Modélisation de systèmes complexes et éléments de finance computationnelle

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Éloïse Claudette Roussel
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1 Professeur Olivier BRANDOUY Modélisation de systèmes complexes et éléments de finance computationnelle Master Recherche (séance 6) Olivier Brandouy /10-1

2 Plan de la séance 1. Faits stylisés, un aperçu «graphique» 2. Bref retour sur la notion d efficience 3. Mouvement Brownien et Mouvement Brownien fractionnaire Olivier Brandouy /10-2

3 1. FAITS STYLISÉS, UN APERÇU GRAPHIQUE Olivier Brandouy- 2009/10-3

4 Deux notions à différencier Distinguer les prix de leurs fluctuations Rentabilités (fluctuations en % par exemple)

5 Une réduction (osée ) de ces concepts Sphére réelle MARCHE Prix = Transformation non biaisée

6 Louis Bachelier et les mathématiques de la finance Découverte du mouvement Brownien Théorie de la spéculation 1900 Olivier Brandouy- 2009/10-6

7 L'école «américaine» Travaux de Working, 34, Cowles et Jones 1937, Kendall 1953, Roberts 1959: des variations générées par le «hasard» absence d'autocorrélation dans les deltas Loies du hasard : Normale i.i.d Osborne 1959 : Les log-returns suivent une Loi Normale les log-prix doivent suivent un mouvement brownien avec des deltas gaussiens!

8 Pourquoi? Si les rendements observés à une fréquence T sont la résultante de chocs informationnels indépendants et identiquement distribués ALORS le théorème de la limite centrale assure qu'ils doivent converger vers une distribution Normale.

9 Une conséquence remarquable Les prix des actifs financiers fluctuent de façon imprévisible (Samuelson, 1965)!!! Cela se traduit par le concept de «marche au hasard», que nous reverrons en économétrie... Avant de développer ces points un avertissement

!! Cela se traduit par le concept de «marche au hasard», que

10 Attentions aux illusions d optique! -Mandelbrot-

11 Avec des lunettes correctrices

12 Illustration du TCL 1 dé 2 dés 3 dés 100 dés dés # 1 dé trunc(runif(1,1,7)) # throw : t is the number of dices f <- function(t) {trunc(runif(t,1,7))} # sum of the values obtained with one throw of "t" dices s<-function(t) {sum(trunc(runif(t,1,7)))} # Generate series of such sums A<-0 t<-100 for (i in 1 : 10000) A[i]<-s(t) hist(a, nclass=30, col="grey", freq=false ) lines(density(rnorm( ,mean(a, na.rm=true),sd(a, na.rm=true))),col = "red", lwd=3) Olivier Brandouy- 2009/10-12

{sum(trunc(runif(t,1,7)))} # Generate series of such sums A<-0 t<-100 for (i in 1 : 10000) A[i]<-s(t) hist(a, nclass=30,

13 Ce qu'on devrait observer

14 Ce qu'on observe vraiment

15 Un problème qui n'a pas échappé au père des fractales Mandelbrot 1963 Des distributions «leptokurtiques» Processus à la base de la loi ne pouvait être i.i.d (avec moment d'ordre 2 fini) sinon, théorème limite centrale joue! Or ce n'est pas le cas. Soit les deltas ne sont pas indépendants Soit ils ont une variance infinie

16 Faits stylisés Propriétés statistiques très générales (qualitatives) qu on retrouve pour de très nombreuses séries financières, à différentes époques et pour différentes places financières

17 Déviations / espéré Questions de fréquences Données journalières Données à haute fréquence Déviations / N iid (Faits stylisés) Poids des des évènements rares Bouffées de volatilité Question de l autocorrélation des rentabilités Distributions inattendues pour certains paramètres Observations DJ

évènements rares Bouffées de volatilité Question de l autocorrélation des

18 Déviations / Normale Queue épaisse Queue épaisse

19 Une autre représentation: probabilité d observer une rentablité x si dist. Norm / dist. empirique

20 Hasard Sauvage de Mandelbrot Hasard bénin : partie déterministe + partie stochastique gaussienne Hasard sauvage : partie déterministe (ou non) + partie stochastique non gaussienne parfois de variance infinie

