DE LA FINANCE STOCHASTIQUE LA FINANCE FRACTALE

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1 DE LA FINANCE STOCHASTIQUE A LA FINANCE FRACTALE FISCHER BLACK & MYRON SCHOLES BENOÎT MANDELBROT DENIS CLARINVAL 3

2 LE RISQUE DE MODELE «Le simple est toujours faux, ce qui ne l est pas est inutilisable» Paul VALERY, «Mauvaises pensées et autres», 94 Le krach boursier de septembre 8 qui a fait suite à la crise des subprimes et a provoqué, dans la majorité des pays industrialisés, une crise économique dont il faut rechercher un précédent au début des années trente. Le krach de 8 avait une chance sur un billion de se produire : autant dire que sa probabilité était nulle elle a pourtant bien eu lieu. Le risque est, par nature, intrinsèquement lié à l incertitude et, dans un contexte d incertitude, rien n est plus rassurant qu une modélisation mathématique toujours plus complexe. Les spéculateurs ont néanmoins oublié deux choses essentielles : d une part l affirmation, trop souvent vérifiée, de Paul Valéry ; d autre part le second principe de la thermodynamique ou principe d entropie en vertu duquel tout système clos qui tend à se complexifier consomme toujours davantage d énergie, ce qui le conduit inévitablement à son anéantissement. Ils semblent en outre avoir oublié que le champ du possible est infini : il arrive même que des lacs s enflamment (songeons au lac Léman aux abords de Montreux, incendie rendu célèbre par le groupe DEEP PURPLE dans «SMOKE ON THE WATER»). Les responsabilités dans la crise sont multiples et la littérature, particulièrement abondante, n a pas manqué de les évoquer : responsabilité des spéculateurs en tous genres (grandes banques, grandes compagnies d assurances, gestionnaires de fonds, ) ; responsabilité d Alan GREANSPAN, alors patron de la FED, dont la décision de rehausser fortement les taux d intérêt a largement contribué à la survenue de la crise des subprimes ; inefficacité des organismes indépendants de contrôle des marchés financiers (qui avalisent des prospectus sur base de critères strictement formels, sans accorder la moindre attention aux contenus) ; responsabilité des politiques qui, en adoptant en ces matières des positions ultralibérales, ont toujours refusé, particulièrement en Europe occidentale, de réguler les marchés financiers. La responsabilité des agences de notation (dont on parle tant aujourd hui dans le contexte, cette fois, des dettes souveraines) a été peu évoquée : tout au plus a-t-on souligné, en certains cas, une complaisance jugée trop souvent légitime (n ont-elles pas accordé leur crédit à des actifs financiers particulièrement risqués en ayant recours à des modèles mathématiques que leur complexité rendait plus que douteux). Quand, à partir de septembre 8, les grandes institutions financières ont commencé à «dévisser», entraînant dans leur débâcle la plupart des places financières dont elles constituent les «locomotives», les spéculateurs se sont tout naturellement tourné vers d autres marchés, en l occurrence les marchés des matières premières. La hausse des prix sur ces marchés a, dans certains cas, contribué à la constitution de bulles spéculatives ; étrangement les agences de notation se sont bien gardées de mettre en garde et de procéder à des abaissements de notation. On sait que tout naturellement ce sont les entreprises et, en fin de compte, les consommateurs finaux, qui ont payé la note. On ne peut pas spéculer indéfiniment sur le marché des matières premières sans porter menace à l économie globale ; les spéculateurs de tous bords se sont vu naturellement contraints de chercher un autre «os à ronger». La situation financière désastreuse de la Grèce, dans le contexte politique libéral de l UE (qui a fait de l équilibre des finances

3 publiques sa priorité quasi absolue), a tracé la voie à un nouveau type de spéculation : la spéculation sur les dettes souveraines. Les agences de notation, qui avaient pris le soin de se laisser oublier durant quelques mois, ont repris du service, infligeant de mauvais points à la Grèce et, dans la foulée, à plusieurs pays membres de l UE. La crainte des pays de l UE de voir se dégrader leurs dettes souveraines, a poussé ces pays à prendre des mesures budgétaires drastiques : la crise économique s est inévitablement muée en crise de récession. Curieusement la dette souveraine américaine (on sait pourtant que, l an dernier, le congrès républicain a sauvé les USA d une faillite certaine, en répondant positivement à l appel lancé par le Président OBAMA) n a fait l objet d aucune mesure de la part des agences de notation (américaines naturellement : comme le soulignait Frédéric LORDON, après les crises financières à répétition, on attendait de la «vertu» qu elle sauve le monde de la finance il semble bien que la vertu est en passe de prendre les couleurs du patriotisme et du protectionnisme. Dès 96, le mathématicien franco-américain MANDELBROT (le créateur des fractales» lançait un pavé dans la mare financière : les modèles alors en usage étaient particulièrement inefficaces en raison de leur inadéquation à la réalité. A l époque tout le monde a bien ri et ce pauvre MANDELBOT, incompris, a abandonné ses recherches en finance pour se consacrer à la physique. Il a pourtant refait surface en 4 avec un livre retentissant («The (Mis)behaviour of Markets») dans lequel il met, une nouvelle fois en garde les spéculateurs qui recourent à des modèles mathématiques inappropriés. Son livre était prophétique puisque, moins de quatre années plus tard, les marchés financiers connaissaient une débâcle particulièrement lourde de conséquences pour l économie globale et les finances publiques de nombreux pays industrialisés. Depuis plusieurs décennies pourtant de nombreux théoriciens de la finance ont pris en compte les mises en garde du mathématicien et sont mis en quête de nouvelles approches. On distinguera, parmi ceux-là, ceux qui se «contentent» d amender les modèles incriminés et ceux qui, remettant en cause les fondements mêmes de ces modèles, cherchent d autres voies. Très curieusement la littérature désigne ces derniers par le terme de «hétérodoxes» ; cela nous conduit à penser que les autres, ceux-là mêmes qui ont gardé foi dans les anciens modèles, pourraient être désignés par le terme «orthodoxes». Cette orthodoxie, qui récuse tout débat, véhicule une forme de dogmatisme (et donc d intransigeance) contre laquelle vient inévitablement buter toute tentative de remise en question. On renverra volontiers ces «orthodoxes» à la lecture des philosophes empiristes anglosaxons et à leur critique de principe de causalité ; on leur rappellera notamment que les études statistiques, empiriques par essence, conduisent à établir des corrélations et non des lois : une corrélation, aussi forte soit-elle, ne sera jamais une loi et, à ce titre, n est pas en mesure de nous protéger des aléas (comme par exemple les sauts dans la trajectoire suivie par le cours d un actif financier quelconque). Tous ceux qui ont beaucoup à gagner (et en principe autant à perdre) dans le système actuel ne semblent guère ouverts à un débat en profondeur et l institutionnalisation des dogmes qu ils partagent ne nous autorise pas à envisager, à moyen terme, une remise en question radicale que pourtant la situation économique actuelle réclame avec la plus grande urgence. Peut-être que, une fois encore, la folie des hommes ne les a pas suffisamment plongés dans l obscurité pour qu ils daignent enfin renoncer à leur orgueil pour chercher leur salut dans les lumières de la raison qui, depuis 96, nous tend les bras.

