Les Générateurs de Scénarios Économiques : quelle utilisation en assurance? 1

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1 Les Généraeurs de Scénarios Économiques : quelle uilisaion en assurance? 1 Alaeddine FALEH 2 Frédéric PLANCHET 3 Didier RULLIERE 4 ISFA- Universié Lyon I 5 Caisse des Dépôs e Consignaions 6 RÉSUMÉ Dans ce aricle, nous meons en évidence les principales composanes d un généraeur de scénarios économiques (GSE) que ce soi au niveau de sa concepion héorique ou au niveau de sa mise en œuvre praique. Le choix de ces composanes es supposé êre lié à la vocaion finale du généraeur de scénarios économiques que ce soi en an qu ouil d évaluaion des produis financiers (pricing) ou en an qu ouil de projecion e de gesion des risques. Par ailleurs, nous développons une éude sur cerains indicaeurs de mesure de la performance du GSE comme un ouil en amon du processus de prise de décision : à savoir la sabilié e l absence de biais. Une applicaion numérique permean d illusrer ces différens poins es présenée à la fin. MOTS-CLEFS : généraeur de scénarios économiques, arbre de scénarios, sabilié, absence de biais 1 Ce ravail a bénéficié d une aide de l'associaion Naionale de la Recherche e de la Technologie (ANRT) poran la référence 177/2008 e de l aide de l Agence Naionale de la Recherche (référence ANR-08-BLAN ). 2 Docoran dans le cadre d une convenion CIFRE enre la Caisse des Dépôs e Consignaions e le laboraoire de Sciences Acuarielles e Financières (ISFA, Universié Lyon I). Conac : 3 Professeur associé de Finance e d Assurance à l ISFA e acuaire associé chez WINTER & Associés. Conac : 4 Acuaire e Maîre de Conférences à l ISFA. Conac : 5 Insiu de Sciences Financières e d Assurances (ISFA) - 50, avenue Tony Garnier Lyon cedex 7. 6 Caisse des Dépôs e Consignaions (CDC), 67, rue de Lille, 75007, Paris 07. 1

2 ABSTRACT In his paper, we presen he principal componens of an economic scenario generaor (ESG), boh for he heoreical design and for pracical implemenaion. The choice of hese componens should be linked o he ulimae vocaion of he economic scenario generaor, which can be eiher a ool for pricing financial producs or a ool for projecion and risk managemen. We hen develop a sudy on some performance measure indicaors of he ESG as an inpu for he decision-making process, namely he indicaors of sabiliy and bias absence. Finally, a numerical applicaion illusraes he main ideas of he paper. KEYWORDS : economic scenario generaor, scenario ree, sabiliy, bias absence 2

3 1. Inroducion La projecion sur le long erme des valeurs de marché des acifs financiers e des variables macro-économiques, souven appelée «généraion de scénarios économiques», consiue une phase cruciale dans la gesion acif-passif d une compagnie d assurance ou d un fonds de reraie. Elle es un élémen cenral de l évaluaion des provisions pour les garanies financières sur des conras d épargne dans le cadre de Solvabilié 2 (cf. Planche [2009]). Dans le cas pariculier de l allocaion sraégique 7 d acifs, la déerminaion de l allocaion opimale vien dans un deuxième emps, ulérieuremen à la projecion des scénarios, afin de refléer l aiude face au risque de l invesisseur de long erme (cf. Meucci [2005]). Un généraeur de scénarios économiques (GSE) s avère ainsi un ouil imporan d aide à la décision dans le domaine de la gesion des risques en permean d obenir des projecions dans le fuur des valeurs des élémens présens dans les deux comparimens du bilan de la sociéé : les acifs (acions, obligaions, immobilier,..) e le passif (provisions echniques, dees financières,..). L obenion de ces valeurs passe par la projecion d aures variables macro-économiques e financières elles que les aux d inérê, l inflaion des prix, l inflaion des salaires e le aux de chômage. A ire d exemple, les prix fuurs des obligaions son souven déduis à parir de la projecion des aux d inérê (cf. Ahlgrim e al. [2008]), de même les presaions fuures de la sociéé peuven êre indexées sur l inflaion des prix e/ou l inflaion des salaires (cf. Kouwenberg [2001]). De manière générale, les GSE permeen de prendre en compe l horizon long d invesissemen des sociéés d assurance e des fonds de reraie ainsi que l influence des évoluions fuures des variables macro-économiques e financières sur le choix de leurs paramères echniques, el que le aux de rendemen garani. Ceci es souven moivé par la voloné de garanir un surplus permanen (l écar enre la valeur des acifs financiers à une dae donnée e la valeur des engagemens acualisés à un aux d inérê de référence). Du poin de vue opéraionnel, la mise en œuvre de ces projecions s es basée iniialemen sur des méhodes déerminises, dans des logiques de scénarios, pour eser le comporemen des objecifs echniques dans différenes siuaions considérées comme caracérisiques. Grâce au développemen concomian de l ouil informaique e des echniques de simulaion, il es devenu possible de générer à moindre coû de rès nombreux scénarios en enan compe des ineracions enre les muliples sources de risque e de leurs disribuions, dans une perspecive probabilise. La consrucion e la mise en œuvre d un GSE passen par les quare éapes suivanes (voir par exemple Hibber e al. [2001] ou Ahlgrim e al. [2005]) : la première éape consise en l idenificaion des sources de risque prises en compe e des variables financières à modéliser (aux d inérê, inflaion, rendemen des acions, ec.) qu on appellera dans la suie les variables du GSE. Ensuie es effecué le choix du modèle pour la dynamique de chacune de ces variables. La roisième éape consise à sélecionner une srucure de dépendance enre les sources de risque de façon à obenir des projecions cohérenes. Enfin l esimaion e le calibrage des paramères des modèles reenus doi êre effecuée. L analyse des résulas obenus de chaque GSE se fai ensuie en ermes probabilises en analysan la disribuion d indicaeurs clé els que le surplus, ou la valeur nee de l acif. 7 La caracérisaion de «sraégique» vien simulanémen de l horizon emporel de long erme auquel s appliquen cee allocaion e du nombre limié de classes d acifs considérées, généralemen limié à 5 (ou au maximum à une dizaine). 3

