Cours: Analyse multifractale

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1 Cours: Analyse multifractale Ecole de Recherche CIMPA Analyse et Probabilités Carenne, Universidad Central de Venezuela Cocody-Abidjan, mars 2014

2 1 Introduction 2 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 3 4 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 5

3 Multifractales Multifractalité: X (t) tel que EX q (t) t ζ(q) pour t < T, le horizon d invariance d échelle. Ici, et pour la suite a b s ils existent 0 < c < C tels que cb < a < Cb. Souvent, dans des applications, on considère la moyenne 1 empirique: N i X i(t) q t ζ(q). ζ(q), nomée la fonction d échelle, est non linéaire (en fait strictement concave).

4 Modèle par excellence: X tel que X (λt) M(λ)X (t), M indépendant de X Où on suppose pour M la propriété d échelle: M(c 1 c 2 ) M(c 1 )M(c 2 ) avec M(c 1 ) et M(c 2 ) indépendants. Ici, et pour la suite a b ssi a = d b Chaque échelle agit sur X de façon indépendant.

5 Concavité de ζ X tel que E X (t) q = c(q)t ζ(q) pour t < T Soient w i, q i, i = 1, 2 tels que w 1 + w 2 = 1 et q = w 1 q 1 + w 2 q 2. Par Hölder E X q (E X q 1 ) w 1 (E X q 2 ) w 2 En prenant logarithmes, log c(q) + ζ(q) log t [w 1 log c(q 1 ) + w 2 log c(q 2 )] + [w 1 ζ(q 1 ) + w 2 ζ(q 2 )] log t En divisant par log(t) lorsque t 0 on obtient ζ(q) w 1 ζ(q 1 ) + w 2 ζ(q 2 )

6 D autre part si l on suppose T, en divisant par log(t) lorsque t on obtient et donc la linéarité de ζ ζ(q) w 1 ζ(q 1 ) + w 2 ζ(q 2 ) monofractales: ζ(q) linéaire Mouvement Brownien fractionnaire: B H (λt) λ H B H (t) Si le horizon d invariance d échelle est infinie: X est monofractale

7 Mesures multifractales: (µ[0, λt]) 0<t<T λe Ω λ(µ[0, T ]) 0<t<T, avec Ω λ infiniment divisible. Ee qω λ = λ ψ(q), ψ(q) strictement convexe Soit X (t) := µ[0, t]. On a E[X (λ) q ] = c(q)λ q ψ(q) On définit ζ(q) = q ψ(q) Plus généralement, on peut considérer processus aléatoires d accroissements stationnaires X = {X (s), s [0, T ]} (T > 0) Si l on définit a(s) := X (t) X (t + s) E[ a(s) q ] c(q) s ζ(q).

8 Interprétation: a(λs) e Ω λa(s), avec Ω λ infiniment divisible. Exemples: turbulence, mouvements séismiques, finances, électrocardiogrammes, modèles de pluie (rainfall models) Plus loin: on observe pour certaines modèles des moments impaires nulles Interprétation Gaussiènne: modèles de volatilité multifractale dx t = a(s)db H t, Dans ce cours nous introduirons quelques modèles multifractales, des propriétés fondamentaux et finalement nous aborderons le probléme d éstimation des paramètres.

9 Planning du cours 1 Introduction 2 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 3 4 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 5

10 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 1 Introduction 2 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 3 4 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 5

11 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Pour commencer: Cascades Binomiales r i Soit r = i : r 2 i i {0, 1} définie par sa expansion dyadique. Notation: r n = r 1... r n., I r n = [ r i i, r i 2 i i i 2 ), n S n (r) = r r n Pour 0 < p < 1 on définit λ n = 2 n r n psn (1 p) n Sn 1 Ir n Et finalement, la cascade multiplicative d ordre n, m n = λ n λ (λ la mesure Lebesgue) Alternativement dmn dλ (r) = psn(r) (1 p) n Sn(r)

12 Cascades Binomiales Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Si I = I s n est un intervalle dyadique on a m n (I ) = m n+1 (I ) = m n+2 (I ) =... Pour tout I intervalle dyadique on a donc que m n (I ) converge Soit f une fonction continue sur [0, 1]: il existe use suite escalier (sur des intervalles dyadiques) f m rapprochent f uniformément On a m n (f ) := fdm n (x) converge vers m f. Par le théorème de Banach-Steinhaus et le théorème de représentation de Riesz il existe une mesure m tel que pour tout f continue sur [0, 1] m n (f ) m(f ).

13 Cascades multiplicatives Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Casacade de Mandelbrot (1974): comme avant r [0, 1] : r = r 1 r 2... sa expansion dyadique. On définit λ n = r n W 0 n j=1 W r j1 Ir n, où W r j W sont des variables aléatoires (sur un espace de probabilité (Ω, F, P)) indépendants du même loi. Ils satisfont les conditions E(W ) = 1( normalisation) (1) E[W log 2 W ] < 1( non dégénérescence) (2) Soit m n = λ n λ. On a Kahane et Peyère (1976): il existe un mesure (aléatoire) m tel que P(m n m faiblement lorsque n ) = 1,

14 Cascades multiplicatives Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) De plus, la mesure limite m satisfait Em ([0, T ]) = T sous la condition (2): non dégénérescence Soient ψ(q) = log 2 E(W q ) ζ(q) = q ψ(q) et τ(q) = 1 ζ(q) Propieté d échelle (scaling property): Em q ([0, λ]) = λ ζ(q) Em q [0, 1] pour q < q max < q Où q = sup q {ψ(q) < } Et q max = sup{q : τ(q) < 0}.

