Licence à distance Chapitre V: Intégration numérique

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1 Licence à distnce Chpitre V: Intégrtion numérique M. Grnger Tble des mtières Introduction Interpoltion de Lgrnge Evlution de l erreur Interpoltion ux points de Tchebychev Approximtion polynomile 5 3. Meilleure pproximtion qudrtique et polynômes orthogonux Polynômes orthogonux Quelques exemples clssiques de polynômes orthogonux Générlités sur l intégrtion numérique 8 5 Opérteur d intégrtion pprochés Evlution de l erreur Exemple : opérteur de Newton-Cotes Méthode des trpèzes O.I.A. de Guss Quelques exemples Opérteurs composites 6 8. Complément sur l convergence Introduction Soit f : [, b] R une ppliction continue. On s intéresse dns ce chpitre à différentes méthodes permettnt d évluer numériquement l intégrle : f(t)dt Le principe est de remplcer cette intégrle pr une somme finie Σ(f) dépendnt de f : f Σ(f) = w i f(x i )

2 et Σ est ppelé opérteur d intégrtion pprochée. L objectif est de rendre l différence Σ(f) n w if(x i ), expression de l erreur inhérente à l méthode utilisée soit ussi petite que possible. Ce problème ser bordé à prtir de l section 4. Nous llons étudier dns un premier temps l question suivnte : Comment pproximer l fonction f pr une fonction polynomile P. Cette étude ser un outil pour l évlution des intégrles prce que les intégrles des fonctions polynomiles sont isées à évluer. Notons P n, l espce vectoriel (de dimension n + ) des polynômes de degré n. Citons trois problèmes :. Interpoltion. Trouver P P n tel que P (x i ) = f(x i ), pour une suite finie x i de points de [, b].. Approximtion uniforme. Trouver P n de degré n rélisnt le minimum dns P n de l norme du sup : f P n = sup f(x) P n (x) t [,b] ppelé polynôme de meilleure pproximtion uniforme. 3. Approximtion qudrtique. Trouver P n de degré n rélisnt le minimum dns P n de l norme L : f P n = (f(x) P n (x)) dx ou plus générlement de l norme L ssocié à une densité continue positive w(x), qu on ppeller ussi fonction de poids : f P w = (f(x) P (x)) w(x)dx Un tel polynôme est ppelé polynôme de meilleure pproximtion qudrtique de degré n. On étudier uniquement les premier et le troisième problèmes, en rison de leur lien vec l intégrtion numérique. Interpoltion de Lgrnge. On se fixe dns l intervlle [, b], n points x 0,, x n ppelé ussi noeuds de l interpoltion, et une fonction continue f. On note f i = f(x i ). Le résultt qui suit ne dépend que des vleurs de f ux points x i. Théorème.- Pour tout choix de n + noeuds x i, et toute f, il existe un unique polynôme P n P n tel que i {,, n}, P (x i ) = f(x i ) Démonstrtion.- Cherchons le polynôme sous l forme suivnte P = 0 + x + + n x n. Il s git donc de résoudre le système d équtions : k x k j = f(x j ) k=0

3 qui est un système linéire de n+ équtions ux n+ inconnues 0,, n. L mtrice de ce système est l mtrice crrée : x 0 x n 0... M = x i x j i... x n x n n Comme det(m) = Π i<j (x j x i ) 0 (déterminnt de Vndermonde), ce système est de Crmer, ce qui étblit l existence et l unicicité d une solution, donc d un polynôme d interpoltion P P n. L ppliction linéire ev : P n R n+ définie pr ev(p ) = (P (x 0 ),..., P (x n )) est injective. En effet si P ker(ev), P est nul cr c est un polynôme de degré n possédnt n + rcines x 0,, x n. Ainsi ev est linéire injective entre espces de même dimension donc est un isomorphisme. Ceci donne une démonstrtion lterntive plus bstrite du théorème. Expression du polynôme d interpoltion en fonction de f et des x i. On note L n,i l solution du problème correspondnt u second membre e i = (0,, 0,, 0,, 0). C est un polynôme L n,i tel que L n,i (x j ) = 0 pour i j, donc il est de l forme c.π j i (x x j ). Ensuite l églité L n,i (x i ) =, détermine c : L n,i (x) = Π j i (x x j )/(x i x j ) = (x x 0) (x xi ) (x x n ) (x i x ) (xi x i ) (x i x n ) Pr linérité de ev on en déduit l expression du polynôme d interpoltion générl : P n (x) = f(x i )L n,i = f(x i ) (x x 0) (x xi ) (x x n ) (x i x ) (xi x i ) (x i x n ) Au pssge on déduit de ce clcul et du théorème sur l interpoltion le résultt suivnt : Proposition L fmille des polynômes {L n,0,, L n,n } est une bse de l espce vectoriel P n. En effet c est l imge réciproque pr l isomorphisme ev de l bse cnonique de R n+ Remrques ) Cette bse n est ps très ppropriée pour mener pr exemple des clculs pr récurrence sur le nombre de points. Pour pllier à ce défut, il existe une méthode d évlution ppelée méthode des différences divisées, fondée sur l construction d une bse échelonnée. Nous n en prlons ps dns ce cours. ) Posons π n+ (x) = Π n (x x i ). On obtient lors l expression suivnte pour les L n,i et P n, simple remodelge de l formule précédente : L n,i =. Evlution de l erreur π n+ (x) π n+ (x i)(x x i ), P n(x) = π n+ (x) f(x i ) π n+ (x i)(x x i ) Ici on ne s intéresse ps ux f ( x i ) seulement, mis à l différence f P n en tout point sous une hypothèse de régulrité sur f. Théorème Supposons que f soit de clsse C n+ sur l intervlle [, b]. Alors quel que soit x [, b], il existe ξ x ], b[ tel que f(x) P n (x) = (n + )! π n+(x)f (n+ (ξ x )

