Chapitre EM 3 : Théorème de Gauss, condensateurs

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1 Sciences Physiques - I Énoncé et exemple On admettra le résultat suivant relatif à une distribution de charges. Théorème de Gauss : le flux à travers une surface fermée orientée vers l extérieur dite "surface de Gauss" du champ électrostatique d une distribution de charges D est égal au quotient de la charge de D située à l intérieur de par : Φ = E.d s Q int = avec Q int = dq et d s = ds. n où n est unitaire et normal à en tout point. Q int D application : Dans quelle situation le flux de E est-il le plus élevé? E E replacements θ d S d S d S d S E E θ Φ > 0 Φ > 0 (maximal) Φ < 0 Φ = 0 Exemple : vérification dans le cas d une charge. En tout point M de l espace, E(M) = q 4π e r 2 r. Prenons la sphère de rayon r centrée en O (elle passe par M). d s centrée en M est orientée vers l extérieur : d s = ds. e r. Par définition, le flux élementaire dφ = E.d s = On en déduit Φ = dφ = qds 4π r 2 = q ds = 4π r 2 qds 4π r 2. q 4π r 2 4πr2 = q q e r M d s E(M) 1

2 II Utilisation pour le calcul de E 1. Méthode On appliquera le théorème de Gauss plutôt que la méthode intégrale si la distribution D présente un degré de symétrie élevé. Étapes à suivre : ➀ Étude des symétries et invariances pour déterminer le système de coordonnées, la direction et de quelles variables dépend E. ➁ Choix de la surface de Gauss : surface fermée qui passe par le point M où on calcule E et telle que le calcul du flux de E soit simple (par exemple nul, ou E constant sur toute la surface). Remarque : souvent, est une équipotentielle. ➂ Application du théorème de Gauss : calcul de Φ et Q int, plusieurs cas peuvent se présenter. 2. Exemple du cylindre infini 2.a. cas du cylindre uniformément chargé en volume (ρ > 0) cf. cours manuscrit pour le calcul 2.b. cas du cylindre uniformément chargé en surface (σ > 0) cf. cours manuscrit pour le calcul 2.c. cas du fil uniformément chargé (λ > 0) cf. cours manuscrit pour le calcul 3. Exemple du plan infini Détermination de E : 1 Étude des symétries et invariances PSfrag replacements Invariances : par translation selon Ox et Oy : E(x,y,z) = E(z) Symétries : tout plan contenant Oz est plan de symétrie donc E = E. e z. Conclusion : E(x,y,z) = E(z). e z 2 Choix de la surface de Gauss : cylindre de base S et de longueur 2z passant par M. 3 Application du théorème de Gauss : S E( z) = E(z) n S 2 y x σ n n M S lat S 1 E(z) z Calcul de Φ = Φ 1 + Φ lat + Φ 2 sur S lat, E.d s = 0 d où O Φ lat = 0 2

3 On en déduit : sur S 1, E.d s = E(z).ds avec z = Cte d où E(z) = Cte et Φ 1 = E(z).ds = E(z) ds = E(z).S S 1 S 1 sur S 2, E.d s = E( z).ds or le plan chargé est plan de symétrie donc E( z) = E(z) et E( z) = E(z) = Cte d où Φ 2 = E(z).ds = E(z).S S 2 On en déduit Calcul de Q int : Q int = σs. Reste à appliquer le théorème de Gauss : Φ = Q int selon e z si z > 0 et selon e z si z < 0. Φ = 2E(z).S 2E(z).S = σs E(z) = σ 2 E = ± σ 2 e z Relations de continuité (ou de passage) : On montre que : Dans le cas d une distribution volumique de charges, le champ électrostatique E et le potentiel électrostatique V sont continus en tout point. Dans le cas d une distribution surfacique : on a discontinuité de E à la traversée de la surface chargée, ce résultat est général : PSfrag replacements E 2 E 2 E 1 = σ n 1 2 où n 1 2 est le vecteur normal à la surface 1 orientée de 1 vers 2 : la composante tangentielle de E est conservée. Elle est continue à la traversée de la surface chargée alors que la composante normale de E est discontinue à la traversée de la surface chargée. le potentiel électrostatique V continu. est toujours 2 n 1 2 E 1 Remarque : le potentiel électrostatique s il est défini est toujours continu (le potentiel n étant par exemple pas défini sur une charge ponctuelle). Potentiel : on en déduit le potentiel V (z) par application de la relation E = gradv Ici, V ne dépend que de z, soit E z = E = dv dz = ± σ 2 V = σ 2 z selon le signe de z et en prenant la constante d intégration nulle par convention (choix de Jauge). 3

