Fractals et IFS. 1 Introduction. March 2, 2011

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1 Fractals et IFS March 2, Introduction Le mot fractal est une invention de Benoît MANDELBROT mathématicien Français et Américain d origine polonaise Cette invention est citée en 1975 dans son fameux livre les objets fracals On y apprend que e terme fractal a pour racine latine fractus qui signifie brisé, irrégulier et désigne ainsi tout objet présentant des irrégularités dans sa forme et que la géométrie traditionnelle (celle d Euclide) ne peut décrire a partir des primitives connues telles que le segment, l arc de cercle, le cylindre, etc Un objet fractal est fascinant dans la mesure où il peut-être engendré à partir de multiples copies contractées d un seul objet géométrique simple (triangle, polygône par exemple en 2D, cube ou tétrahèdre en D) Le mérite de BMandelbrot est d avoir inventé des outils et un cadre unifié permettant de décrire ces phénomènes fortement irréguliers que l on retrouve dans la nature (voir l article comment mesurer a côte bretonne, séismes), dans la ramification des vaisseaux sanguins, les bronches des poumons ou dans les signaux EEG, ECG et de la finance Pour illustrer les caractéristiques d un objet fractal, on commence par rappeler les remières constructions dùes à Cantor, Von Koch et Sierpinski : on est en présence d objets simples par leur construction, déroutants quant à `leur description par rapport aux objets géométriques classiques et fascinants une fois illustrés sur machine On peut dire que l on y trouve une nouvelle illustration du rôle de la récursivité et de l itération a l infin Leur tracé ne pouvant être fait à la main; le recours aux ordinateurs est alors nécessaire avec la contrainte que l infini est remplacé par un nombre d itérations qui peut-être de l ordre de la dizaine La justification de l attracteur obtenu se fait via le théorème du collage de Barnsley Il est clair que l intérêt de ce cours réside en la simulation de fractals connus Lors de ce cours, nous serons amenés à la programmation des objets fractals que nous rencontrerons et on verra que la puissance de la machine est cruciale pour avoir de beaux rendus Au delà de tout exotisme, nous donnerons quelques exercices où les mathématiques interviendront pour donner une variété de propriétés de ces objets fractals : dimension fractale, description de l intérieur du triangle de Sierpinski à partir du codage binaire du point, description de l ensemble de Cantor à partir de la décomposition triadique de ses éléments Ainsi, on verra que l ensembke triadique de Cantor est un parfait contre exemple à l assertion de mesure nulle donc dénombrable Ce cours s organise comme suit : on rapellera dans un premier paragraphe, les descriptions d objets irréguliers classiques : ceux de Cantor, de Sierpinski et de Von Koch L idée principale est de montrer que la notion de dimension entière n est plus valable : on passe à une notion de dimension fractale d pouvant ne pas être entière A paritr de là, on dégagera les caractéristiques de tels objets : auto-similarité (terme non accepté par l académie; traduction du mot selfsimilar), présence des détails à toutes les échelles et enfin la similarité entre le local et le 1

2 global Ces propriétés sont loin d être partagées par un objet tel que le cercle par exemple : en zoomant sur un arcle de cercle on verra se profiler un segment de droite au fur et à mesure que l échelle du microscope est grossie Dans le deuxième paragraphe, nous aurons recours aux outils de l algèbre linéaire On commencera par la notion de transformations linéaires et affines On se focalisera alors sur les IFS (iterated function system) et on montrera comment réobtenir les fractals du paragraphe 1 à l aide d un système itératif assez simple La convergence sera abordée mais très rapidement : on expliquera que la figure finale est un attracteur pour l IFS considéré 2 Exemples d objets fractals simples Nous n abordons pas le cas trivial du segment 21 Ensemble de Cantor (1872) Cantor ( ) est un mathématicien allemand considéré comme l un des fondateurs de la théorie des ensembles Description de l ensemble triadique de Cantor L algorithme est le suivant : l initialisation commence avec E 0 R comme étant l intervalle [0, 1] On considère E 1 l ensemble obtenu de E 0 en lui ôtant son tiers central On a alors E 1 = [0, 1 ] [2, 1] Notons P ce procédé On applique alors ce procédé P à chacun des sous-intervalles constituant E 1 pour avoir E 2 = [0, 1 9 ] [2 9, 1 ] [2, 7 9 ] [8 9, 1] En itérant le procédé, on obtient une suite (E k ) où chaque terme E k est formé de la réunion de 2 k intervalles de longueur 1 On note alors l ensemble triadique de Cantor k E = k=0e k Cet ensemble est appelé aussi attracteur du procédé P On a obtenu comme objet limite une poussière de points L ensemble de Cantor possède des propriétés remarquables : Il est auto-similaire (à mettre entre guillemets car terme dérivant de l anglais : selfsimilar et non accepté par l académie) : le global et le local se ressemblent La figure le représentant est invariante par changement d échelles Les détails sont similaires à des échelles d observation arbitrairement grandes ou petites Il ne ressemble à aucune structure géométrique conventionnelle Pour le décrire, nous sommes obligés d avoir recours à la représentation triadique (en base ) de ses élements On a Theorem 21 Tout élément x de E sécrit de manière unique sous la forme (dite triadique) a i x = (1) i 2 i=1