4 LE MODELE TRES CONTESTE DE BLACK & SCHOLES. Depuis les années 98, l explosion des marchés de produits dérivés (encours de 3. milliards $ en 5 dont 5/6 pour les marchés de gré à gré) a largement contribué à la consécration du modèle d évaluation de BLACK, SCHOLES & MERTON récompensé, en 997, par le prix Nobel d économie (BLACK, décédé en 995, n a pu être honoré du prix mais néanmoins cité comme contributeur). Le modèle a, par la suite, connu de nombreuses adaptation aux fin de le rendre applicables notamment : aux actions avec dividendes ; aux taux de change ; aux options réelles, L un des principaux remaniements du modèle est l œuvre de MERTON lui-même : dans le but de prendre en compte les nombreux sauts constatés dans les trajectoires suivies par la plupart des actifs financiers, il a pondéré le modèle initial en lui associant un processus de Poisson. Ce remaniement a pour effet de rendre plus épaisse l une ou l autre des queues de distribution mais ne remet nullement en cause l approche log-normale. Le français LEVY (qui a largement inspiré les travaux de MANDELBROT) a abordé les distributions de manière discrète (et non continue comme dans le cadre de la loi normale standard) ; cette approche (dite des «lois stationnaires») conduit à un épaississement des queues de distribution tant à gauche qu à droite (on peut, à cet égard, dire que la loi normale n est qu un cas particulier des lois stationnaires). Fondamentalement l approche log-normale est conservée : l épaississement des queues de distribution contribue seulement à accroître la probabilité de survenance d événements qui, dans le cadre de la loi normale, présentaient une très faible probabilité. Le modèle GARCH prend en compte la volatilité implicite véhiculée par le modèle initial ; rappelons-nous que, en procédant à un arbitrage par lequel le risque inhérent au dérivé et le risque inhérent au sous-jacent s annulent, les auteurs placent leur modèle d évaluation dans un univers risque neutre (le taux de risque présenté par le modèle est le taux sans risque). La volatilité du sous-jacent, impliquée par le modèle () est la volatilité initiale et, par conséquent, le modèle ne présume d aucune manière de l évolution future de cette volatilité. Le français André ORLEAN (l une des principales figures du courant «hétérodoxe») a proposé une approche fondée sur le mimétisme et la propagation par contagion ; il a modélisé cette approche en recourant aux processus de MARKOV (dont le mouvement brownien géométrique utilisé par BLACK & SCHOLES n est qu un cas particulier) : à partir d une matrice de transition et, pour autant que certaines règles soient respectées, on peut, par modifications itératives de la matrice initiale, anticiper l évolution future des cours. Les travaux de MANDELBROT ont conduit à deux approches différentes : l une se fonde sur l effet «Joseph» décrit par l auteur et converge vers une approche par les lois stationnaires de LEVY ; l autre s appuie sur l effet «Noé» et suggère une approche par cycles non périodiques. Cette seconde approche est difficilement modélisable : il n est pas simple d identifier les cycles qui, du reste, sont susceptibles de se superposer. On peut encore citer l approche dans le cadre de la théorie du chaos : approche déterministe qui, en raison notamment de «l effet papillon», ne permet pas d anticiper l évolution des cours. Conclusion : une approche adéquate doit prendre ne compte à la fois le caractère stochastique des variables étudiées tout en évitant les pièges de la loi normale avis à ceux qui cherchent un sujet de mémoire. C

5 LA FONCTION EXPONENTIELLE : F(x) : e x y x Deux constats s imposent : La modélisation du cours des actions procède d une éviction du caractère stochastique de la trajectoire : t = (Voir R. GOFFIN, «Principes de finances modernes», Economica, page 385) ; En temps continu, l espérance de la valeur de x au temps T est un fonction exponentielle du T T E x x e temps : Il en résulte deux conséquences principales : La distribution de la variable obéit à une loi normale, c est-à-dire à une fonction de GAUSS du type : Dans la mesure où l espérance d une variable x à un moment T est une fonction exponentielle du temps, le recours à cette fonction exponentielle a, sur l espérance, un effet multiplicateur : plus T est grand, demeurant constant, plus l espérance de x au temps T sera grande (voir le graphe ci-dessus de la fonction exponentielle). On retrouve les mêmes failles dans une large partie de la littérature : évaluation des START UP par M. LEVASSEUR, R. GOFFIN déjà cité, J. HULL, BREALEY (la référence), Le professeur R. COBBAUT («Théorie financière», Economica, 997) fait succinctement référence à A. ORLEAN ; sur le tard, il semble s être départi de l orthodoxie pour afficher ouvertement son intérêt pour l approche hétérodoxe. D

6 CHAPITRE I RAPPELS D ANALYSE MATHEMATIQUE

7 LES DERIVEES DEFINITION. La dérivée d une fonction mesure la pente de cette fonction. Plus précisément la dérivée mesure le taux de variation instantané d une fonction, c est-à-dire la façon dont la variable dépendante change quand la variable indépendante enregistre un changement unitaire très minime. Formellement une dérivée s écrit : dy dx limite x y x Cette expression se lit : la dérivée de y par rapport à x est égale à la limite, quand la variation de x tend vers, du rapport entre la variation de y et la variation de x. Notation : quand y = f(x), la dérivée est notée dy/dx ou encore f (x). dans la suite du texte, on utilisera la notation f (x). INVENTAIRE. F(x) F (x) B* X X X X 3 3X X n n.x n- /X - / X x x Sin X Cos X Cos X Sin X Tg X / Cos X Cotg X / Sin X Log a (X) (/X).log a e Ln (x) /X a X a.( / log a e) e X B* : B est une constante e X Exemples. Si f(x) = X + 4X +6, alors f (x) = 4X + 4 Si f(x) = X, alors f (x) = X * ( / log e) = X * ( /,434) Rappels : e =,788

