Polynômes de Legendre sur [0,1], quadratures de Gauss

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1 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Énoncé Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss On définit les suites de polynômes (U n ) et (P n ) de la manière suivante : U = 1 n 1, U n = Xn (X 1) n n, P n = U (n) n 1. Quelques propriétés immédiates des polynômes P n (a) Expliciter les polynômes P, P 1, P 2, P 3. [ S ] (b) Pour tout n de N, montrer que P n (1 X) = ( 1) n P n (X). Qu en déduit-on concernant la courbe représentative de P n? [ S ] (c) Montrer que P n est un polynôme de degré n, à coefficients entiers relatifs. Préciser les coefficients dominant et constant de P n, ainsi que P n (1). [ S ] 2. Deux relations vérifiées par les polynômes P n. (a) Vérifier la relation (X 2 X)U n = n(2x 1)U n. En déduire que pour tout n de N, on a : (X 2 X)P n +(2X 1)P n n(n+1)p n =. [ S ] (b) Vérifier les relations U n+1 = (2X 1)U n et U n+1 = 2(2n + 1)U n + U n 1. En dérivant n fois la première et n 1 fois la seconde, prouver que : [ S ] 3. Propriété intégrale des polynômes P n. n N, (n + 1)P n+1 (2n + 1)(2X 1)P n + np n 1 =. (a) Soit n un entier naturel, et f : [, 1] R une application de classe C n. En intégrant par parties, montrer que U n (t)f (n) (t) dt = ( 1) n P n (t)f(t) dt. En déduire que : n N, Q R[X], deg(q) < deg(p ) (b) Par des intégrations par parties, calculer En déduire que pour tout entier n de N, on a (c) Prouver que pour tous entiers m et n : [ S ] P n (t)p m (t) dt = si m n, 4. Propriété génératrice des polynômes P n. P n (t)q(t) dt =. [ S ] t n (t 1) m dt, avec (m, n) N 2. et U n (t) dt = ( 1)n (2n + 1)! [ S ] P 2 n (t) dt = 1 2n + 1. (a) Pour tout P de R n [X], montrer qu il existe des réels λ,..., λ n tels que P = n λ k P k. Indication : raisonner par récurrence sur n [ S ]. k= Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

2 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Énoncé (b) Avec ces notations, montrer que k {,..., n}, λ k = (2k + 1) 5. Racines des polynômes P n. P (t)p k (t) dt [ S ] Soit n dans N. Dans cette question, on montre par deux méthodes différentes que le polynôme P n possède n racines distinctes, et que ces racines appartiennent à l intervalle ], 1[. (a) Première méthode : Soit S = {x 1,..., x p } l ensemble éventuellement vide des racines de P n dans ], 1[ et qui ont une multiplicité impaire, avec x 1 < x 2 < < x p. Supposer p < n et utiliser (3a) avec Q = p (X x k ) (et Q = 1 si S =.) [ S ] (b) Seconde méthode : Revenir à la définition de P n utiliser le théorème de Rolle. [ S ] 6. Minoration de P n pour x / [, 1] Dans la suite de ce problème, n est fixé et strictement positif. On note x 1, x 2,..., x n les racines de P n, rangées dans l ordre croissant. (a) Montrer que pour tout k de {1,..., n} on a x n+1 k = 1 x k. En déduire que P 2 n = (C n 2n) 2 n (x(x 1) + x k (1 x k )). [ S ] (b) Prouver l inégalité C n 2n 4n 2n+1. En déduire que si x ou x 1 alors P n (x) 1 ( 2n+1 4 n. x(x 1)) [ S ] 7. Interpolation polynomiale (a) Pour tout k de {1,..., n} montrer qu il existe un unique polynôme L k tel que : deg(l k ) n 1 L k (x k ) = 1 j {1,..., n} \ {k}, L k (x j ) = On donnera l expression factorisée du polynôme L k. [ S ] (b) Montrer que pour tout P de R n 1 [X], on a P = n P (x k )L k. [ S ] (c) Pour tout k de {1,..., n}, on pose l k = L k (t) dt. Soit P un élément de R 2n 1 [X]. Prouver l égalité P (t) dt = n l k P (x k ). Indication : utiliser la division de P par P n, ainsi que les questions (3b) et (7b). [ S ] (d) Pour tout j de {1,..., n}, prouver que l j >. Indication : utiliser la question précédente avec le polynôme P = L 2 j. [ S ] Page 2 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