4 L ordre des quntificteurs est importnt et l nottion ξ x = ξ est là pour rppeler que ξ dépend du point x. Signlons ussi qu on obtient en fit en exminnt l démonstrtion l encdrement plus précis : ξ ]min({x, x 0,, x n }), mx({x, x 0,, x n })[ Lemme.- Soit g C p ([, b], R), dmettnt p + zéros deux à deux distincts α 0 < < α p. Alors il existe ξ ]α 0, α p [ tel que g (p) (ξ) = 0. Démonstrtion du lemme.- en exercice. C est une récurrence fondée sur le théorème de Rolle qui ser donnée Démonstrtion du théorème Si x = x i, l énoncé à démontrer est immédit puisque tout ξ convient. On suppose désormis que pour tout i, on x x i. Notons P n+ le polynôme d interpoltion de f ux n + points x, x 0,, x n. En prticulier on les églités : f(x) P n (x) = P n+ (x) P n (x) et f(x i ) P n (x i ) = P n+ (x i ) P n (x i ) = 0, pour i = 0,, n Comme P n+ P n est de degré n +, l connissnce de ses n + rcines x i donne une églité : P n+ (u) P n (u) = c.π n+ (u) où c R Posons lors g(u) = f(u) P n+ (u) = f(u) P n (u) c.π n+ (u). On g(x) = 0, g(x 0 ) = 0,, g(x n ) = 0, donc d près le lemme de Rolle générlisé, il existe ξ dns l intervlle indiqué tel que : g (n+) (ξ) = 0. En tennt compte du fit que P n (n+) = 0 on obtient l éqution suivnte dont on pourr tirer c en fonction de ξ : f (n+) (ξ) = c.π (n+) n+ = c.(n + )! Donc P n+ (u) P n (u) = f (n+) (ξ) (n+)!.π n+ (u), d où en u = x Corollire 3 f P n π n+ (n+)!. f (n+) f(x) P n (x) = f (n+) (ξ) (n + )!.π n+(x) L efficcité de cette mjortion dépend donc de l norme π n+. Il existe des choix des points x i qui s vèrent meilleurs que le choix x i équidistnts. Dns l sous-section suivnte nous tritons un exemple :.3 Interpoltion ux points de Tchebychev = + i b n de point Proposition-définition.- ) Il existe un unique polynôme de degré n noté T n, tel que pour tout u [, ] : T n (u) = cos(narccos(u)). ) Les polynômes T n stisfont ux reltions de récurrence T n+ + T n = XT n. 3) Le polynômes n T n est un polynôme unitire de P n dont l norme du sup sur [, ] est n. Définition.- Le polynôme T n est ppelé le nième polynôme de Tchebychev

5 Démonstrtion de l proposition.- L condition sur T n revient à l suivnte : θ R, T n (cos θ) = cos nθ. Nous llons risonner pr récurrence. Le cs n = est clir vec T = X. Pr l hypothèse de récurrence, cos nθ = T n (cos θ) et cos(n )θ = T n (cos θ), et d près l formule trigonométrique bien connue cos(n + )θ + cos(n )θ = cosθcosnθ : cos(n + )θ = T n (cos θ) + cos θt n (cos θ) ce qui étblit en même temps l ssertion demndée et l reltion de récurrence. L unicité de T n est grntie pr le fit que c est un polynôme et qu on en connît une infinité de vleurs (tous les T n (u) pour u ). Pr récurrence sur n on trouve imméditement degt n = n. Soit c n le coefficient dominnt de T n. On c = et pr l formule de récurrence c n est ussi le coefficient dominnt de XT n, ce qui montre que c n = c n. Pr récurrence on trouve comme nnoncé c n = n. Enfin T n = sup θ R cos(nθ) =, puisque l norme T n est prise sur [, ], donc coincide vec l borne supérieure des T n (cos θ). Lemme.- Les zéros de T n+, sont les n + points de [, ], rngés pr ordre décroissnt, u i = cos i+ n+ π. En effet T n+ (u i ) = cos(n + ) (i+)π n+ = cos (i+)π = 0 et comme T n+ est de degré n +, ce sont là tous ses zéros. Considérons l interpoltion de Lgrnge ux points u i, ou sur leurs imges pr une similitude de [, ] vers un intervlle [, b] quelconque. Cette interpoltion est plus vntgeuse du point de vue de l formule de mjortion de l erreur que, pr exemple l interpoltion en des points équidistnts. Voici un élément à l ppui de cette ffirmtion : Proposition.- Pour l interpoltion ux point de Tchebychev on l évlution suivnte : ( b π n+ =. 4 Démonstrtion.- Tritons d bord le cs [, b] = [, ]. Alors T n n+, et (π n+ ) [,] sont égux cr ils sont unitires vec les même zéros, tous simples. Donc π n+ = T n n+ =, ce qui est n l églité à démontrer dns le cs b =. En générl on considère le chngement de prmètre ffine : ) n+ [, ] [, b] u x = +b + b.u Ainsi dns [, b] on effectue l interpoltion ux points x i = +b + b.u i et on obtient l formule : ( ) π n+ (x) = Π n (x x i ) = Π n b (u u i) = ( b )n+ (π n+ ) [,] (u), où on pris soin de distinguer pr l nottion (π n+ ) [,] le polynôme unitire s nnulnt ux noeuds reltifs à l intervlle stndrd, de celui que nous étudions sur l intervlle [, b]. Le résultt nnoncé se déduit de l formule ( ) : π n+ = ( b )n+ n = (b 4 )n+.