8 DERIVEES DE FONCTIONS COMPOSEES. Y Y F(x) G(x) F (x) G (x) F(x) * G(x) F(x) * G (x) + F (x) * G(x) / G(x) G (x) / [G(x)] F(x) / G(x) [G(x) * F (x) F(x) * G (x)] / [G(x)] Exemples. Si Y = 4X X 3, alors Y = 8X 6X Si Y = / 4X, alors Y = 8X / 6X 4 Si Y = X / 4X 3, alors Y = [4X 3 * 4X X * X ] / 6X 6 = (6X 4 4X 4 ) / 6X 6 = -8X 4 / 6X 6 = / X LES DERIVEES PARTIELLES. Les dérivées partielles de er ordre. Soit la fonction Z = 5X 3 + 3XY + 4Y ; La dérivée partielle de cette fonction par rapport à X est : Z x = 5X + 3Y La dérivée partielle de cette fonction par rapport à Y est : Z y = 3X + 8Y Les dérivées partielles de second ordre. Soit la même fonction Z = 5X 3 + 3XY + 4Y ; La dérivée partielle seconde de X par rapport à X est : La dérivée partielle seconde de Y par rapport à Y est : La dérivée partielle seconde de X par rapport à Y est : La dérivée partielle seconde de Y par rapport à X est : Remarque : dans les derniers cas, on parle de dérivée partielle croisée ou mixte Exercices. Soit Z = 4X + XY Y + ; calculer Z x et Z y ; calculer ensuite Z xx, Z xy, Z yy et Z yx Soit Z = 4X 4 + X Y + 3XY + Y ; faire les mêmes calculs

9 OPTIMISATION D UNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES. Soit une fonction, typique en économie, Z de variables X et Y ;on cherche à optimiser cette fonction, c est-à-dire trouver les valeurs de X et Y pour lesquelles Z est un maximum (cas d une maximisation) ou un minimum (cas d une minimisation). Par exemple, en économie, on peut chercher à maximiser le profit ou encore à minimiser des coûts d exploitation. Pour qu une fonction du type Z = f(x, Y) soit à un maximum ou à un minimum, il faut que : Les dérivées partielles de er ordre soient nulles simultanément, c est-à-dire que Z X = Z Y = ; Les dérivées partielles de ème ordre, évaluées aux valeurs critiques, soient simultanément positives dans le cas d un minimum (Z XX et Z YY > ) ou simultanément négatives dans le cas d un maximum (Z XX et Z YY < ) ; Le produit des dérivées partielles de ème ordre, évaluées aux valeurs critiques, soit supérieur au carré des dérivées croisées : Z XX * Z YY >(Z XY ) Exemple. Soit la fonction Z = 6X 9X 3XY -7Y + 5Y ; on cherche à déterminer si cette fonction se situe à un maximum ou à un minimum. Z X = X 9 3Y = Z Y = 3X 7 + Y = La résolution de ce système de équations nous donne la solution suivante : (X, Y) = (, ) ; Il s agit des deux valeurs critiques. Il faut, à présent, déterminer les signes des dérivées partielles de ème ordre : Z XX = et Z YY = Z XX et Z YY > Interprétation : aux valeurs critiques, la fonction se situe à un minimum par rapport aux axes principaux. Il faut à présent déterminer s il s agit d un optimum : Z XX * Z YY > (Z XY ) Z XY = 3 (Z XY ) = 9 ; Z XX * Z YY = * = > (Z XY ) = 9 Interprétation : quand X = Y =, la fonction se situe à un minimum. Exercices. Optimiser la fonction Z = 4X 6X + XY + 3Y 3

10 OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE. On est souvent amené à optimiser une fonction de plusieurs variables, par exemple Z = f(x, y) en formulant une contrainte (voire plusieurs) sur ces variables : cette contrainte prend la forme d une seconde fonction du type g(x, y). On peut, dans ce cas, écrire une nouvelle fonction en posant la contrainte égale à, en la multipliant par (le multiplicateur de LAGRANGE) et en l ajoutant à la fonction initiale : F(x, y, ) = f(x, y) + * g(x, y) Exemple. On demande d optimiser la fonction objectif z = 4X + 3XY + 6Y sous la contrainte X + Y = 56. Commençons par poser la contrainte égale à : X + Y 56 = Multiplions ensuite la contrainte par et ajoutons-la à la fonction objectif pour obtenir la fonction de Lagrange (ou lagrangien) : Z = 4X + 3XY + 6Y + * (X + Y 56) Calculons à présent les dérivées partielles de er ordre : Z X = 8X + 3Y + 9 = () Z Y = 3X + Y + = () Z = X + Y 56 = (3) Résolvons ce système pour trouver les valeurs critiques : () () : 5X 9 Y = X =,8 Y (4) (4) dans (3) :,8 Y + Y = 56 Y = On peut en déduire : X = 36 et = 348 La fonction sera optimisée pour les valeurs X = 36, Y = et = : Z = 4 * * 36 * + 6 * + ( 348) * ( ) = 9744 Remarques. Aux valeurs critiques, le lagrangien est égal à la fonction objectif : Z = z Nous montrerons, après avoir introduit le hessien bordé, que Z se situe à un minimum 4

11 DETERMINANTS PARTICULIERS : LE JACOBIEN ET LE HESSIEN. LE JACOBIEN. A propos des matrices singulières et non singulières, nous avons vu qu il était possible de vérifier, en utilisant un déterminant simple, si une matrice est linéairement dépendante ou non. Un jacobien est un déterminant qui permet de vérifier n importe quelle dépendance fonctionnelle, linéaire et non linéaire. Un jacobien est le déterminant qui se compose de toutes les dérivées partielles de er ordre d un système d équations, disposées selon une séquence ordonnée. Soit le système suivant : A = F(X, Y, Z) B = G(X, Y, Z) C = H(X, Y, Z) J A B C X X X A B C Y Y Y A B C Z Z Z Application. Soit le système de équations à inconnues : A = 5X + 3Y B = 5X + 3XY + 9Y J A B X X A B Y Y 5 5X 3Y 3 3X 8Y 5 3X 8Y 35X 3Y Comme le jacobien =, il existe une dépendance fonctionnelle entre les équations : (5X + 3Y) = 5X + 3XY + 9Y Exercices. Utiliser le jacobien pour vérifier la dépendance fonctionnelle du système d équations suivant : A = 6X + 4Y B = 7X + 9Y Utiliser le jacobien pour vérifier la dépendance fonctionnelle du système d équations suivant : A = 4X + 3X + 9 B = 6X 4 + 4X Y + 9Y + 5

12 Exercices résolus et interprétation. Utiliser le jacobien pour vérifier la dépendance fonctionnelle du système d équations suivant : A = X 3Y + 5 B = X 4 6X Y + 9Y X 3 X 6X 4 X 3 4X XY 6 X 8Y 8Y 3 XY 3 J Il y a bien une dépendance fonctionnelle entre les équations : B = (A 5) A 5 = X 3Y = X 3Y (X 3Y) = X 4 6X Y + 9Y Utiliser le jacobien pour vérifier la dépendance fonctionnelle du système d équations suivant : A = 4X Y B = 6X + 8XY + Y J 4 3X 8Y 8X Y 4 8X Y3X 8Y 64X 6Y Le jacobien étant différent de, il n y a pas de dépendance fonctionnelle entre les équations du système. Utiliser le jacobien pour vérifier la dépendance fonctionnelle du système d équations suivant : A= 3X 4Y B = 9X 4XY + 6Y J 3 8X 4Y 4 4X 3Y 3 4X 3Y 48X 4Y Le jacobien étant égal à, il y a bien une dépendance fonctionnelle entre les équations. Justification : (3X 4Y) = 9X 4XY + 6Y (autrement dit : B = A ) 6