3 oì les a i sont égaux à 0 ou 2 Réciproquement, tout nombre de cette forme appartient à l ensemble triadique de Cantor E Ceci nous permet alors de déduire le résultat suivant Corollary 22 1 L ensemble de Cantor n est pas dénombrable 2 L ensemble de Cantor est d intérieur vide Sa mesure de Lebesgue est nulle On voit bien que la longueur de E k est l(e k ) = 2k k et donc l(e) = lim k + l(e k ) = 0 Il est alors urgent de caractériser la place qu occupe cet objet dans R et pour cela, nous avons recours à la dimension fractale ou fractionnaire La définition de la dimension fractale doit être cohérente dans la mesure où elle doit prendre la valeur 1 pour un segment de droite, la valeur 2 pour un domaine borné de R 2 (ex : carré) Le concept de dimension : afin de pouvoir déterminer la dimension d un objet géométrique quelconque (de la géométrie traditionnelle ) on procède comme suit : Dans le cas de la dimension 1 : on prend un segment [AB] et on le réduit d un facteur d échelle k N On compte alors le nombre n de segments ainsi réduits et contenus dans le segment initial; on en trouve n = k Dans le cas du carré [ABCD]; sa réduction de facteur k donne lieu à n = k 2 Dans le cadre d un cube, la réduction d un facteur k donne lieu à k cubes contenus dans le cube initial On a donc la formule de la dimension k d = n ou d = ln n ln d et on observe que l on peut définir ainsi une dimension d non entière C est une extension de la dimension que nous connaissons (intuitivement); c est elle qui rend compte du degré de fractalité ou d irrégularité On a donc la dimension fractale de Cantor h d vérifie l équation t d = 2 et donc d = log2 log est la dimension de l ensemble triadique de Cantor Ainsi, un fractal possède les 4 caractéristiques : autosimilarité, détails présents à toutes échelles, dimension non entière 22 Le triangle de Sierpinski (1916) Sierpinki ( ) est un mathématicien polonais Procédé de construction Soit le procédé suivant : considèrer un triangle joindre les milieux des côtés;

4 ôter le triangle central On itère le procédé sur chacun des sous-triangles obtenus A la limite, on obtient le triangle dit triangle de Sierpinski Comme nous l avons fait pour l ensemble triadique de Cantor, on peut montrer que le triangle de Sierpinki a une dimension fractale égale à d = log 4 log supposons le triangle de Sierpinski engendré à partir d un triangle initial rectangle ayant pour sommets respectifs les points (0, 0), (0, 1) et (1, 0) On note (0, a 1 a 2 a k ) 2, a i = 0 ou 1 l écriture en base 2 d un nombre réel 0 < a < 1 On a alors : tout point M = (x, y) appartient à l intérieur du triangle de Sierpinski si et seulement si on a x k y k = 0, k 1 où on a noté x = (0, x 1 x 2 x k ) 2 et y = (0, y 1 y 2 y k ) 2 2 Le flocon (de neige) de Von-Koch 1904 En 1904, Helge Von Koch (Mathématicien suédois, ) étonne le monde mathématique en exhibant une courbe fermée continue, sans point double et sans tangente Elle est de longueur infinie mais délimite une surface d aire finie Sa construction est obtenue via le procédé suivant : On considère un segment E 0 que l on divise en trois segments égaux; on remplace ensuite le tiers central par un triangle équilatéral sans base On recommence cette opération sur chacun des trois segments obtenus et ainsi de suite La courbe de Von Koch est la courbe limite de toutes les courbes obtenues après avoir itéré indéfiniment le procédé La courbe de Von Koch est de longueur infinie En effet, si on normalise en imposant à E 0 d être de longueur 1, on se rend compte que E 1, image de E 0 est de longueur 4 vu que l on a généré 4 segments de longueur 1 A l étape d après, (la deuxième), nous avons 16 segments de longueur 1 9 donc la longueur de E 2 est de 16 A l étape k de l algorithme, nous disposons 9 de E k formé de 4 k segments de longueur 1 ( 4 ) k k; la longueur totale de E k est donc de A la limite, l ensemble limite est alors de longueur infinie Cependant, et c est l aspect fascinant, la surface délimitée par E est d aire finie En effet, en supposant que l on considère un carré E 0 de telle sorte que le triangle central construit à la première itération soit d aire unité, l aire de chaque triangle engendré lors de la deuxième itération est de 1 L aire totale de 9 E 2 est donc de 4 En sommant la contribution de tous les 9 triangles, on déduit facilement que la surface délimitée par le flocon est d aire S E est finie et on a + ( 4 k 9 S E = = 9)) 5 k=0 4

