NOUVELLES MESURES DE DÉPENDANCE POUR

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1 NOUVELLES MESURES DE DÉPENDANCE POUR UNE MODÉLISATION ALPHA-STABLE. Bernard GAREL & Bernédy KODIA Institut de Mathématiques de Toulouse et INPT-ENSEEIHT Xèmmes Journées de Méthodologie Statistique de l Insee Paris, 24 mars 2009

2 Plan de la présentation 1 Introduction : Des lois,..., des noms 2 Quelques coefficients de dépendance 3 Coefficient de covariation symétrique signé Estimation du nouveau coefficient

5 Plan 1 Introduction : Des lois,..., des noms 2 Quelques coefficients de dépendance 3 Coefficient de covariation symétrique signé Estimation du nouveau coefficient

6 Les lois stables et leur caractérisation Un premier nom : Paul Lévy en Caractérisation : Les lois stables sont les seules lois limites de sommes de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Fonction caractéristique : { } E exp iθx = exp γ α θ α [1 + iβsign(θ)w(θ, α)] + iδθ, où 0 < α 2, γ 0, 1 β 1 et δ réel. w(θ, α) Quand β = δ = 0, X est dite symétrique α-stable. Exemples de lois stables : Loi de Lévy (α = 1/2, β = 1) Loi de Cauchy (α = 1, β = 0) Loi de Gauss (α = 2)

20 Les lois stables et leur caractérisation Soit 0 < α < 2. Le vecteur aléatoire X = (X 1, X 2 ) est dit stable dans R 2 si et seulement si il existe une mesure finie Γ sur le cercle unité S 2 = {s R 2 : s = 1} et un vecteur δ tels que pour tout θ R 2 : { E exp (i θ, X ) = exp θ, s α [1 + isign θ, s w( θ, s, α)] Γ(ds) S 2 +i θ, δ }. Ici θ, s désigne le produit scalaire dans R 2. La mesure Γ est appelée mesure spectrale du vecteur aléatoire α-stable X et le couple (Γ, δ) est unique. Le vecteur est symétrique si et seulement si δ = 0 et Γ est une mesure symétrique sur S 2. Dans ce cas, sa fonction caractéristique est donnée par { } E exp{i θ, X } = exp θ, s α Γ(ds). S 2

28 De Mandelbrot à nos jours : les applications Mandelbrot (1960) suggéra les lois stables comme modèles possibles des distributions de revenus et des prix spéculatifs. Dommaines d applications : Finance Télécommunication Physique, biologie, génétique...

33 Notre contexte : les mesures de dépendances Pourquoi parler de nouvelle mesure de dépendance? Les vecteurs aléatoires stables non gaussiens ne possendent pas de moment de segond ordre. Conséquence : La matrice de corrélation n est plus définie. Alternative : Définir des coefficients de dépendance basés sur des moments plus petits que 2.

39 Le paramètre d association de Press Press (1972) proposa une mesure de dépendance entre composantes d un vecteur symétrique α-stable bivarié dont la fonction caractéristique est donnée par : { E exp (i θ, X ) = exp { = exp m (θω k θ ) α/2} k=1 m k=1 ( w11 (k)θ w 12 (k)θ 1 θ 2 + w 22 (k)θ 2 2) α/2 }, où Ω k, k = 1,..., m sont des matrices symétriques positives de dimension 2 2. Le paramètre d association (a.p.) ρ est défini comme suit : m k=1 ρ = w 12(k) [( m k=1 w 11(k))( m k=1 w 22(k))]. 1/2

43 Le paramètre d association généralisé de Paulauskas Paulauskas (1976) a introduit le paramètre d association généralisé, applicable à tout vecteur symétrique α-stable dans R 2. Soit (X 1, X 2 ) un vecteur SαS, 0 < α 2 et Γ sa mesure spectrale sur le cercle unité S 2. Soit (U 1, U 2 ) un vecteur aléatoire sur S 2 de distribution de probabilité Γ = Γ/Γ(S 2 ). Puisque Γ est symétrique, on a EU 1 = EU 2 = 0. Le paramètre d association généralisé de (X 1, X 2 ) est défini par : EU 1 U 2 ρ = (EU1 2. EU2 2 )1/2