13 Interprétation. Considérons le système non dépendant suivant : A = 4X Y B = 6X + 8XY + Y Prenons les équations correspondantes : 4X Y = Y = 4X () 6X + 8XY + Y = () () dans () : 6X + 8X * 4X + (4X) = 64X = X = (3) (3) dans () : Y = Conclusion : le seul couple de variables X et Y qui vérifie les équations est le couple (X, Y) = (,) ; aucun autre point de la droite d équation 4X Y = ne se trouve sur la courbe d équation 6X + 8XY + Y = Considérons à présent le système dépendant suivant : A= 3X 4Y B = 9X 4XY + 6Y Prenons les équations correspondantes : 3X 4Y = Y = 3X / 4 () 9X 4XY + 6Y = () () dans () : 9X 4X * (3X / 4) + 6 * (3X/4) = 9X 8X + 9X = * X = Conclusion : tout couple de variables X et Y qui vérifie la ère équation vérifie également la seconde. Exemples : (, ) ; (4, 3) ; etc 7

14 LE HESSIEN. Pour optimiser une fonction à plusieurs variables, Z = F(X, Y), il faut qu outre la condition de er ordre Z X = Z Y =, deux autres conditions soient remplies : Z XX et Z YY > pour un minimum ; Z XX et Z YY pour un maximum Z XX * Z YY > (Z XY ) Un moyen commode de vérifier si les conditions de ème ordre sont satisfaites est offert par le hessien. Un hessien est un déterminant composé de toutes les dérivées partielles de ème ordre, les dérivées partielles directes figurant le long de la diagonale principale et les dérivées partielles croisées en dehors de la diagonale. Ainsi : H Z Z XX YX Z Z XY YY Z Z XX XY Z Z XY YY Z XX Z YY Z XY Si le er élément de la diagonale principale (le er mineur principal : Z XX ) est positif et si le ème mineur principal est positif, les conditions de ème ordre nécessaires pour un minimum sont satisfaites. H H Z XX Z Z Z Z Z XX Z YY ZXY Le hessien est dit défini positif. Si le er mineur principal est négatif et si le ème mineur principal est positif, les conditions de ème ordre nécessaires à un maximum sont satisfaites ; le hessien est alors défini négatif. H H Z Z Z XX XX XY Z Z XY YY Z XX Z YY ZXY Application. Soit la fonction à optimiser Z = 6X 9X 3XY 7Y + 5Y Cette fonction est optimisée pour les valeurs critiques X = et Y =, solutions du système des équations aux dérivées partielles de er ordre. Z H Z H H Z XX XY XX 3 Z Z XY YY

15 On constate que le hessien est défini positif et que dès lors la fonction est minimisée aux valeurs critiques. LE HESSIEN D ORDRE 3. Etant donné A = F(X, Y, Z), le hessien d ordre 3 s écrit : H A A A XX YX ZX A A A XY YY ZY A A A XZ YZ ZZ Le hessien est défini positif et satisfait les conditions de ème ordre pour un minimum si les 3 conditions suivantes sont réunies : H H H 3 A A A XX XX XY H A A XY YY A XX A YY A XY Le hessien est défini négatif et satisfait les conditions de ème ordre pour un maximum si les 3 conditions suivantes sont réunies : H H H 3 A A A XX XX XY H A A XY YY A XX A YY A XY Application. Soit la fonction A = 5X + X + XZ Y + 4Y + YZ 4Z Les conditions de er ordre s écrivent (équations aux dérivées partielles d ordre ) : A X = X + + Z = A Y = 4Y + Z + 4 = A Z = X + Y 8Z = Le système prend la forme matricielle suivante : 4 X Y 4 8 Z 9

16 Le déterminant de la matrice des coefficients se calcule : A Le déterminant est également le jacobien : par conséquent les 3 équations sont fonctionnellement indépendantes. On utilise la règle de CRAMER pour calculer les valeurs critiques : A 4 A A X Y Z A A A A A A 3 88, , 76,43 76 On considère les dérivées partielles secondes pour vérifier les conditions de ème ordre : A XX = A XY = A XZ = A YX = A YY = 4 A YZ = A ZX = A ZY = A ZZ = 8

17 Le hessien s écrit : H Les trois mineurs principaux s écrivent : 76 H H 4 4 H H 3 Comme le signe des mineurs principaux alterne dans le sens qui convient, le hessien est défini négatif et la fonction est maximisée pour (X ; Y ; Z) = (,4 ;, ;,43) Exercice résolu. Soit la fonction A = 3X 5X XY + 6Y 4Y + YZ + 4Z + Z 3XZ Conditions de er ordre. A X = 6X 5 Y 3Z = A Y = X + Y 4 + Z = A Z = Y + 8Z + 3X = Sous forme matricielle, le système s écrit : 4 5 Z Y X Calcul du déterminant et application de la règle de CRAMER : A A

18 A A X = 4 / 448 =,89 ; Y = 84 / 448 =,4 ; Z = - 8 / 448 =, Conditions de ème ordre. A H A H A XX YX ZX 6 A A A XY YY ZY A A A XZ YZ ZZ A 448 H 6 7 H 3 H 448 Puisque le hessien est défini positif, la fonction est minimisée aux valeurs critiques. Exercice à résoudre. Soit la fonction A = 5X + X + XZ Y + 4Y + YZ 4Z ; optimiser cette fonction en utilisant la règle de CRAMER pour les conditions de er ordre et le hessien pour les conditions de ème ordre. LE HESSIEN BORDE ET L OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE. Précédemment nous avons montré que pour optimiser une fonction f(x, y), sous une contrainte g(x, y), il était possible de former une nouvelle fonction F(x, y ) = f(x, y) + * g(x, y) et que les conditions de er ordre impliquaient F x = F y = F =. A présent il est possible d exprimer les conditions de ème ordre en termes d un hessien bordé : F H F g XX YX X F F g XY YY Y g g X Y

