Académie Européenne Interdisciplinaire des Sciences Colloque Théories et Modèles en Sciences Sociales novembre 2011.

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1 RISQUE EXTREME ET REGULARITE FRACTALE EN FINANCE Académie Européenne Inerdisciplinaire des Sciences Colloque Théories e Modèles en Sciences Sociales novembre 2011 Lauren Emmanuel Calve Lauren Emmanuel Calve HEC Paris

2 PLAN 1. Régularié fracale en finance 2. Markov-Swiching mulifracal (MSM) 3. Pricing i du risque mulifracal l

3 1 REGULARITE FRACTALE Rendemens des acifs: disribuions non Gaussiennes, queues de disribuions ib i épaisses Mandelbro (1963, 1967), Fama (1963, 1965) Variaion journalière du cours Briish pound/u.s. dollar 3 Juin Mars 2011 Effe Noé

4 INVARIANCE Rendemen sur un inervalle de emps de longueur Δ Auo-similarié r ( Δ ) = ln P ( + Δ ) ln P ( ) r H r ( Δ) = ( Δ) r (1) Mouvemen Brownien : H = ½ Processus sable de Lévy (Mandelbro 1963) Mouvemen Brownien fracionnaire d Invariance Mulifracale E[ r ( Δ) q ] = c q ( Δ) Processus auo-similaire τ(q) = Hq 1. τ(q) sricemen concave dans les données financières. (Ghashgaie e al. 1996; Calve Fisher e Mandelbro 1997; Calve e Fisher 2002). τ ( q) + 1

5 MULTIFRACTAL MODEL OF ASSET RETURNS Calve, Fisher e Mandelbro (1997) ln P( ) = ln P(0) + B[ θ ( )] où: B es un mouvemen Brownien, θ() = μ[0,] es la foncion de répariion (c.d.f.) d une mesure mulifracale. Basé sur une déformaion du emps. Cohéren avec les propriéés d échelle des momens. Incrémens non-corrélés (pas d arbirage). Volailié à mémoire longue ( effe Joseph ).

6 2- MARKOV-SWITCHING MULTIFRACTAL Calve and Fisher ( CF ) Forecasing Mulifracal Volailiy, J. Economerics (2001) How o Forecas Long-Run Volailiy, J. Fin. Economerics (2004) INTUITION Chocs économiques on des durées rès héérogènes. Liquidié, cycle macroéconomique, echnologie, démographie. MARKOV-SWITCHING MULTIFRACTAL (MSM) Composanes de volailié de durées héérogènes.

7 CHAINE DE MARKOV Veceur d éa M = ( M ; M ;... M ) 1, 2, k, R k + Composanes de durées héérogènes Volailié σ 2 2 = σ M1, M2, Mk, Rendemen r = σ ε {ε } = variables indépendanes N(0,1)

8 DYNAMIQUE DE LA VOLATILITE COMPOSANTES M k, γ k Tire M k,+1 d une disribuion M, E(M) = 1 1 γ k M k,+1 = M k, Disribuion: M 0, ΕM = 1 Binomiale: M = m 0 or 2-m 0 avec même probabilié. FREQUENCES Quare paramères 1 (1 b k k b k k γk = γ ) γ ( m, ) k k 0,σ γ,b k k k k

9 PROPRIETES DE MSM Facile à uiliser quand M es une variable discrèe: La disribuion des éas Π condiionnellemen aux rendemens (r 1,, r ) es donnée par la loi de Bayes. Prévisions calculées en muliplian Π par des puissances de la marice de ransiion. Foncion de vraisemblance connue analyiquemen, ce qui perme l esimaion aisée e efficiene de MSM.

10 ESTIMATION PAR MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE Binomial MSM, rendemens journaliers (1 Juin Décembre 2002) Source: Calve and Fisher (2004), How o Forecas Long Run Volailiy, Journal of Financial Economerics. Les spécificaions avec 7 à 10 fréquences dominen.

11 PREVISIONS Esimons MSM(10) sur la première parie de l échanillon. Analysons la précision des prévisions produies par chaque modèle sur les 12 dernières années de l échanillon. Volailié réalisée RV n, n 1 2 r i i= 0 = ( RV E ( RV )) 2 Ou-of-sample R 2 n, n n, = 1 ( RV RV ) n, 2

12 PREVISIONS DE VOLATILITE Source: Calve and Fisher (2004), How o Forecas Long Run Volailiy, Journal of Financial Economerics. R l fi é C l Fi h Th (2006) L Resulas confirmés par Calve, Fisher, e Thompson (2006), Lux (2008), e Bacry, Kozhemyak, e Muzy (2008).

13 PREVISIONS DE VOLATILITE MSM fourni égalemen des esimaions précises de la value a risk (VaR). Source: Calve and Fisher (2004), How o Forecas Long Run Volailiy, Journal of Financial Economerics. R l fi é C l Fi h Th (2006) L Resulas confirmés par Calve, Fisher, e Thompson (2006), Lux (2008), e Bacry, Kozhemyak, e Muzy (2008).

14 SIMULATION Dollar-Mark ( ) Modèle Mulifracal

15 SIMULATION Dollar-Mark ( ) GARCH Parameer Esimaes from Baillie and Bollerslev

16 AUTRES RESULTATS MSM es cohéren avec la régularié iémulifracale lif l des momens des rendemens, e réplique la mémoire longue de la volailié sur une grande gamme d inervalles de emps. Une aure approche: Mulifracal Random Walk Bacry Delour e Muzy (2001) MSM peu êre facilemen éendu à plusieurs acifs MSM peu êre facilemen éendu à plusieurs acifs. CF Thompson (2006).