4 Consruire un GSE perinen pour l ensemble des problémaiques echniques n es pas chose facile, e en praique les objecifs des décisionnaires en ermes de choix de gesion on une incidence sur la manière de srucurer le généraeur (cf. Ahlgrim e al. [2008]). On peu disinguer deux niveaux de difficulés : celui relaif à la concepion héorique d un GSE e celui relaif à sa mise en œuvre praique. Il es donc pariculièremen imporan de définir avec précision les principaux élémens qui caracérisen un GSE ainsi que les indicaeurs de mesure de sa qualié e de sa performance. C es l obje de cee synhèse. Après avoir recensé les principales srucures héoriques des GSE proposés dans la liéraure ainsi que les problémaiques de concepion correspondanes, on s inéresse aux aspecs relaifs à leur mise en œuvre. On présene ainsi les caracérisiques des différenes srucures schémaiques de projecion de scénarios uilisées en praique. Toujours dans le cadre de la mise en œuvre, on s inspire des ravaux de Mira [2006] e de Zenios [2005] pour exposer les différenes méhodologies de généraion des scénarios, en pariculier les modèles ayan rai à la dynamique des variables du GSE. Ensuie, on présene une série d indicaeurs, qualiaifs e quaniaifs, pour la mesure de la qualié d un GSE ou en éudian leurs limies. Enfin, les principaux élémens exposés ou au long de l aricle seron illusrés à ravers une applicaion numérique. 2. Présenaion héorique des GSE Dans ce qui sui, une première parie es consacrée aux problémaiques souven renconrées en maière de concepion héorique d un modèle de GSE. La deuxième parie s inéresse, quan à elle, à la revue des principaux ravaux menés dans la liéraure sur les GSE en les classifian en foncion des choix effecués au niveau de la srucure de dépendance enre les variables Inroducion Dans cee secion, les problémaiques héoriques liées à la consrucion du modèle son exposées. Ces dernières raien de quesions qui permeen l amélioraion de la qualié des résulas e le développemen du modèle pour l adaper au conexe d éude. Les problèmes de modélisaion son en premier lieu liés au choix de la représenaion de la srucure par erme des aux d inérê (STTI). La modélisaion de la dynamique des rendemens des acions ainsi que les aures variables suscie égalemen des quesions délicaes. En se basan sur les ravaux de Roncalli [1998] e Décamps [1993], deux grandes classes de modèles de aux pour l évaluaion d acifs financiers peuven êre présenées : les modèles d absence d opporunié d arbirage (AOA) e les modèles d équilibre général. L évaluaion dans le cadre des modèles d AOA es de naure puremen financière. Elle repose enièremen sur l hypohèse d absence d opporunié d arbirage. L uilisaion de cee hypohèse fondamenale a permis de mere en évidence deux approches d évaluaion par arbirage : - La première approche considère le prix des insrumens financiers comme foncion de variables d éa. Ces variables d éa généralemen le aux cour pour les modèles univariés (cf. Vasicek [1997]), ou le couple (aux cour, aux long) pour les modèles bivariés (cf. Brennan e Schwarz [1982]) son supposées de dynamique exogène. Dans de els modèles, l hypohèse d absence d opporunié 4

5 d arbirage exprime que la prime de risque du marché 8 es indépendane de la maurié du ire considéré. Le prix d un produi obligaaire es ensuie obenu comme soluion d une équaion aux dérivées parielles. La résoluion probabilise de ces équaions perme une meilleure inerpréaion financière des formules d évaluaion. - La deuxième approche d évaluaion par arbirage es celle proposée par Ho e Lee [1986] e Heah, Jarrow e Meron [1992]. Le poin clef de cee approche es la prise en compe de oue l informaion conenue dans la srucure de aux iniiale en considéran comme donnée exogène la dynamique simulanée de aux ayan différenes mauriés appelée aussi dynamique des aux erme conre erme. Cee dynamique es choisie de façon à ce que l hypohèse d absence d opporunié d arbirage soi respecée. Conrairemen à l arbirage radiionnel la prime de risque du marché n es pas spécifiée de façon exogène mais elle es définie impliciemen par la dynamique des aux erme conre erme. Par ailleurs, aucune hypohèse sur la forme spécifique des prix des produis obligaaires comme foncion d une variable d éa n es faie. Enfin, la dynamique de prix des zérocoupons caracérise enièremen le modèle de courbe de aux. L évaluaion dans le cadre d un modèle d équilibre général ne nécessie pas d hypohèse sur les dynamiques de prix ou de aux. Ces dynamiques son obenues de manière endogène. Cee approche es celle de Cox, Ingersoll e Ross [1985] e de Campbel [1986]. En effe, les modèles d équilibre ypiques se basen sur les anicipaions des mouvemens fuurs des aux d inérê de cour erme e non pas sur la courbe de aux observé à la dae iniiale. Ces mouvemens peuven êre donc dérivés à parir d hypohèses plus générales sur des variables d éa qui décriven l ensemble de l économie. En uilisan un processus des aux cours, on peu déduire le rendemen d une obligaion de long erme en déerminan la rajecoire espérée des aux cours jusqu à la maurié de cee obligaion. L inérê d une elle approche es riple : - s assurer que les processus éudiés son cohérens avec un équilibre général, - analyser la déformaion de la courbe des aux en foncion des chocs sur les variables économiques sous jacenes, - fournir une spécificaion fondée pour l expression des prix ou des risques de marchés uilisés dans la valorisaion par arbirage. Mais, les modèles d équilibre de srucure par erme génèren des prix de produis de aux qui son poeniellemen incohérens avec ceux observés sur le marché à la dae iniiale. Même si les paramères de ces modèles peuven êre calibrés avec une précision significaive, la srucure par erme résulane peu générer des prix éloignés de ceux observés sur le marché. 8 Supplémen de rendemen exigé par les invesisseurs pour avoir assumer le risque de déenir des acifs risqués pluô que des acifs sans risque. 5

6 Le ableau suivan illusre les poins clefs de ces modèles: Modèles d Absence d Opporunié d Arbirage (AOA) Modèles d Equilibre Général Approches à prime de risque exogène Approches à prime de risque endogène Approches enièremen endogènes Courbe des aux iniiale - Uilisée. - Uilisée. - Non uilisée. Dynamique des aux Exogène pour des aux de maurié spécifié (cour, long,..). Exogène dans le cas des aux erme conre erme. Endogène : Anicipaion des aux cour erme fuurs à parir d hypohèses générales sur les variables qui décriven l ensemble de l économie. Prime de risque Exogène e indépendane de la maurié. Endogène : déduie à parir de la dynamique des aux erme conre erme. Endogène. Prix des produis de aux (obligaions, ec.) - Prix foncion de variables d éa (aux cours, aux longs, ec.). - Prix soluion d équaions aux dérivés parielles. - Aucune hypohèse sur la forme spécifique des prix comme foncion de variables d éa. - Prix déerminés à parir des projecions de aux cours. Une aure problémaique héorique relaive aux différenes variables modélisées, en pariculier les aux d inérê, concerne le choix du nombre e de la naure des faceurs à uiliser pour la modélisaion. Dans le cas pariculier des aux d inérê, le choix définiif de ces deux élémens dépend du conexe d applicaion du GSE (projecion de grandeurs réelles, évaluaion de produis dérivés, ). La naure des faceurs peu êre de sources différenes : elle peu êre par exemple liée à l horizon du aux (aux cour, aux long) ou à la srucure de la courbe des aux (faceur de courbure, de ranslaion, ). A ce ire, Dae e al. [2007] monre la significaivié saisique du choix de deux faceurs (aux cour, aux long) pour expliquer l évoluion de la courbe de aux. Concernan les acions, différenes problémaiques liées à l appréhension de la dynamique de leurs rendemens monren l insuffisance de cerains modèles adopés, jusqu à une période récene, par les sociéés d assurance. L examen des données hisoriques relaives aux rendemens des acions perme de consaer, par exemple, que l hypohèse d une disribuion normale ne perme pas de prévoir des valeurs exrêmes de rendemen el que réalisé dans le passé (cf. Ahlgrim e al. [2005] e Mandelbro [2005]). A ce niveau, cerains 6