19 Application. Soient la fonction F(X, Y) = 8X 8XY + Y et la contrainte : G(X, Y) X + Y 4 = Construction du lagrangien. L(X, Y, ) = 8X 8XY + Y + * (X + Y 4) Conditions de er ordre. L X : 6X 8Y + 9 = L Y : 8X + 4Y + = L : X + Y 4 = Point candidat : (X, Y, ) = (8, 6, 8) Conditions de ème ordre : le hessien bordé. H L'' L'' L'' XX YX X L'' L'' L' ' XY YY Y L' ' L' ' L'' X Y L' ' L' ' G' XX YX X L'' L'' G' XY YY Y G' G' X Y Le hessien bordé étant inférieur à, il existe un minimum au point candidat (X, Y ) = (8, 6) Calcul de F(X, Y ). F(X, Y ) = F(8, 6) = 8 * 8 8 * 8 * 6 + * 6 = 56.Exercices. Maximiser l utilité u = XY sous la contrainte budgétaire 3X + 4Y = 9 en déterminant les valeurs critiques et en utilisant le hessien bordé pour vérifier les conditions de ème ordre. Maximiser l utilité u = XY + X sous la contrainte budgétaire 6X + Y = en utilisant les techniques employées pour résoudre l exercice précédent. 3

20 4 OPTIMISATION D UNE FONCTION A PLUSIEURS VARIABLES SOUS CONTRAINTES MULTIPLES. Soient la fonction F(X, Y) = 8X 8XY + Y et les deux contraintes : X + Y 4 = et X + 3Y 4 =. Construction du lagrangien. L(X, Y,, ) = 8X 8XY + Y + * (X + Y 4) + * (X + 3Y 4) Conditions de er ordre. L X = 6X 8Y + + = L Y = 8X + 4Y = L = X + Y 4 = L = X + 3Y 4 = Sous forme matricielle, le système d équations s écrit : 4 4 Y X x Calcul du déterminant de la matrice des coefficients et application de la règle de CRAMER : A A A A A 4 3

21 X = / = Y = / = = 736 / = 736 = 448 / = 448 Construction et calcul du hessien bordé : L'' XX L'' XY L'' X L'' X H L'' L'' YX X L'' L'' YY Y L'' L'' Y L'' L'' Y L'' X L'' Y L'' L'' 6 8 H Le hessien bordé étant >, la fonction présente un maximum au point (X, Y ) = (, ) 5

22 CALCUL INTEGRAL INTEGRALES NON DEFINIES INTRODUCTION. Dans le chapitre précédent nous avons étudié les dérivées ; en particulier nous avons mesuré l intérêt de dériver une fonction pour en déterminer la pente, les extrema ou encore l optimum. Cette approche constitue la base du calcul différentiel. Pour une fonction f(x) donnée, il peut être très utile de déterminer la fonction F(x) dont cette fonction f(x) est la dérivée ; c est précisément cette opération que l on appelle intégration ; et la fonction F(x) est appelée intégrale de la fonction f(x). Notation. L intégrale de la fonction f(x) s exprime sous la forme : f (x)dx F(x) c Le membre de gauche de cette équation se lit «l intégrale de f de x par rapport à x» ; f(x) est l intégrande ; c est la constante d intégration ; F(x) + c est une intégrale non définie. La constante d intégration. Les fonctions qui ne diffèrent que par une constante ont la même dérivée ; ainsi la fonction F(x) = x + k a la même dérivée, f(x) =, pour une infinité de valeurs de k. En inversant cette procédure, il est évident que l intégrale présentée ci-dessus est l intégrale non définie d une infinité de fonctions qui ne diffèrent l une de l autre que par la constante. La constante d intégration c ne sert donc qu à représenter la valeur d une constante qui faisait partie intégrante de la primitive mais qui a disparu dans la dérivée par l application des règles de différenciation. Soit la fonction F(x) = X + 4X + ; sa dérivée est F (x) = 4X + 4 ; si on cherche à déterminer l intégrale de cette fonction, on obtient : 4x 4dx 4xdx 4dx 4x c x Dans cette intégrale non définie, c représente effectivement la valeur de dans la fonction initiale. Le développement de cette intégrale utilise la règle d intégration n 8 (voir ci-dessous).

23 LES REGLES D INTEGRATION. Règle n. L intégrale d une constante k est : kdx kx c Règle n. L intégrale de, qui s écrit simplement dx, est : dx x c Règle n 3. L intégrale d une fonction puissance x n, où n, est donnée par : x n dx x n n c Règle n 4. L intégrale de x - (ou /x) est (x > ) : x dx ln x c La condition x > est ajoutée car seuls les nombres positifs ont des logarithmes ; si x est un nombre négatif, la règle devient : x dx ln x c Règle n 5. L intégrale d une fonction exponentielle est : a kx dx kx a k ln a c

24 Règle n 6. L intégrale d une fonction exponentielle naturelle est : e kx dx kx e k c En effet ln e = Règle n 7. L intégrale du produit d une constante par une fonction est égale au produit de la constante par l intégrale de la fonction. kf x dx k f xdx Règle n 8. L intégrale de la somme ou de la différence de deux fonctions ou plus est égale à la somme ou à la différence de leurs intégrales. f x gxdx f xdx gxdx Règle n 9. L intégrale d une fonction précédée du signe est égale à moins l intégrale de cette fonction. f x dx f xdx ILLUSTRATIONS. Règle n. 3dx 3x c Règle n 3. x 3 dx x c x c x

25 Règles n 7 et n 3. 4 x dx 5 x dx 5 x 5 c x Règles n, 3, 7, 8 et x 3 x dx 3 x dx xdx dx 3 x x x c x x x c Règles n 7 et n 4. 3 x dx 3 x dx 3ln x c Règle n 5. 3x 3x dx 3ln Règle n 6. e 9e dx 3 3x x 3x 9 3 c c 3e c c 4 CONDITIONS INITIALES & CONDITIONS LIMITATIVES. Dans de nombreux problèmes, on donne une condition initiale ou une condition limitative qui détermine une valeur unique pour la constante d intégration. De cette manière on isole une fonction particulière parmi une infinité de fonctions. Illustration. Posons l intégrale suivante : 3 4 y dx x c Si on pose comme condition limitative que y = quand x = 3, on obtient : = *3 + c c = 5 En conséquence y = x + 5 ; remarquons cependant que l intégrale demeure non définie puisque x n est pas spécifié : l intégrale x + 5 peut prendre une infinité de valeurs.

