GEL Circuits LOIS ET THÉORÈMES DE CIRCUITS

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1 GEL2945 Crcuts LOIS ET THÉORÈMES DE CIRCUITS

2 Objectfs comprendre et être capable d utlser les los de Krchhoff; reconnaître les éléments en sére ou en parallèle dans un crcut complexe; obtenr les dpôles équvalents d éléments en sére ou en parallèle; calculer correctement des dvseurs de tenson ou des dvseurs de courant smple ou en cascade; savor mettre à zéro (annuler) une source de tenson ou de courant; savor transformer un crcut électrque complexe en son équvalent Thévenn et son équvalent Norton être capable de passer d un équvalent Thévenn à un équvalent Norton et vceversa; utlser un équvalent Thévenn ou Norton entre deux bornes d un crcut pour dédure la tenson ou le courant par ces bornes; comprendre clarement ce que sgnfe un système lnéare avec ses avantages; exploter les caractérstques d un système lnéare dont le prncpe de superposton des sources. 2/73

3 Plan du cours Los de Krchhoff Dpôles équvalents Transformatons de sources Théorèmes de Thévenn et de Norton Transfert maxmal de pussance Prncpe de superposton 3/73

4 Éléments, nœuds et parcours fermés Une joncton où au mons deux éléments électrques ont une connexon commune est appelée nœud Dans chaque élément, on peut défnr une varable tenson v et une varable courant a b c Éléments v f Noeuds e d Parcours fermés abcdefa abefa bcdeb 4/73

5 Los de Krchhoff 5/73

6 Los de Krchhoff Lo des courants La somme algébrque des courants à un nœud d un crcut électrque est égale à zéro en tout temps Lo des tensons La somme algébrque des tensons dans un parcours fermé d un crcut électrque est égale à zéro en tout temps. b v 2 c v v 3 v v 2 v 3 v 4 0 a v 4 d 6/73

7 Gustav KrchhoffSavard /73

8 Los de Krchhofflos de Maxwell Lo des courants provent de la 3 e lo de Maxwell (dte de Gauss) sur les charges électrques en verson statque (de/dt0) D ds [Q] V donc d dt D d S d D dt d S ε Lo des tensons provent de la ère lo de Maxwell (dte de Faraday ou d nducton) en verson statque (dh/dt0) de dt 0 d dt [Q] I v E d d B d dh S dt µ S ds 0 S dt avec b E d V ab 8/73 a

9 James Cler MaxwellGrener /73

10 Exemple Détermner 3, 4, 6, v 2, v 4 et v 6 3 V 3 3 V 2 A v A v 2 6 A 6 V 6 4 v A, 4 3 A, 6 4 A, v 2 3 V, v 4 6 V, v 6 6 V 0/73

11 Exemple avec éléments /73

12 Dpôles équvalents 2/73

13 Relaton v d un dpôle Que content ce dpôle? 3/73

14 Équvalents séres 4/73

15 . Équvalent sére de résstances V R v v 3 v 2 R 2 V R eq R 3 R R R eq 2 R 3 5/73

16 2. Équvalent sére de condensateurs v v v 2 C C 2 v C eq v N C N C eq N C 6/73

17 3. Équvalent sére d nductances v L v v 2 L 2 v L eq v N L N N L eq L 7/73

18 Dvseurs de tenson 8/73

19 . Dvseur de tenson par résstances v R v v 3 v 2 R 2 v R R R 2 R 3 v R 3 R eq R v R R eq 9/73

20 2. Dvseur de tenson par condensateurs v v v 2 C C 2 v N C N v C C eq v C eq C 20/73

21 3. Dvseur de tenson par nductances v L v v 2 L 2 v N L N v L L eq v L eq L 2/73

22 Équvalents parallèles 22/73

23 . Équvalent parallèle de résstances v 2 v R v 2 R 2 v R eq R eq R R 2 23/73

24 2. Équvalent parallèle de condensateurs 2 v v C v 2 C 2 v C eq C C eq C 2 24/73