3 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Énoncé 8. Quadratures de Gauss On reprend les notations de la question précédente. On considère l approximation f(t) dt n l k f(x k ), où f : [, 1] R est continue. On sait que cette approximation est en fait une égalité si f est un polynôme de degré 2n 1. On se propose d étudier la qualité de cette approximation quand f est de classe C 2n. { P (xk ) = f(x k ) (a) Montrer que :!P R 2n 1 [X] tel que : k {1,..., n}, P (x k ) = f (x k ) Indication : poser P = QP n + R avec Q, R dans R n 1 [X]. Utiliser (7b). [ S ] (b) Pour tout t de [, 1], montrer qu il existe c dans ], 1[ tel que f(t) P (t) = 4 f (2n) (c) P (2n)! n(t). 2 3 Indication : si t / {x 1,..., x n } utiliser ϕ : x f(x) P (x) λp n (x) 2 avec ϕ(t) =. [ S ] (c) On note M 2n la borne supérieure de f (2n) sur [, 1]. Déduire de ce qui précède que f(t) dt n l k f(x k ) M 2n () 4 (2n)! 3 (2n + 1) [ S ] (d) Application numérique. Que devient le majorant précédent si n = 5? [ S ] 9. Illustrer librement les résultats précédents avec Maple, quand n = 5. [ S ] Page 3 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

4 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss du problème 1. Quelques propriétés immédiates des polynômes P n (a) On trouve sucessivement : U = 1 donc P = U () = U = 1. U 1 = X 2 X donc P 1 = U 1 = 2X 1. U 2 = 1 2 (X4 2X 3 + X 2 ) donc P 2 = 6X 2 6X + 1. U 3 = 1 6 (X6 3X 5 + 3X 4 X 3 ) donc P 3 = 2X 3 3X X 1. [ Q ] (b) Pour tout n de N, U n (1 X) = 1 (1 X)n ( X) n = 1 (X 1)n X n = U n (X). Si on dérive n fois, on trouve ( 1) n U (n) n (1 X) = U n (n) (X). Autrement dit, pour tout entier n, on a P n (1 X) = ( 1) n P n (X). On en déduit que la courbe représentative de P n est : symétrique par rapport à l axe x = 1 2 si n est pair. symétrique par rapport au point (x = 1 2, y = ) si n est impair. [ Q ] (c) Par définition, U n est un polynôme de degré 2n. Le polynôme P n, qui en est la dérivée n-ième, est donc de degré n. Pour tout entier n, on obtient en utilisant la formule du binôme : U n = 1 Xn (X 1) n = 1 n Xn C k n ( 1) n k X k = 1 n C k n ( 1) n k X k+n k= k= On dérive n fois et on obtient l expression développée de P n : P n = 1 n C k n k (k+n)! n ( 1) k! X k = n ( 1) n k C k n C n n+k X k k= Cette expression montre que P n s écrit P n = n a k X k, où les a k sont dans Z. Le coefficient dominant est a n = ( 1) C n n C n 2n = C n 2n = (2n)! () 2. Le coefficient constant de P n est P () = a = ( 1) n C n C n n = ( 1) n. Enfin, la question (1b) donne : P n (1) = ( 1) n P n () = 1. [ Q ] 2. Deux relations vérifiées par les polynômes P n. (a) Pour tout n 1, on a U n = (X2 X) n, donc U n = (2X 1) (X2 X) n 1 (n 1)!. On en déduit (X 2 X)U n = n(2x 1) (X2 X) n = n(2x 1)U n. Enfin, cette égalité est vérifiée de façon évidente si n =. k= k= On dérive n + 1 fois avec la formule de Leibniz. On trouve : Page 4 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

