1 Définitions et classification

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3 1 Définitions et classification On appelle polyèdre un solide limité de toutes parts par des portions de plans. S A F Les faces (F) d un polyèdre sont les polygones plans qui composent la surface du polyèdre. Les arêtes (A) d un polyèdre sont les côtés des polygones qui forment les faces du polyèdre. Les sommets (S) du polyèdre sont les extrémités des arêtes. 1.1 Prismes Un prisme est un polyèdre ayant pour base deux polygones égaux et parallèles et dont les faces latérales sont des parallélogrammes. Les deux polygones translatés sont les bases du prisme et les parallélogrammes sont appelés faces latérales. La hauteur d un prisme est la distance entre les plans des bases. C est la hauteur de la perpendiculaire commune aux deux bases. Un prisme est droit lorsque les arêtes latérales sont perpendiculaires à la base, sinon on dit qu il est oblique. Exemples :Un parallélipipède est un prisme dont les bases sont des parallélogrammes isométriques. Un parallélipipède rectangle est un prisme droit à bases rectangulaires. Un cube est un polyèdre dont la surface est constituée de 6 faces carrées isométriques. Activité 1 : En utilisant les"zometool", construisez un parallélipipède, un parallélipipède rectangle, un cube et un autre prisme. Dessinez-les ensuite en mettant en pointillés les arêtes cachées.

4 Parallélipipède Parallélipipède rectangle Cube Prisme 1.2 Pyramides Une pyramide est un polyèdre dont la surface est constituée d un polygone à n côtés appelé base et de n triangles ayant chacun un côté commun avec la base et ayant tous un point commun n appartenant pas au plan de la base. Le sommet de la pyramide est le point commun aux n triangles. Sa hauteur est la longueur du segment de droite mené du sommet perpendiculairement à la base et limité par le sommet et la base. Activité 2 : En utilisant les "Zometool", construisez une pyramide à base triangulaire et une autre pyramide. Dessinez-les ensuite en mettant en pointillés les arêtes cachées.

5 Pyramide à base triangulaire 1.3 Pyramide Polyèdres réguliers Solides de Platon Un polyèdre est convexe si tout segment ayant ses extrémités dans le polyèdre y est inclus tout entier. Activité 3 : En utilisant les "Zometool", construisez un polyèdre convexe et un polyèdre non convexe. Polyèdre convexe Polyèdre non convexe Un polyèdre régulier est un polyèdre convexe constitué de polygones réguliers isométriques en même nombre autour de chaque sommet. Un polyèdre régulier est inscriptible dans une sphère. Conditions pour avoir un polyèdre régulier : avoir le même nombre de polygônes réguliers en chacun des sommets! au moins 3 faces pour faire un sommet! la somme des angles au sommet est strictement inférieure à 360 (sinon il ne sera pas convexe)

6 Avotreavis,combienya-t-ildepolyèdresréguliers? Activité 4 :En utilisant les"zometool",construisez des polyèdres réguliers. Combien y en a-t-il? Quel est leur nom? Il existe cinq polyèdres réguliers (appelés aussi solides de Platon). En effet, un polyèdre régulier doit avoir le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets. Ce nombre est évidemment au minimum de 3. Le maximum dépendra de l angle du polygone régulier : si la somme des angles au sommet atteint ou dépasse 360,nousobtenonsunplanouune superposition des faces. Commençons par les polygones à 3 côtés. Le polygone régulier ayant 3 côtés est le triangle équilatéral, chaque angle mesure 60. 3polyèdrespossiblesavecdestriangleséquilatéraux Si nous en plaçons 3 en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le tétraèdre régulier. Si nous plaçons 4 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons l octaèdre régulier.

7 Si nous plaçons 5 triangles équilatéraux en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons l icosaèdre régulier. Et si nous essayons 6 triangles, nous avons 6 60 =360,nousn auronspasdesommetpour le polyèdre, c est donc impossible. Regardons maintenant le polygone régulier à 4 côtés, il s agit du carré dont chaque angle mesure 90. 1polyèdrepossibleavecdescarrés Si nous plaçons 3 carrés en chaque sommet du polyèdrerégulier,nousobtenonslecube.

