] P M ( x)= 2 M M! M W m p(ε m ) d M d x M (( x 2 ) M )

9 D - M = I = f ( x)d x=w f ( x ) Pour les polynômes de degré au plus Pour f(x) = Pour f(x) = x w =2 x =0

10 D - M = 2 I = f ( x)d x=w f ( x )+w 2 f ( x 2 ) Pour les polynômes de degré au plus 3 Calcul des positions, racine de d 2 d ε 2 ( (ε 2 ) 2 )=0=4(3 ε 2 ) ε = 3, ε 3 2 = 3 3 Calcul des poids Pour f(x) = Pour f(x) = x w +w 2 =2 w +w 2 =0 w w 2

11 2D M = 2 3, 3 t, 3 3 s I = f ( s,t ) d s d t 3, 3 3, 3 I M M i= j= ( M j= W j f (s, t j )) W i W j f ( s i,t j ) ds En utilisant la forme D pour t En utilisant la forme D pour s

12 Quadrature de Gauss 2D : domaine triangulaire Intégrale sur le domaine de référence t s=-t t t s I= t =0 N n= t s=0 W n f( s n,t n ) f (s,t )ds d t

13 Contraintes sur les poids fonction constante Si f(s,t)= I= t =0 t s=0 f (s, t )ds d t= 2 = n W n n W n = 2

14 Quadrature de Gauss sur un triangle : M = f( s, t )~ s t t /3 /3 s I f 2, 3 3

15 Démonstration Les polynômes de degré s'écrivent f( s, t )=α s+βt En intégrant, on obtient t 0 t D'où la contrainte t =0 f ( s, t) dsdt 2 s 0 2 3! 3! t s =0 f (s,t ) d sd t=w f (s, t ) 3! α + 3! β=w (α s +βt ) 3 Ainsi W ; Ws 2 ; W 3! t 3!

16 Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 3 Solution exacte pour tous les polynômes de degré au plus 2 f( s,t )= s t s 2 st t 2 t 2 /2 /2 I 6 f ( 2, 2 ) + 6 f ( 2,0 ) + 6 f ( 0, 2) 3 s

17 Quadrature de Gauss sur un triangle : M = 4 Solution exacte pour tous les polynômes de degré au plus 3 t (0.2,0.6) 2 (0.2,0.2) 3 4 (/3,/3) (0.6,0.2) s f( s,t )= s t s 2 st t 2 s 3 s 2 t st 2 t 3 I f ( 3, 3) f (0.2,0. 6 ) f (0.2,0.2 ) f (0.6,0. 2)

18 Recommended order of integration Finite Element Procedures by K. J. Bathe

19 Convergence et dimension En D Convergence en O(n -(c+) ) c = continuité de la fonction En dimension plus élevée d Pour n valeurs / mailles Taille intervalle D n /d Convergence en O(n -(c+)/d )

20 Méthodes d'intégrations Approches stochastiques

21 Méthode / algorithme probabiliste Principe : introduire de l'aléatoire Choix de solutions aléatoires, et garder la meilleure Mélanger les données Choisir des valeurs aléatoires Pour l'intégration : intégration de Monte Carlo

22 Probabilité en espace continue : D Échantillons aléatoires {Xi } Densité de probabilité (PDF) Probabilité associée pdf ( x ) 0 P [ X i [ x, x+dx ]]=pdf ( x ) d x Probabilité totale pdf ( x ) d x=

23 Probabilité en espace continue : D Fonction cumulative (CDF) cdf (a)=p ( X [,a] )= a pdf ( x ) d x P [ X i [a, b ]]=cdf ( b) cdf (a )

24 CDF vs PDF 2.5 pdf (x)= π 2 sin (π x ) cdf ( x )= ( cos ( π x ) )

25 Intégrale de Lebesgue Plus générique que Riemann Notion de mesure de l'espace () 0 I= f (x)μ ( d x )

26 Espérance Variance Écart-type Espérance : valeur moyenne E [g( X )]= g(x)pdf ( x ) d x Variance : distance au carré à la moyenne V [g(x )]= (g(x) E [g(x )] ) 2 pdf ( x ) d x V [g(x )]=E [ g 2 ( X )] E 2 [g( X )] Écart-type : distance à la moyenne σ [g( X )]= V [g( X )]

27 Méthode de Monte Carlo Estimateur Biais n I = n i = Différence valeur attendue vs cherchée n pdf ( X i ) f ( X i ) n I = n i = α i f (x i ) biais=e [ I n ] I Estimateur sans biais biais=0

28 Convergence Variance V [ I n ]=E [ I n 2] E [ I n ] 2 = n V [ I ] Convergence σ [ I n ]= n σ [ I ] Meilleur choix de la PDF pdf (x )= I f ( x ) V [I n ]=0

29 Choix de la PDF / Importance Sampling Algorithme d'échantillonnage En fonction d'une PDF i = nombre aléatoire uniforme (drand48(), ) xi cdf - ( i ) Choix de la PDF Rappel, l'idéal Approximation par une fonction proche Doit être intégrable L'intégrale doit être inversible pdf (x )= f (x)d x f (x )

30 Importance Sampling 2.5 pdf (x)= π sin (π x ) 2 ( cos (π x )) cdf (x)= x

31 Choix de la PDF / Importance Sampling Algorithme d'échantillonnage Choix de la PDF Version tabulée Échantillonnage de la fonction à intégrer PDF constante par morceau CDF linéaire par morceau Calcul de l échantillon en O( ln (k) )

32 Définitions xd X i = (X,i,..., X n,i ) Probabilité conditionnelle Probabilité de X j,i sachant que l'on connaît les autres Propriétés (Bayes) pdf ( x j {x k,k j }) 0 pdf ( x,.., x n )=pdf (x j {x k, k j }) pdf (x,..., x j, x j+,..., x n ) pdf ( x,..., x j, x j+,... x n )= pdf ( x,.., x n )d x j

33 X i = (X,i,..., X n,i ) Définitions xd Variables indépendantes pdf ( x j {x k,k j })=pdf ( x j ) pdf ( x,.., x n )= j pdf (x j )

34 X i = (X,i,..., X n,i ) CDF conditionnelle Définitions xd a j cdf (a j {a k, k j })= pdf (x j {x k =a k, k j }) dx j cdf (a j {a k, k j })= a j pdf ( x,..., x n )dx j pdf ( x,..., x j, x j +,..., x n ) cdf (a j {a k, k j })= pdf (x,..., x n )dx j + pdf (x,..., x n )dx j a j

35 Importance Sampling xd Exemple en 2D: (X,Y) Données CDF(X) CDF(Y X) Algorithme e et e2 : valeurs aléatoires X tel que e = CDF(X) Y tel que e2 = CDF(Y X)

36 Convergence et dimension En D Convergence en O(n -(c+) ) c = continuité de la fonction En dimension plus élevée d Pour n valeurs / mailles Taille intervalle D n /d Convergence en O(n -c/d ) Monte Carlo en O(n -/2 )

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