5 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss (X 2 X)U (n+2) n Autrement dit +C 1 n+1 (2X 1)U n (n+1) +2C 2 n+1 U n (n) = n(2x 1)U n (n+1) +2nC 1 n+1 U n (n) (X 2 X)P n + (n + 1)(2X 1)P n + n(n + 1)P n = n(2x 1)P n + 2n(n + 1)P n Finalement, on a obtenu : (X 2 X)P n + (2X 1)P n n(n + 1)P n = [ Q ] (b) On a U n+1 = (X2 X) n+1 (n+1)!, donc U n+1 = (2X 1) (X2 X) n = (2X 1)U n. Si on dérive cette égalité, on trouve : U n+1 = 2U n + (2X 1)U n. Si n 1, on a U n = (2X 1)U n 1 donc U n+1 = 2U n + (2X 1) 2 U n 1. Par ailleurs (2X 1) 2 U n 1 = 4(X 2 X)U n 1 + U n 1 = 4nU n + U n 1. On a donc obtenu l égalité U n+1 = 2(2n + 1)U n + U n 1, pour tout n 1. Si on dérive n fois U n+1 = (2X 1)U n on trouve U (n+1) n+1 = (2X 1)U n (n) +2nU n (n 1). Autrement dit : P n+1 = (2X 1)P n + 2nU (n 1) n. On dérive maintenant n 1 fois la relation U n+1 = 2(2n + 1)U n + U n 1. On trouve U (n+1) n+1 = 2(2n + 1)U n (n 1) + U (n 1) n 1. Autrement dit P n+1 = P n 1 + 2(2n + 1)U (n 1) n. Il suffit d éliminer U (n 1) n entre les deux égalités obtenues. On trouve : ((2n + 1) n)p n+1 = (2n + 1)(2X 1)P n np n 1. On a donc obtenu : n 1, (n + 1)P n+1 (2n + 1)(2X 1)P n + np n 1 =. [ Q ] 3. Propriété intégrale des polynômes P n. (a) On utilise la formule d intégration par parties répétées : U n (t)f (n) (t) dt = [ n 1 ( 1) k U (k) (t)f (n k 1) (t) k= n ] 1 + ( 1) n U n (n) Par définition, les réels et 1 sont des racines de multiplicité n de U n. (t)f(t) dt On en déduit que U n (k) () = U n (k) (1) = pour tout k de {,..., n 1}. Il en découle l égalité U n (t)f (n) (t) dt = ( 1) n U n (n) (t)f(t) dt = ( 1) n P n (t)f(t) dt. Si Q appartient à R n 1 [X] on applique ce qui précède à f = Q. Puisque Q (n) =, on obtient P n (t)q(t) dt = ( 1) n U n (t)q (n) (t) dt =. [ Q ] (b) Posons I n,m = t n (t 1) m dt, avec n N et m N. En intégrant par parties, on trouve, si m 1 : I n,m = 1 [ ] 1 t n+1 (t 1) m m t n+1 (t 1) m 1 dt = m n + 1 n + 1 n + 1 I n+1,m 1 Page 5 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

6 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Un récurrence évidente donne alors : I n,m = m n + 1 I n+1,m 1 =... = ( 1) m m n + 1 Autrement dit I n,m = ( 1)m m! (m + n)! On en déduit immédiatement t n+m dt = ( 1)m m! (m + n + 1)! m 1 n n + m I n+m, U n (t) dt = 1 I n,n = ( 1)n (2n + 1)!. [ Q ] (c) Si m n, l un des entiers est strictement inférieur à l autre. La question (3b) donne alors immédiatement Si m = n, on a P 2 n(t) dt = Mais P n = (2n)! () 2 Xn + P n (n) = (2n)!. On en déduit Pn(t) 2 dt = ( 1) n (2n)! 4. Propriété génératrice des polynômes P n. P n (t)p m (t) dt =. P (t)u n (n) (t) dt = ( 1) n U n (t) dt = (2n)! P n (n) (t)u n (t) dt. (2n + 1)! = 1 2n + 1. [ Q ] (a) La propriété est vraie si n =, car tout polynôme constant P = a s écrit P = a P. Supposons qu elle le soit au rang n 1, avec n 1. Soit P = a n X n + dans R n [X]. On sait que le coefficient dominant de P n est b n = C n 2n. Posons λ n = a n bn. Le polynôme Q = P λ n P n est donc de degré inférieur ou égal à n 1. Il en résulte qu on peut écrire Q = n 1 λ k P k (hypothèse de récurrence.) k= Ainsi P = n λ k P k ce qui prouve la propriété au rang n et achève la récurrence. [ Q ] k= (b) Soit P dans R n [X], écrit sous la forme P = n λ j P j. Soit k {,..., n}. On connait l égalité On en déduit Ainsi P (t)p k (t) dt = 5. Racines des polynômes P n. j= P j (t)p k (t) dt = si j k. P (t)p k (t) dt = n 1 λ j P j (t)p k (t) dt = λ k λ k 2k + 1 j= P 2 k ce qui est le résultat attendu. [ Q ] (a) Avec les indications de l énoncé, on suppose donc p < n. Il découle alors de la question (3a) que P n (t)q(t) dt =. (t) dt. Page 6 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