7 chercheurs proposen l adapaion d un modèle de changemen de régime dans lequel les rendemens des acions peuven êre simulés sous l un des deux régimes suivans : un premier régime avec une hypohèse de volailié relaivemen faible e une moyenne relaivemen élevée des rendemens des acions e un deuxième régime avec une hypohèse de volailié relaivemen élevée e une moyenne relaivemen faible de ces rendemens. Une probabilié de ransiion enre ces deux régimes peu êre déerminée a priori (cf. Hardy [2001]). D aures alernaives son proposées noammen dans le cadre des modèles disconinus (cf. Meron [1976]). Concernan les aures classes d acifs, els que l immobilier e les produis dérivés, malgré les différens cadres d hypohèses proposés pour leur projecion, elles se heuren souven aux problèmes d un hisorique peu profond, d une liquidié insuffisane e de données confidenielles (cas des fonds de couverure). En maière de projecion de grandeurs réelles sur le long erme, ces acifs son souven raiés avec prudence e ne suscien pas la grande par de l inérê des décideurs, en pariculier dans le cas de l allocaion sraégique d acifs d un fonds de reraie où la priorié es souven donnée aux acions, aux obligaions e au monéaire (cf. Campbell e al. [2001]). Ceci ne reme pas en cause le poeniel que présenen ces acifs en an que source de performance e/ou de couverure supplémenaire pour le porefeuille financier de la sociéé (cf. Ahlgrim e al. [2005]) Liéraure sur les GSE La liéraure sur les GSE es abondane. On propose ici de classer les différens modèles en foncion de la srucure de dépendance enre les variables, en disinguan deux caégories : srucure par cascade e srucure basée sur les corrélaions. De même, pour chacun des modèles ciés, on précisera l objecif qui lui éai associé lors de sa concepion. A ce ire, on noe que l uilisaion d un GSE a souven pour finalié soi la projecion sur le long erme e la prise de décision dans le cadre de la gesion des risques (dans ce cas, l inérê pore sur des grandeurs e des valeurs réelles) soi l évaluaion des prix d équilibre des produis financiers sur le cour erme, di pricing, afin de déerminer la sraégie de marché convenable (acha, vene, ec.) Modèles à srucure par cascade Une srucure par cascade es définie comme une srucure dans laquelle on en par de la déerminaion de la valeur d une variable (par exemple l inflaion) pour ensuie déduire les valeurs des aures variables (aux réels, rendemens des acions, ec.). Jusqu au débu des années 1980, les ravaux académiques raien souven une parie seulemen du problème renconré par les acuaires : les ravaux son concenrés sur chacune des classes d acifs financiers (les acions, les aux d inérê, l inflaion,..) indépendammen des évenuelles ineracions enre elles. L inégraion de ces ineracions e l éude du choix du modèle de dynamique des acifs financiers devien nécessaire pour garanir la cohérence des projecions par rappor à un conexe donné. Le ravail de Wilkie [1986] marque de ce poin de vue un changemen majeur. Il présene pour la première fois un modèle général qui inclu oues les variables macro économiques e financières. Ce modèle a l avanage d êre simple à implémener, raison pour laquelle il es rapidemen devenu populaire e considéré comme la référence de ous les modèles proposés duran les deux décennies posérieures, malgré ses nombreuses limies. 7

8 La première version du modèle de Wilkie a éé appliquée dans le cadre de la mesure de la solvabilié d une sociéé d'assurance par la Faculy of Acuaries (1986). De même, un des premiers domaines d'applicaion du modèle de Wilkie en acuaria éai l'évaluaion des engagemens indexés sur les acions : dans ce cas on suppose que les presaions dépenden des prix fuurs des acions e que la réserve es principalemen invesie en obligaions. De façon générale, ce modèle es pluô cohéren avec des logiques de besoin de capial e de projecion de valeur (cas de la gesion acif-passif par exemple) qu avec des logiques de pricing. Wilkie se base sur une srucure par cascade, elle que décrie ci-dessus : il posule que l inflaion es la variable indépendane «la force morice» du modèle don la déerminaion se fai en premier lieu pour ensuie en dériver les valeurs des aures variables, principalemen les dividendes, les revenus de dividende, les aux d inérê e la croissance des salaires. Le graphique 1 illusre ce principe d une srucure par cascade. Dans ce cadre, Wilkie uilise un modèle auorégressif de premier ordre pour l inflaion. En 1995, il me à jour ce premier modèle en gardan les principes de sa srucure par cascade mais en opan cee foisci pour une modélisaion de l inflaion par un processus ARCH (Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Ceci a éé jusifié, selon Wilkie, par la capacié de ce ype de processus à enir compe des caracérisiques des disribuions hisoriques des données observées sur le marché de la Royaume-Uni depuis Inflaion Salaires Dividendes (acions) Taux des dividendes Taux d inérê longs Taux d inérê cours (écars) Graph. Srucure par cascade dans le modèle de Wilkie [1986] Touefois, l approche de Wilkie a depuis éé remise en cause, noammen du fai de sa faible capacié prédicive : il s agi d un modèle uilisan un grand nombre de paramères, don l esimaion es délicae e qui empêche de fournir des projecions perinenes. Au surplus, le modèle de Wilkie se prêe mal à l évaluaion des prix des acifs dérivés, ce qui consiue un handicap imporan. On pourra se référer sur ces poins à Rambaruh [2003]. 8