6 On démontre, et nous l dmettrons, que dns le cs de points équidistnts, l norme π n+ est proportionnelle à ( ) b n+. e L mjortion de l erreur dns l interpoltion de Lgrnge ux points de Tchebycheff est donc meilleure pr un fcteur ( e 4 )n. Phénomène de Runge : Considérons le polynôme d interpoltion P n de f : [, b] R en des points équidistnts x i = +i b n, i = 0,..., n. Il n est ps vri en générl que P n(x) converge prtout vers f(x). On peut expérimenter cel pour l fonction x + sur [, +] pour diverses vleurs de. Une étude théorique de ce phénomène dépsse le cdre de ce cours. 3 Approximtion polynomile 3. Meilleure pproximtion qudrtique et polynômes orthogonux On considère sur C([, b], R), le produit sclire défini pr : vec w(x) > 0 intégrble. < f, g >= w(x)f(x)g(x)dx Théorème 4. Quel que soit n, il existe un unique polynôme P n P n tel que : P P n, f P n w f P w Démonstrtion.- L existence de P n est vrie dns le contexte plus générl d une norme rbitrire sur C([, b], R) ne provennt ps forcément d un produit sclire. L espce P n est un espce vectoriel de dimension finie dns lequel les compcts sont les fermés bornés, et sur lequel toutes les normes sont équivlentes. L ensemble K = {P P n, f P f }, est donc compct et non vide cr il contient le polynôme nul. Le fonction continue P f P, tteint son minimum en un point P n K et, pr l définition même de K, f P n f et ce minimum est bsolu. Exminons mintennt l unicité. On se donne P n, une solution du problème et P un élément quelconque de P n écrit sous l forme P = P n + Q. Quelque soit t R, on peut écrire : f (P n + tq) w = f P n w + t < f P n, Q > +t Q w L inéglité f (P n + tq) w f P n w, donne lors t R, t < f P n, Q > +t Q w 0, ce qui impose l reltion d orthogonlité < f P n, Q >= 0, et on en déduit que f P w = f P n w + Q f P n w vec églité si et seulement si Q = 0, c est à dire comme nnoncé P = P n. Cette démonstrtion consisté en fit à montrer que P n est dns C([, b], R), le projeté orthogonl de f sur P n. Recherche du polynôme P n, comme solution d un système linéire. On vient de voir que P n est l unique P dns P n, tel que f P n soit orthogonl à l espce P n, ou ce qui revient u même à tous les monômes x j pour j =,, n.

7 D ou en notnt P = i x i, le système linéire ux inconnues i. i < x i, x j > w =< f, x i > w. Les coefficients de l mtrice du système sont les produits sclires < x i, x j > w. Exemple : Si w =, on trouve l mtrice H n des /(i + j) dite mtrice de Hilbert / /3 /4 Elle est prticulièrement ml conditionnée. Pour H 4 = / /3 /4 /5 /3 /4 /5 /6, on trouve déjà /4 /5 /6 /7 que cond (H 4 ) est de l ordre de Et cond(h 8 ), est de l ordre de 0 0! Cette observtion justifie le fit qu on utilise plutôt les polynômes orthogonux pour clculer le polynôme de meilleure pproximtion qudrtique. Un exemple qund même qui ser détillé en exercice : e x sur [0, ], vec n =. On trouve le polynôme + bx où = 4e 0 0, 8733 et b = 6.(3 e), Remrque (hors progrmme) :Qund l intervlle est un compct [, b], on le résultt de convergence f P n w 0. C est une conséquence directe du résultt suivnt que nous dmettons : Toute fonction f continue sur un intervlle [, b] fermé et borné est l limite uniforme d une suite de fonctions polynomiles B n (f) de degrés n, les polynômes de Bernstein. En effet on en déduit l mjortion : f P n w f B n (f) w = 3. Polynômes orthogonux w(t)(f(t) B n (f)(t))dt w(t)dt f B n (f) Théorème 5 et définition.- Il existe une unique suite de polynômes unitires (P n ) n N tels que degp n = n, et quels que soient m, n, vec m n, < P m, P n > w = 0. Cette suite est ppelée suite des polynômes orthogonux pour le poids w. Avnt de commencer l démonstrtion voici le lien vec l section précédente : Soit P P n le polynôme de degré n rélisnt l meilleure pproximtion qudrtique de f C([, b], R). On décompose P sur l bse des polynômes orthogonux : P = λ i P i i=o Comme P est l unique élément de P n tel que f P est orthogonl à P n, on, pour tout i, < f P, P i >= 0. Les coefficients λ i sont donc déterminés pr les équtions : w(x)f(x)p i (x)dx =< f, P i >=< P, P i >= λ i P i w Démonstrtion.- Il s git simplement de l méthode d orthogonlistion de Schmidt. On contruit les P n pr récurrence sur n, en prtnt de P 0 =, et en cherchnt P n, sous l forme n P n = x n λ i P i ce qui est légitimé pr le fit que {P 0,, P n } est une bse (échelonnée ) de P n. L condition d orthogonlité < P n, P k >= 0, pour k = 0,, n, donne imméditement une détermintion unique des coefficients de P n sur cette bse : λ i = < xn, P k > w P k w

