Calcul stochastique appliqué à la finance. Volatilités stochastique, locale et implicite

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1 Calcul stochastique appliqué à la finance Ioane Muni Toke Draft version Ce document rassemble de brèves notes de cours. Les résultats sont proposés sans démonstration, les preuves ayant été données en amphi. Tous ces résultats et leurs preuves peuvent être retrouvés dans les ouvrages et articles donnés en référence. 1 La volatilité n est pas constante ParmilesdéfautsdumodèlestandarddeBlack &Scholes,onnoteenparticulier les problèmes liés au caractère constant du paramètre de volatilité σ. Plusieurs résultats empiriques soulignent l inadéquation de cette hypothèse aux données de marché : la distribution empirique des log-rendements d un actif n est pas une gaussienne (ce phénomène a été observé dès les années 6 par exemple par Mandelbrot (1963)); il existe un phénomène de volatility clustering, i.e. on observe que de larges mouvements de prix sont souvent suivis d autres larges mouvement de prix 1 ; la volatilité cotée sur un marché financier dépend du strike et de la maturité d une option (notion de smile / skew pour la surface de volatilité implicite); large changes tend to be followed by large changes, of either sign, and small changes tend to be followed by small changes (Mandelbrot 1963) 1

2 ECP - Option Mathématiques Appliquées - Majeure Finance 2 Un modèle général de volatilité stochastique On pose le modèle général de volatilité stochastique dans un espace de probabilité (Ω,F,P) comme suit : { ds(t) = µ(t)s(t) dt + v(t)s(t) dz1 (t), (1) dv(t) = α(s,v,t) dt + β(s,v,t) dz 2 (t), avec Z 1 et Z 2 deux mouvements browniens sous P de variation croisée Z 1,Z 2 t = ρt. Oncherche à déterminer l équation d évaluation d unproduit dérivé sur le sous-jacent S, de prix V(S,v,t). Pour pouvoir couvrir les deux sources aléatoires du modèle, on suppose qu il existe un produit de valeur V 1 (S,v,t) échangé sur le marché. On construit alors un portefeuille de valeur Π contenant le produit V, une quantité x du sous-jacent S et une quantité x 1 du produit V 1 : Π = V xs x 1 V 1. (2) Par le lemme d Itô, on calcule dπ. En écrivant la condition d absence de risque et d absence d opportunité d arbitrage qui caractérisent un portefeuille de couverture, on montre qu il existe une fonction f(s,v,t) telle que la valeur V du produit soit solution de l EDP suivante : V t vs2 V SS +ρβ vsv Sv β2 V vv +rsv S +(α f)v v rv =. (3) En écrivant f = ϕβ, on montre que ϕ peut s interpréter comme une prime de marché du risque de volatilité. Dans la suite, on supposera toujours que l on travaille sous une probabilité risque-neutre P. 3 Le cas de deux processus autonomes On suppose ici à la suite de Hull & White (1987) que les processus du sous-jacent et de la variance sont totalement découplés : { dst = rs t dt + v t S t dz 1 (t), (4) dv t = α(v t,t) dt + β(v t,t) dz 2 (t), avec Z 1 et Z 2 deux mouvements browniens sous P indépendants. Alors on peutmontrerqueladistributionterminaledusous-jacent S T est log-normale conditionnellement à la variance totale moyenne sur la période [,T] : ln S T S v T N ( (r v ) T 2 )T; v T T, (5) avec v T = 1 T T v u du. (6)