4 Tracés de E(z) et V (z) : σ 2 E(z) V (z) O z O z pente + σ 2 pente σ 2 σ 2 III Formulation locale du théorème de Gauss Soit une surface fermée quelconque S délimitant un volume τ. Soit P un point à l intérieur de S. 2 cas sont possibles : ρ(p ) = 0 car il n y pas de charge en P (vide) ρ(p ) 0 car il y a des charges en P (densité volumique de charge non nulle). Charge totale contenue dans le volume τ : Q = ρ(p )dτ τ Si on applique le théorème de Gauss : S E.d S = Q = τ ρ(p ) dτ Théorème de Green-Ostrogradski : L opérateur divergence, défini de façon intrinsèque, transforme donc un champ vectoriel en un champ scalaire. La signification physique de l opérateur divergence est intimement liée à la notion de flux : un champ de vecteurs "diverge" en un point, si son flux à travers un volume élémentaire associé à ce point est est non nul. PSfrag replacements M M div E 0 div E = 0 S E.dS = dive.dτ τ avec : div E divergence de E = E x. e x + E y. e y + E z. e z : dive = E x x + E y y + E z z 4

5 D où d après le théorème de Green-Ostrogradski : τ div E.dτ = τ ρ(p ) dτ div E = ρ Formulation locale du théorème de Gauss : Valable en un point M quelconque de l espace : div E = ρ(m) IV Bilan : Comment déterminer un champ électrostatique E? Méthode : Pour déterminer le champ électrostatique E (M) créé par une distribution de charge D : 1 re étape : Étude des invariances de la distribution de charges D. 2 e étape : Étude des symétries et des antisymétries de la distribution de charges D 3 e étape : Choix parmi 4 méthodes possibles : Méthode 1 : Calcul direct par intégration. E(M) = de dq P (M) = 4π D D 1 r 2 P M u P M avec dq = ρ (P ).dτ Méthode 2 : Calcul direct à l aide du Théorème de Gauss. Choix de la surface fermée de Gauss S Calcul du flux de E (M) à travers la surface fermée de Gauss D Détermination de la charge contenue dans le volume (τ) contenue dans la surface fermée de Gauss S. S E (M).d S M = Q int avec Q int = τ dq = Méthode 3 : Calcul indirect à l aide du potentiel électrique. E (M) = grad V (M) τ ρ (P ).dτ Méthode 4 : Calcul à l aide des équations locales de l électrostatique. div E (M) = ρ 5

6 V Électrostatique et gravitation : analogies et différences On a déjà noté une forte analogie entre la force de Coulomb et la loi d attraction universelle, on peut donc transposer la quasi totalité des résultats précédents pour au cas de la gravitation : Sources de champ Loi de Force Électrostatique Charges fixes Gravitation Masses F P M = 1 q P q M u FP 4π r 2 P M M = G m P m M r 2 u P M Champ produit par P en M E(M) = FP M q M G(M) = FP M m M Circulation conservative car la force dé- E.d r = 0 rive d une énergie potentielle Potentiel (à une constante près) V = q 4π r G(M).d r = 0 V = G m r Théorème de Gauss E.d s = Q int G.d s = 4πGMint Résultats pour une particule et généralisables à une distribution. Remarque : il subsiste toutefois des différences notables : la force de gravitation est toujours attractive. il n y a pas de concept équivalent aux conducteurs et isolants. les ordres de grandeur des forces sont très différents : F élec F gravit si masses et charges unités. 6

7 VI Les condensateurs 1. Conducteur en équilibre électrostatique Un conducteur est, par définition un corps à l intérieur duquel des charges (ou porteurs de charges) dites libres sont susceptibles de se déplacer sous l action d une force aussi petite soit-elle. Ces charges libres se déplacent sous l action : soit d un champ électrique soit d un champ magnétique soit d un gradient de température Exemples de conducteurs métaux électrolytes (solutions ioniques) Porteurs de charges libres électrons ions (cations et anions) 1.a. Champ et potentiel dans un conducteur Soit un conducteur à température uniforme ( grad T = 0). Un conducteur est en équilibre électrostatique lorsqu il ne se produit aucun mouvement ordonné de porteurs de charges (Ce qui n exclut pas les mouvements microscopiques désordonnés correspondant à l agitation moléculaire.) Si il n y pas de déplacement de porteurs de charges = la force électrostatique est nulle : F e = q E = 0 Donc le champ électrostatique est nul à l intérieur d un conducteur en équilibre électrostatique. Or dv = E.d r = 0 et donc le volume d un conducteur à l équilibre est un volume équipotentiel E = grad V = 0 = V (M conducteur ) = Cst 1.b. Charge d un conducteur Si l on applique le théorème de Gauss, en choisissant une surface de Gauss intérieure au conducteur. On a donc : E.dS = Q int = 0 S Comme E int = 0 on en déduit que Q int = 0. Il en résulte que, PSfrag pour un replacements conducteur chargé en équilibre, la densité de charges est nécessairement nulle. Equation locale du théorème de Gauss : M Conducteur on a dive = ρ = 0 = ρ(m) = 0 Conducteur 7