15 La fonction τ(q) Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) τ(q) = 1 ζ(q) Elle est bien définie sur [0, q ), q 1 τ(1) = 0 (EW = 1) τ(0) = 1 + log 2 P(W 0) Elle est continue sur [0, 1] Elle est convexe Sous (1) (EW = 1) la condition (2) (E[W log 2 W ] < 1) est équivalent à τ (1 ) < 0

16 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) τ (1 ) < 1 équivalent à (2): τ (1 ) = EW log 2 W EW 1 En effet: si r(q) := EW q on a r (q) = E(W q log W ) pour 0 < q < 1 (par convergence dominée) De plus r (q) croit vers E(W log W ) La preuve suit de prendre le dérivée du logarithme.

17 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Cascades multiplicatives: version b-adyque On peut changer l expansion de r par une expansion b-adyque r = r i i : r b i i {0,..., b 1} Soit λ n = r n W n 0 j=1 W r j1 Ir n Soient ψ b (q) = log b E(W q ) ζ b (q) = q ψ b (q) et τ b (q) = 1 ζ b (q)

18 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Typiquement on donne alors les conditions (1,2) comme τ b (1) = 0 (3) τ b (1 ) < 0 (4) Si m est la mesure limite (limite faible p.p) on a E[m ([0, T ])] = T sous la condition (4) Propieté d échelle (scaling property): m q ([0, λ]) λ ζ b(q) m q [0, 1] pour q < q max

19 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) La mesure m q Pour q < q max on considère maintenant m q = lim n m q,n Où m q,n = λ q,n λ et λ q,n = r n W q,0 j=1 n W q,r j 1 Ir n, W q,ν W q EW indépendants q Alors si q < q 0 on a, m q ([0, 1]) = 1 (non dégénérescence) Où q 0 := sup{q : qτ (q) τ(q) < 0}.

20 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Démonstration: la suite m q,n est une martingale. La preuve suit de montrer que la condition q < q 0 est équivalent a (4) pour W = W q /EW q. En effet, soit τ q (t) = τ(tq) tτ(q). Alors, τ q (t) correspond à τ(t) pour la cascade définit par les variables W = W q,ν. D autre part τ q(1 ) = qτ (q) τ(q). Fin.

21 Exemple Log-Normal Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) b = 2 Considerons la cascade log-normale log W = µ + σz avec Z N(0, 1). EW = e µ+σ2 /2 La condition E[W ] = 1 implique µ = σ 2 /2. Alors ζ(q) = q q(q 1)σ2 2 log 2 et τ(q) = q(q 1)σ2 2 log 2 (q 1) q max = q 0 = ( 2 log 2 2 log 2 σ. σ 2 ) 1

22 Condition de normalisation Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Pourquoi EW = 1? Pour tout t m n ([0, t]) = [0,t] λ n (u)dλ(u) = tb n r n [0,t] n 1 W 0 Em n ([0, t]) = tb n r n [0,t] EW n 1 0 j=1 W r jew r n Em n ([0, t]) = Em n 1 ([0, t])ew j=1 W r j W r n

23 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Soient F n, n 1 les sous-tribus de F définies par F n := σ{w ν : ν n} On a E Fn 1 m n ([0, t]) = m n 1 ([0, t]) Pour tout Borelien I : m n (I ) est martingale positive par rapport à F n : elle converge p.s. D ailleurs Em n (I ) = λ(i ). Or, par le Lemme de Fatou on sait seulement que Em(I ) lim n Em n (I ) = λ(i ) Non dégénérescence: Em(I ) = λ(i ) (Em[0, 1] 0)

24 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Théorème de K-P: Cascades multiplicatives Em[0, T ] > 0 (P(m[0, T ] 0) > 0) ssi τ b (1 ) < 0 Em q [0, T ] < pour q [0, 1] et si q max > 1, on a Em q [0, T ] < pour 1 < q < q max Em[0, T ] = T ssi Em[0, T ] > 0

25 Théorème de K-P: Demonstration Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Par (3) il y a convergence p.s. de la suite m n (I ): or Les suivants afirmations sont équivalentes (I = [0, 1]) Em[0, 1] = 1 Em[0, 1] > 0 La martingale m n [0, 1] est uniformement intégrable: dans ce cas le Théorème de convergence des martingales assure la converence dans L 1 et Em([0, 1]) = lim n Em n ([0, 1]) = 1

26 Demonstration de l équivalence Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Clairement Em[0, 1] = 1 Em[0, 1] > 0 Pour montrer l équivalence il suffit de montrer alors que sous Em[0, 1] > 0 la suite m n est uniformément intégrable. On utilise la propriété de la distribution multiplicative de la densité

27 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Distribution multiplicative de la densité En reprenant m n ([0, 1]) = b n r n [0,1] n 1 W 0 j=1 W r j W r n Comme tous les W r n ont la même loi on a la propriété fondamentale suivante: b m n ([0, 1]) = b 1 m i,n 1 ([0, 1])W i (5) i=1 où tous les m i,n 1 ([0, 1]) sont i.d et indépendants des W i En prenant des limites on obtient b m([0, 1]) = b 1 m i ([0, 1])W i (6) i=1

28 Demonstration de l équivalence (suite) Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Si Em([0, 1]) > 0 il existe un m dont Em ([0, 1]) = 1 solution de b m ([0, 1]) = b 1 m i([0, 1])W i En itérant on obtient i=1 m ([0, 1]) = b n r n m r n ([0, 1]) j W r j Si F n est la sous-tribu σ{w r j, j = 1,..., n} E Fn m ([0, 1]) = b n W r j = m n ([0, 1]) r n j Donc = m n ([0, 1]) est uniformément intégrable.