8 Dns cet énoncé l condition d être unitire n est fite que pour ssurer l unicité. On pourr considérer, d utre suites Q n de polynômes de degrés échelonnées, et deux à deux orthogonux. Pr l unicité des P n les Q n sont constnts à un fcteur multiplictif près, soit Q n = n (Q n ).P n. Dns l exercice 5 où sont présentés des polynômes deux à deux orthogonux mis NON unitires, il fudr jouer vec les coefficients dominnts pour se rmener à l sitution du cours. Dns ce qui suit nous llons résumer les principles propriétés des polynômes orthogonux dns deux résultts et ensuite nous donnerons des exemples clssiques. Théorème 6.- Les polynômes P n vérifient une reltion de récurrence : P n = (x λ n )P n µ n P n vec λ n = < x.p n, P n > P n w µ n = P n w P n w Démonstrtion. Il s git de deux observtions : ) Puisque xp n est unitire de degré n, il dmet sur l bse des P k une décomposition du type : n xp n = P n + α i P i et les coordonnées α i sont données pr un clcul de produit sclire < xp n, P i >= α i P i w ) Pr définition du produit sclire on < xp n, P i >=< P n, xp i > et ceci est nul pr un rgument de degré dès que i + = deg(x.p i ) < n, donc α i = 0 pour i n 3. Pour conclure, il reste à voir que < x.p n, P n >=< P n, x.p n >= P n w..- On pr illeurs déjà repéré l propriété suivnte sur les polynômes de tchebycheff : Théorème 7.- Le polynôme P n pour le poids w sur l intervlle I n zéros distincts dns I. Démonstrtion.- On note à priori x,, x k, les zéros distincts de P n situés dns l intervlle [, b], de multiplicités respectives m i vec m + + m k n. Il existe donc R R[X] unitire sns rcine dns I = [, b] tel que : P = Π k i=(x x i ) m i R. On définit de fçon unique ɛ i {0, } pr l condition : m i +ɛ i est pir. Considérons lors le polynôme Q = Π k i= (x x i) ɛ i. On constte que P n Q = Π k i= (x x i) m i+ɛ i R, est de signe constnt sur I. On donc < P n, Q > 0, ce qui impose degq = n, puisque P n est orthogonl à P n. L condition condition degq = n équivut u fit que P n = Q et que P n n zéros simples situés dns [, b], comme on le voit en observnt l définition même de Q Quelques exemples clssiques de polynômes orthogonux Les propriété de ces exemples feront l objet d exercices plus détillés :

9 Polynômes de Legendre. On prend w = sur [, ]. On trouve isément pour commencer P 0 =, P = x. On montrer en exercice qu ils sont proportionnels ux polynômes non unitires : P n (x) = n n! [(x ) n ] (n) On trouve γ n = n+ = P n w, P n () =, et l reltion de récurrence : (n + )P n+ (n + )xp n = np n Polynômes de Tchebychef Lemme 3. Les polynômes T n (x), tels que T n (cosθ) = cosnθ, sont orthogonux reltivement u poids w(x) = sur [, ] ( x ) En effet pr le chngement de vribles x = cosθ, vec θ [0, π] ( x ) T n(x)t m (x)dx = 0 Polynômes de Hermitte ], b[=], + [ et w = e x Polynômes de Lguerre ], b[=]0, + [ et w = e x 4 Générlités sur l intégrtion numérique π cosnθcosmθ( dθ) = 0 si m n On considère une fonction pouvnt s écrire x w(x)f(x), vec w définie continue strictement positive et intégrble sur ], b[, et f : [, b] R continue. On ppelle opérteur d intégrtion noté I w, l ppliction définie sur f C([, b], R) : I w : f I w (f) = w(x)f(x)dx. On cherche à pprocher I w (f) pr des opérteurs ssociés à des fmilles de points {x 0,, x n }, et à des fmilles de réels ppelés poids. Définition.- On ppelle opérteur d intégrtion pproché (ou O.I.A. en brégé) ssocié ux x i et à l fmille de poids w i l ppliction de C([, b], R) vers R Σ n : f w i f(x i ). L opérteur Σ n est dit de rng n. Définition 3.- On dit que Σ n est exct sur le sous espce E de C([, b], R) si f E, Σ n (f) = I w (f) En générl on recherche l exctitude sur les polynômes. Définition 4 On dit que Σ n est d ordre d exctitude u moins p, s il est exct sur l espce P p des polynômes de degré p.