8 Si nous essayons 4 carrés, nous avons 4 90 =360,nousn auronspasdesommetpourle polyèdre, c est donc impossible. Regardons maintenant le polygone régulier à 5 côtés, il s agit du pentagone régulier dont chaque angle mesure polyèdrepossibleavecdespentagones Si nous plaçons 3 pentagones réguliers en chaque sommet du polyèdre régulier, nous obtenons le dodécaèdre. Si nous essayons 4 pentagones, nous avons =432,supérieurà360,ilyaurasuperposition et nous n aurons pas de sommet pour le polyèdre, c est donc impossible.

9 Regardons maintenant le polygone régulier à 6 côtés, il s agit de l hexagone régulier dont chaque angle mesure 120. impossible avec des hexagones Les autres polyèdres réguliers ont des angles de plus en plus grands, inutile alors de continuer. Nous avons ainsi obtenu les cinq seuls solides parfaits de Platon.

10 2 Développement de polyèdres et relation d Euler Le développement d un solide est la figure plane obtenue par la mise à plat de sa surface.le développement est une figure plane telle que si on laplieauxendroitsappropriés,onobtient un solide en collant entre eux les bords libres. Développement du cube Développement du cube Remarque :Ilnefautpasconfondreledéveloppementd un solide avec sa représentation plane. Développement du cube Représentation plane du cube Activité 5 :Dessinezledéveloppementdes5polyèdresréguliers.

11 Tetraedre Octaedre Icosaedre Dodecaedre Cube Activité 6 :Pourchaquepolyèdrerégulier,comptezlenombredefaces,desommetset d arêtes et complétez le tableau. Voyez-vous un lien entre le nombre de faces, de sommets et d arêtes? Polyèdre Faces Sommets Arêtes tétraèdre 4triangles 4 6 cube 6carrés 8 12 octaèdre 8triangles 6 12 dodécaèdre 12 pentagones icosaèdre 20 triangles 12 30

12 En regardant ce tableau, on remarque un lien entre le nombre de sommets, de faces et d arêtes : S + F A =2où S, F et A sont respectivement le nombre de sommets, de faces et d arêtes du polyèdre. Activité 7 :Reprenezlespolyèdresconstruitsauxactivités 1, 2 et 3. La relation ci-dessus est-elle valable pour tous les polyèdres? On remarque que cette relation est valable pour tous les polyèdres convexes. On a donc le résultat suivant. Théorème d Euler Danstoutpolyèdreconvexe,régulierounon,ona S + F = A +2, où S, F et A sont respectivement le nombre de sommets, de faces et d arêtes du polyèdre. Démonstration :Oncommenceparenleverunefaceetonaplatitlepolyèdrepourobtenirun graphe plan appelé diagramme de Schlegel du polyèdre. On a S = S, F = F 1 et A = A, oùs, F et A sont respectivement le nombre de sommets, de faces et d arêtes du graphe plan. Pour chaque face non triangulaire, on ajoute une arête reliant deux sommets non appariés. On répète l opération tant qu il reste des faces non triangulaires. Achaquefois,onaugmentelenombred arêtesde1 et le nombre de faces de 1 : S +(F +1) (A +1)=S + F +1 A 1=S + F A. La quantité S + F A n est donc pas modifiée.

13 On alterne les deux opérations suivantes : supprimer les triangles dont une seule arête est frontière. Achaquefois,ondiminuelenombred arêtesetdefacesde1 : S +(F 1 ) (A 1) = S + F 1 A +1=S + F A. La quantité S + F A n est donc pas modifiée. supprimer les triangles dont deux arêtes sont frontière. Achaquefois,ondiminuelenombred arêtesde2 et le nombre de faces et de sommets de 1 : (S 1) + (F 1) (A 2) = S 1+F 1 A +2=S + F A. La quantité S + F A n est donc pas modifiée. On répète le processus jusqu à ce qu il ne reste qu un seul triangle. Pour un triangle, on a S =3, F =1et A =3donc S + F A =3+1 3=1. Puisque la quantité S + F A n est pas modifiée par les opérations ci-dessus, on a aussi S + F A =1pour le graphe plan de départ. Si on rajoute la face enlevée à la première étape, on obtient pour le polyèdre S + F A = S + F +1 A = S + F A +1=2.