29 Demonstration Thm Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Em[0, T ] > 0 (P(m[0, T ] 0) > 0) ssi τ b (1 ) < 0 Nécessite: supposons que il existe m tel que Em([0, 1]) = 1 et m([0, 1]) = b 1 Par sous-additivité de x q, b m i ([0, 1])W i. i=1 b q Em q ([0, 1]) bem q ([0, 1])EW q Alors τ b (q) 0 pour q 1 Comme τ b (1) = 0 on obtient la condition plus faible τ b (1 ) 0 (un peu plus de travail donne l inégalité stricte)

30 Demonstration Thm (suite) Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Suffisance (plus technique): Lemme: pour 0 < q < 1 on a ( x i ) q x q i 2(1 q) i<j (x ix j ) q /2 A partir du m([0, 1]) = b 1 en prenant des espérances on a b m i ([0, 1])W i (7) i=1 b q Em q n([0, 1]) bem q q n 1 ([0, 1])EW b(b 1)(1 q)(em q/2 n 1 ([0, 1]))2 (EW q/2 ) 2

31 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) En utilisant que Emn([0, q 1]) m q n 1 ([0, 1]) on obtient τ b (1 ) log b (b 1)(Em 1/2 n [0, 1]) 2 Comme mn 1/2 ([0, 1]) est uniformément intégrable dans L 2 (car Em m ([0, 1]) = 1) on a 0 < Emm 1/2 ([0, 1]) Em 1/2 ([0, 1]). Donc, Em([0, 1]) > 0 et par conséquent Em([0, 1]) = 1

32 Demonstration existence moments Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Si m n ([0, 1]) est bornée dans L q, Em q ([0, 1]) < (par intégrabilité uniforme) Par b m([0, 1]) = b 1 m i ([0, 1])W i i=1 et suradditivité de x q (q > 1) on a b q Em q ([0, 1]) > bem q ([0, 1])EW q (l inégalité est stricte a moins que P(W = 1) = 1) Donc Em q ([0, 1]) < τ(q) < 0

33 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Demonstration existence moments (cont) Supposons τ(q) < 0 et soit k tel que k < q k + 1 Considérons la fonction x q/(k+1) : par sous-additivité (x x b ) q (x q/(k+1) x q/(k+1) b ) k+1 x q x q b + γ α1...α b [ j x α j j ] q/(k+1) α j k et γ α1...α b = b k+1 b On obtient b q Em q n([0, 1]) bem q n 1 ([0, 1])EW q + (b k+1 b)em k n 1([0, 1])EW k

34 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Donc, Emn([0, q 1]) b 1 q Em q n 1 ([0, 1])EW q + bemn 1([0, k 1])EW k Et, car Em q n 1 ([0, 1]) Emq n([0, 1]) (sous-martingale) Emn([0, q 1])(1 b 1 q EW q ) bem k ([0, 1])EW k Alors Em k ([0, 1]) < Em q ([0, 1]) <. Fin si 1 < q 2 (car Em[0, 1] < ) Si q > 2: comme τ(q) < 0 τ(k) < 0 pour k < q on a Em k 1 ([0, 1]) < Em k ([0, 1]) < si k < q. Fin.

35 Mesures multifractales Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Du discret au continue: Muzy and Bacry, 2002 and 2003, Chainais, Aussi Barral et Mandelbrot, 2002 avec une construction de processus de Poisson composés et plus recenment Baral et Jin, 2013 qui généralisent la construction de Bacry et Muzy. Mesures multifractales aléatoires (MRM) ou Cascades infiniment divisibles (IDC): limite vague ν, lorsque l 0, d une succession ν l dont sa densité est l exponentiel d une mesure aléatoire P sur une suite d ensembles appropriés A l.

36 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) P est une mesure infiniment divisible sur S + = {(s, t), t > 0} définie par la tuple (ψ, µ) telle que P( i=1 A i) = i=1 P(A i) pour A i disjoint E(e qp(a) ) = e ψ(q)µ(a). A l est choisi pour que: µ(a l ) log(l) ceci assure la loi de puissance et la multifractalité.

37 Mesures multifractales Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Par le Thm de représentation de Lévy Khinchine, on a ψ(q) = σ2 2 + mq + ν est la mesure de Lévy de P. Elle satisfait {e qx 1 x1 { x 1} }ν(dx), (x 2 1)ν(dx) <. ψ(q) est assumé exister pour 1 < q < q ce que implique pour q < q 1 e qx ν(dx) <.

38 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) A l (u) T l u T 2 u T 2 + u 0 Figure: Ensemble A l (u) (T fixé, typiquement T = 1 et l > 0).

39 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Soit µ(dt, dl) = dtdl l 2 Considérons les cônes d influence A l (t) (transparence antérieure ) Soit w l (t) = P(A l (t)) (A l S + ) Alors M(B) = lim e w l (t) dt l 0+ B est la mesure limite d une suite des martingales Rappel notation: ζ(q) = q ψ(q) et τ(q) = 1 ζ(q) La limite est non dégénéré s il existe ε > 0 tel que ζ(1 + ε) > 1 ( équivalent à τ (1 ) < 0).

40 Proprietés Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Soit X (t) = M[0, t] Propriété d échelle en distribution {X (λt), 0 t T } loi = {U λ X (t), 0 t T }, Ici 0 < λ < 1, U λ est une variable aléatoire positive indépendant du processus X et tel que E[U q λ ] = λζ(q) pour q < q max q max = sup{q : τ(q) < 0}. Existence des moments: Si τ(q) < 0 alors EM q (I ) <. Si τ (1 ) < 0 alors EM q (I ) < τ(q) 0

41 Processus Poisson Composés Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Pour chaque t on choisit les points Γ(t) S + par l íntensité µ sur A l (t). On a alors P(A l (t)) = log(w i )1 {i Γ(t)} λ l (t) := i Γ(t) ew i W i W sont des v.a. i.i.d avec Ee W = 1

42 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Mesure: m(b) = lim λ l (t)dt l 0+ B Alorsψ(q) = E[W q ] 1 (EW = 1 si non, on prend E[W q ] 1 q(ew 1)) et q max = max{q : E[W q ] q} q 0 = max{q : qe[w q (log(w ) 1)] 1} On utilisera cette construction pour les simulations.