17 MSM EN TEMPS CONTINU σ = 1/ 2 ( M ) σ ( M 1,... M k, ) COMPOSANTES M k, γ k d Tire M k,+d d une disribuion M 1 γ k+d = k k d M k,+d M k, Disribuion: M 0, ΕM = 1 INTENSITES Quare paramères γ k k 1 = γ1b ( m0, σ, γ1,b)

18 EVENEMENTS RARES L approche radiionnelle - Les évènemens rares ne proviennen pas de la même disribuion que les évènemens ordinaires. - L inférence es basée sur un échanillon rès pei ou vide (!) ( peso problem ). Fracales/mulifracales - Tous les évènemens, qu ils soien rares ou fréquens, son générés par le même processus. - Les données haues fréquences coniennen de l informaion sur les évènemens rares ou basses fréquences. Evènemens plus exrêmes que ceux observés hisoriquemen Evènemens plus exrêmes que ceux observés hisoriquemen - Considérons γ 0 = γ 1 /b. Voir CF (2008).

19 3 PRICING DU RISQUE MULTIFRACTAL Informaions nouvelles dans les marchés acions: Haues fréquences Annonces macroéconomiques (Andersen e al. 2004) Changemen de volailié des dividendes (Campbell e Henschel 1992) Business cycle Variables agrégées prédisen rendemens agrégés à horizon de 1-5 ans. (Fama e French 1989; Leau e Ludvigson 2001) Basses fréquences Technologie (Pasor e Veronesi 2005) Taux de croissance dividendes/consommaion (Bansal e Yaron 2004; Leau, Ludvigson e Wacher 2005)

20 EVALUER DES ACTIFS SOUMIS AU RISQUE MULTIFRACTAL CF (2007), Mulifrequency News and Sock Reurns, J. of Financial Economics. MSM peu êre facilemen inégré dans des modèles d asse pricing radiionnels. Par exemple, nous pouvons supposer que la volailié des dividendes idendes es mulifracale. Nous calculons ensuie les rendemens d équilibre. Nous esimons le modèle par maximum de vraisemblance.

21 ML ESTIMATION CRSP U.S. Value-Weighed Index ( ) Prime de risque = 4.2% par an Var( r ) Feedback = 1 Var( Δd )

22 FEEDBACK DE VOLATILITE Amplificaion Une branche de la liéraure éudie commen le marché amplifie la volailié des fondamenaux. Modèles d équilibre Feedback Mulifracal : 30% - 40% Campbell e Henschel (1992) : 1% - 2% Basé sur une processus monofréquence (QGARCH).

23 APPRENDRE LA VOLATILITE EST UN PROCESSUS ASYMMETRIQUE Apprenissage Les invesisseurs apprennen de façon abrupe que la volailié a augmené, de façon graduelle que la volailié a baissé. Equilibre Moins de grands rendemens posiifs à l équilibre que lorsque les invesisseurs son parfaiemen informés. Asymérie endogène des rendemens. Kurose réduie. Mécanisme disinc de l uncerainy channel (e.g. Veronesi, 1999)

24 QUALITE DE L INFORMATION

25 TEMPS CONTINU Dividendes dd D = g ( M ) d+σ ( M ) dz ( ) D D D Le prix d équilibre es une diffusion avec saus quand l éa M es observé par les invesisseurs.

26 DYNAMIQUE D EQUILIBRE Beaucoup de peis saus, quelques saus modérés, peu de grands saus

27 INFINITE DE FREQUENCES Quand k, son Paramères fixes ( m0, σ D,γ1,b) des composanes de fréquences croissanes incluses dans les fondamenaux. Volailié σ ( M ) σ, D k D ( M 1,... M k, ) 1/ 2 dégénérée quand k 2 Déformaion du empsθ ( ) = σ ( M s ) ds k D, k { θ ( )} es une maringale posiive d'espérance bornée. k k { θ ( )} converge vers une variable aléaoire. k k 0

28 DEFORMATION DU TEMPS Si E ( M 2 ) < b, la suie des déformaions emporelles converge vers une limieθ don les rajecoires son coninues., Local Hölder exponen: X ( +Δ) X ( ) C( Δ) β ( ) Processus d Iô coninu Diffusion à saus radiionnelle β() ½ 0 or ½ Mulifracal l θ Coninuum

29 PRIX DE L ACTION Le logarihme du prix converge faiblemen B [ θ ( )] + q ( ), où q [ ( ) ( )] ( ) = ln + ρs β θ + s θ E e ds M 0 es un pur processus avec saus. vers Une diffusion mulifracale à saus avec un nombre dénombrable de fréquences / une acivié infinie.

30 CONCLUSION Régularié fracale des marchés financiers - Queues de disribuion ib i plus épaisses que la loi normale ( effe Né ) Noé ) - Volailié à mémoire longue ( effe Joseph ) - Scaling mulifracal des momens Markov-swiching mulifracal (MSM) - Capure la persisance e la grande variabilié de la volailié financière. - Domine empiriquemen les meilleurs modèles radiionnels. Implicaions pour l évaluaion des acifs - Le risque mulifracal es aisémen incorporé. - Le prix es une diffusion mulifracale à saus. - Les fracales peuven nous aider à penser de façon srucurée au risque exrême e aux évènemens rares.

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