9 Les problèmes liés au modèle de Wilkie on égalemen éé discué par Daykin e Hey [1990] e Huber [1995] : cerains des paramères son insables dans le emps e on consae une corrélaion croisée significaive enre les résidus des variables projeées. Le modèle des indices de prix pour l inflaion n a pas de résidus normaux e ne perme pas la projecion de périodes à chocs irréguliers avec des valeurs élevées de l inflaion. De même, la probabilié d avoir des valeurs négaives de l inflaion avec ce modèle es élevée. Par ailleurs, Ziemba e Mulvey [1998] décriven un modèle de généraion de scénarios économiques appelé CAP:Link (développé commercialemen par la sociéé Towers Perrin). Ce modèle es basé sur une srucure par cascade de ces variables don la force morice es supposée êre le aux d inérê nominal. Il es appliqué principalemen dans la gesion acifpassif de long erme. Parmi les variables clés modélisées, on rouve l inflaion des prix e des salaires, les aux d inérês de différenes mauriés (réels e nominaux), le aux de rendemen e les aux de dividendes des acions e les aux de change. Les variables financières son déerminées simulanémen pour différenes économies dans un cadre d hypohèses générales. Ce modèle s applique ainsi aux porefeuilles de pension e d assurance. Les dynamiques des variables son ideniques pour ous les pays alors que les paramères son adapés aux spécificiés de chacun d enre eux. Les aueurs soulignen que, de façon générale, les GSE remplissen au moins l une de ces rois foncions suivanes : la prévision, l évaluaion (pricing) e l analyse du risque. Ils considèren que l élémen clé d un GSE es le modèle de aux d inérê e supposen donc que les aux longs e les aux cours son corrélés à ravers leurs ermes de brui blanc e que l écar enre eux es conrôlé par un erme de sabilisaion. D aures modèles de srucure par cascade on éé développés pour l Ausralie (cf. Carer [1991]), l Afrique du Sud (cf. Thomson [1994]), le Japon (cf. Tanaka e al. [1995]) e la Finlande (cf. Ranne [1998]). L élémen commun de ces modèles réside donc dans le fai que le concepeur par de la spécificaion d une srucure en cascade du modèle à ravers les hypohèses sur les liens de causalié enre les variables. En effe, cee srucure en cascade perme un seul sens de causalié e exige du modélisaeur le choix des liens les plus perinens de poin de vue économique. Par exemple, dans le modèle de Wilkie, la valeur de l indice des prix perme de déduire la valeur de l indice des salaires e non l inverse. Le deuxième sens de causalié es supposé êre faible (ou secondaire) sur le long erme Modèles basés sur les corrélaions La srucure basée sur les corrélaions repose quan à elle sur l idée de permere aux données disponibles (hisoriques) de déerminer une srucure de corrélaion simulanée enre les variables pour ensuie les modéliser e les calibrer en foncion de cee srucure. Auremen di, cee dernière es déerminée esseniellemen à ravers l esimaion des relaions de dépendance observées simulanémen dans le passé enre les variables modélisées (par exemple la corrélaion linéaire observée dans le passé enre les rendemens des acions e l inflaion es à reenir e à respecer lors de la projecion dans le fuur de ces variables). Ainsi, dans ce ype de modèle, les données hisoriques disponibles sur les variables permeen de déduire la srucure de dépendance enre elles. Les principaux modèles de GSE en liéraure se son basés sur cee srucure. En adopan cee srucure par corrélaion, Campbell e al. [2001] présene une approche don l applicaion a éé effecuée dans le cadre de la déerminaion de l allocaion sraégique d acifs pour un invesisseur de long erme e en pariculier les fonds de pension. 9

10 De son côé, Kouwenberg [2001] se base sur cee srucure pour développer un modèle de généraion de scénarios qui s appuie sur un schéma d arborescence pour la projecion des scénarios. L aueur compare l effe du choix du schéma de projecion sur l allocaion d acifs opimale dans le cadre d une gesion acif-passif d un fonds de pension allemand. La srucure d arborescence reenue par Kouwenberg [2001] es plus adapée à une série de modèles dynamiques de gesion acif-passif basées sur les echniques de programmaion sochasique. Les caracérisiques de ce schéma de projecion de scénarios son présenées de façon déaillée à la secion 3 de ce aricle. Hibber e al. [2001] présene un aure modèle qui génère des valeurs cohérenes, selon les aueurs, de la srucure par erme des aux (aux nominaux, réels e d inflaion), des rendemens des acions e des revenus de dividendes. Le modèle peu êre uilisé pour générer des rajecoires poenielles de chacune de ces variables dans un cadre de modélisaion financière e en considéran les différenes corrélaions. Hibber e al. [2001] fourni noammen une revue inéressane des aux d inérê, des aux d inflaion e des rendemens des acions sur les cens dernières années. Leur modèle es présené comme un ouil de planificaion e de prise de décisions pour les invesisseurs sur le long erme e non comme un ouil d évaluaion des produis dérivés (ou de pricing). Ahlgrim e al. [2005] propose enfin un modèle de GSE qui a le mérie d êre souenu par la la Casualy Acuarial Sociey (CAS) e de la Sociey Of Acuaries (SOA), deux associaions professionnelles reconnues aux Eas-Unis. Ahlgrim e al. [2005] paren esseniellemen de la criique de deux poins du modèle de Wilkie [1995] : la relaion enre l inflaion e les aux d inérê es jugée incohérene e le raiemen des rendemens des acions par une approche auorégressive semble rop simplificaeur au regard de l hisorique observé. Ils proposen des processus alernaifs en jusifian leurs choix par des backesing 9 sur des données hisoriques profondes. Le modèle d Ahlgrim e al. [2005] rejoin le modèle de Hibber e al. [2001] en se présenan comme un modèle de projecion de valeurs sur le long erme e de gesion des risques. D aures modèles son basés sur l hypohèse que les marchés peuven êre soi faiblemen efficiens (c'es-à-dire les prix sur le marché reflèen oues les informaions relaives aux prix anérieurs de l acif) soi foremen efficiens (c'es-à-dire les prix sur le marché reflèen oues les informaions disponibles sur l acif). De elles approches son souven appropriées pour la modélisaion de cour erme, en pariculier pour des fins d évaluaion de produis dérivés. Pour le long erme, l approche a moins de valeur, puisqu elle ne ien pas compe des fondamenaux macro-économiques. Smih [1996] e Dyson e Exley [1995] présenen des modèles basés sur les principes du marché efficien pour le cas de la Grande Breagne. En pariculier, ce ype de modèle cherche souven à exclure les opporuniés d arbirage e souven ne suppose pas un reour à la moyenne pour les rendemens de ces variables. Une criique commune à ous les modèles ci-dessus, à srucure par corrélaion, es qu ils son foremen dépendans des données sur lesquelles ils son basés. Auremen, si les rendemens fuurs relaifs à chaque variable du modèle possèden des caracérisiques différenes de celles observées sur la période hisorique d esimaion, le GSE pourra conduire à des projecions non perinenes. La prise en compe des avis subjecifs des expers sur le marché (sociéés de gesion, banques d invesissemen, ec.) pour fixer ces niveaux fuurs de dépendance consiue une source alernaive d alimenaion de ces modèles. 9 Le Backesing es le es d une sraégie sur le passé e sur un panel d acifs financiers. 10

