FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE

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1 Unvrsté du Man - Faculté ds Scncs! Rtour Varabl complx FONCTIONS D UNE VARIABLE COMPLEXE Ls nombrs complxs ont été ntroduts vrs 55 par ls talns Cardano t Frrar comm racns ds équatons du èm dgré dont l dscrmnant st négatf Dscarts ( utlsa l trm nombr magnar Ls résultats ont été obtnus succssvmnt par : Eulr (707-78, Lagrang (76-8, Gauss ( , Cauchy (78-857, Wrstrass (85-87, Rmann (86-866, Poncaré (85 - I Défntons t notatons C : nsmbl ds nombrs complxs Un foncton f d la varabl complx = x + y assoc à un élémnt du doman d défnton D un mag : f( = = X(x, y + Y(x, y X t Y sont dux fonctons rélls d dux varabls rélls xmpl : =, D = C, X = (x - y, Y = xy, II Prncpals fonctons II Fonctons unforms Un foncton st unform s tout élémnt du doman d défnton a un sul mag fonctons polynôms : n 0! a an a! D = C fonctons ratonnlls : P( où P t Q sont ds polynôms Q( D = C - {éros d Q(} fonctons xponntlls : x! y x (cosy! sny $ D = C # x Arg ( # y% & (! ( st pérodqu d pérod D mêm : (a ( R,a >0 Exmpl :! lna a (cos! sn 008(! 00057! 0058 fonctons trgonométrqus : sn! cos D = C Exmpl : sn( fonctons hyprbolqus : 75 sh! ch D = C sh ( sn ch ( cos sn( sh cos( ch II Fonctons multforms Un foncton st multform (ctt vll trmnolog st très mpropr s au mons un élémnt du doman d défnton a au mons dux mags foncton racn carré : ( $ + 0( $ + (! ( $

2 Unvrsté du Man - Faculté ds Scncs! Rtour Varabl complx ( 0( 5 5 ( ( Sot 0 t sont dux détrmnatons d la foncton multform 0 t sont auss à pror ds fonctons multforms Pour rndr 0 t unforms l sufft d rédur lurs domans d défnton d manèr à mpêchr d far l tour d l orgn sans sortr du doman d défnton On ffctu un coupur d orgn O O st un pont crtqu (ou pont d branchmnt, ou d ramfcaton 0 x Par xmpl s 0 -, alors 0 -, t -!, D où : 5 0( ( 0 t sont alors unforms t ( ( D autrs coupurs sont possbls 0 0 x foncton logarthm : 0 (! k Sot $ alors Log ln$! (! k La foncton Log possèd un nfnté d détrmnatons (corrspondant chacun à un valur d k qu sont lls mêms ds fonctons multforms avant coupur Un coupur ntérssant st :, - Alors ls dfférnts détrmnatons sont unforms t, pour ls nombrs réls postfs, on a Log ln$ sur la détrmnaton prncpal (corrspondant à k = 0 Log (! k, Log ( (! k, Log (! ln! (! k fonctons trgonométrqus nvrss : Sur la détrmnaton prncpal : Arc sn Log(! Arc cos Log(! fonctons hyprbolqus nvrss : Sur la détrmnaton prncpal :! Argsh Log(! Argch Log(! fonctons pussancs : Log (ln ( k ( $!! - ntr : foncton unform - non ntr : foncton multform, O st l pont d branchmnt Log (! k, (! k (valur prncpal d / 0 III Dérvés III Lmt t contnuté d un foncton lm f( L 6 ( 50 0, ( 0, 0 tl qu +, f( L, 0 0, vut dr qu appartnt à un dsqu ouvrt d cntr 0 t d rayon ; d mêm f( appartnt à un dsqu ouvrt d cntr L t d rayon 0 Qul qu sot l chmn prs par pour allr vrs 0 l mag f( dot tndr vrs l mêm nombr complx L

3 Unvrsté du Man - Faculté ds Scncs! Rtour Varabl complx Un foncton st contnu n 0 s lm f( f( + L III Notons ntutvs d topolog Un ouvrt d C st sot l nsmbl vd sot un part O d C tll qu, 5 x ( O, l xst un dsqu D(x, R(7 0 nclus dans O Un frmé st l complémntar d un ouvrt Un nsmbl compact st un nsmbl frmé t borné Un ouvrt O st connx s dux ponts qulconqus d O puvnt êtr jonts par un lgn contnu ntèrmnt contnu dans O Il st smplmnt connx s l st sans trou t multplmnt connx autrmnt x x0 Un courb d Jordan st un crcut (chmn frmé sans pont doubl (où on pass plusurs fos parcouru un fos dans l sns drct smplmnt connx multplmnt connx III Dérvé d un foncton unform f( f( f st dérvabl n 0 s l quotnt admt un lmt fn quand tnd vrs 0 L xstnc d un dérvé st un condton d régularté très fort mposé à la foncton Un foncton dérvabl n tout pont d un ouvrt connx st dt analytqu (ou holomorph ou régulèr Un foncton dérvabl dans tout doman borné st dt foncton ntèr III Condtons d Cauchy-Rmann S f st dérvabl alors ls dérvés partlls d X t Y xstnt t satsfont aux rlatons d Cauchy : t S X t Y admttnt ds dérvés partlls contnus satsfasant ls condtons d Cauchy alors la foncton f st dérvabl dém : > ; > ; > ; > ; d dx dy! x y x y!! = 8 8 : = 8 8 : x x y y = 8 8 : = 8 8 : d!!! d d > ; > ;! x x <! y y = 8 8 : = 8 8 :! d Pour qu ctt xprsson n dépnd pas d la manèr dont d tnd vrs 0, l faut t l sufft qu ll n dépnd pas d, qu caractérs la drcton d d Il faut t l sufft qu! s mtt n factur au numératur D où :!! t t = = (x + y, X = x - xy, Y =x y-y