43 Exemples I Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Le cas Gaussien général: P(A) N( σ 2 µ(a)/2, σ 2 µ(a)) On a ψ(q) = σ 2 q(q 1)/2 On obtient les mêmes q max, q 0 On remarque var(p(a)) = ψ (0)µ(A) est fini ssi µ(a) <. Algorithme détaillée de simulation dans Chainais, Riedi et Abry, 2003.

44 Exemples II Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Le cas P α-stable ψ(q) = µq + σ α q α (1 + βsign(q) tan(πα/2)), 0 < α < 2, α 1. En prenant µ pour que ψ(1) = 0 on obtient ψ(q) = σ α (q α q)(1 + β tan(πα/2)) pour q > 0 Soit β = 0 Si α (1, 2) ψ(q) = σ α (q α q). Alors q max > 1 ssi σ α (α 1) < 1 et dans ce cas q max < et q 0 = σ 1 (1/(α 1)) 1/α.

45 : Bm Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Case H = 1/2: Bacry, Delour and Muzy, 2001; Bacry and Muzy, 2003: marche aléatoire multifractale (MRW) comme un processus conditionnellement gaussien Le MRW X 1/2 (t) est définie comme le processus centré, conditionnellement gaussien avec covariance conditionnelle t s Γ(s, t) = lim e w l (u) du = M(s t). l 0+ 0

46 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Marche aleatoire comme mb change du temps Soit M une MRM. Soit B t un mb indépendant. Alors X (t) L = B(M[0, t]): changement de temps aléatoire par la mesure multifractale. La fonction d échelle est ζ 1/2 (q) = ζ(q/2), : pour t k = k/2 n, considérons e w l (t k ) la densité multifractale au niveaux l < 2 n et w(k) un bruit blanc gaussien (centrées, indépendants): X n = 2 n/2 k ew l (t k )/2 w(k) X, dans L 2 avec X une marche aléatoire multifractale.

47 : fbm Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Cas H > 1/2 (fbm): Bacry and Muzy 2003,, 2008 et Abry et al X H (t) est définie comme le processus gaussien centré avec covariance conditionnelle t Γ H (s, t) = lim l 0+ 0 s 0 e w l (u) e w l (v) du dv = u v 2 2H t s 0 0 M(du) M(dv) u v 2 2H. Il est bien définie lorsque H ψ(2)/2 > 1/2 (la convexité de ψ assure ψ(2) > 0).

48 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) La fonction d échelle ζ H est ζ H (q) = qh ψ(q), Dans ce cas, tel comme définie X H n est pas un mbf changée de temps : pour t k = k/2 n, considérons e w l (t k ) la densité multifractale au niveaux l < 2 n et w H (k) une réalisation d un mbf dans [0, 1]: X n = k ew l (t k ) w H (k) X H, dans L 2 avec X H une marche aléatoire multifractale.

49 : fbm Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Cas H < 1/2 (fbm): Perpète, 2012 Integration par rapport à fbm avec H < 1/2 bien définie sur l espace des fonctions fractionnairement intégrées L κ avec κ = H 1/2. L κ = {f : φ L 2, f = I κ (φ)} Pour 0 < η < 1 I η 1 (φ)(s) := Γ(η) φ(u)(u s) η 1 + ds L κ est un espace de Hilbert pour le produit < f, g > κ := Γ2 (κ+1) γ 2 ( κ) (D κ (g))(s)(d κ (f ))(s)ds η Γ(1 η) 0 f (s) f (s+u) u η+1 du et (0 < η < 1/2) D η (g))(s) = γ 2 (η) = 0 ((1 + s) η s η ) 2 ds η

50 : fbm Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Pas 1: on définit Xl κ (t) := l κ t 0 ep(a l (s)) db H (s) comme un processus conditionnellement gaussien Pas 2 : on vérifie l existence de la limite en distribution de X lorsque l 0. La convergence du Kernel du covariance a lieu dans L 1 (dans le cas H > 1/2 on montre convergence p.s.). Les conditions sur ψ assurant la convergence sont différents selon que H < 1/4 ou H > 1/4. Le processus est multifractale avec fonction d échelle ζ(q) = q/2 ψ(q/2), si le moment d ordre q existe.

51 Chaos multiplicatif Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Kahane 1985 (Sur le chaos multiplicatif), Barral et Mandelbrot 2002, 2010, Robert et Vargas 2010, Rhodes et Vargas 2013, Mannersalo et, al Soit K(s, t) un noyau positif définie tel que K(s, t) = j K j(s, t) Soit X j une collection des processus gaussiens centrés, indépendants, de covariance K j (s, t).

52 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) Soit m γ,n (I ) = I e γ X j (s) γ2 2 E( X j (s)) 2 ds, I Borelien dans R d (on peut généraliser pour σ une mesure de Radon sur D et I B(σ)) Alors m γ,n (I ) est une martingale positive et converge p.s. vers m γ,k (I ) pour une mesure m γ,k. Cette mesure est appelé le chaos multiplicatif gaussien et ne dépend pas du choix des K j.