10 L exctitude sur P p équivut pr linérité à l ensemble fini des p + conditions suivntes : ou pour être plus explicite : k {0,, p}, I w (x k ) = Σ n (x k ) x k w(x)dx = w i x k i pour k = 0,, p. Dire que Σ n est d ordre d exctitude p, se trduit lors simplement pr l condition supplémentire : I w (x p+ ) Σ n (x p+ ). Attention : Ne ps confondre le rng n vec l ordre d exctitude p. En effet, si dns tous les cs intéressnt p est u moins égl à n, comme le montre le prgrphe suivnt, on peut voir p > n. Cette sitution correspond même à des O.I.A. plus efficces. 5 Opérteur d intégrtion pprochés. 5. L idée première est de remplcer f pr le polynôme d interpoltion L n (f) ux points considérés. Rppelons que L n (f) = f(x i )L n,i, où L n,i (x) = (x x 0) (x x i ) (x x n) (x i x ) (x. L opérteur obtenu s écrit i x i ) (x i x n) donc : Σ n (f) = w(x)l n (f)(x)dx = w(x)( f(x i )L n,i (x))dx Ce qui donne bien une formule Σ n (f) = n f(x i)w i vec les poids w i = w(x)l n,i(x)dx. Ces poids sont complètement crctérisés pr l donnée des points x i. (On pourrit donc en lourdissnt les nottions, écrire cet O.I.A f Σ n,{x0,,x n}(f)). On ppelle un tel O.I.A, un O.I.A. pr interpoltion. Proposition 3 Soit Σ n un O.I.A. de rng n. Il y équivlence entre les deux propriétés suivntes : ) Σ n est un O.I.A. pr interpoltion. ) Σ n est exct sur P n (=exct d ordre u moins n). Démonstrtion.- En effet si Σ n est un O.I.A. pr interpoltion et P P n, on L n (P ) = P, évident selon l définition de L n. Il est donc clir que : I w (P ) = I w (L n (P )) = Σ n (P ) l première églité étnt trivile et l deuxième l définition de Σ n. Réciproquement soit Σ n un O.I.A. de rng n et de poids w i, tel que P P n, I w (P ) = Σ n (P ), on obtient en ppliqunt cette églité à L n,i et en tennt compte de L n,i (x j ) = δ i,j I w (L n,i ) = Σ n (L n,i ) = w j L n,i (x j ) = w i ce qui détermine complètement les poids de l O.I.A., qui sont donc ceux de l O.I.A. pr interpoltion. Le résultt précédent montre que l considértion d O.I.A. w i f(x i ) pour des poids différents est de fible interêt et nous ne considèrerons plus dns l suite que des O.I.A. d interpoltion. Remrque sur l zéro-exctitude : Le fit que l opérteur soit exct sur P 0, c est à dire en prtique sur l fonction, se trduit pr l reltion b = n w i. Il est nturel d écrire l O.I.A. (b j=0

11 ) w i f(x i ), vec n w i =. Les w i, sont les coefficients normlisés de somme, correspondnt à un intervlle de longueur. En effet l formule de chngement de vrible I w (f) = implique ussitôt le résultt suivnt : w(x)f(x)dx = (b ) 0 w( + t(b ))f( + t(b ))dt Lemme 4.- L O.I.A. pr interpoltion ux point t i sur [0, ], noté w i g(t i ), et l O.I.A. sur [, b], dont les noeuds lui correspondent pr ffinité (i.e. x i = + t i (b )), sont liés pr le reltion entre les poids : w i = (b ) w i. 5. Evlution de l erreur L erreur de méthode, sur l évlution de l intégrle de f est l erreur commise lorsqu on remplce l intégrle pr l O.I.A., c est à dire : E n (f) = I w (f) Σ n (f) Dns les cs d un O.I.A. d interpoltion on est ussi mené à considérer l erreur commise en remplçnt f pr son polynôme d interpoltion. Il s git de l fonction de x [, b] définie pr E n (f)(x) = f(x) L n (f)(x) Le lien entre ces deux notions est le suivnt : l erreur E n (f) sur l intégrle est l vleur de l opérteur d intégrtion I w ppliqué à l fonction E n (f) : E n (f) = I w (f) Σ n (f) = w(x)f(x)dx w(x)l n (f)(x)dx = w(x)e n (f)(x)dx Rppelons l évlution de l erreur d interpoltion : Si f est de clsse C n+, il existe ξ x [, b], tel que E n (f)(x) = π n+ (x) f n+ (ξ x) (n+)! où π n+ (x) = Π n (x x i). On donc E n (f) = w(x)π n+ (x) f n+ (ξ x ) (n + )! dx formule de mniement délict à cuse du signe de π n+. Voici une méthode utile pour triter le problème de l erreur Théorème 8 Théorème de Peno.- Soit Σ n un O.I.A. de rng n et d ordre p n. On se donne une fonction f de clsse C p+. Alors l erreur est donnée pr l formule E n (f) = G p (t)f (n+) (t)dt où G p est le noyu de Peno, fonction de t définie pr G p (t) = E n ( (x t)p + p! ). Expliction : On désigne pr + = mx(0, ), l prtie positive du réel. Dns l définition du noyu de Peno, t est un prmètre et G m (t) est donc l erreur de méthode sur l intégrle de l fonction x (x t)p + p!. L intégrle est bien sur prise pr rpport à l vrible x et t est un prmètre et tout nturellement l erreur G m (t)en dépend. Explicitement cel donne : Noter que w(x) (x t)p + G m (t) = p! dx = t w(x) (x t)p + dx p! w i (x i t) p + p! (x t)p w(x) p! dx, puisque (x t) p + = 0 si x t.