7 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss Or le polynôme P n Q est de degré n + p n 1, et toutes ses racines qui pourraient appartenir à ], 1[ sont maintenant de multiplicité paire (on a en effet ajouté 1 aux multiplicités qui étaient impaires, et uniquement à celles-là.) La fonction continue t P n (t)q(t) garde donc un signe constant sur ], 1[. L égalité P n (t)q(t) dt = donne alors P n (t)q(t) = pour tout t de ], 1[. C est absurde car le polynôme non nul P n Q ne peut avoir une infinité de racines. Il en découle p = n. Autrement dit, on compte n réels x k distincts dans ], 1[ qui sont des racines de P n avec des multiplicités m k impaires. Puisque deg P n = n, les m k valent nécessairement 1 (les x k sont des racines simples) et on a ainsi obtenu toutes les racines (réelles ou complexes) de P n. [ Q ] (b) Montrons que U (k) n a (au moins) k racines distinctes sur ], 1[, avec 1 k n. D après Rolle, la propriété est vraie si k = 1, car U n() = U n (1) =. On suppose que la propriété est vraie au rang k, avec k n 1. Ainsi U (k) n s annule en c 1,..., c k, avec < c 1 < < c k < 1. Or c = et c k+1 = 1 sont des racines de U n avec la multiplicité n > k. Il en découle qu on a encore U n (k) (c ) = U n (k) (c k+1 ) =. Autrement dit, U (k) n s annule en = c < c 1 < < c k < c k+1 = 1. Le théorème de Rolle permet donc d affirmer que U n (k+1) s annule en k + 1 point distincts (un au moins dans chaque intervalle ouvert ]c j, c j+1 [.) Cela prouve la propriété au rang k + 1 et achève cette récurrence finie. Ainsi P n = U n (n) s annule en n points distincts de ], 1[. Comme deg P n = n, on a trouvé toutes ses racines (réelles ou complexes), et elles sont simples. [ Q ] 6. Minoration de P n pour x / [, 1] (a) On sait que P n (1 X) = ( 1) n P n (X). Il en découle P n (x) = P n (1 x) =. Ainsi l ensemble des racines de P n est symétrique par rapport à la valeur 1 2. Or x 1 <x 2 < <x n, il en découle : x n+1 k = 1 x k pour 1 k n. n D autre part, on sait que P n = C n 2n (X x k ). n Le changement k n+1 k donne : P n = C n 2n (X x n+1 k ) = C n 2n En multipliant les deux expressions obtenues pour P n, on trouve : n n Pn 2 = [C n 2n (X x k )] [C n 2n (X 1+x k )] = (C n 2n ) 2 n [(X x k )(X 1+x k )] = (C n 2n ) 2 n n (X 1+x k ). [X(X 1)+x k (1 x k )] [ Q ] Page 7 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

8 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss (b) C est évident si n = car alors C n 2n = 4n 2n+1 = 1. On suppose donc que la propriété est vraie au rang n. Alors C n+1 2n+2 = 2(2n+1) n+1 C n 2n 2 4n n+1 c est-à-dire C n+1 2n+2 4n+1 2(n+1) 4n+1 2n+3. Cela prouve la propriété au rang n + 1 et achève la récurrence. Supposons x ou x 1. Alors x(x 1)+x k (1 x k ) x(x 1). On en déduit P 2 n(x) = (C n 2n ) 2 n Donc si x ou x 1, P n (x) C n 2n 7. Interpolation polynomiale [x(x 1)+x k (1 x k )] (C n 2n ) 2 (x(x 1)) n. ( n x(x 1) 1 2n+1 4 n. x(x 1)) [ Q ] (a) Si L k existe, il est divisible par les (X x j ), avec j k, donc par leur produit. Puisqu on impose deg L k n 1, il existe un scalaire α k tel que L k = α k (X x j ). Mais L k (x k ) = 1 impose 1 = α k k x j ) donc L k = j k(x X x j. x k x j j k Réciproquement, ce polynôme satisfait aux conditions imposées. [ Q ] (b) Soit P dans R n 1 [X], et Q = n P (x k )L k, également dans R n 1 [X]. Pour tout j {1,..., n}, on a Q(x j ) = n {}}{ P (x k ) L k (x j ) = P (x j )L j (x j ) = P (x j ). si k j Les polynômes P et Q, de degré n 1, ont la même valeur en n points distincts. Il en résulte que ces polynômes sont égaux. Ainsi : P = n P (x k )L k. [ Q ] (c) Soit P un élément de R 2n 1 [X]. Soit P = QP n + R sa division par P n. On a deg P 2n 1 donc deg Q n 1. Il en résulte On en déduit Il en résulte l égalité P (t) dt = j k Q(t)P n (t) dt = (cf 3a.) R(t) dt. Or deg R n 1 R = n R(x k )L k (cf 7b.) R(t) dt = n R(x k ) L k (t) dt = n l k R(x k ). Enfin, pour tout k de {1,..., n}, on a P (x k ) = Q(x k )P n (x k ) + R(x k ) = R(x k ). On a donc bien obtenu l égalité : P (t) dt = n l k P (x k ). [ Q ] (d) On peut appliquer ce qui précède à P = L 2 j, car deg L 2 j = 2n 2 2n 1. On obtient L 2 j(t) dt = n l k L j (x k ) = l j L j (x j ) = l j. Puisque L 2 j est continue positive non nulle, on a l j = L 2 j(t) dt >. [ Q ] Page 8 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