8 1.c. Théorème de Coulomb : champ au voisinage de la surface d un conducteur PSfrag replacements Un conducteur peut porter une charge totale Q tot non nulle, si il E a été électrisé. La charge volumique étant nulle, cette charge étant répartie à la surface du conducteur : densité surfacique de charges σ. n Le volume du conducteur est un volume équipotentiel V = Cst, ds σ sa surface est donc aussi équipotentielle. Le champ électrostatique extérieur au voisinage du conducteur est donc orthogonal à cette E int = 0 surface. ρ int = 0 Théorème de Coulomb : E(P ) = σ n Conducteur en équilibre CONCLUSION - Propriétés d un conducteur en équilibre électrostatique : A l intérieur d un conducteur en équilibre électrostatique : Le champ électrostatique est nul : E = 0 Il n y aucune charge électrique : ρ = 0 Le conducteur est un volume équipotentiel : V = cst A la surface : il peut y avoir des charges électriques (répartition surfacique) : σ 0 le champ électrostatique au voisinage de la surface est : E σ = n Théorème de Coulomb 2. Le condensateur 2.a. Influence électrostatique La répartition des charges surfaciques d un conducteur à l équilibre dépend du champ qui règne dans la région où il se trouve. On dit que le conducteur est influencé par le champ. La répartition des charges surfaciques d un conducteur dépend donc des autres corps chargés qui sont dans son voisinage et de leur position relative. L équilibre qui s établit traduit un phénomène d influence. Comme pour un conducteur seul à l équilibre, le champ et la densité volumique de charge à l intérieur de chaque conducteur sont nulles alors Q =Cte et le potentiel est modifié Déterminer les conditions d équilibre d un conducteur revient à chercher le potentiel et la charge de chaque conducteur. La charge et le potentiel de chaque conducteur peuvent en outre obéir à deux contraintes : (a) Si un conducteur i est électriquement isolé (c est-à-dire sans aucun contact avec les autres conducteurs), sa charge totale garde sa valeur initiale Q i, l influence se traduit par une modification de son potentiel V i. PSfrag replacements Q est constant V varie 0V 8

9 Chapitre EM3 : Théorème de Gauss, condensateurs (b) Si un conducteur j est relié à une source de potentiel constant (ou à la masse), son potentiel Vj reste constant (ou nul) ; l inpsfrag replacements fluence se traduit par une variation de Qj qui résulte d un échange de charges entre le conducteur et la source (ou la masse). Q varie V est constant (générateur) 0V 2.b. Influence totale ou partielle Deux conducteurs A et B sont en influence partielle quand toutes les lignes de champ issues de A n aboutissent pas sur B et vice-versa. Deux conducteurs A et B sont en influence totale quand toutes les lignes de champ issues de A aboutissent sur B et vice-versa. Cette dernière condition est en pratique satisfaite quand B entoure A. 2.c. Capacité d un condensateur Definitions : Condensateur et capacité On appelle condensateur, un ensemble de deux conducteurs (appelés armatures) en équilibre électrostatique et en influence totale. Le rapport entrerla charge électrique Q emmagasinée et la différence potentiel PSfragdereplacements 1 U = V1 V2 = 2 dv entre les armatures est appelé capacité du condensateur +Q C. Unité : Farrad : F Q = Q1 = C.U = C.(V1 V2 ) V1 > V 2 U Q V2 L espace entre les armatures est soit le vide de permittivité ε0, soit un diélectrique de permittivité ε = εr ε0. C > 0 toujours. C ne dépend que des caractéristiques géométriques du condensateur et des caractéristiques du diélectrique séparant les deux armatures. La capacité d un condensateur suffit pour caractériser le comportement de ce condensateur au niveau électrique. Plus la différence de potentielle U est élevée, plus la charge électrique stockée est importante. A tension fixée, un condensateur de grande capacité permettra de stocker plus de charges électriques qu un condensateur de capacité moindre. Un condensateur permet donc de stocker de l énergie (reservoir de charges électriques) sous forme d énergie électrostatique. 9