26 L INTEGRATION PAR SUBSTITUTION. L intégration du produit ou du quotient de fonctions différentiables de x, telle que 3 x x dx Ne peut être effectuée directement à l aide des 9 règles simples énoncées précédemment ; néanmoins, s il est possible d exprimer l intégrande sous la forme d un multiple «constant» d une autre fonction u et de sa dérivée du / dx, on peut procéder à l intégration par substitution. En exprimant l intégrande f(x) comme une fonction de u et de sa dérivée du / dx et en intégrant par rapport à x, on obtient : f du dx xdx u dx udu Fu c Illustration. On demande de calculer l intégrale : 3 x x dx Posons u = x 3 + : u = du / dx = 3x dx = du / 3x du du x dx 3x 4 3 x dx x u dx x u 4udu 4 udu 4 u c u c En remplaçant u par X 3 + : 3 dx c c 3 x x u x

27 Exercices résolus. Exercice n. Déterminer l intégrale suivante par la méthode de substitution : x x 3dx 4 On pose u = x + 3 : du / dx = x et dx = du / x 4 du 4 x 3dx x u 5 u du 4 x x On utilise la règle d intégration n 3 : 5 u du 5 u c u On remplace u par x + 3 : x 3 dx u c x 3 c x Exercice n. Déterminer l intégrale suivante par la méthode de substitution : x x 5 dx On pose u = x 5-5 : du / dx = x 4 et dx = du / x 4 x c 4 du x 5 dx x u u du u c u c 4 4 On remplace u par x 5 5 : x x x 5 dx u c x 5 c

28 Exercices à résoudre. Déterminez les intégrales suivantes par la méthode de substitution : x 9 x 6x 4x 3 7 7/ 4 dx 5 dx dx 6 x 4x dx 3 3 x x 5x L INTEGRATION PAR PARTIES. Si un intégrande est le produit ou le quotient de fonctions différentiables de x et ne peut être exprimé sous la forme d un multiple constant de u(du/dx), il est souvent commode d effectuer une intégration par parties. On déduit cette méthode en inversant la procédure de différenciation d un produit. La dérivée par rapport à x du produit des deux fonctions f(x) et g(x) donne : [f(x)*g(x)] = f(x)*g (x) + g(x)*f (x) Si on prend l intégrale de la dérivée, on obtient : f xgx f xg' xdx gxf ' xdx On calcule alors la ère intégrale du membre de droite : f x g' xdx f xgx gxf ' xdx Remarque : pour des fonctions plus complexes, on utilise généralement des tables d intégration. Ces tables donnent des formules pour déterminer les intégrales d au moins 5 fonctions différentes.

29 Application. Résoudre par parties l intégrale suivante : 4x 3 x dx On commence par séparer l intégrande en parties : posons f(x) = 4x et g (x) = (x + ) 3 ; si f(x) = 4x, alors f (x) = 4. Par ailleurs si g (x) = (x + ) 3, alors g x x dx x c La constante c peut être omise jusqu à la phase finale. On remplace f(x), g(x) et f (x) par leurs valeurs respectives (remarquons que g (x) ne figure pas dans la formule) : 4x 4x 4x 3 x dx f xgx gxf ' xdx x dx 4x x x 4dx x x x x dx x x x c Application. Résoudre par parties l intégrale suivante : x x e dx Posons f(x) = x f (x) = ; g (x) = e x x gx dx 4 e ; on obtient : 4 dx x e x e x x dx dx f xgx gxf ' x x e x x x e dx x e dx x e e x x c e x e x dx x c

30 Exercices à résoudre. Calculer les intégrales suivantes en intégrant par parties : 5x 6x e x x 8 5x x x 4 x7 3 dx dx dx 3/ dx

31 CALCUL INTEGRAL INTEGRALES DEFINIES INTRODUCTION. La surface située sous une courbe. Il n existe pas de formule géométrique pour calculer la surface située sous une courbe d allure irrégulière, telle que y = f(x) entre x = a et x = b sur la figure ci-dessous. Si l intervalle [a, b] est divisé en n sous-intervalles [x, x ], [x, x 3 ],, et si on construit des rectangles tels que la hauteur de chacun soit égale à la plus petite valeur de la fonction dans le sous-intervalle (comme sur la figure de droite), la somme des surfaces des rectangles approchera, en la sous-estimant, la surface réellement située sous la courbe. Plus les sous-intervalles sont petits, plus de rectangles sont créés et plus la surface globale des rectangles se rapproche de la surface réellement située sous la courbe. Si le nombre d intervalles est accru de façon telle que n, chaque rectangle devient infinitésimal et la superficie A située sous la courbe s écrit : n A im f x x f (x)dx i i l n i a L intégrale définie. b L intégrale d une fonction continue f(x) définie sur l intervalle entre a et b (a < b) s écrit : b f (x)dx a Cette expression se lit «l intégrale de f de x dx entre a et b» ; a est la borne inférieure d intégration et b la borne supérieure d intégration ; l intégrale de f(x) définie sur l intervalle allant de a à b a une valeur numérique qu il est possible de calculer à partir de l intégrale non définie en utilisant le théorème de calcul fondamental.

32 LE THEOREME DE CALCUL FONDAMENTAL. Le théorème de calcul fondamental dit que la valeur numérique de l intégrale de la fonction continue f(x) définie sur l intervalle séparant a de b est égale à la différence entre la valeur de l intégrale non définie F(x) + c à la borne supérieure d intégration b et sa valeur à la borne inférieure d intégration a. b a b f (x)dx F x F b F a Illustrations a 3 4 x 3 x 4 x 4 3 a a 4 3 xdx 5x x dx f (x)dx F(a) F(a) x 3 x 4 x 4 3 xdx 5x x dx PROPRIETES DES INTEGRALES DEFINIES. L interversion des bornes change le signe de l intégrale définie. b a f (x)dx a b f (x)dx Si la borne supérieure d intégration est égale à la borne inférieure, l intégrale définie a une valeur nulle. a a f (x)dx F(a) F(a) On peut exprimer une intégrale définie par la somme de sous-intégrales la composant (a b c). c b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx a a b

33 EXERCICES. Vérifier les égalités ci-dessous. 5 5 (x 3)dx x dx x dx xdx 6xdx 6xdx 3 Calculer les intégrales définies ci-dessous. 3 dx 64 3 /3 3 3 x 4 dx 4 x x x e x dx x 6 dx / / 3x dx LA METHODE DE LA SUBSTITUTION. Utiliser la méthode de la substitution pour calculer l intégrale définie suivante : 3 8x 4 3 x 6x dx On pose u = x + 3 ; dès lors du / dx = 4x et dx = du / 4x ; on effectue les remplacements en négligeant provisoirement les bornes d intégration (l intégrale est traitée comme non définie) : 3 du u 8x 4 6x dx 8xu udu c c 3 x 4x u

34 On remplace u par x + 3 : 3 3dx x x x 3 L INTEGRATION PAR PARTIES. Calculer l intégrale définie ci-dessous par la méthode de l intégration par parties. 5 3x x dx Posons f(x) = 3x. f (x) = 3 ; posons g (x) = (x + ) - ; sous cette hypothèse : g'(x) x dx x x dx 3x x x 3dx 3x x 3 x 3x On intègre de nouveau en négligeant la constante : 3x dx 3x x Appliquons les bornes : 5 5 x 3ln x 3x dx 3x x 3ln x x 5 3x dx 3ln 5 3ln,5796 x 5