51 Coefficient covariation et covariation symétrique Cambanis et Miller (1981) ont introduit la covariation pour 1 < α < 2. Soit (X 1, X 2 ) un vecteur SαS réel de mesure spectrale Γ définie sur le cercle unité S 2. La covariation de X 1 sur X 2 est définie par [X 1, X 2 ] α = s 1 s <α 1> 2 Γ(ds) S 2 où a <p> = sign(a) a p. Le coefficient de covariation est donné par λ X1,X 2 = [X 1, X 2 ] α [X 2, X 2 ] α. Intérêt Garel et al. (2007) définissent le coefficient de covariation symétrique par Corr α (X 1, X 2 ) = λ X1,X 2 λ X2,X 1.

60 Définition et propriétés Ce coefficient a été introduit par Garel et Kodia (2009). Soit (X 1, X 2 ) un vecteur aléatoire SαS avec α > 1. Le coefficient de covariation symétrique signé entre X 1 et X 2, est la quantité : 1 scov(x 1, X 2 ) = κ (X1 [X 1, X 2 ] α [X 2, X 1 ] α 2,X 2 ) X 1 α α X 2 α, Ce coefficient possède les propriétés suivantes : 1 1 scov(x 1, X 2 ) 1 et si X 1, X 2 sont indépendants, alors scov(x 1, X 2 ) = 0; 2 pour tout a 0, scov(x, ax) = 1; 3 Soient a et b deux réels non nuls, alors scov(ax 1, bx 2 ) = ± scov α (X 1, X 2 ), 4 pour α = 2, scov(x 1, X 2 ) coïncide avec le coefficient de corrélation habituel. Définition

67 Cas des vecteurs aléatoires sous-gaussiens Soient 0 < α < 2, G 1, G 2 des variables conjointement normales de moyenne nulle et A une variable aléatoire positive, indépendante de (( ) (G 1, G 2 ), telle que A S α/2 cos πα 2/α, 4 1, 0). Alors X = A 1/2 G = (A 1/2 G 1, A 1/2 G 2 ) est un vecteur aléatoire α-stable appelé sous-gaussien de vecteur gaussien sous-jacent G = (G 1, G 2 ). Fonction Proposition Soient 1 < α < 2 et X un vecteur sous gaussien de fonction caractéristique (1), alors le coefficient de covariation symétrique signé coïncide avec le gap et le paramètre d association entre les composantes de X. Dans ce cas, scov(x 1, X 2 ) = 1 la distribution de X est concentrée sur une ligne.

72 Combinaisons linéaires de v.a. symétriques stables indépendantes Soient 1 < α 2, X 1 et X 2 deux variables aléatoires indépendantes telles que X k S α (γ k, 0, 0), k = 1, 2. Soit A = {a jk }, 1 j k 2, une matrice réelle. Le vecteur aléatoire Y = (Y 1, Y 2 ) = AX, dont les composantes sont des combinaisons linéaires Y j = 2 a jk X k, j = 1, 2, k=1 des X k, est α-stable. Sa fonction caractéristique est donnée par { E exp i 2 } θ j Y j = j=1 2 k=1 { E exp i ( 2 j=1 θ j a jk ) X k }.

76 Soient 1 < α 2 et Y = AX un vecteur a. α-stable t. q. γ 1 = γ 2, alors le coefficient de covariation symétrique signé est donné par : a11 a 21 α + a 12 a 22 α + a 11 a 22 (a 12 a 21 ) α 1 + a 12 a 21 (a 11 a 22 ) α scov(y 1, Y 2 ) = κ (Y1,Y 2 ) ( a 11 a 21 α + a 12 a 22 α + a 12 a 21 α + a 11 a 22 α). 1/2 Le paramètre d association est : et le gap est donné par : ρ = a 11 a 21 + a 12 a 22 [(a a2 12 )(a a2 22 )]1/2, a 11 a 21 (a11 2 ρ = + a2 21 ) α a 12 a 22 (a a2 22 ) α 2 1 [( a 11 2 (a a2 21 ) α a 12 2 (a a2 22 ) α 2 1)( a 21 2 (a a2 21 ) α a 22 2 (a a2 22 ) α 2 1)] 1. 2 Nous avons aussi scov = 1 ρ = 1 ρ = 1.