10 Détermination de la capacité d un condensateur : 1. On détermine l expression du champ E = f(q 1 ) entre les armatures en utilisant en général le théorème de Gauss. 2. On détermine V 1 V 2 = f(q 1 ) en utilisant : E = grad V 3. On détermine le rapport C = Q 1 V 1 V 2 en fonction des paramètres géométriques du système. Exemple : Le condensateur plan On considère un condensateur plan constitué de deux surfaces conductrices (S) planes et parallèles dont les dimensions sont grandes par rapport à la distance e qui les sépare. U = V 1 V 2 (V 1 > V 2 ) PSfrag replacements +Q -Q M E(M) e x x S P 1 (V 1 ) P 2 (V 2 ) e On considère donc que les deux surfaces conductrices (S) sont deux plans infinis parallèles portant les charges opposées : +Q = σ.s et Q = σ.s Le champ créé par un plan infini uniformément chargé en surface (σ) est : E = σ 2 n Pour un point M quelconque placé entre les armatures du condensateur, on obtient d après le théorème de superposition : E(M) = E 1 + E 2 = σ 2 e x + σ 2 ( e x ) E(M) = σ e x Conclusion : Le champ E est uniforme entre les armatures d un condensateur, de module σ = Q S. de direction et de sens : la normale aux plans dirigée dans le sens des potentiels décroissants Remarque : Si M est à l extérieur du condensateur alors, E ext (M) = E 1,ext + E 2,ext = σ e x σ e x =

11 Détermination de la capacité d un condensateur plan : électrostatique E entre les deux armatures P 1 et P 2 : On calcule la circulation du champ C 12 = V 1 V 2 = U = e 0 E.d r = e 0 σ.dx. e x. e x U = σ.[x] e 0 = σe = Qe S Ainsi on peut exprimer la capacité du condensateur : C = Q U = S e Remarque : On peut augmenter la capacité d un condensateur en remplaçant le vide entre les deux armatures par un diélectrique de permittivité relative ε r > 1. Dans ce cas la capacité du condensateur s exprime : C = εs e = ε r S e Exemple : Pour du mica (ε r = 7), C = 7C, la capacité est plus élevée si on place du mica entre les deux armatures d un condensateur. 2.d. Énergie d un condensateur L énergie d un condensateur est l énergie qu il est capable de fournir au milieu extérieur lorsqu on le décharge. On peut par exemple décharger un condensateur en reliant ses armatures. Énergie d un condensateur : L énergie stockée dans un condensateur est : E = 1 2 QU = 1 2 CU2 = 1 Q 2 2 C avec U = V 1 V 2 en Volt ; C en Farrad ; Q en Coulomb 2.e. Énergie électrostatique volumique Énergie électrostatique volumique : Densité volumique d énergie électrostatique en un point M de l espace où règne un champ électrostatique E(M) : u e = de e dτ = ε 0E 2 2 unité : J.m 3 E = de e = ε0e 2 u e.dτ = dτ unité : J 2 11

12 Exemple : Retrouver l expression de la capacité d un condensateur plan à l aide de l énergie électrostatique. ε0e 2 C = U dτ = 2 ε0e 2 E = 2 dτ = 1 2 CU 2 ε0 d dτ =.S.d =.S 2 d 2 d car pour un condensateur plan : E = U U = E.d d PSfrag replacements 2.f. Groupements de condensateurs Condensateurs en parallèle : D après la loi des noeuds : i = i 1 + i 2 or on sait que i = dq dt on peut écrire : dq dt = dq 1 + dq 2 dt dt Q = Q 1 + Q 2 donc Q 1 Q 2 U Q C 1 C 2 C Or on sait que pour des dipôles en parallèles : U PSfrag = U 1 replacements = U 2, et pour un condensateur Q = C.U donc : U.C = U 1 C 1 + U 2 C 2 C = C 1 + C 2 Condensateurs en série : D après la loi d additivité des tensions : U = U 1 + U 2 or on sait que pour un condensateur U = Q donc on peut écrire : C Q C = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 Q Q Q C 1 C 2 U 2 U 1 Q C U De plus on sait que pour des dipôles en série : i = i 1 = i 2, et i = dq dt donc Q = Q 1 = Q 2 ainsi : Q C = Q 1 C 1 + Q 2 C 2 1 C = 1 C C 2 12

13 Table des matières I Énoncé et exemple II Utilisation pour le calcul de E 1. Méthode 2. Exemple du cylindre infini 2.a. cas du cylindre uniformément chargé en volume (ρ > 0) 2.b. cas du cylindre uniformément chargé en surface (σ > 0) 2.c. cas du fil uniformément chargé (λ > 0) 3. Exemple du plan infini III Formulation locale du théorème de Gauss IV Bilan : Comment déterminer un champ électrostatique E? V Électrostatique et gravitation : analogies et différences VI Les condensateurs 1. Conducteur en équilibre électrostatique 1.a. Champ et potentiel dans un conducteur 1.b. Charge d un conducteur 1.c. Théorème de Coulomb : champ au voisinage de la surface d un conducteur 2. Le condensateur 2.a. Influence électrostatique 2.b. Influence totale ou partielle 2.c. Capacité d un condensateur 2.d. Énergie d un condensateur 2.e. Énergie électrostatique volumique 2.f. Groupements de condensateurs Lycée F.Arago - Reims

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