35 EXERCICES A RESOUDRE. Méthode de la substitution. 3 6x dx x 3x dx 3 x x 4x 3 x x e 5 dx dx Intégration par parties x x 5x x e 3 dx dx Propriétés des intégrales définies. Montrer que : x x x x x x 8 9 dx 8 9 dx 8 9 dx 4 4 Montrer que : / / / / x x x x 3x dx 3x dx 3x dx 3x dx 4 9

36 LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES Les équations différentielles sont des équations qui impliquent des dérivées (ou des dérivées partielles). Elles expriment les taux de variation de fonctions continues au fil du temps. Lorsqu on travaille avec des équations différentielles, l objectif est de trouver une fonction, où ne figure ni dérivée ni différentielle, qui satisfait l équation différentielle. On appelle cette fonction solution ou intégrale de l équation. L ordre de l équation différentielle est celui de la dérivée de l équation dont l ordre est le plus élevé. Le degré d une équation différentielle est la puissance la plus forte à laquelle est élevée la dérivée dont l ordre est le plus grand. EXEMPLES. Exemple : équation de er ordre et de er degré. dy x 6 dx Exemple : équation de er ordre et de 4 ème degré. dy ( ) dx 5 5 x Exemple 3 : équation de ème ordre et de er degré. d y d x dx 3 dy ( ) x Exemple 4 : équation de 3 ème ordre et de 5 ème degré y d y 75 3 d d x d x ILLUSTRATION N. y Soit l équation différentielle f "( y) 7. Par intégration successive, on obtient : f '( y) 7dx 7x c f ( y) (7x c) dx 3,5 cx c x c et c sont des constantes qui résultent du caractère non défini des intégrales. Remarque : la solution est appelée «solution générale» de l équation parce que c et c ne sont pas spécifiés.

37 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DE er ORDRE. Dans le cas d une équation différentielle linéaire de er ordre, dy / dt et y ne peuvent avoir un degré supérieur à et aucun produit y*(dy / dt) ne peut figurer dans l équation. Ces équations sont du type : dy vy dt z Dans cette formulation, v et z sont des constantes ou des fonctions du temps. La solution générale est donnée par : * ( ) vdt vdt e e y t A z dt Dans cette solution générale, A est une constante arbitraire. S il existe une condition initiale, on peut spécifier A et on peut alors obtenir une solution définie. Une solution se compose de deux parties : La fonction complémentaire. e vd t A L intégrale particulière. e vdt ze vdt ILLUSTRATION. dy Soit l équation différentielle 4y ; on en déduit : v = 4 et z =. dt 4 4 ( ) dt dt y t * A dt e e Nous savons que 4dt 4t c ; on peut négliger c qui est supposé absorbé par A. 4 4 ( ) t dt y t * A dt e e

38 On peut calculer l intégrale restante : e dt 3e 4 t 4t c On peut à nouveau négliger c et, en remplaçant, on obtient : y t e A e A e 4t 4t 4t ( ) *( 3 ) * 3 En effet : 4t 4t e * e e ILLUSTRATION N. Soit l équation différentielle dy 3t y t dt ; v = 3t et z = t dt t t e 3t 3 dt y( t) * A dt e Nous savons que : 3 3 ( ) t t y t * A dt e 3 3 t dt t ; en remplaçant, on obtient : t e On calcule à présent l intégrale restante en utilisant la méthode par substitution. On pose : u = t 3 Dès lors : du / dt = 3t et dt = du / 3t t t t y( t) e *( A e ) Ae 3 3 A SUIVRE : Les équations différentielles exactes Les facteurs d intégration La résolution par séparation de variables Les équations différentielles d ordre 3

39 LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES (EDP). EDP de er ordre. Ces EDP, à caractère hyperbolique, sont résolues par la méthode des différences finies qui recourt au calcul matriciel. EDP de ème ordre. EDP hyperboliques : l EDP est résolue par la méthode des différences finies ; l EDP est décomposée en EDO (équation différentielle ordinaire). EDP paraboliques : les caractéristiques de l EDP existent mais ne peuvent être utilisées pour la résolution ; on utilise la méthode de la séparation des variables. Exemple d EDP parabolique : l équation de diffusion, utilisée par BLACK, SCHOLES et MERTON notamment. EDP elliptiques : la résolution utilise une méthode globale. REMARQUES : Pour les méthodes d intégration, se référer à des ouvrages spécialisés sur le calcul différentiel ou consulter le cours de «MATHEMATIQUES APPLIQUEES» sur le site : Les présentes notes relatives aux équations différentielles ordinaires (EDO) seront complétées prochainement. Pour la résolution des EDP et en particulier des EDP de ème ordre (voir l EDP de diffusion utilisée pour l évaluation des options par BLACK, SCHOLES & MERTON et par M. LEVASSEUR pour l évaluation d une START UP, consulter des sites ou des ouvrages spécialisés en attendant que des notes soient disponibles sur le site précité Les fonctions paraboliques (dont l équation de diffusion) ont pour solution générale la fonction de GAUSS : où μ est l'espérance mathématique et σ est l'écart type. La courbe caractéristique de cette fonction est celle de la loi normale. 4

40 Les solutions des EDP elliptiques ne s inscrivent pas nécessairement dans un domaine représenté par une ellipse régulière ; de la même façon les EDP hyperboliques donnent lieu, la plupart du temps, à des courbes qui rappellent les courbes spécifiques des fonctions trigonométriques hyperboliques : Exemple de fonction elliptique : 5

41 REMARQUE A PROPOS DE L EDP DE BLACK, SCHOLES & MERTON. De l EDP de diffusion initiale : Les auteurs passent, par changement de variable, à l équation simplifiée : Il s agit dans les deux cas d EDP paraboliques dont la solution est obtenue par séparation des variables ; moyennant des conditions aux bornes, les deux EDP présentent la même solution simplement il est plus «aisé» de résoudre la seconde. La seconde EDP est l équation spécifique de la diffusion de la chaleur. Remarque : il n est pas surprenant que l EDP soit parabolique dans la mesure où l EDP est dérivée d un MBG au moyen du lemme d ITÔ et qu une variable quelconque qui obéit à un MBG obéit également à la loi normale (rappelons que la fonction de GAUSS est bien la solution générale des EDP paraboliques). Pour une démonstration complète de la résolution de l EDP de BLACK, SCHOLES & MERTON, voir : ÖMÜR UGUR, «An introduction to computational finance», 8. 6