5 Concernant la dimension fractale de l objet, on applique la formule : on a une homothétie de rapport 1 qui donne 4 éléments Ainsi d vérifie d = 4 et donc d = log 4 = 1, log Décrivons la procédure en termes récursisf : on part donc de [AB] et à la première itération, on engendre les trois points C,D et E (le sommet du triangle non aligné avec A et B) tels que C = 2A + B, D = A + 2B, E = C + (D C) 1 + i 2 Conclusion Nous remarquons que les premiers fractals étudiés se partagent les propriés d auto-similarité, présence des détails à toutes les échelles et une dimension fractale non entière IFS et objets fractals 1 Applications affines Applications contractantes On commence par parler des applications linéaires dans R 2, on suppose que R 2 est muni de la base canonique On se donne u : R 2 R 2 une transformation linéaire du planon note A la matrice associée : elle détermine complètement la transformation Rappelons les exemples les plus familiers : L homothétie de rapport λ, λ > 0 est donnée par A = ( λ 0 0 λ ( cos θ sin θ Rotation d angle θ de centre l origine : A = R θ = sin θ cos θ ( 1 0 Symétrie par rapport à l axe Ox : la matrice est A = S 1 = 0 1 Les matrices R θ et S 1 sont des matrices orthogonales (vu en MT2) et on montre que toute matrice orthogonale est soit une ( matrice orthogonale ) R( θ ou R θ S 1 Ainsi, ) une transformation cos θ sin θ cos θ sin θ orthogonale est du type R θ = ou sin θ cos θ sin θ cos θ Autre transformation : une combinaison des matrices de rotation et d homothétie Dans ce cas, on a une similitude représentée par une matrice du type ( ) a b A = b a où a et b sont des réels En notant ρ = a a 2 + b 2 et θ l angle tel que cos θ = a2 + b et 2 b sin θ = Nous n avons cité que les exemples familiers; il est clair qu une contraction a2 + b2 ou dilatation en abscisse et en ordonnée avec des rapports respectifs ρ 1 et ρ 2 est donnée par une matrice diagonale avec A(1, 1) = λ 1 et A(2, 2) = λ 2 etc 5 ) ) )