11 On le voi, le panorama des modèles proposés dans la liéraure es large ; on peu ouefois synhéiser quelques-uns de ces ravaux comme sui: Srucure Cascade Corrélaion Objecif Projecion e Gesion des risques Evaluaion (pricing) Wilkie [1986, 1995] Ziemba e Mulvey [1998] Campbell e al. [2001] Kouwenberg [2001] Hibber e al. [2001] Ahlgrim e al. [2005] - Smih [1996] Dyson e Exley [1995] Après avoir choisi la srucure héorique du GSE, on arrive à l éape de sa mise en œuvre praique. Cee éape nécessie elle aussi des choix à effecuer que ce soi au niveau de la calibraion des différens paramères du GSE ou au niveau de la généraion des rajecoires possibles de ses variables. Concernan la calibraion d un GSE, différenes echniques peuven êre ciées se basan sur les données hisoriques, les données de marché ou les avis des expers. Le déail de ces echniques dépasse le cadre de ce aricle (pour plus de déails, voir Hibber e al. [2001]). La secion suivane s inéresse à ceraines problémaiques liées à la généraion des scénarios. 3. Mise en œuvre de la généraion de scénarios dans un GSE Deux quesions principales peuven êre posées lors de la mise en œuvre d un GSE : d une par, sous quelle forme schémaique doi-on représener l évoluion dans le emps des scénarios fuurs des variables financières e macro-économiques (inflaion, rendemen des acions, )? E d aure par, quelle méhodologie doi-on adoper pour la généraion de ces scénarios? La première quesion concerne la srucure de projecion des scénarios fuurs des différenes variables, andis que la deuxième a rai au choix du modèle d évoluion des valeurs des variables du GSE (processus sochasique, Boosrapping, ec.) : on noe que ces deux élémens son cependan liés. Cee secion vise à faire l invenaire (non exhausif) des différenes possibiliés offeres face à ces deux problémaiques. En effe, comme menionné au débu de l aricle, nore objecif sera de mere en évidence les principaux élémens qui paricipen à l amélioraion de la qualié d un GSE. Les éas de sorie de ce dernier influencen direcemen les décisions prises en maière de gesion des risques ou d évaluaion des produis financiers. La déerminaion de la srucure de projecion des scénarios e le choix de la méhodologie de leur généraion présenen deux éapes inéviables lors de la consrucion d un GSE. Ils inerviennen, en pariculier, au niveau de la mise en œuvre opéraionnelle du GSE, d où l inérê de les éudier de façon déaillée e séparée Srucure schémaique de projecion de scénarios pour un GSE Comme menionné ci-dessus, le choix de la srucure de projecion, appelée aussi srucure schémaique de projecion, pour chacune des variables du GSE peu êre considéré 11

12 comme une problémaique à par. Elle concerne la définiion du schéma graphique de ransiion enre deux valeurs successives, observées à la dae e +1, de la même variable. Ainsi à chaque variable du GSE peu correspondre une srucure de projecion pariculière. Afin de simplifier l analyse, on suppose dans la suie que la srucure de projecion choisie es la même pour oues les variables. De même, on défini un nœud comme la réalisaion possible de la variable modélisée à une dae donnée. Une rajecoire correspond ainsi à l ensemble des nœuds successifs qui formen un scénario fuur possible d évoluion de la variable financière ou macro-économique. Dans cee secion, on présene, avec déails, les caracérisiques des srucures de projecion les plus uilisées en praique. En pariculier, deux principales srucures peuven êre avancées à ce sade : la srucure de projecion linéaire (cf. Ahlgrim [2005]) d une par e la srucure de projecion d arbre (ou d arborescence) d aure par (cf. Kouwenberg [2001]). La différence principale enre ces deux srucures de projecion se siue au niveau de la naure de la dépendance enre les différenes rajecoires simulées. Alors que pour les srucures de projecion linéaire, une seule rajecoire es dérivée à parir de chaque nœud, les srucures par arborescence supposen quan à elles que chaque nœud possède différens nœud-enfans e ainsi différenes rajecoires possibles son déduies à parir de chaque nœud. Par exemple, on se posiionne dans le cas où la projecion des rendemens des acions se déroule sur deux périodes seulemen e que pour les deux srucures on obien n 1 nœuds (ou rendemens) à la fin de la première période. Si on ope pour une srucure linéaire de projecion, on ne peu obenir que n 1 nœuds (ou rendemens) à la fin de la deuxième période, chacun d enre eux forme avec le nœud précéden une rajecoire disince. Si par conre on ope pour une srucure d arbre, le nombre de scénarios à la fin de la deuxième période es m 1, avec m 1 supérieur à n 1 comme on projee différens rendemens à parir de chacun des n 1 nœuds simulés fin de la première période. Le graphique suivan illusre la différence enre ces deux srucures : Srucure linéaire des scénarios Srucure d arbre des scénarios Source Kouwenberg [2001] La srucure d arbre des scénarios es la forme la plus récene e la plus complexe à uiliser. On focalisera nore inérê dans la suie sur ce ype de srucure : il s agi d une srucure plus adapée que la srucure linéaire pour l applicaion des echniques d opimisaion dynamique, en pariculier dans le cas de la déerminaion de l allocaion sraégique d acifs opimale (cf. Kouwenberg [2001]). En effe, chaque niveau dans l arbre représene une dae fuure (ou un momen de prise de décision) e les différens nœuds à chaque niveau représenen les réalisaions possibles de la variable modélisée à cee dae. 12

13 Le graphique suivan représene un exemple plus déaillé de cee srucure : Niveau 0 Niveau Niveau Comme il es monré dans ce graphique, le nombre des nœuds-enfans à chaque niveau n es pas nécessairemen égal à celui du niveau suivan. Par exemple, le nœud 0 dans le graphique a deux nœuds-enfans alors que les nœuds 1 e 2 on rois nœuds-enfans. Deux niveaux de l arbre peuven ne pas présener la même période de emps. Par exemple, dans le graphique ci-dessus, le niveau 0 peu représener le débu de l année 0, le niveau 1 la fin de la deuxième année e le niveau 2 la fin de la dixième année. De même, dans cerains arbres de scénarios complexes, el que présené ci-dessous, il pourrai avoir différens nombres de nœuds-enfans pour les nœuds d un même niveau. A B C D E F Il exise différenes représenaions mahémaiques possibles de l arbre des scénarios. On se réfère ici à la formulaion de Hochreier e al. [2002]. Considérons d abord un processus sochasique ( ξ ) [ =0, 1,...T ] discre dans le emps e coninu dans l espace e supposé représener la dynamique des rendemens des acions. L analyse suivane peu êre appliquée aux aures variables générées par le GSE. ξ 0 = x 0 représene la valeur d aujourd hui e elle es supposée êre consane. La disribuion de ce processus peu êre le résula d une esimaion, paramérique ou non, basée sur des données hisoriques. 13