21 Question de l autocorrélation Efficience Technique PB central, celui de la possibilité de prédire les fluctuations de demain en observant celles des jours passés. Théorie : IMPOSSIBLE (marche au hasard, ou à tout le moins processus martingale) Pratique : TRES IMPROBABLE, ou PEU UTILE

22 Faits troublant Question insoluble, de la perf. des Hedge Funds (Medallion de Renaissance Tech. par exemple) Une question d intervalle de temps Mois Journée Minute Seconde.

23 Variations très différentes dans leurs contenus Dow-Jones Pfizer 8 ans 1 journée

24 Autocorrelogrammes Dow-Jones Pfizer 8 ans 1 journée

25 Valeur Absolue ou au carré

26 Bouffées de volatilité, Pfizer, 5 jours D autres faits stylisés Distributions temps inter-échanges etc..

27 Problème(s) Nous savons décrire cet ensemble de faits stylisés, cette allure des dynamiques financières fort bien ex : mouvement brownien fractionnaire, ARCH Mais les théories classiques ne l expliquent pas (ou l expliquent mal)

28 2. RETOUR SUR LA NOTION D EFFICIENCE Olivier Brandouy- 2009/10-28

29 Les variations de cours... d'un point de vue statistique Première étude quantitative : Louis Bachelier, 1900 : Théorie de la spéculation Si la définition de jeu équitable est valide pour les marchés finanicers, alors les prix doivent suivre une marche au hasard i.i.d Travaux passés inaperçus, Bachelier «oublié»

30 Martingales et jeux équitables, définitions : une variable aléatoire Xt ayant la propriété : est une martingale (prix par exemple). La meilleure prévision des Xt+k est Xt et aucune information dans t ne permet d'améliorer cette prévision. Un jeu équitable est un processus stochastique tel que

31 Autrement dit : Est équitable le jeu dont le rendement anticipé, une fois connue l'information, est nul Si Xt est une martingale yt+1 = Xt+1 Xt est un jeu équitable. Exemple : Pile, vous gagnez 1 euro, Face, vous perdez 1 euro = jeu équitable.

32 Première définition de l'efficience La différence (y t+1) entre les rendement réel d'un titre financier (R t+1) et celui anticipé par un modèle d'équilibre (MEDAF par exemple, R*t+1) est nulle sur le long terme. y t+1 est un «jeu équitable» Un marché est efficient si cette propriété est respectée (on ne peut faire d'excès de rendements / marché)

33 Problème central : t La question centrale demeure celle de l'ensemble d'information pris en considération pour prévoir la variable aléatoire... Informations passées? => efficience faible Toutes les informations publiquement disponibles? => efficience semi-forte Toutes les informations, même celles qui sont «privées»... => efficience forte

34 Vers une définition complète de l'efficience Admettons que tous les agents ont un modèle de détermination des prix (ou d'équilibre des rendements) Qu'ils traitent t de la même façon Que leurs erreurs de prévision sont imprévisibles alors ILS NE PEUVENT FAIRE A REPETITION DES PROFITS EN EXCES

35 Autrement dit (Fama, 1970): Forme faible : l'information passée ne sert à rien pour prévoir la valeur des actions... Forme semi-forte : l'information publique non plus Forme forte : même l'information privée ne sert à rien

36 Définition de Malkiel, 1992 "A capital market is said to be efficient if it fully and correctly reflects all relevant information in determining security prices. Formally, the market is said to be efficient with respect to some information set... if security prices would be unaffected by re- vealing that information to all participants. Moreover, efficiency with respect to an information set... implies that it is impossible to make economic profits by trading on the basis of [that information set]."

37 3. Mouvement Brownien Fractionnaire

38 Mouvement Brownien RandFrac/Brownian/Brownian3.html Formule mathématique derrière le mouvement brownien: dx = (dt ) 1/2 i i Une représentation svt admise pour les phénomènes financiers. Olivier Brandouy- 2009/10-38

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