42 EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES DE BLACK, SCHOLES & MERTON DEMONSTRATION Le processus suivi par une action est celui d un mouvement brownien géométrique et peut être caractérisé par : ds Sdt Sdz Notons f le prix d une option d achat (call) ou de tout autre produit dérivé lié au titre S ; la variable f est dès lors une fonction de S et de t. Le lemme d ITÔ a permis d écrire : dg ( G S G G ) dt G Sdz S x t x x Rappelons que, dans cette EDP, G est une fonction de x et de t. On peut en déduire, relativement à f, la relation suivante : df ( f S f f ) dt f Sdz S S t S S Sous leurs formes discrètes, les équations ci-dessus s écrivent : S St Sz f ( f S f f ) t f S z S S t S S Dans la ème relation, S et f représentent les variations de S et de f pendant un court intervalle de temps de longueur t. Rappelons que les variables aléatoires f et S sont gouvernées par le même processus de WIENER. En d autres termes, les z( t ) des deux équations ci-dessus sont identiques. Ainsi, si on choisit un portefeuille composé d une action et de l un de ses produits dérivés, la composante aléatoire peut être éliminée. Un portefeuille approprié peut être défini de la manière suivante : Vente d une unité du produit dérivé ; f Achat de actions. S 3

43 Le détenteur du portefeuille est alors en position courte (vendeur) sur le produit dérivé et en f position longue (acheteur) sur actions. La valeur du portefeuille, notée Pi, s écrit alors : S f f S S La variation par : Pi de la valeur du portefeuille au cours d un intervalle de temps t est donnée f f S S En substituant obtient : f et S dans cette équation par les valeurs obtenus précédemment, on f f ( ) t S t S Puisque cette équation ne comporte pas l expression z, le portefeuille doit être sans risque pendant l intervalle de temps t. Un tel portefeuille, puisqu il est sans risque, doit procurer une rentabilité égale au taux sans risque. Dans le cas contraire, les investisseurs profiteraient d une opportunité d arbitrage. Dans ce cas, deux possibilités s offrent à l investisseur : si la rentabilité du portefeuille est supérieure au taux sans risque, il emprunte de l argent au taux sans risque pour le réinvestir en achetant le portefeuille qui procure une meilleure rentabilité ; en revanche si le portefeuille présente une rentabilité inférieure au taux sans risque, l investisseur vend le portefeuille à découvert et il place le produit de cette vente au taux sans risque afin de dégager un profit totalement sans risque. Si r représente le taux sans risque, on peut dès lors écrire : rt Si on remplace les termes et de cette équation par leurs expressions précédentes, on obtient : ( f f ) t r( f f S) t S t S S Et donc : f rs f S f rf t S S 4

44 Cette équation est l équation aux dérivées partielles de BLACK, SCHOLES & MERTON ; cette équation a plusieurs solutions correspondant à tous les produits dérivés qui peuvent avoir S comme actif sous-jacent. La solution de l équation dépend alors des conditions aux bornes qui caractérisent le produit dérivé considéré. Ces conditions aux bornes précisent les valeurs de l actif dérivé analysé aux bornes des ensembles de valeurs possibles de S et de t. Dans le cas d un call européen, la condition aux bornes est : f = max (S K ; ) quand t = T Dans le cas d un put européen, la condition aux bornes est : f = max (K S ; ) quand t = T Remarquons que le portefeuille utilisé dans la dérivation de l EDP n est pas un portefeuille sans risque de façon permanente. Il est sans risque uniquement pendant un intervalle de f temps infinitésimal. En effet, dès que S et t varient, varie aussi. S Ainsi, afin de conserver le caractère non risqué du portefeuille, il est nécessaire d ajuster fréquemment les positions relatives de l action et du produit dérivé au sein du portefeuille. Pour un exposé complet de la dérivation de l EDP, se référer à : Nathan COELEN, «Black- Scholes Option Pricing Model», ). Cet article est présenté en annexe. 5

45 CHAPITRE II LES CHAÎNES DE MARKOV

46 CHAPITRE X MATRICES STOCHASTIQUES & CHAÎNES DE MARKOV Andreï MARKOV (856-9) Une matrice stochastique (également appelée matrice de Markov) est une matrice carrée dont chaque élément est un réel compris entre et et dont la somme des éléments de chaque ligne vaut. Cela correspond, en probabilité, à la matrice de transition d une chaîne de Markov finie. Un processus de Markov à temps discret est un processus stochastique possédant la propriété de Markov : la prédiction du futur, connaissant le présent, n est pas rendue plus précise par des éléments d informations supplémentaires concernant le passé. Les processus de Markov constituent le cas le plus courrant des mouvements browniens. Une matrice est dite doublement stochastique si la somme des éléments de chaque ligne et de chaque colonne vaut. Exemple de matrice stochastique.,5,3, P,,8,3,3, 4 Matrices stochastiques régulières et irréductibles. Une matrice stochastique est dite régulière s il existe un nombre entier k tel que la matrice P k ne contient que des réels strictement positifs. La matrice ci-dessus est régulière car : P,37, 45,8,6,7,4,33, 45, Une chaîne de Markov est irréductible si tout état est accessible à partir de n importe quel état de la chaîne. Théorème : une matrice régulière est nécessairement irréductible. 37

47 APPLICATION : DOUDOU LE HAMSTER. Doudou, le hamster paresseux, ne connaît que trois endroits dans sa cage : les copeaux où il dort, la mangeoire où il mange et la roue où il fait de l'exercice. Ses journées sont assez semblables les unes aux autres, et son activité se représente aisément par une chaîne de Markov. Toutes les minutes, il peut soit changer d'activité, soit continuer celle qu'il était en train de faire. L'appellation processus sans mémoire n'est pas du tout exagérée pour parler de Doudou. Quand il dort, il a 9 chances sur de ne pas se réveiller la minute suivante. Quand il se réveille, il y a chance sur qu'il aille manger et chance sur qu'il parte faire de l'exercice. Le repas ne dure qu'une minute, après il fait autre chose. Après avoir mangé, il y a 3 chances sur qu'il parte courir dans sa roue, mais surtout 7 chances sur qu'il retourne dormir. Courir est fatigant ; il y a 8 chances sur qu'il retourne dormir au bout d'une minute. Sinon il continue en oubliant qu'il est déjà un peu fatigué. Diagrammes (voir illustration ci-dessous). Les diagrammes peuvent montrer toutes les flèches, chacune représentant une probabilité de transition. Cependant, c'est plus lisible si : on ne dessine pas les flèches de probabilité zéro (transition impossible) ; on ne dessine pas les boucles (flèche d'un état vers lui-même). Cependant elles existent ; leur probabilité est sous-entendue car on sait que la somme des probabilités des flèches partant de chaque état doit être égale à. Matrice de transition. La matrice de transition de ce système est la suivante (les lignes et les colonnes correspondent dans l'ordre aux états représentés sur le graphe par copeaux, mangeoire, roue) : 38