6 ( ) e Applications affines Reste la translation de vecteur non nul Elle n est pas linéaire ( ) f e vu que le vecteur nul est transformé en et donc en un vecteur non nul On est alors f dans le cadre des transformations affines définie comme suit Définition : Une transformation affine du plan T : R 2 R 2 est la composition d une transformation linéaire et d une translation Elle se met sous la forme ( ) ( ) ( ) a b x e T (x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f) = + (2) c d y f Application Affine Contractante et Attracteur Nous interprèterons d une autre manière les objets fracatls : ils sont les points fixes d un système d applications affines contractantes Nous donnons les définitions de termes que nous utiliserons tout au long de l exposé On a tout d abord On appelle compact de R 2 tout sous-ensemble de R 2 fermé et borné de R 2 On rappelle qu un sous-ensemble est fermé contient les limites de toutes ses suites convergentes (on est dans R 2 qui est un espace complet) Définition : 1 Une transformation affine du plan est une contraction si l image d un segment est un segment de longueur infériure 2 Un IFS est une collection finie de transformations affines L attracteur d un IFS {w 1, w 2,, w N } est l unique compact K R 2 (fermé et borné de R 2 ) tel que K = w ( K) w 2 (K) w N (K) () Nous allons revisiter les objets fractals du paragraphe précédent à partir de cette définition L objet fractal est obtenu comme suit : on part de E 0 R 2 compact, et on considère l itération E n = w 1 (E n 1 ) w 2 (E n 1 ) w N (E n 1 ) avec E 0 compact de R 2 et f : R 2 R 2 La limite de (E n ) est alors l attracteur K vérifiant K = w 1 (K) w 2 (K) w N (K) Nous montrons que l on a convergence de la suite (E k ) k pourvu que la suite d applications A k soit contractante par rapport à une distance appelée distance de Hausdorff La convergence du processus est aussi à prendre au sens de la métrique induite par cette même distance Il est tout à fait clair que cette approche est celle du point fixe Elle est due à Barnsley et est considéré comme un exemple de compression d images fractales 6

7 2 IFS aléatoire Un IFS aléatoire consiste en la donnée de N transformations w i, i = 1,, N et de N nombres 0 < p i < 1 tel que l on ait N i=1 p i = 1 La probabilité p i est attachée à w i En fait, seule une application est prise en considération selon le critère : la probabilité de sélectionner la transformation w i est p i Pour décrire les premières itérations : on suppose partir de (x 0, y 0 ), on tire aléatoirement un nombre k compris entre 1 et N et on chosit alors (x 1, y 1 ) = w k (x 0, y 0 ) et on répète l opération pour avoir (x 2, y 2 ) En itérant le procédé, on aboutit alors à un attracteur qui coincide avec le mème attracteur de l algorithme déterministe Cet algorithme aléatoire est intéressant dans le cas où l on désire dessiner un objet avec différentes textures Ensemble de Cantor Il est clair que le partage de E 0 = [0, 1] en deux parties E 1 = [0,, 1 ] [2, 1] s écrit E 1 = w 1 (E 0 ) w 2 (E 0 ) où A 1 et A 2 sont des homothéties de rapport 1 de centres respectifs 0 et 1; plus précisément w 1 (x) = 1 x et w 2 x = 1 x + 2 Nous avons abusivement confondu l endomorphisme et la matrice qui lui est associée La théorie des IFS nous assure que les itérations convergent vers E vérifiant l équation 4 Triangle de Sierpinski E = w 1 (E) w 2 (E) (4) On note A, B et C les sommets du triangle de départ E 0 L opération joindre les milieux et ôter le triangle central montre que l on a w(e) = w 1 (E 0 ) w 2 (E 0 ) w (E 0 ) òù w 1, w 2 et w sont des homothéties de rapport 1 2 et de centres respectifs A, B et C 5 Ensemble de Von Koch C est plus dur que les deux exemples précédents Nous partons donc de E 0 = [0, 1] et l on engendre 4 segments de longueur le tiers de celle de E 0 Notant A = (0, 0) et B = [1, 0], on se retrouve donc avec 2 points supplémentaires C et E alignés avec les points A et B et un point D sommet d un triangle équilatéral de côté 1 Plus précisément, on a [AC] = w 1 ([AB]) 7