9 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss 8. Quadratures de Gauss (a) Soit P un polynôme de R 2n 1 [X]. Soit P = QP n + R sa division par P n (Q, R sont donc R n 1 [X].) { D après (7b), on a Q = n q k L k et R = n qk = Q(x k ) r k L k, avec k {1,..., n}, r k = R(x k ) Pour tout k de {1,..., n}, P (x k ) = Q(x k )P n (x k ) + R(x k ) = R(x k ) = r k. De même P = Q P n + QP n + R P (x k ) = Q(x k )P n(x k ) + R (x k ) = q k P n(x k ) + R (x k ). Notons qu on a toujours P n(x k ) car les x k sont racines simples de P n. Les conditions P (x k ) = f(x k ) s écrivent r k = f(x k ), ce qui détermine R de manière unique. Les conditions P (x k ) = f (x k ) s écrivent q k P n(x k ) + R (x k ) = f (x k ). Elles deviennent q k = f (x k ) R (x k ) P n(x k ) et elles déterminent Q de façon unique. Q et R étant uniquement déterminés, il en est de même{ de P. P (xk ) = f(x k ) Conclusion :!P R 2n 1 [X] tel que k {1,..., n}, P (x k ) = f (x k ) [ Q ] (b) L égalité demandée est évidente (avec c quelconque) si t est l un des x k. On suppose donc t / {x 1,..., x n }, et on définit ϕ comme indiqué dans l énoncé. On peut choisir λ de telle sorte que ϕ(t) =, car P n (t). Tout comme f, l application ϕ est de classe C 2n sur [, 1]. Par construction on ϕ(x k ) = pour tout k de {1,..., n}, et ϕ(t) =. Ainsi l application ϕ s annule en n + 1 points distincts. Le théorème de Rolle permet d affirmer que ϕ s annule en n points distincts (un dans chacun des n intervalles ouverts définis par t et par les x k.) Or k {1,..., n}, ϕ (x) = f (x) P (x) 2λP n (x)p n(x) ϕ (x k ) = f (x k ) P (x k ) =. Ainsi ϕ s annule en 2n points distincts de [, 1] (les x k et les n points obtenus précédemment.) Une application répétée du théorème de Rolle montre que ϕ s annule en 2n 1 points distincts de ], 1[, puis que ϕ (3) s annule en 2n 2 points distincts de ], 1[, etc. Au final, ϕ (2n) s annule en un point c de ], 1[. Mais P est de degré 2n 1 donc P (2n) =. De même P 2 n = (C n 2n ) 2 X 2n +, ce qui conduit à (P 2 n) (2n) = (C n 2n ) 2 (2n)! = (2n)!3 4 Page 9 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