14 Activité 8 :Refaitesladémonstrationci-dessuspourlecubeetledodécaèdre. Cube Diagramme de Schlegel Dodécaèdre Diagramme de Schlegel 3 Volumes 3.1 Volume du parallélipipède rectangle Le parallélipipède rectangle dont la base est un rectangle de longueur L et de largeur l et dont la hauteur est h apourvolumelenombrev = Llh. L h l En particulier, le cube d arête c apourvolumelenombrev = c 3.

15 3.2 Principe de Cavalieri Le Principe de Cavalieri permet de déterminer le volume de n importe quel prisme ou cylindre en le comparant tranche par tranche avec un solide de volume connu. Principe de Cavalieri Soitdeuxsolidescomprisentredeuxplansparallèles.Supposons que chaque plan parallèle aux premiers coupe les deux solides en des surfaces de même aire. Alors, dans ces conditions, les deux solides ont même volume. 3.3 Volume du prisme On va comparer le prisme tranche par tranche avec un parallélipipède dont l aire de la base et la hauteur sont les mêmes, ce qui revient à les couper par une infinité de plans parallèles à leur base. En coupant à toute hauteur on obtient des sections de même aire et on conclut du Principe de Cavalieri que ces deux solides ont même volume. Le prisme dont la base vaut B et la hauteur h apourvolumelenombrev = Bh.

16 3.4 Volume de la pyramide Notons tout d abord que deux pyramides à bases triangulaires de même hauteur h et dont l aire de la base B est la même ont même volume. En effet, si on les coupe à distance m du sommet S par un plan parallèle à la base, les sections obtenues sont les images de la base par l homothétie de centre S et de rapport m ( h.lesairesde m ) 2 ces sections valent B. h Donc tout plan parallèle aux bases coupera les pyramides en sections de même aire. On déduit du Principe de Cavalieri que ces pyramides ont même volume. Remarquons ensuite que tout prisme droit à base triangulaire ABCA B C peut se décomposer en trois pyramides à base triangulaire : ABCB, A B C C et ACB A.

17 Les pyramides ABCB et A B C C ont même base et même hauteur, elles ont donc même volume. Les pyramides A B C C et ACB A ont même base et même hauteur, elles ont donc même volume. Ces pyramides ont même aire de base et même hauteur deux à deux, elles ont donc toutes les trois le même volume. Ce volume est le tiers du volume du prisme. Vu que le prisme dont la base vaut B et la hauteur h apourvolumelenombrev = Bh, on en déduit que la pyramide à base triangulaire dont la base vaut B et la hauteur h apour volume le nombre V = Bh 3. Si la base de la pyramide est un polygone de surface B à n côtés, on la découpe en triangles. Chaque triangle constitue la base d une pyramide ayant même sommet et même hauteur que la pyramide de départ. Chaque pyramide à base triangulaire a donc un volume égal à V i = B ih 3 où B i est l aire du triangle de la base.

18 Le volume total de la pyramide de départ est donc V = n # Bi h i=1 3 = Bh. 3 Activité 9 : En utilisant les "Zometool", construisez le prisme ABCA B C ainsi que les 3 pyramides ABCB, A B C C et ACB A dont il est question ci-dessus. Assurez-vous que ces 3 pyramides ont même aire de base et même hauteur deux à deux et donc qu elles ont même volume. Prisme ABCA B C Pyramide ABCB Pyramide A B C C Pyramide ACB A

19 4 Activité avec Geogebra Activité 10 :En utilisant le logiciel Geogebra,construisez les solides de Platon ainsi que leur développement. En faisant bouger le curseur b, onpassedusolideàsondéveloppement. Tétraèdre

20 Octaèdre

21 Icosaèdre

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23 Cube

24 Dodécaèdre

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