12 Démonstrtion du Théorème de Peno.- On pplique l em formule de Tylor vec reste intégrl f(x) = p (x ) k f (k) () + k! p! k=0 x (x t) n f (p+) (t)dt, D près l hypothèse l O.I.A. est exct sur l prtie polynomile de degré p du deuxième membre d où, pr linérité de E n, l églité E n (f) = E n (x p! x De fçon plus explicite cel donne, près voir remrqué que x vec (x t) p + = { (x t) p si t x 0 si x t (x t) n f (p+) (t)dt = (x t) p f (p+) (t)dt). (x t) p + f (p+) (t)dt, E n (f) = = ( p! (x t) p + f (p+) (t)dt)w(x)dx [ p! (x t)p + )w(x)dx w i p! w i p! (x i t) p + x (x i t) p + f (p+) (t)dt () ] f (p+) (t)dt () L deuxième ligne est obtenue en ppliqunt le théorème de Fubini et[ en] regroupnt les deux termes sous une seule intégrle en t. On reconnît lors dns l expression entre. le noyu de Peno nnoncé. 6 Exemple : opérteur de Newton-Cotes. 6. Cet exemple consiste à ppliquer ce qui précède u cs d une subdivision équidistnte, vec w(x) =. On pose donc = x 0 < x 0 + h < x 0 + h < x i = x 0 + ih < < x n = b vec h = b n. Ceci donne l opérteur de Newton-Cotes d ordre n : NC n (f) = w i f(x 0 + ih), où w i = Π n j=0,j i Les coefficients normlisés, qui correspondent u cs = 0 et b = sont : w i = n 0 n Πn j=0,j i t j i j. x x j x i x j On peut dresser un tbleu des vleurs obtenues en écrivnt les numérteurs et dénominteurs entiers de w i = A n,i D n

13 n D n A n,0 A n, A n, A n,3 A n,4 A n,5 A n,6 A n,7 A n, Les exemples les plus simples sont et les plus utilisés sont l formule des trpèzes et l formule de Simpson f() + f(b) NC (f) = (b ). NC (f) = (b ).( 6 f() f( + b ) + 6 f(b)). L exemple suivnt permet de mesurer l très bonne efficcité de l formule de Simpson, vec f(x) = e x, [, b] = [0, ] et des clculs à 0 5 près : 0 e x dx = e, 788 f(0) + f() = + e, 8594 (Trpèzes) f(0) + 4f(/) + f() 6 = + e + e 6, 7886 (Simpson) Remrques sur l ordre On peut montrer que NC q et NC q+, sont tous les deux d ordre exctement q +. Voir l feuille de TD. Ceci explique que en dehors de l formule des trpèzes on n utilise guère que les NC de rng impir. Remrques sur l convergence ) Il n est ps vri en générl que lim n NC n(f) = I w (f). ) Il est plus vntgeux de subdiviser l intervlle [, b], en un grnd nombre de petits intervlles à chcun desquels on pplique un opérteur NC. On obtient insi pour n =, les méthodes clssiques des trpèzes et de Simpson composites. Nous tritons l première dns l section suivnte. 6. Méthode des trpèzes Générlités sur les opérteurs composites Pour le clcul pproché d intégrles l meilleure strtégie est de découper [, b] en intervlles égux = 0 < < < m = b et d ppliquer à chque intervlle un opérteurs intégrl pproché d ordre peu élevé. On pose : f(x)dx = m i+ i f(x)dx et on pplique à chque intervlle [ i, i+ ], un O.I.A. d ordre q fixé en prennt dns [ i, i+ ] des points x i,j, j = 0,, q.

14 Définition 5.- Un opérteur intégrl pproché de l forme m q Σ(f) = ( w i,j f(x i,j )) est ppelé un opérteur composite de type (m, q). j=0 Nous llons terminer cette section vec l exemple le plus cournt et l mjortion d erreur : Exemple : Méthode des trpèzes Il s git d un opérteur de type (m, ), fondé dns chque intervlle sur l formule des trpèzes NC. L erreur R i sur l ième intégrle est donc donnée pr i+ i f(x)dx = h (f( i) + f( i+ )) + R i On suppose les i équiréprtis, c est à dire i = +ih, h = b m. On obtient l formule des trpèzes, vec R somme des restes élémentires R i : f(x)dx = b m m (f() + f( + ih) + f(b) ) + R. Proposition 4.- Lorsque f est u moins de clsse C, on l mjortion suivnte i= où M = sup ξ [,b] f (ξ). (b )3 R M m Démonstrtion.- Tritons d bord le cs m = : f(x)dx NC (f) = (f(x) P (x))dx où P (x) = f() b x x b + f(b) b est le polynôme d interpoltion de f ux points et b. Selon le théorème sur l évlution de l erreur dns l interpoltion de Lgrnge, on l mjortion suivnte de l fonction intégrée : (x )(x b) f(x) P (x) = f (ξ x ) M donc l mjortion de l erreur sur l intégrle : R = f(x)dx NC (f) M (b x) (x ). (b x) (x )dx = M(b )3. N.B. Fire l exercice de clcul consistnt à contrôler l dernière églité. Remrquer que le fit que (b x) (x ) 0 sur l intervlle [, b] joue un rôle importnt. Cs générl : il suffit dns l formule précédente de remplcer l longueur b, pr h = b m longueur de chque intervlle [ i, i+ ], ce qui donne pour l évlution de i+ i f(x)dx, l mjortion d erreur : M(b )3 R i m 3 L erreur R, est le cumul des erreur R i, sur m intervlles donc bien l forme nnoncée. Remrque : Dns le cs de l opérteur composite fondé sur l formule de Simpson, on trouverit l mjortion : R M(b )5, où M = sup 880m 4 ξ [,b] f (4) (ξ) vec une convergence plus rpide en /m 4 u lieu de /m. Le clcul est plus compliqué et le plus comode est de psser pr les noyux de Peno (hors progrmme).