4 Unvrsté du Man - Faculté ds Scncs! Rtour Varabl complx 8 X Y Y X x y t 6xy Ls dérvés partlls d X t Y sont contnus t vérfnt ls condtons d Cauchy donc st dérvabl, X x, Y y = - t 0 Un ds condtons d Cauchy n st pas vérfé donc la foncton n st pas dérvabl Géométrqumnt : - pour un déplacmnt parallèl à l ax ds x?? X?? x - pour un déplacmnt parallèl à l ax ds y?? Y?? y???@ III 5 Exprsson d la dérvé?@ Exmpl : = 8 x y X f (! t 6xy d où f ( (x y! xy III 6 Proprété rmarquabl Un foncton holomorph st ndéfnmnt dérvabl III 7 Exprsson d un foncton dérvabl S la foncton = X(x, y + Y(x, y st analytqu dans un ouvrt O, on put l y xprmr au moyn d la sul varabl = x + y dém : put êtr consdéré comm un foncton R(y, pusqu x = - y 8R > ;!! d où = : 8R > ; > ; 0 y < y x! y x d après ls condtons d Cauchy 8 = 8 8 : = 8 8 : R st donc ndépndant d y t n dépnd donc qu d chxcosy! shxsny shxcos y, shx cosy, chxsny, chxsny Cs dérvés partlls sont contnus t vérfnt ls condtons d Cauchy donc st dérvabl t put s xprmr à l ad d sul f ( f(x! y X(x, y! Y(x, y d où f (x X(x,0! Y(x,0 En rmplaçant x par : f ( X(,0! Y(,0 d où l xprsson d n foncton d : chcos0! shsn0 ch On put auss partr d la défnton t ssayr d rgroupr : chxcosy! shx sny cos(xcosy! sn(xsny cos(x y cos( ch n put s xprmr n foncton d sul t n st donc pas dérvabl

5 Unvrsté du Man - Faculté ds Scncs! Rtour Varabl complx III 8 Règl d l Hosptal Sot f t g dux fonctons analytqus dans un ouvrt connx contnant 0 t tlls qu f( g( 0 0 f( f( alors : lm + g( g( 0 0 f(! 5! 0 5 f( 0, g( 0,g ( d où lm g( 6 6 5! +! 6 cos sn cos lm lm lm + 0 sn + 0 cos + 0 cos sn III Ponts sngulrs (ou sngulartés C st un pont où un foncton n st pas analytqu 0 st un sngularté solé s l xst un dsqu ouvrt d cntr 0 n contnant pas d autrs sngulartés Typs d sngulartés : Pôl : 0 st un pôl d ordr n s l xst un ntr n tl qu lm ( n f( A Exmpl : f( a un pôl doubl n =, un pôl trpl n = - t un pôl smpl n = ( (! ( 0 ( lm( f( 7 0, lm (! f( 7 0, lm ( f( (! ( ( Pont crtqu : pont au vosnag duqul un foncton n st pas unform Exmpl : 0 pour f ( Pont sngulr ssntl : pont où f( n st pas borné t n st pas holomorph f Exmpl : 0 pour f ( Sngularté apparnt : 0 st un sngularté apparnt s lm f( xst Exmpl : 0 pour + 0 sn f ( car lm f( avc g( IV Fonctons harmonqus Théorèm S st un foncton holomorph dans un ouvrt connx O t s X t Y ont ds dérvés sconds contnus dans O alors : 8 X 8 X 8 Y 8 Y? X A X! 0 t? Y A Y! (? X st l Laplacn d X, A(, st l opératur nabla Ls fonctons qu ont ds dérvés partlls sconds contnus t un Laplacn nul sont dts harmonqus Dém : En dérvant ls condtons d Cauchy t n utlsant l théorèm (d Schwar d ntrvrson ds dérvatons partlls : 8 8 X 8 Y 8 X 8 Y + t x y x y X 8 Y 8 X 8 Y + t ; 8 X 8 X Théorèm t 8 Y 8 Y 8 X 8 X 8 Y 8 Y d où!! 0

6 Unvrsté du Man - Faculté ds Scncs! Rtour Varabl complx Tout foncton harmonqu X(x, y st la part réll d un foncton holomorph défn à un constant magnar pur près Illustraton : Sot X x 6xy 5x! 5y! x X 8 6x 6y 0x! 8 X x 0 8 X 8 X 8 X xy! 0y x! 0 d où! 0 Ls dérvés partlls sconds d X sont contnus donc X st un foncton harmonqu On chrch un foncton Y vérfant ls condtons d Cauchy : 6x 6y 0x! Y 6x y y 0xy! y! B(x xy 0y! B (x xy 0y B (x 0 B(x K d où Y 6x y y 0xy! y! K t f( X! Y x 6xy 5x t f( X(,0! Y(,0! 5y 5!! K! x! (6x y y 0xy! y! K