14 L un des objecifs lors de la mise en place d un GSE es de rouver un processus sochasique ξ, qui prend seulemen des valeurs finies e qui es le plus proche que possible du processus réel des rendemens des acions : on parle dans ce cas de problème d approximaion. A ire d hypohèse, le GSE es supposé avoir une srucure de projecion sous forme d arbre pour ses différenes variables. On défini, pour cela, l espace d éa fini de ξ par S : Soi card { S } le cardinal de P ξ S =1 S. Si x S, on appelle le faceur de branchemen de x, le nombre des noeuds issus direcemen de x, c es à dire la quanié : b( x, ) = card y : P ξ + 1 = y, ξ = x > 0 Inuiivemen, le processus ( ξ ) [ = 0,..., T ] peu êre représené sous forme d arbre, avec comme racine le noeud ( x0, 0 ). Les nœuds ( x, ) e ( y, + 1) son connecés par un arc si P ξ = x, ξ+ 1 = y > 0. La collecion de ous les faceurs de branchemen b ( x, ) déermine la aille de l arbre. Typiquemen, on choisi le faceur de branchemen avan e indépendammen de x. Dans ce cas, la srucure de l arbre es déerminée par le veceur [ b( 1 ), b( 2 ), b( 3 ),, b (T ) ]. Par exemple, un arbre [5, 3, 3, 2] a pour haueur 4 e = 156 nœuds. Le nombre des arcs es oujours égal au nombre des nœuds moins 1. Dans ce cadre d analyse, on peu considérer que la srucure linéaire consiue un cas pariculier de la srucure d arbre avec un faceur de branchemen égal à 1 à parir de la deuxième composane du veceur de la srucure ci-dessus (c'es-à-dire [5, 1, 1, 1]). Selon Dupacova e al. [2000], le problème d approximaion principal es un problème d opimisaion de l un des deux ypes suivans e il es souven foncion de la méhode de généraion de scénarios reenue : - Le problème à srucure donnée (The given-srucure problem) : quel processus discre ( ξ ) [ = 0,..., T ] avec une srucure de branchemen [ b( 1 ), b( 2 ), b( 3 ),, b (T ) ] es le plus proche d un processus donné ( ξ ) [ = 0,..., T ]? Bien évidemmen, la noion de proximié es à définir de manière appropriée. - Le problème à srucure libre (The free-srucure problem) : ici aussi le processus ( ξ ) [ = 0,..., T ] es à approximer par ( ξ ) [ = 0,..., T ] mais sa srucure de branchemen es à définir libremen excepé que le nombre oal des nœuds es fixé à l avance. Ce problème d opimisaion hybride e combinaoire es plus complexe que le problème à srucure donnée. 14

15 On noe que la difficulé majeure lors de l uilisaion des arbres de scénarios es l augmenaion exponenielle dans le nombre de scénarios. Si rois scénarios son générés pour chaque nœud à n impore quel niveau parmi 21 niveaux par exemple, le nombre de scénarios générés sera 3 21 (presque 3,5 milliards de scénarios). Au delà du choix de la srucure de projecion pour les variables d un GSE, l analyse des approches possibles pour la déerminaion des valeurs fuures des variables projeées, appelée aussi méhodologies de généraion des scénarios, consiue un problème souven renconré par le consruceur d un GSE. Le choix d une méhodologie pariculière n es pas sans impac sur les résulas obenus in fine (cf. Ahlgrim e al. [2008]) Méhodologies pour la généraion de scénarios économiques Si on se place dans le même cadre d analyse que celui de la sous-secion précédene, on peu dire que cee parie vise à répondre à la quesion suivane: commen peu-on déerminer la valeur d un nœud. Pour cela, différenes méhodologies, ayan pour finalié la généraion de scénarios économiques, peuven êre rouvées dans la liéraure (cf. Kau e Wallace [2003] e Mira [2006]). On propose dans ce ravail de les classer en quare groupes: les approches basées sur l échanillonnage, les approches basées sur le maching des propriéés saisiques, les approches basées sur les echniques de Boosrapping e les approches basées sur l Analyse des Composanes Principales. Ce dernier groupe n es pas indépendan des aures comme on va le voir dans ce qui sui Les approches basées sur l échanillonnage Ces approches peuven êre classées en deux sous caégories : l échanillonnage pur (ou radiionnel) e l échanillonnage à parir de marginales e de corrélaions spécifiées. Cee dernière a le mérie de générer des scénarios dans lesquels la corrélaion enre les variables converge vers celle ciblée par le modélisaeur. L échanillonnage pur es la méhode de généraion de scénarios la plus connue. A chaque nœud de l arbre de scénarios, on ire de façon aléaoire différenes valeurs à parir du processus sochasique { ξ }. Cela se fai soi par un irage direc à parir de la disribuion de{ ξ }, soi par l évoluion du processus selon une formule explicie: ξ +1 = z( ξ, ε ). Dans ce cadre, la dynamique de plusieurs variables financières peu êre supposée suivre un processus sochasique de ype mouvemen brownien géomérique e ses varianes. Les scénarios d évoluion de ces variables son ainsi simulés à parir des hypohèses sur la discréisaion d un processus brownien géomérique défini par exemple par: ds( ) = µ S( )d + σs( )db( ) S ( ) es le prix de l acif, µ e σ son respecivemen le drif e la volailié. Le erme db ( ) es un mouvemen brownien, c'es-à-dire B( 2 ) B( 1 ) ~ N( 0, 2 1 ). On pourra ainsi simuler des processus sochasiques sur un inervalle de emps donné, en aribuan des valeurs aléaoires au mouvemen brownien e en calculan par la suie S ( ). Les méhodes d échanillonnage radiionnel permeen de consiuer des échanillons seulemen à parir d une variable aléaoire univariée ; lorsqu on veu irer un veceur aléaoire (correspondan à différenes variables), on aura besoin de irer chaque composane marginale 15