15 7 O.I.A. de Guss On vu que quel que soit le choix de {x i [, b], i = n}, un O.I.A. d interpoltion est exct de rng n. On peut méliorer ce résultt : on cherche des noeuds x i prticuliers en vue d obtenir un ordre d exctitude m > n ussi élevé que possible. On montre qu on peut obtenir un ordre d exctitude égl à n +, en choisissnt pour noeuds les rcines du polynôme orthogonl de degré n + ssocié u même poids w que celui qui intervient dns l intégrle qu on cherche à pprocher. J i choisi de lisser ce sujet hors progrmme. Disponible sur demnde pour les étudints interessés. 7. On vu que quel que soit le choix de {x i [, b], i = n}, un O.I.A. d interpoltion est exct de rng n. Dns ce qui suit on se propose d méliorer ce résultt : on v chercher des noeuds x i prticuliers en vue d obtenir un ordre d exctitude m > n ussi élevé que possible. exemple A priori on peut rendre 0 f(x)dx w 0f(x 0 ) + w f(x ) exct sur P 3 u lieu de P. Pour cel il suffit de résoudre le système : Un clcul élémentire donne l solution unique w 0 + w = w 0 x 0 + w x = / w 0 x 0 + w x = /3 w 0 x w x 3 = /4 w 0 = w = /, et x 0 = 3 3, x = x 0 = Il est en fit plus commode de résoudre en pssnt pr ffinité à un O.I.A. sur [, ]. On trouve x 0 = 3, x = 3 Exemple e x dx = e, 3504 e Σ (e x ) = e 3 + e 3, 347 A nombre égl de point d interpolltion, le résultt est nettement meilleur que pr l opérteur N C de l formule des trpèzes. Proposition-définition.- Etnt donné w(x), intégrble sur [, b], il existe un unique opérteur d interpoltion de rng n et exct à l ordre n + ssocié u poids w. On l ppelle opérteur de Guss de rng n ssocié à w. Les points x i correspondnts sont les zéros du (n + )ième polynôme orthogonl ssocié à w. Si f est de clsse C n+, l erreur est donnée pr l formule, ξ [, b], E n (f) = c n f (n+) (ξ), c n = (n + )! w(x)[π n+ (x)]

16 Démonstrtion On risonner à priori vec des points x i (les inconnues du problème) rbitrires et l opérteur d interpoltion qui leur est ssocié. On note comme d hbitude, π n+ (x) = Π n (x x i ) P n+ Pour P P p, vec p n +, on effectue l division euclidienne pr π n+ et il vient P = Qπ n+ + R n vec Q P p n, et R P n. Pr l exctitude d ordre u moins n de tout O.I.A. d interpoltion, Σ n (R) = I w (R), et comme pour tout i, π n+ (x i ) = 0, on ussi Σ n (Qπ n+ ) = n w iq(x i )π n+ (x i ) = 0. Ainsi l condition d exctitude sur P, Σ n (P ) = I w (P ) est équivlente en rison de l linérité des opérteurs Σ n et I w à Σ n (R) = I w (Qπ n+ ) + I w (R) et il reste en définitive : I w (Qπ n+ ) = 0, c est à dire, w(x)q(x)π n+ (x)dx = 0 Comme réliser l exctitude sur P p revient à écrire cette éqution pout tout Q P p n, on voit que cel revient à demnder que π n+, soit orthogonl à P p n pour le produit sclire <, > w. Comme l orthogonlité de π n+ à lui-même est exclue, on en déduit que l meilleure possibilité est de choisir pour π n+ le (n+)ième polynôme orthogonl (unitire), et qu on obtient insi l exctitude sur P n+. Remrquons que l ordre d exctitude est exctement n +, cr évidemment 0 = Σ n (π n+ ) I w (π n+ ) > 0 7. Quelques exemples On recense ici les O.I.A ssociés ux fmilles de polynômes orthogonux les plus courntes. Remrquons, dns les deux derniers exemples que l théorie s dpte fcilement, pour opérer sur des intégrles générlisées et fournir pr exemple des formules exctes pour les intégrles de e x P (x) ou e x P (x) dns le cs où P est un polynôme de degré n +. Dns chque cs écrire les 3 ou 4 premiers opérteurs en exercice. O.I.A. de Guss-Legendre f(x)dx w i f(x i ) où les x i sont les zéros des polynômes de Legendre O.I.A. de Guss-Tchebycheff x f(x)dx w i f(x i ) où les x i sont les zéros des polynômes de Tchebycheff i.e. x i = cos(θ i ) et cos(nθ i ) = 0. O.I.A. de Guss-Lguerre + e x f(x)dx w i f(x i ) les x i zéros des polynômes de Lguerre O.I.A. de Hermite + e x f(x)dx 0 les x i zéros des polynômes de Hermitte. w i f(x i )