8 où w 1 est l homothétie de sommet A et de rapport 1 ; on a aussi [EB] = w 2 ([AB]) où w 2 est l homothétie de sommet B = (1, 0) et de rapport 1 Concernant les branches [CE] et DE, nous avons des similitudes suivies de translations; en effet [CE] = w ([]AB) où w est la similtude de rapport 1 et d angle π suivie d une translation par ( 1, 0) Enfin, on a [ED] = w 4 ([]AB) où w 4 est la similitude de rapport 1, d angle π ( 1, 0) et de centre suivie d une translation par 6 Autres curiosités : tapis de Sierpinski, polygasket 7 Tapis de Sierpinski On cconsidère E 0 un carr e du plan; on supposera la longueur du côté égale à un La procédure de construction du tapis est la suivante : On découpe le carré E 0 en 9 carrés chacun de côté de longueur 1 Nous oublions alors le carré central et nous notons E 1 = E 0 \C central où C central est le carré central de centre ( 1 2, 1 2 ) et de côté de longueur 1 On itère ce procédé sur E 1 pour avoir E 2 et ainsi de suite A la limite, nous obtenons le tapis de Sierpinski Comme exercice, on pourra réfléchir sur les questions suivantes : Calculer la dimension fractale du tapis de Sierpinski Décrire le tapis de Sierpinski à l aide d in IFS : on trouvera les huit applications envoyant le carré initial dans chacun des huit petits carrés constituant la première itération du procédé Ecrire un programme Scilab qui permet de générer une approximation du tapis On prendra soin d écrire un IFS où le choix des applications w i est aléatoire : à chaque itération, seule une application parmi les huit est tirée aléatoirement 8 Dimension Fractale : le retour 9 petit rappel et intuitions On note d la dimension d un objet plongé dans R n A ce scalaire positif, on associe donc une mesure notée µ d adaptée à la dimension : intuitivement, si d est entier on sait que µ d coincide avec la mesure usuelle que l on connait : si d = 1 alors µ d correspond à la longueur d une courbe, si d = 2 on mesure des aires de surfaces, etcde plus, on a si d > n on a µ d (K) = 0 pour tout compact K Rn si d < n on a µ d (K) = pour tout compact K R n si on fait subir une homothétie de rapport ρ à K, on a alors µ d (λk) = λ d µ d (A) 8

9 10 Dimension fractale On revient à la dimension fractale On voudrait calculer la dimension d un compact K R 2 tel que K est l attracteur de l IFS composé de N transformations w i, i = 1,, N On a K = w 1 (K) w 2 (K) w N (K) (5) avec la condition supplémentaire que w i (K) w j (K) soit de mesure nulle En supposant que les homothéties intervenant au niveau de chaque transformation soit de même rapport que l on note < ρ1, on a en vertu de l additivité µ d (K) = µ d ( N i=1w i (K)) = = Nρ d µ d (K) N µ d (w i (K)) i=1 (6) lors du passage de la deuxième équation à la deuxième, nous avons utilisé la propriété de scaling de la mesure µ (λa) = λ d µ(a) Ainsi, on a d = log N log ρ (7) Cette preuve est loin d être rigoureuse; le lecteur intéressé trouvera dans l ouvrage de Tricot une généralisation de ce résultat qui énonce que la dimension d est solution de N ρ d i = 1 où ρ i, i = 1,, N désigne le rapport de la similitude associée à w i i=1 4 Distance de Hausdorff Soit K un compact de R 2 et a R 2 On sait que la distance de v à K est définie par d(a, K) = min d(a, x) (8) x K où d(a, x) est la distance euclidienne usuelle de x à a Nous aimerions mesurer la distances séparant deux compacts K 1 et K 2 de R 2 Pour cela, soit ε > 0 et K i (ε), i = 1, 2 les compacts définis par v K i (ε) w K i tel que d(v, w)ε, i = 1, 2 On définit alors la distance de Hausdorff d H (K 1, K 2 ) entre les compacts K 1 et K 2 par la définition suivante ( ) d H (K 1, K 2 ) = max max d(v, K 2 ), max d(w, K 1 ) v K 1 w K 2 (9) L existence de l attracteur d un IFS est alors donné par la suite de résultats suivants dont nous ne donnerons pas de preuve 9

10 Theorem 41 Théorème de Banach Si f : R 2 R 2 est une contraction de facteur r : d H (f(k 1 ), f(k 2 )) rd H (K 1, K 2 ) avec 0 < r < 1, alors il exite un point fixe K tel que l on ait K = f(k) Pour justifier la ocnvergence de nos IFS, on supposera connu le fait que l opérateur w défini par w(a) = i w i (A) est une contraction lorsque les transformations w i, i = 1,, N sont des contractions de rapport ρ i, i = 1,, N Le facteur de contraction de w est alors ρ = max(ρ 1,, ρ N ) Le théorème du collage de Barnsley justifiera que les images obtenus sur ordinateur (sur lequel on fixera un nombre d itérations) sont bien les ttracteurs des IFS considérés On a Theorem 42 Soit l IFS {w 1, w 2,, w N } de facteur de contraction 0 < r < 1 et d attracteur K Soit K tel que d H ( K, w 1 ( K),, w N ( K)) ε où ε > 0 On a alors d H (K, K) ε 1 r 10

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