16 (chaque variable) de façon séparée pour les rassembler ensuie. Le résulan obenu sera un veceur de variables aléaoires indépendanes. Concernan la convergence vers les momens saisiques souhaiés (moyenne, variance, ec.), il exise différenes méhodes pour améliorer l algorihme de l échanillonnage pur. On pourra par exemple uiliser les méhodes de quadraure pour l inégraion ou les suies à discrépance faible (cf. Pennanen e al. [2002]). Pour les disribuions symériques on pourra uiliser les échanillonnages anihéiques. Une aure méhode pour améliorer la méhode d échanillonnage pur es d ajuser l arbre obenu de façon à avoir les valeurs cibles de la moyenne e de la variance (cf. Cariňo e al. [1994]). Comme menionné au débu de cee parie, les méhodes d échanillonnage radiionnel on des limies au niveau de la généraion des veceurs mulivariés, en pariculier ceux avec une corrélaion spécifiée. Cependan, il exise des méhodes qui résolven ce problème en se basan sur des approches d échanillonnage radiionnel pour ensuie ajuser la echnique de conrôle de la corrélaion enre les scénarios projeés. Ces méhodes, qu on a appelé «échanillonnage à parir de marginales e de corrélaions spécifiées» consiuen donc une exension des approches d échanillonnage radiionnel. La différence principale se siue dans le fai qu elles permeen à l uilisaeur de spécifier à l avance les disribuions marginales ainsi que la marice de corrélaion cible. En général, il n y a aucune resricion sur les disribuions marginales, elles peuven même apparenir à différenes familles. A ire d exemple, Deler e al. [2001] propose une méhode permean de générer des X ; = 1, 2,..., variables aléaoires à parir des séries emporelles muli-variées { } où X = ( X X X ) ' es un veceur aléaoire de dimension ( 1) 1,, 2,,..., k, k correspondan à l observaion à la dae de ces variables. Pour cela, il consrui un processus appelé processus de base Z (assimilé à un veceur auo régressif gaussien sandard) e le ransforme, à ravers un sysème de ranslaion de Johnson [1949], en un processus ayan au moins les quare premiers momens (moyenne, écar-ype, le coefficien de dissymérie ou skewness e coefficien d aplaissemen ou kurosis) du processus X. Il ajuse enfin la srucure de corrélaion de ce processus de base Z de façon à obenir celle du processus X. L approche uilisée dans ce cas es celle de Deler e al. [2001a]. Elle se base sur la résoluion d un ensemble d équaions permean de déerminer les corrélaions à reenir enre les variables du veceur Z afin de refléer la srucure de corrélaion cible observée enre les variables du veceur X. D aures exemples de ces méhodes se rouven dans Dupacova e al. [2009]. On noe finalemen que ces approches basées sur l échanillonnage son uilisées dans le cas où on a des hypohèses sur les foncions de disribuion des composanes marginales (ou des différenes variables modélisées) Les approches basées sur le maching des propriéés saisiques Dans les siuaions où il n y a pas d hypohèses sur la disribuion marginale du processus de généraion de scénarios, les approches basées sur le maching des propriéés saisiques, en pariculier les momens, son les plus adapées. Un processus de généraion des scénarios par le maching des momens s inéresse souven aux rois ou aux quare premiers momens de chacune des projeées (moyenne, variance, skewness, kurosis) ainsi qu à la marice de corrélaion. Ces méhodes peuven êre éendues à d aure propriéés saisiques (el que les quaniles, ec.). Le généraeur de scénarios par le maching des momens va 16

17 ensuie consruire une disribuion discrèe saisfaisan les propriéés saisiques sélecionnées. Par exemple, Hoyland e al. [2003] commence par spécifier le nombre minimal de scénarios qu il fau générer pour ensuie obenir l arbre de scénarios par une opimisaion non linéaire, où l objecif es de minimiser l erreur enre les momens héoriques de la variable e ceux fournis par l arbre Les approches basées sur les echniques de Boosrapping Il s agi des approches les plus simples pour générer des scénarios en uilisan seulemen les données hisoriques disponibles sans aucune modélisaion a priori de la dynamique d évoluion des variables du GSE (cf. Albeanu e al. [2007]). Le Boosrapping se base esseniellemen sur la consiuion d échanillons à parir des données observées. Dans ce cadre, les valeurs de chaque scénario représenen un échanillon de rendemens d acifs obenu par un irage aléaoire de cerains rendemens observés déjà dans le passé. Par exemple, afin de générer des scénarios de rendemen sur les dix prochaines années, un échanillon de 120 rendemens mensuels irés aléaoiremen sur les 120 rendemens des dix dernières années es uilisé. Ce processus es répéé un cerain nombre de fois afin de générer plusieurs scénarios possibles dans le fuur. Auremen, dans le cas où on a k acifs à projeer, e en supposan que l on dispose d un hisorique de p périodes, on ire avec remise un enier enre 1 e p e on prend oues les valeurs des k acifs à cee même dae de façon à enir compe de la corrélaion hisorique enre ces derniers L'uilisaion de l Analyse en Composanes Principales L Analyse des Composanes Principales (ACP) es une méhode générique d analyse de données ayan plusieurs dimensions (cf. Bouroche e al. [1980]). Elle perme l idenificaion des faceurs clés régissan les endances de ces données e de réduire leur dimension ou en conservan le plus d'informaion possible. Pour cela, l ACP se base sur l idenificaion des veceurs propres, des valeurs propres e des covariances. En effe, il s agi d une méhode descripive qui dépend d un modèle géomérique pluô que d un modèle probabilise. L ACP propose de réduire la dimension d'un ensemble des données (échanillon) en rouvan un nouvel ensemble de variables plus pei que l'ensemble original des variables, qui néanmoins conien la plupar de l'informaion de l'échanillon. Auremen, pour un ensemble de données dans un espace à N dimensions, on recherche un sous-espace à k dimensions (défini par k variables) el que la projecion des données dans ce sous-espace minimise la pere d informaion. Ces k variables seron appelés composanes principales e les axes qu elles déerminen axes principaux. L implémenaion numérique de la méhode ACP es ainsi accessible. En praique, l ACP a pour obje de réduire le nombre des variables de dépar du modèle pour ensuie appliquer une approche radiionnelle de généraion de scénarios (parmi celles proposées ci-dessus) pour les composanes principales. 4. Mesure de la qualié d un GSE La mesure de la qualié d un GSE peu avoir deux caracères : qualiaif e quaniaif. Dans les deux cas, l objecif sera de garanir des éas de sorie du modèle qui permeen de prendre les meilleures décisions. 17

18 4.1. Mesure qualiaive de la qualié d un GSE Pour Hibber e al. [2001], les propriéés qu un «bon» GSE doi avoir son les suivanes : la représenaivié, la plausibilié économique, la parcimonie, la ransparence e l évoluion. Le modèle doi «imier» le comporemen des acifs financiers dans le monde réel en capan leurs principales caracérisiques (représenaivié). De même, les différens scénarios générés devron êre plausibles e raisonnables pour les expers du marché financier. Cela passe par l éude de la forme de la disribuion e des corrélaions des différenes variables du modèle. A ce ire, le degré de correspondance des résulas aux données hisoriques consiue un champ d invesigaion inéressan, malgré les criiques conre l hypohèse de reproducion des événemens hisoriques dans le fuur. L uilié de la comparaison des résulas obenus par rappor aux observaions déjà réalisées sur le marché peu varier en foncion des aenes du gesionnaire en ermes d évoluion fuure du conexe macro-économique. En fai, l objecif de similiude enre les deux séries (projeées e hisoriques) peu êre abandonné si on juge par exemple un changemen profond du conexe économique par rappor au passé (exemple : modificaion imporane des poids des économies à l échelle inernaionale, explosion de l endeemen public, ). Le comporemen join des différenes variables simulées dans les scénarios doi aussi présener un niveau suffisan de plausibilié e de cohérence en respecan les principes économiques. Cependan, il es à noer qu il n y a pas de consensus sur ceraines propriéés imporanes des acifs financiers. L exemple du principe de reour à la moyenne sur le marché des acions, qui sipule que les rendemens sur le long erme des acions convergen vers une endance donnée, en es une illusraion (cf. Hibber e al. [2001]). La parcimonie fai référence, quan à elle, à la simplicié des modèles proposés par le GSE, leur permean d êre d une par compréhensibles par les uilisaeurs e d aure par implémenables sur des suppors informaiques. Par ailleurs, la parcimonie perme une meilleure capacié prospecive. La ransparence es enfin un élémen déerminan pour le succès du modèle, foremen lié à son poeniel de communicaion : les résulas obenus devron êre présenés sous forme de graphiques clairs e déaillés. Finalemen, Le poeniel du modèle à évoluer e à élargir le champ de son éude es un élémen d aracivié supplémenaire. Pour Zenios [2005], les crières qu un GSE doi saisfaire afin de garanir sa bonne qualié son au nombre de rois : l exaciude (correcness), la précision (accuracy) e la cohérence (consisency). Les scénarios devron avoir des propriéés qui son jusifiées e souenues par la recherche académique. Par exemple, la srucure par erme devra refléer le phénomène de reour à la moyenne des aux d inérê consaé dans plusieurs éudes universiaires e echniques (cf. Vasicek [1977] e Hibber e al.[2001]). De même, la srucure par erme pourra êre déduie à parir des changemens dans le niveau, la pene e la courbure els que menionné dans ceraines éudes économiques (cf. Heah e al. [1992]). 18