3 Ioane Muni Toke Notons C BS (K,T,σ) le prix du call européen dans le modèle de Black & Scholes. Le résultat précédent permet d écrire le prix C HW (K,T,(v t )) du call européen dans notre modèle sous la forme : C HW (K,T,(v t )) = C BS (K,T,y)f vt (y)dy, (7) R + où f vt la densité inconditionnelle de la variance totale moyenne v T. Cette densité est a priori inconnue, mais par un développement de Taylor de y C BS (K,T,y) autour de E[ v T ], la formule précédente permet d obtenir une approximation du prix en fonction des grecques et des moments de v T : C HW (K,T,(v t )) C BS (K,T,E[ v T ])+ 1 2 C BS 2 σ 2 Var[ v T ]+... (8) 4 Le modèle de Heston Le modèle de volatilité stochastique proposé par Heston (1993) peut s écrire comme suit sous P mesure risque-neutre : { dst = rs t dt + v t S t dz 1 (t) dv t = λ(v t v)dt + η, (9) v t dz 2 (t) avec Z 1 et Z 2 deux mouvements browniens sous P de variation croisée Z 1,Z 2 t = ρt. 4.1 Formule de Heston pour le call européen Par des changements de variables classiques (renversement du temps avec τ = T t; log-prix forward normalisé avec x = ln S K er(t t) ), l équation d évaluation générale (3) écrite avec les paramètres de Heston devient : u τ vu xx +ρηvu xv η2 vu vv 1 2 vu x λ(v v)u v =. (1) On montre qu en cherchant une solution à cette équation sous la forme u(τ,x,v) = K[e x P 1 (τ,x,v) P (τ,x,v)], (11) on obtient deux EDP de solutions P j,j =,1, de conditions initiales P j (x,τ,v) = 1 {x>}, (12) que l on peut résoudre dans le domaine de Fourier (fonctions caractéristiques des probabilités P j ). On obtient alors la solution : P j (τ,x,v) = { } exp[cj (τ,k) v +D j (τ,k)v +ikx] Re, (13) π ik avec C et D deux fonctions indépendantes de x et v. Ceci définit donc une formule quasi-fermée pour le prix du call européen standard dans le modèle de Heston.

4 ECP - Option Mathématiques Appliquées - Majeure Finance 4.2 Schémas numériques pour la simulation du modèle de Heston cf. amphi et cours de méthodes numériques 5 Volatilité locale Dupire (1994) montre que pour un modèle de prix d actif solution d une EDS de la forme : ds t = µ t S t dt+σ(s t,t)dw t, (14) il existe une unique forme de volatilité σ L (S t,t) dépendant de l état du sousjacent et de la date qui soit cohérente avec les prix de marchés des options vanilles. 5.1 La formule de Dupire Soit la dynamique pour le sous-jacent S sous la probabilité risque-neutre P : ds(t) S(t) = (r(t) q(t))dt+σ L(S t,t)dw(t), (15) avec W un brownien sous P et q le taux de dividendecontinu de l actif S. On note p(s,t;y,t) la densité de transition conditionnelle du processus (S t ). Notons C(S,t;K,T) le prix du call européen dans le modèle à volatilité locale. On a alors la relation d évaluation : C(S,t;K,T) = e T t r udu (y K) + p(s,t;y,t)dy. (16) Endérivant partiellement deuxfoisparrapportàk larelation 16,onobtient la relation de Breeden (Breeden & Litzenberger 1978) : T p(s,t;y,t) = e t r udu 2 C K2(S,t;y,T). (17) En dérivant partiellement par rapport à T et en utilisant l équation de Kolmogorov forward vérifiée par p (cf.annexe A), on obtient : C T = r TC +e T r t udu (y K) y>k y (r T q T )yp(s,t;y,t)dy + 1 T 2 e t r udu 2 (18) y 2σ2 L (y,t)y2 p(s,t;y,t)dy. y>k Ces intégrales peuvent se calculer par intégration par parties sous des hypothèses raisonnables pour p densité de probabilité. On obtient la formule de Dupire : σ 2 L (K,T) = C T +(r T q T )K C K +q TC 1 2 K2 2 C K 2. (19)