53 Proprietés Introduction Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) R ρ(s,t) (ρ Non dégénérescence: Supposons K(s, t) = log + distance euclidienne dans R d ): la suite m γ,n est uniformément intégrable si γ tel que 1 dsdt <, ρ(s,t) γ2 Alors m est non dégénéré ssi γ 2 < 2d De plus m γ,k admet de moments d ordre q, pour q 0 et 0 < q < 2d/γ 2. On a aussi si B(0, r) est la boule de rayon r dans R d m γ,k (B(0, r)) r d γ2 γωr e 2 EΩ2 r m γ,k (B(0, 1)) avec Ω r indépendant de m: ζ(q) = (d + γ 2 /2)q γ 2 q 2 /2 Plus loin: X (t) processus stationnaire

54 1 Introduction 2 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 3 4 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 5

55 Kahane et Peyère (1976) Th. 4: I r n intervalle b-adyque. λ(i r n ) = b n. Soit m la mesure multifractale. Suposons E(m[[0, 1]] log m[[0, 1]]) <. On a m p.s. lim n log m(i r n ) log λ(i r n ) = 1 E(W log b W ) = τ (1 ) Corollaire: la mesure m est portée para un Borélienne B de mesure D := 1 E(W log b W ). Tout Borelienne de dimension < D est de m mesure nulle. log m(i Soit E α := {r : lim r n ) n log λ(i r n ) = α}. Question: quelle est la dimension de E α?

56 Soit f (α) = dim H (E α ) On cherche un q = q α tel que m qα (I r n ) E α I r n αqα En remarquant que pour chaque q, m q (I r n ) = γ I qγ f (γ) r n On a pour chaque q, τ(q) = inf α (qα f (α)) On aura pour chaque α, f (α) = inf q (qα τ(q)) ssi f est convexe (τ est convexe).

57 Soit f (α) = inf q (qα τ(q)) := τ (α) On appelle f (α) le spectre multifractal. Le bon q = q α donne q α α τ(q α ) = f (α). Alors q α tel que α = τ (q α ) f (α) = τ (τ (q α )). Applications: caractériser f (α).

58 Plus précisément: on a toujours f (α) τ (α) avec égalité (Brown, Michon, Peyrière, 1992) si il existe q avec τ(q) < 0 et C > 0 tel que pour tout I intervalle b-adyque on a 1 C m(i ) I τ(q) m q (I ) Cm(I ) I τ(q) Lorsque on a égalité on dit que le formalisme multifractale est satisfaite. Remarque: rappelons τ q (t) = τ(tq) tτ(q). Si q = q α on aura l égalité ssi τ q α (1 ) < 0: si la mesure m q pour le bon q est non dégénéré. De plus si τ q(1 ) < 0 pour q [q min, q max ] alors on aura égalité pour les α (= (α min, α max )) tels que q α [q min, q max ]

59 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 1 Introduction 2 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 3 4 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 5

60 La fonction de structure Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Pas d échantillonnage: = 2 n. Nombre d observations: N = 2 n. Intervalle d invariance d échelle: T = 1. Fonction de structure empirique: pour estimer ψ nous devons étudier S N (X, q) = 1 X ((j 1) ) X (j ) q N j log 2 (S N (X, q))/ log 2 (τ) ψ(q) q + 1.

61 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Estimators: ˆζ N (q) := 1 + log 2(S N (X, q)) log 2 ( ) ( ) SN (X, q) ζ N (q) := 1 + log 2 S 2N (X, q) Ossiander et Waymire, 2000 pour les cascades: ˆζ N (q) et ζ N (q) sont des estimateurs consistantes de ζ(q) pour q < q 0 Rapellons q 0 < q max est le plus grand valeur de q tel que ζ(q) qζ (q) < 1. Pour q > q 0, ˆζ N (q) converge vers une fonction linneaire de q.

62 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes On a des résultats de convergence conditionnelle en loi de ˆζ N (q) ζ(q) et ζ N (q) ζ(q) si 2q < q 0. La vitesse de convergence de ˆζ N (q) est d ordre log 2 (N) car il existe un terme de biais. Vitesse de convergence de ζ N (q) puissance de N que dépend de ζ. S N (X, q) est une somme de variables conditionnellement indépendants

63 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Ossiander et Waymire, 2000: convergence de la fonction de structure pour les cascades multiplicatives Pour q < q 0 on a S N (X, q)/b nτ b(q) m q 1 m>0 Em q log b (S N (X, q)) nτ b (q) log b (m q ) + log b (Em q ) Biais aléatoire d ordre n: B n := (log b (m q ) + log b (Em q ))/n Si q q 0 on a log b (S N (X, q))/n q On appelle ce phénomène l effet de linéarisation

64 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Vitesses TLC: si 2q < q 0 et η 1 m>0, N N(0, 1) Soit σ 2 1 = var(m q/(em q log 2 b)) ns N (X, q) τ(q) ˆ τ(q) B n ) σ1ηn 2 (X, 2q)( S 1/2 N Soit σ 2 2 = var( τ(q)) (on peut estimer de façon empirique) τ(q) τ(q) σ 2 2ηN

65 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Une fois qu on a estimé τ(q) sur un intervalle (q min, q max ) prochaine étape: estimer f (α) Algorithme: pour chaque q on estime τ(q) On calcule alors la transformée de Legendre pour la fonction estimée f (α) = inf q {qα τ(q)} q α solution de α = τ (q α ) f (α) = τ (τ (q α ))

66 Le cadre asymptotique mixte Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Bacry, Gloter, Hoffman, Muzy (2010): 2q < q 0 très restrictive. On voudrait augmenter le nombre L des intervalles base : N = L/. Les observations sont X ((jl + k) ), 0 j L 1, 0 k N 1 Et la fonction de structure L 1 S N,L (X, q) := N 1 j=0 k=0 X jl+k q.