25 3. Équvalent parallèle nductances 2 v L L 2 v L eq L eq L L 2 25/73

26 Dvseurs de courant 26/73

27 . Dvseur de courant par résstances v 2 v R v 2 R 2 R 2 R R 2 R R eq 27/73

28 2. Dvseur de courant par condensateurs 2 v v C v 2 C 2 C C eq 28/73

29 3. Dvseur de courant par nductances 2 v L L 2 L L eq 29/73

30 Élément Équvalent sére Dvseur de tenson Équvalent parallèle Dvseur de courant Résstance Inductance Condensateur N R eq R v R R v N N eq C C N C eq C v C C v N C C N N eq R R R R N N L eq L v L L v N N eq L L Récaptulatf L L N 30/73

31 Équvalents de sources 3/73

32 Équvalent sére de sources de tenson 32/73

33 Exemple 2 sources V en sére 33/73

34 Équvalent parallèle de sources de courant 34/73

35 Transformatons de sources 35/73

36 Équvalence de sources réelles Sous certanes condtons, la source de tenson non déale et la source de courant non déale sont équvalentes. Condtons: R R et v p s s R s s 36/73

37 Équvalence de sources réelles R s I V V s V s V V s / R s I I V R p I s Is R p V Is I 37/73

38 Méthode de transformaton 38/73

39 Théorème de Thévenn 39/73

40 Équvalent Thévenn Tout dpôle qu comporte unquement des résstances électrques et des sources ndépendantes et commandées est équvalent à une unque source de tenson déale V T (tenson de Thévenn) en sére avec une resstance R T (résstance de Thévenn). Crcut nconnu a b a a R V T T Crcut équvalent Thévenn b b 40/73

41 Utlté de l équvalent Thévenn. Décomposton d un crcut complexe en partes smples: Crcut A Crcut B Crcut v A V T R T Crcut B V T R T 2. Transfert maxmal de pussance: Optmsaton du transfert de pussance vers une charge résstve après avor dentfé R T. V T R T R ch 4/73

42 Comment dentfer un crcut équvalent Thévenn? Cas : Sources ndépendantes seulement a R V T T b V T? R T? V T tenson aux bornes du dpôle en crcut ouvert R T résstance équvalente du dpôle lorsque toutes les sources ndépendantes du dpôle sont annulées. 42/73

43 Comment dentfer un crcut équvalent Thévenn? Cas : Sources ndépendantes seulement Comment annuleton les sources de tenson et de courant? V s 0 V Court crcut s 0 Crcut ouvert Attenton On ne peut mettre à zéro une source commandée: cela revendrat auss à mettre à zéro la varable de commande. 43/73

44 Exemple (source ndépendante seulement) Dvseur de tenson Crcut équvalent V R R 2 a R ch V T R T a R ch b R2 V T R R2 V R R T R R2 R 2 44/73

45 Exemple 2 Trouver le courant dans R en utlsant le théorème de Thévenn R R2 Vs R3 R. Tenson Thévenn? V T R 3 R R 3 V s 2. Résstance Thévenn? R R3 R T R R 3 R 2 3. Courant dans la charge R? V R T R T 45/73

46 Exemple 3 Détermner le courant en rédusant le crcut de drote à sa forme la plus smple. 5 Ω 30 Ω 5 V 20 Ω 3 V 224 ma 46/73

47 Exemple 4 Trouver l équvalent Thévenn s 2 A, R 6 Ω, R 2 3 Ω, R3 2 Ω, v s 6 V v s R3 a s R R2 R b R T 4 Ω V T 6 V 47/73

48 Comment dentfer un crcut équvalent Thévenn? Cas 2: Sources ndépendantes et commandées ou sources ndépendantes seules a R V T T b V T? R T? Crcut ouvert Crcut ouvert ó R nfne entre a et b On calcule la tenson V abco V T V abco 2 Courtcrcut Courtcrcut ó R nulle entre a et b On calcule le courant I abcc R T V ab co I ab cc 48/73

49 Exemple (présence de source commandée) Trouver l équvalent Thévenn 2 6 Ω 0 Ω 20 V 6 Ω a b V T 2 V R T 3.6 Ω 49/73

50 Transfert maxmal de pussance 50/73

51 Transfert maxmal de pussance R T V T R Pussance dans la charge R P R VT R T R 2 5/73

52 Transfert maxmal de pussance (sute) R R T Pussance maxmale dp/dr0 P max 2 VT 4 R T P max 2 VT 4 R T P R T R T R T R 52/73