10 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss On en déduit ϕ (2n) (x) = f (2n) (x) λ (2n)!3 4, et il en découle λ = 4 (2n)! 3 f (2n) (c). L égalité ϕ(t) = devient alors f(t) P (t) = 4 f (2n) (c) (2n)! 3 P 2 n(t) [ Q ] (c) On a successivement n l k f(x k ) = n l k P (x k ) = P (t) dt (voir question 7c.) On en déduit : f(t) dt n 1 l k f(x k ) = 1 (f(t) P (t)) dt f(t) P (t) dt Or f(t) P (t) 4 M 2n (2n)! P n(t) 2 sur [, 1]. 3 1 On en déduit f(t) dt n l k f(x k ) 4 M 1 2n P (2n)! n(t) 2 dt. 3 La résultat de (3c) donne alors f(t) dt n l k f(x k ) 4 M 2n (2n)! 3 (2n+1) [ Q ] (d) Si n = 5, on trouve 4 (2n)! 3 (2n+1) = [ Q ] 9. On commence par définir une fonction permettant de calculer les polynômes P n. > restart : P :=n->expand(diff((x^2-x)^n/,x$ n)) : Voici en particulier le polynôme P 5. > P5 :=P(5) ; P 5 := 252X 5 63X X 3 21X 2 + 3X 1 On vérifie que ce polynôme s annule en 1/2. > factor(p5) ; (2X 1)(126X 4 252X X 2 28X + 1). Dans le quotient de P par (2X 1) on effectue le changement de variable X = 1/2 + Y. Le polynôme obtenu est bicarré (logique, compte tenu de la relation P 5 (1 X) = P (X)) ce qui permettrait de trouver les racines de P 5 à la main. > Q5 :=quo(p5,2*x-1,x) ; Q5 :=expand(subs(x=1/2+y,q5)) ; Q5 := 126X 4 252X X 2 28X + 1 Q5 := Y Y 4 D une façon plus brutale, voici les racines de P 5 calculées par Maple. > x :=sort([solve(p(5))]) ; [ , , 42 2, ] , Page 1 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

11 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss L instruction suivante ordonne la liste x dans le sens des valeurs croissantes. On le vérifie en donnant la valeur approchées des x k. > x :=sort(x,(x,y)->evalb(evalf(x)<evalf(y))) : evalf(x) ; [ , ,.5, , ] Voici la représentation graphique de P 5. > plot(p5,x=..1) ; Voici comment on peut définir les polynômes L 1 à L 5. > L :=k->mul((x-xj)/(x[k]-xj),xj=subsop(k=null,x)) : Voici par exemple le polynôme L 2 (ses coefficients écrits en virgule flottante.) > L2 :=map(evalf,expand(l(2))) ; L2 := X X X X 4 On vérifie que le polynôme L 2 (tracé ici en continu) prend la valeur 1 en x 2 et la valeur aux points x 1, x 3, x 4, x 5 (on a tracé P 5 en pointillé.) > plot([p5,l2],x=..1,linestyle=[3,1]) ; Page 11 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

12 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss On place dans la variable l la liste [l 1, l 2, l 3, l 4, l 5 ]. Pour chaque k, l k = L k (t) dt. > l ; [ , , , , ] 7 18 La fonction suivante calcule la quadrature de Gauss : > gauss :=f->add(l[k]*f(x[k]),..5) : f(t) dt 5 l k f(x k ). On va vérifier que cette approximation est en fait une égalité pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 2n 1 (et ici 2n 1 = 9.) Par linéarité, il suffit de le vérifier pour les monômes t t k, avec k 9. > monomes :=[(t->t^k) $k=..1] ; [1, t t, t t 2, t t 3, t t 4, t t 5, t t 6, t t 7, t t 8, t t 9, t t 1 ] L instruction suivante confirme les résultats théoriques : pour chaque indice k de à 9 1 la formule de Gauss donne le résultat exact t k dt = 1. En revanche, il n y a pas k + 1 égalité pour k = 1. > ; [ 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 9, 1 1, 5773 ] 6354 L instruction suivante permet de mesurer l erreur commise dans la quadrature de Gauss. > erreur :=f->evalf(int(f(t),t=..1)-gauss(f)) : Voici une expression du majorant de l erreur commise dans la formule. Ici M 1 représente la borne supérieure de f (1) sur [, 1]. > k :=n->m[1]*(n!)^4/(2*n)!^3/(2*n+1) ; k := n M 1 () 4 ((2 n)!) 3 (2 n + 1) A titre d exemple, on considère la fonction f : x e x. On voit que l erreur commise est de l ordre de.65 E 12. La théorie prévoyait ici une erreur majorée par 1 E 12 (ici M 1 = e.) > Digits :=2 : erreur(exp) ; evalf(subs(m[1]=exp(1),k(5))) ; Page 12 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

13 Polynômes de Legendre sur [,1], quadratures de Gauss La qualité de l approximation est très dépendante de la régularité de f (et la majoration de l erreur n est bien sûr valable que pour des applications de classe C 2n.) On voit ici que l erreur est beaucoup plus importante avec l application x x, qui est peut-être de classe C sur ], 1] mais qui n est que continue sur [, 1]. > Digits :=1 : erreur(sqrt) ; [ Q ] Page 13 Jean-Michel Ferrard c EduKlub S.A.

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