67 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Considérons les estimateurs modifiés ˆζ L,N (X, q) := 1 + log 2(S L,N (X, q)) log 2 ( ) ( ) SL,N (X, q) ζ L,N (X, q) := 1 + log 2 S L,2N (X, q) Bacry et al, 2010: si L = [N χ ], χ > 0, alors ˆζ N,L (X, q) et ζ N,L (X, q) sont des estimateurs consistants pour q < q χ où q χ = sup{q : ζ(q) qζ (q) < χ + 1}. Lorsque χ q χ peut devenir plus grand que q max, donc on considéra les χ tels que q χ < q max. Remarque: pour ˆζ N,L (X, q) il existe un terme de biais déterministe B N := E[m q ]/ log 2 (N)

68 Estimateurs par quotient Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Comportement asymptotique de ζ L,N (X, q) en fonction de S N,L (X, q) Résultat (S & L, 2012): Si 2q < q χ, on a { } L 1/2 2 n/2 2 nζ(2q)/2 S L,N (X, q) 2 ζ(q) 1 S L,2N (X, q) d N(0, V (q)), On remarque les variances non aléatoires Si 2q < q χ alors 2 n(1+χ+2ψ(q) ψ(2q))/2 { ζ(q) ζ(q)} d N(0, V (q)/(e[λ q ([0, T ])]) 2 ).

69 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes u 1 s v u s 2 v + 2 t t 2 D A s,t C B s,t D 1 l = 1 s t t + s u s 1 t v 0 Figure: Calcul de covariances: sur une décomposition de A l (s) et A l (1 t) dans des régions disjoints par les propriétés de P. Les parties D sont négligeables et Cov(M q ([0, s]), M q ([1 t, 1])) = O ( (s + t) ζ(q)+ζ(q)+1})

70 Ondelettes Introduction Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Analyse par ondelettes: Arneodo, Bacry et Muzy (1994), Abry, Flandrin, Taqqu and Veitch (1999),Chainais, Abry et Veitch (2000), Goncalvez et al (1998), Mallat and Hwang (1992), Jaffard (1988),Jaffard(2004),... Soit ψ l ondelette mère: ψ j,k (t) := ψ(2 j (t k)) 2 j k = 0,... 2 j 1 Soit c X (j, k) = X (t)ψ j,k (t)dt

71 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Pour quoi ondelettes? Si X est un processus d incréments stationnaires on a {c X (j, k)} j,k est une suite stationnaire. Si ψ a p moments nulles on peut décorreler la suite pour p assez grand: Si l on considère les accroissements à pas δ X (t) X (t δ) et sa covariance γ X (τ) := Cov(X (t + τ) X (t + τ δ), X (t) X (t δ)) on a Cov(c X (j, k), c X (j, k + l)) γ X (τ)γ ψ (2 j τ l) On a la vitesse de décroissement de Cov(c X (j, k), c X (j, k + l)) lorsque l augmente lorsque p est plus grand

72 Regularité locale et ondelettes Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Exposants de Hölder α > 1: une signale X (t) est dite Lipschitz α au point t ssi il existent c, h 0 et un polynôme P(x) de dégrée n et n α n + 1 tel que pour h < h 0, X (t + h) P(h) c h α La régularité locale de X est définie par le sup des α tel que l inégalité antérieure est satisfaite X est dite uniformément Lipschitz α sur (a, b) si l inégalité est satisfaite pour t (a, b)

73 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Soit X L 2 [a, b], X uniformément Lip 0 < α 1 ssi c X (j, k) c2 jα pour tout j (Mallat) Si X est α Lip avec 0 < α < 1 on dit que X est singulière. Pour n < α < n + 1 Si la signale X est uniformément Lipschitz α > n sur (a, b) ssi sa dérive d ordre n, X (n), est uniformément Lipschitz α n sur (a, b).

74 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Si ψ a p > n moments nulles, c X (j, k) = 2 jn c X (n)(j, k) Alors on obtient c X (j, k) c2 jα Si X L 2 on a X Lipschitz α n + 1 au point t alors c X (j, k) = c[2 jα + (t k2 j ) α )] (k < k 0 ) X Lipschitz α n + 1 au point t si c X (j, k) = c2 jα et c X (j, k) = c [2 jα + (t k2 j ) α ) log t k2 j ] Si une signale X est α Lipschitz n α n + 1 X a n dérives et X (n) est singulière.

75 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Les ondelettes caractérisent la régularité locale On étudiera trois méthodes Fonction de structure des ondelettes Wavelet Transform Module Maxima Wavelet Leaders

76 Fonction de structure par ondelettes Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Soit S W,N2 j (X, q) = 1 N2 j N2 j j=0 c X (j, k) q On a vu que localement c X (j, k) q X (t + 2 j ) X (t) q On estime τ par régression de log 2 (S W,N2 j (X, q)) sur j Rappel:E log 2 (S W,N2 j (X, q)) est biaisée Mieux (Gonçalvez et al, 1998): on utilise une régression avec des poids ( marche si le biais est déterministe ou dans le cadre mixte) On estime pour {a j } j 2 j1 tel que j 2 j1 a j = 0 et j 2 j1 ja j = 1 ˆτ W (q) = j 2 a j log 2 (S W,N2 j (X, q)) j 1

77 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Alors ˆτ W est consistant comme estimateur de τ(q) Vitesses et lois limites: c X (j, k) es une transformation linéaire de X dont on connait la structure de covariance Dans certaines cas il y a des résultats asymptotiques explicites: par exemple X fbm(h) (Gonçalvez et al, 1998). Ils obtient des vitesses v N = O( j a2 j /N) et τ ˆW asymptotiquement gaussien (X est gaussien). En général, l asymptotique de ˆτ W dépend de E log 2 (S W,N2 j (X, q)) Cov(log 2 (S W,N2 j (X, q)), log 2 (S W,N2 j (X, q)))