81 Deux estimateurs convergents Un premier estimateur de scov(x 1, X 2 ) : ( n )( n X 1i sign(x 2i ) i=1 i=1 ŝcov(x 1, X 2 ) = κ (X1,X 2 ) [( n )( n X 1i i=1 i=1 ) 1/2 X 2i sign(x 1i ) )] 1/2 X 2i Un second estimateur de scov(x 1, X 2 ) : Précision ( n X 1i X 1 )( n I 2i ]c1,c 2 [ ( X 2i ) ŝcov SR i=1 i=1 (X 1, X 2 ) = κ (X1,X 2 ) [( n )( n I ]c1,c 2 [ ( X 1i ) i=1 i=1 X 2i X 1 ) I 1i ]c1,c 2 [ ( Y 1/2 i ), )] 1/2 I ]c1,c 2 [ ( X 2i ) où c 1 et c 2 sont des constantes arbitraires et les couples (X 11, X 21 ),..., (X 1n, X 2n ) sont des observations de (X 1, X 2 ) indépendantes.

85 Résultats de simulation : cas sous-gaussien Données α = 1.5, n=100, γ 1 = 10 et γ 2 = 150 scov ŝcov ŝcov SR Données α = 1.5, n=500, γ 1 = 10 et γ 2 = 150 scov ŝcov ŝcov SR

86 Résultats de simulation : cas sous-gaussien Données α = 1.5, n=100, γ 1 = 10 et γ 2 = 150 scov ŝcov ŝcov SR Données α = 1.5, n=500, γ 1 = 10 et γ 2 = 150 scov ŝcov ŝcov SR

87 Résultats de simulation : combinaisons linéaires Données α = 1.7, n=100, γ = 10 a a a a scov ŝcov ŝcov SR Données α = 1.7, n=500, γ = 10 scov ŝcov ŝcov SR

88 Résultats de simulation : combinaisons linéaires Données α = 1.7, n=100, γ = 10 a a a a scov ŝcov ŝcov SR Données α = 1.7, n=500, γ = 10 scov ŝcov ŝcov SR

89 MERCI POUR VOTRE ATTENTION

90 Nous avons : et { tan πα w(θ, α) = 2 si α 1, ln θ si α = 1, 2 π 1 si θ > 0, sign(θ) = 0 si θ = 0, 1 si θ < 0. Retour

91 Intérêt du coefficient de covariation Soit X 1 et X 2 conjointement SαS avec 1 < α < 2, alors E(X 1 X 2 ) = λ X1,X 2 X 2 p. s. Retour

92 Suite de la définition Soit X une variable aléatoire SαS avec α > 1. La norme de covariation de X est définie par X 1 α = ([X 1, X 1 ] α ) 1/α et κ (X1,X 2 ) indique le signe de la dépendance avec : sign([x 1, X 2 ] α ) κ (X1,X 2 ) = sign([x 2, X 1 ] α ) si si [X 1,X 2 ] α X 2 α [X 1,X 2 ] α X 2 α < [X 2,X 1 ] α X 1 α [X 2,X 1 ] α X 1 α,. Retour

95 Vecteurs aléatoires sous-gaussiens La fonction caractéristique de X est donnée par : { E exp i 2 k=1 } { θ k X k = exp θ i θ j R ij α/2}, (1) i=1 j=1 où les R ij = EG i G j, i, j = 1, 2 sont les covariances du vecteur gaussien sous-jacent G. Retour

96 Soit X 1 et X 2 conjointement SαS avec α > 1. Pour tout 1 p < α, on a la relation : [X 1, X 2 ] α X 2 α α = EX 1X <p 1> 2 E X 2 p, (2) En utilisant l égalité (2) dans laquelle on pose p = 1, alors scov(x 1, X 2 ) est également donné par : 1 scov(x 1, X 2 ) = κ (X1 (EX 1 sign(x 2 ))(EX 2 sign(x 1 )) 2,X 2 ) E X 1 E X 2. (3) Retour