17 8 Opérteurs composites On déjà vu que l opérteur NC n ne donne ps forcément de bons résultt pour n grnd. L suite peut même diverger pour une fonction f fixée. Pour le clcul pproché d intégrles l meilleure strtégie est de découper [, b] en intervlles égux = 0 < < < m = b et d ppliquer à chque intervlle un opérteurs intégrl pproché d ordre peu élevé. On pose : f(x)dx = m i+ i f(x)dx et on pplique à chque intervlle [ i, i+ ], un O.I.A. d ordre q fixé en prennt dns [ i, i+ ] des points x i,j, j = 0,, q. Définition 6.- Un opérteur intégrl pproché de l forme m s Σ(f) = ( w i,j f(x i,j )) est ppelé un opérteur composite de type (m, q). Il est de rng mq. Nous llons terminer ce chpitre vec les deux exemples les plus cournts et les mjortion d erreurs : Exemple : Méthode des trpèzes Il s git d un opérteur de type (m, ), fondé dns chque intervlle sur l formule des trpèzes NC. L erreur R i sur l ième intégrle est donc donnée pr i+ i f(x)dx = h (f( i) + f( i+ )) + R i On supose les i équiréprtis, c est à dire i = + ih, h = b m. On obtient l formule des trpèzes, vec R somme des restes élémentires R i : f(x)dx = b m m (f() + f( + ih) + f(b) ) + R. Le reste peut étre évlué en utilisnt le noyu de Peno et on trouve : Exercice Lorsque f est u moins de clsse C, i= ξ [, b], R = (b )3 m f (ξ) Exemple : Méthode de Simpson.- C est un O.I.A. composite obtenu en ppliqunt l formule de Simpson de coefficients normlisés (/6, 4/6, /6), sur chcun des m intervlles [ i, i+ ], tirés d une subdivision en n intervlles pr les points On écrit donc i+ i = + ih, i = 0,, m, h = b m. puis i f(x)dx = h 6 [f( i) + 4f( i+ ) + f( i+ )] + R i f(x)dx = b m 6m (f() + m f( i ) + 4 f( i+ ) + f(b)) + R i=

18 et on trouve en ppliqunt encore l méthode de Peno (b )5 ξ [, b], R = 880m 4 f (4) (ξ) lorsque f est de clsse C 4. Dns ces deux exemples on constte l convergence de l méthode pr rpport u ps de l subdivision i.e. qund m tend vers +, pour les fonctions ssez régulières. Remrques sur l convergence Est il vri que lim n NC n(f) = I w (f)? Il n en est rien en générl. Voici un exemple qui montre que les choses ne vont ps toujours ussi bien qu vec e x : 4 4 dx = Arctn(4), x mis les vleurs trouvées vec NC i pour i vlnt respectivement,, 3, 4, 5, sont à 0 3 près : 5, 490;, 78; 3, 39;, 94; 3596 On ser donc plutôt mené à subdiviser l intervlle [, b], en un grnd nombre de petits intervlles et à ppliquer à chcun d eux les NC. On obtient pour chque NC l méthode du même nom : méthode des trpèzes, ou méthode de Simpson. Voir le prgrphe suivnt sur les opérteurs composites. Au delà on n utilise guère que NC 4 (Boole-Villrceu), ou NC 6 (Wedde-Hrdy.) 8. Complément sur l convergence On se donne pour chque n une fmille de points {x n,i, i = 0,, n} et les poids {w n,i, i = 0,, n} ssociés à l suite correspondnte d O.I.A. pr interpoltion, Σ n (f) = w n,i f(x n,i ) On s intéresse u comportement de Σ n (f) lorsque n croît, et ussi à l influence d une petite perturbtion de f sur l suite des Σ n (f). Définition 7 On dit que l suite des Σ n est stble, s il existe un constnte K > 0 telle que pour toute fonction ɛ : [, b] R, on Σ n (ɛ) < K.mx{ɛ(x n,i ), i = 0,, n} Définition 8 On dit que l suite des Σ n est convergente, si pour toute fonction f C([, b], R), on On dmettr le résultt suivnt : lim Σ n(f) = I w (f) n + Théorème 9 L suite Σ n est convergente ssi elle est convergente sur l ensemble R[X]. L proposition suivnte est de démonstrtion immédite : Proposition 5 L suite Σ n est stble si et seulement si il existe K > 0 tel que n w i,n K

19 Une conséquence immédite est l suivnte : Soit Σ n une suite d O.I.A. d interpoltion de rng n. Alors si tous les poids sont positif les Σ n sont convergents. En effet, on lors : wn,i = w n,i = b et comme Σ n est exct sur P n on en déduit le résultt. Remrquons toutefois que l suite des opérteurs de Newton-Cotes ne remplit ps ces conditions, à cuse des chngements de signe. On peut montrer qu elle n est ps stble.