78 Methode de Module Maximal (WTMM) Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Idée originale Mallat et Hwang, 1992 X singulière au point t c W,X (j, k) >> 0 pour t k2 j 0. Pour une échelle j, (j, k 0 ) est un point de module maxima (mm) si c X (j, k 0 ) > c X (j, k) sur une voisinage de k 0. Une ligne maxima est une courbe connexe dans le espace (j, k) ou tous les points sont de mm Résultat (M et H): Soit W avec p moments nulles et support compact. S il existe j 0 tel que pour tout j > j 0 c X n as pas de mm sur (a, b) avec 1 < α < p, alors X est uniformément Lip α. X n est pas singulière sur un intervalle ou c X (j, k) n as pas des mm lorsque j

79 Methode de Module Maxima (WTMM) Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Algorithme: pour chaque échelle j soit M j = {k : c X (j, k)est mm }. Si pour une tolérance ε > 0 il y deux k, k avec 2 j k k < ε on choisit le k = arg max c x (j, k). On définit une fonction de structure MM S MM (j, q) = M j c X (j, k) q ˆτ MM (q) s obtient par régression de log 2 (S MM (j, q)) sur log 2 (j) On suppose τ MM tel que ES MM (j, q) 2 jτ MM(j) Lien avec le spectre des singularités f (α): (Arneodo, Bacry, Muzy, Jaffard) τ = inf{qα f (α)}

80 Wavelet Leaders Introduction Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Une alternative: Wavelet Leaders On suppose l ondelette mère ψ est à support compact et a p moments nulles Pour chaque échelle j soit l ensemble {c X (j, k)} k Pour k donnée soit λ j,k = [k2 j, (k + 1)2 j ) Soit (3λ) j,k = λ j,k λ j,k 1 λ j,k+1 On définit L X (j, k) = sup λ 3λ c X (j, k ) calculé sur les échelles plus fines contenues dans (3λ) j,k.

81 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Wavelet Leaders characterisent les singularités (Abry,Jaffard, Lashermes, 2005) Si X es Lip α en t k2 j et p > α il existe c tel que L X (j, k) c2 jα. (8) Si (8) et X est uniformément Lipschitz α > p il existe un polynôme P tel que X (t) P(t k2 j ) c2 jα log(j)

82 Wavelet Leaders Introduction Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes Soit la fonction de structure leader n j S L (q, j) = L X (j, k) q k=0 Supposons qu il existe τ L (q) tel que S L (q, j) 2 jτ L(q) On a f (α) inf α {qα τ L (q)} On obtient τ L par régression de log 2 ((j, q)) sur j L avantage des L X : plus stables numériquement On peut calculer des moments négatifs

83 1 Introduction 2 Cascades Multiplicatives Mesures multifractales aléatoires (IDC) 3 4 Estimateurs basées sur la fonction de structure Le cadre asymptotique mixte par ondelettes 5

84 Installation R Introduction Programmes: dans Dossier Medidas multifractales : Cascades Dymatrix.R,MRM: Poisson composées alpha stables.r, makewi.r, Mdt1D.R, Mdt2D.R, Mdtab1D.R, Mdtab2D.R : MfA formal.r, MfA WLeaders.R, MfA WTMM.R Pour exécuter un programme dans R il faut le compiler d abord. Pour cela on utilisera le logiciel RStudio (ce n est pas nécessaire, mais c est plus amiable).

85 Figure: Interface RSudio

86 Cascades Introduction Soit W avec EW = 1 Soient Z i log W i.i.d Soit M matrice J 2 J tel que M[j, ] = (Z 1, Z 1,..., Z } {{ } 1,..., Z j, Z j,..., Z j } {{ } 2 J j 2 J j ) X k = e M[,k] est la densité de la cascade à niveaux J Exemple 1 (Algorithme base): Dymatrix.R log W N(µ, σ 2 ), µ = σ 2 /2 Sur Rstudio (Console): n=11 sigma2=0.5 ycm=dymatrix(n,sigma2)

87 Processus Poisson Composees Chainais, Riedi et Abry, 2003 (versions originales des algorithmes par Chainais et Peyré, Abry et autres) Rang des échelles rmin < δ (niveaux de tolérance de la simulation) Mesure des cônes d influence: log(1/rmin) Pas d échantillonnage Delta = rmin/2 Nombre des points n = T /Delta + 1 Nombre de multiplicateurs: (on élargit l intervalle original [0, T ] par 1 ) (1/rmin 1) (T + 1)

88 Génération du processus Poisson sur A rmin : Génération uniforme des t i sur [ 1/2, T + 1/2] Génération des r i : selon densité c/r 2 (on prend c = 1) Multiplicateurs (Cas Gaussien): log W N(µ, sigma2) EW q = e qµ+q2 σ2/2 (EW = 1: µ = σ2/2) Exemple 3 (Algorithme base): Mdt1D.R avec la distribution gaussienne Normalisation: N1 = e (1 EW ) log(1/rmin) τ(q) = [1 EW q q(1 EW )] q + 1 Si µ = sigma2/2: τ(q) = [1 exp(sigma2/2 q (1 q))] q + 1 IDC: Poisson composée LogNormal y=mdt1d(rmin,t=1,sigma2=0.09,mu=-sigma2/2,type="logn")

89 Processus Poisson Composees Cas α stable Algorithm generation:fulger, Scalas et Germano, 2013 Normalisation EW q = e qµ+sigma2alpha/2 (1+β tan(pi alpha/2)) τ(q) = [1 EW q q(1 EW )] q + 1 β = 0 µ = 1 α = 1.2 σ2 = IDC: Poisson composée α Stable y=mdt1d(rmin,t=1,sigma2,mu,type="asa",alpha,beta)