19 De même, afin de vérifier la condiion d exaciude, les scénarios devron couvrir les scénarios imporans observés dans le passé ainsi que enir compe des évènemens qui ne son pas observés avan, mais qui on de fores chances d êre observés sous les condiions acuelles de marché. Comme dans plusieurs cas, les scénarios représenen une discréisaion d un scénario coninu, l accumulaion d un nombre d erreurs dans le discréisaion es inéviable. Différenes approches peuven êre uilisées pour assurer que l échanillon de scénarios représene la foncion de disribuion coninue sous jacene. La précision es assurée lorsque le premier e le plus grand momen des scénarios convergen vers ceux de la disribuion héorique sous-jacene. (le maching des momens e des propriéés saisiques son souven uilisés afin d assurer que les scénarios garden les momens héoriques de la disribuion qu ils représenen). La demande de précision peu mener à la généraion d un nombre élevé de scénarios. Ceci dans le bu de créer une discréisaion fine de la disribuion coninue e afin d accomplir la précision qu on considère appropriée e accepable pour le problème en quesion. Cependan, on noe qu il ne fau perdre de vue que les erreurs de modèle e de calibrage conduisen à ne pas consacrer rop d énergie à l obenion d un niveau de précision, formellemen saisfaisan mais sans inérê de poin de vue opéraionnel. Lorsque les scénarios son générés pour différens insrumens (par exemple, les obligaions, la srucure par erme, ec.), il es imporan de voir que les scénarios son cohérens en inerne. Par exemple, les scénarios dans lesquels une augmenaion dans le aux d inérê ien lieu simulanémen avec une hausse des prix des obligaions son héoriquemen non cohérens (cf. Ahlgrim e al. [2008]), même si à une échelle individuelle chacun des deux scénarios, celui du aux e celui des prix, peu êre avoir lieu éan donné cerains faceurs exogènes (par exemple, une augmenaion des aux par la banque cenrale accompagnée par l augmenaion de la demande sur les obligaions comme acifs refuges sur le marché). La prise en compe de la corrélaion enre les différens insrumens peu êre uilisé afin d assurer la cohérence des scénarios. Voici des exemples d éudes de la qualié de ceraines méhodologies de généraion de scénarios présenées ci-dessus: Concernan les approches basées sur l échanillonnage : elles permeen de probabiliser un ensemble de scénarios fuurs en enan compe de la possibilié de la reproducion des scénarios passés. Si le choix de la dynamique des variables es jusifié par des références académiques, ces approches assuren la condiion d exaciude. Par ailleurs, les condiions de précision e de cohérence peuven aussi êre préservées : avec un choix de echniques de calibraion e de discréisaion adéquaes (précision) e en enan compe de la srucure de corrélaion enre les variables dans les modèles (cohérence). On peu noer que le maching des momens assure par définiion la condiion de précision puisqu elle garde les propriéés des momens. De même, le maching des marices de covariance assure la cohérence des scénarios. Cependan, cee approche es assez générale e n es pas validée par des éudes académiques ce qui es nécessaire pour que l approche respece la condiion d exaciude. 19

20 De son coé le boosapping des données hisoriques préserve la corrélaion observée, mais ne saisfai pas la condiion d exaciude pour la généraion de scénarios car il ne suggèrera pas un rendemen qui n es jamais observé dans le passé (ce qui es conre-inuiif, comme la reproducion du passé ne consiue qu une parie des scénarios possibles dans le fuur e non la oalié des scénarios poeniels, confirmaion donnée par la crise économique acuelle qui a donné lieu à des rendemens records jamais observés au paraven). Lorsqu ils son irés de façon appropriée, les scénarios de cee approche saisfon les condiions de précision e de cohérence puisqu ils son en parfaie cohérence avec les observaions réelles du passé Mesure quaniaive de la qualié d un GSE Dans cee parie, inspirée des ravaux de Kau e Wallace [2003], on essaye de présener cerains crières permean de eser de façon quaniaive la qualié d un GSE non pas en an qu ouil de généraion de la disribuion réelle de ses variables mais pluô en an qu ouil d aide à la prise de décision. L inérê dans ce ravail sera poré sur la performance des scénarios comme un inpu au modèle de prise de décision e sur la mesure de la qualié des décisions subséquenes que proposen ces scénarios (sabilié, absence de biais, ec.). L objecif n es donc pas la mesure du degré de correspondance des scénarios projeés par rappor à la disribuion réelle des variables du GSE, une disribuion qui rese inconnue quelque soi les ouils d esimaion e d approximaion employés. On noe aussi que la connaissance de la disribuion réelle supprime le besoin de passer par un GSE pour prévoir les valeurs fuures des variables financières e macro-économiques Présenaion du problème Les noaions uilisées dans cee parie son ideniques à celles uilisées précédemmen. 10. On s inéresse à la foncion objecif d un modèle d opimisaion synhéisé comme sui : min F( x, ξ ) x X où ξ correspond donc à un processus sochasique discre dans le emps e coninu dans l espace. La résoluion direce du problème réel (héorique) éan supposée êre impossible, le passage par un processus discre { ξ } don l évoluion es représenée sous forme d un arbre ne consiue qu une soluion d approximaion (empirique). Une fois effecué, la foncion objecif devien : min F( x, ξ ) x X Comme menionné ci-dessus, on se propose dans ce ravail de lier la performance du GSE éudié à la qualié des décisions qu il perme d obenir e non pas à la performance saisique d approximaion e d esimaion du processus réel. D aure par, on rappel que l erreur d esimaion des paramères ne fai pas parie de l obje de ce aricle ce qui ne rédui en aucun cas l imporance d éudier la robusesse des décisions obenues par le GSE par rappor aux choix effecués pour ces paramères (cf. Meucci [2005]). 10 Le choix de la srucure de projecion n influence pas l analyse menée dans cee sous secion. 20

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