5 Ioane Muni Toke On peut exprimer cette relation en fonction des dérivées partielles de la volatilité implicite σ imp plutôt que des prix en écrivant que le prix du call européen dans le modèle à volatilité locale C L (K,T,σ L ) est égal au prix du call C BS (K,T,σ imp (K,T) calculé par la formule de Black & Scholes avec la volatilité implicite. 5.2 Une approche formelle Derman & Kani (1998) ont proposé une dérivation de la volatilité locale permettant de faire apparaître un lien entre un modèle de volatilité locale et un modèle à volatilité stochastique. En reprenant formellement le cheminement précédent (cf.amphi), on aboutit à la relation : σ 2 L(K,T) = E [ v T ST = K ]. (2) La variance locale s interprète donc comme une moyenne de la variance instantanée (stochastique) conditionnellement à l état du sous-jacent. 6 Surface de volatilité implicite d un modèle à volatilité stochastique 6.1 Pricing en volatilité implicite dans un modèle à volatilité stochastique On considère un sous-jacent régi par un modèle de volatilité stochastique général sous P probabilité risque-neutre : { ds(t) = rs(t) dt + v(t)s(t) dz1 (t), (21) dv(t) = α(s,v,t) dt + β(s,v,t) dz 2 (t), avec Z 1 et Z 2 deux mouvements browniens sous P de variation croisée Z 1,Z 2 t = ρt. On évalue un call européen de strike K et de maturité T avec la formule deblack&scholes,enutilisantlavolatilité instantanéedéterministe v K,T (t). En réutilisant les notations précédentes, on écrit le prix du call à la date t : avec C BS (S t,k,t, σ(t)), (22) σ(t) = 1 T v K,T (u)du. (23) T t t Notons maintenant C(S,,K,T,(v)) le prix du call européen à la date dans le modèle à volatilité stochastique. On peut alors écrire (même payoff) : C(S,K,T,(v)) = E [ e rt C BS (S T,K,T, σ(t)) ]. (24)

6 ECP - Option Mathématiques Appliquées - Majeure Finance En appliquant le lemme d Itô à (S t,t) C BS et en remarquant que C BS est solution de l EDP de Black & Scholes pour la volatilité v K,T, on montre que : C(S,K,T,(v)) = C BS (S,K,T, σ()) [ T 1 +E 2 e rt St 2 2 C BS S 2 (S t,t)[v t v K,T (t)]dt (25) L égalisation des deux prix nécessite donc que la volatilité implicite de Black & Scholes σ BS (K,T) = σ() vérifie l équation (implicite) suivante : σ 2 BS (K,T) = 1 T T 6.2 Le cas du modèle de Heston ]. E [ v t St 2Γ BS(S t ) ] E [ St 2Γ ] dt. (26) BS(S t ) La calibration d un modèle de Heston conduit souvent à un smile de volatilité implicite pour les courtes maturités moins prononcé que celui observé sur le marché. A long terme, la surface de volatilité générée par un modèle de Heston reproduit mieux la surface de volatilité observée. Cette observation est un argument pour l introduction de processus à sauts pour modéliser le cours du sous-jacent (cf.amphi suivant). Références Breeden, D. T. & Litzenberger, R. H. (1978), Prices of State-Contingent claims implicit in option prices, The Journal of Business 51(4), Derman, E. & Kani, I. (1998), Stochastic implied trees : Arbitrage pricing with stochastic term and strike structure of volatility, International Journal of Theoretical and Applied Finance 1, Dupire, B. (1994), Pricing with a smile, Risk 7. Gatheral, J. (26), The Volatility Surface : A Practitioner s Guide, Wiley. Heston, S. (1993), A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options, Rev. Financ. Stud. 6(2), Hull, J. & White, A. (1987), Thepricing of options on assets with stochastic volatilities, The Journal of Finance 42(2), Mandelbrot, B. (1963), The variation of certain speculative prices, The Journal of Business 36(4), Wilmott, P. (26), Paul Wilmott on Quantitative Finance, 2nd edn, Wiley.

7 Ioane Muni Toke A Equation de Fokker-Planck (ou de Kolmogorov forward) La densité de probabilité conditionnelle p(x,t;y,t) sous P d un processus stochastique X(t), t T, solution de l équation différentielle stochastique dx(t) = µ(x t,t)dt+σ(x t,t)dw(t), (27) avec W mouvement brownien sous P, vérifie l équation suivante : T p(y,t)+ y (µ(y,t)p(y,t)) = y 2(σ2 (y,t)p(y,t)) p(x,t;y,t) = δ(y x) (28)