90 Soit M le multifractale générée: y$f On construit la marche aléatoire par M(t i ) z i = t(i) t(i 1) {z i } une collection des variables N(0, 1) indépendants

91 Introduction par la fonction de structure: MfA formal.r Nombre d échelles m=floor(log(t/rmin)/log(2)) Moments q q 1 : q 2 On calcule une matrice n m S: m nombre d échelles, n nombre des moments Le premier estimateur: par régression de S[q, ] sur j Le deuxième quotient S[, n 1]/S[, n] Pour comparer les estimateurs tau=mfa formal(t,rmin,-3:3,y) plot(tau$taur,col="blue") points(tau$tau[,7],col="red")

92 par ondelettes par la fonction de structure: MfA WLeaders.R Installation du paquet wmtsa: dans R install.packages(wmtsa) et library(wmtsa) Le programme fournit l estimateur de τ On peut comparer en regardant la fonction originale taur=(1-exp(sigma2/2*q*(1-q)))-q+1 plot(-taur) points(tau$tau[,11],col="red") points(tauwl$tau,col="blue") points(tau$taur,col="orange") Plus d observations l approximation sera meilleure

93 Grand merci!

94 Biblio I Introduction Patrice Abry, Pierre Chainais, Laure Coutin, and Vladas Pipiras. Multifractal random walks as fractional Wiener integrals. IEEE Transactions on Information Theory, 55(8): , P. Abry, S. Jaffard, and B. Lashermes. Revisiting scaling, multifractal, and multiplicative cascades with the wavelet leader lens. Proc. SPIE, 5607, 2004, pages Emmanuel Bacry, Jean-François Muzy et A. Arneodo. Multifractal formalism for fractal signals: The structure function approach versus the wavelet transform modulus maxima method. Physical review E. Vol. 47(2), 1993.

95 Biblio II Introduction Emmanuel Bacry and Jean François Muzy. Log-infinitely divisible multifractal processes. Communications in Mathematical Physics, 236(3): , Emmanuel Bacry, J. Delour, and Jean-François Muzy. Multifractal random walk. Physical Review E, 64(2):026103, 6, Emmanuel Bacry, Arnaud Gloter, Marc Hoffmann, and Jean François Muzy. Multifractal analysis in a mixed asymptotic framework. The Annals of Applied Probability, 20(5): , 2010.

96 Biblio III Introduction Julien Barral and Xiong Jin. On exact scaling log-infinitely divisible cascades.preprint, 2013 Julien Barral and Benoît B. Mandelbrot. Multifractal products of cylindrical pulses. Probability Theory and Related Fields, 124(3): , Pierre Chainais, Rudolf Riedi and Patrice Abry On non scale invariant infinitely divisible cascades. IEEE Transactions on Information Theory Pierre Chainais. Multidimensional infinitely divisible cascades.application to the modelling of intermittency in turbulence. EJP, 2006.

97 Biblio IV Introduction Laurent Duvernet, Christian Y. Robert and Mathieu Rosenbaum. Testing the type of a semi-martingale: Itô against multifractal Electronic Journal of Statistics, 4:1300?-1323, 2010 Paulo Gonc alves, Rudolf Riedi and Richard Baraniuk A Simple Statistical Analysis of Wavelet-basedMultifractal Spectrum Asilomar 32nd conference on signals, systems and computers, Monterrey, 1998 Jean-Pierre Kahane and Jacques Peyrière. Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot. Advances in Mathematics, 22(2): , 1976.

98 Biblio V Introduction Jean-Pierre Kahane. Multiplications aléatoires et dimensions de Hausdorff. Ann. Inst. henri Poincaré, vol. 23, 1987, pgs Jean-Pierre Kahane. Sur le chaos multiplicatif, Ann. Sci. Math. Qu ebec, vol. 9, pp. 105?150, Carenne Ludeña. L p -variations for multifractal fractional random walks. The Annals of Applied Probability, 18(3): , C., P. Soulier. Estimating the scaling function of multifractal measures and multifractal random walks using ratios. Bernoulli 20(1), 2014, 334?376.

99 Biblio VI Introduction Stephane Mallat et Wen Liang Hwang. Singularity detection and processing with wavelets. IEEE, Transactions on Information Theory, vol. 38(2). Benoit Mandelbrot, Adlai Fisher et Laurent Calvety A Multifractal Model of Asset Returns. Cowles Foundation Discussion Paper #1164, 1997 Benoit Mandelbrot. Multiplications aléatoires itérées et distributions invariantes par moyenne pondérée aléatoire. Comptes Rendus de l Académie des Sciencs de Paris. Série A, 278: , 1974.

100 Biblio VII Introduction Jean-François Muzy and Emmanuel Bacry. Multifractal stationary random measures and multifractal random walks with log infinitely divisible scaling laws. Physical Review E, 66(5):056121, 16, Mina Ossiander and Edward C. Waymire. Statistical estimation for multiplicative cascades. The Annals of Statistics, 28(6): , Rémi Rhodes et Vincent Vargas. Multidimensional Multifractal Random Measures. EJS. Vol. 15 (2010), Paper no. 9, pages 241?258. Rémi Rhodes et Vincent Vargas. Gaussian multiplicative chaos and applications: a review. Preprint, 2013.

101 Biblio VIII Introduction Raul Robert et Vincent Vargas. Gaussian multiplicative chaos revisited The Annals of Probability 2010, Vol. 38, No. 2, 605?631 D. Veitch, P. Abry, P. Flandrin and P. Chainais Infinitely divisible cascade analysis of network traffic data. Proceedings of the ICASSP 2000 conference, Edward C. Waymire and Stanley C. Williams. A general decomposition theory for random cascades. Bulletin of the American Mathematical Society. Volume 31, Number 2, 1994, Pages

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