53 Rendement de Thévenn pour un transfert maxmal de pussance Le rendement de transfert de pussance est η p p sorte entrée Lors d un transfert maxmum de pussance, la pussance d entrée est p entrée 2 v 2 T R T Lors d un transfert maxmum de pussance, la pussance de sorte est p sorte p max 4 v 2 T R T Rendement maxmal de Thévenn 50% 53/73

54 Exemple : Un crcut électrque est connectée à une résstance varable, la pussance fourne à la résstance a été mesurée telle que donnée sur la fgure. Détermner le crcut équvalent de Thévenn. 2.5 P (W) R (Ω) 54/73

55 Exemple 2: Détermner la charge R ch qu permettra un transfert maxmal de pussance pour le crcut suvant. Détermner la pussance maxmale transférée. Détermner le rendement de transfert de pussance de la source V s vers la charge R ch. 30 Ω a V s 80 V 50 Ω R ch b P max 225 W R ch R T 25 Ω Rendement 35.7 % 55/73

56 Exemple 2: Détermner la charge R ch qu permettra un transfert maxmal de pussance pour le crcut suvant. Détermner la pussance maxmale transférée. Détermner le rendement de transfert de pussance de la source V s vers la charge R ch. 3A 2 Ω a V s 8 V 8W A 2A 2 Ω R ch 2W 4W R ch R T Ω V T 2/(22)*84V P max V T2 /4R T 4W b P n 8*(8/(22 )) 8*324W Rendement 6.7% 56/73

57 Crcut Équvalent de Norton 57/73

58 Équvalent Norton Tout dpôle qu comporte unquement des résstances électrques et des sources ndépendantes et commandées est équvalent à une unque source de courant déale N (courant de Norton) en parallèle avec une resstance R N (résstance de Norton). b a N R N a Crcut équvalent Norton b 58/73

59 Comment dentfer un crcut équvalent Norton? Cas : Sources ndépendantes seulement N R N a b I N? R N? N courant en courtcrcut du dpôle R N résstance équvalente du dpôle lorsque toutes les sources ndépendantes du dpôle sont annulées. 59/73

60 Exemple R 8 Ω a Vs 5 V R2 6 Ω R3 4 Ω b R N 4 Ω N.25 ma 60/73

61 Exemple 2 Détermner la pussance maxmale transférable à une charge R ch en utlsant un crcut équvalent Norton du crcut suvant. 3 Ω a 5.6 A 30 Ω 50 Ω R ch b P max 75 W 6/73

62 Comment dentfer un crcut équvalent Norton? Cas 2: Sources ndépendantes et commandées ou sources ndépendantes seules N R N a b N? R N? Courtcrcut Courtcrcut ó R nulle entre a et b On détermne le courant abcc N abcc 2 Crcut ouvert Crcut ouvert ó R nfne entre a et b On détermne la tenson v abco R N V ab co ab cc 62/73

63 Exemple Trouver l équvalent Norton vu des bornes a et b pus estmer la pussance maxmale transférable à une charge R ch x 0 x a 6 V 2 Ω 0.9 A 3 Ω R ch b P max 0.75 W 63/73

64 Exemple 2 Trouver l équvalent Norton vu des bornes a et b. 2 4 Ω Ω a 6 Ω 2.5 A 3 Ω b I N A R N 3 Ω 64/73

65 Équvalents Thévenn et Norton Thévenn a R V T T b Norton N R N a b V T V co I N I cc Remarques R T R N (Résstances Thévenn et Norton) V T R N N (Sources Thévenn et Norton) 65/73

66 Prncpe de superposton

67 Systèmes lnéares Entrée x Système F Sorte y y F(x) Défnton d un système lnéare Superposton: x y x 2 y 2 alors x x 2 y y 2 Homogénété: x y alors K. x K. y 67/73

68 Exemple d un système lnéare Détermner s la lo d Ohm est lnéare: v R Entrée Système x R Sorte v Superposton? Homogénété? 68/73

69 Exemple d un système non lnéare La dsspaton d une pussance dans une résstance estelle lnéare? p R 2 Entrée Système [ ] 2 x R Sorte p Superposton? Homogénété? 69/73

70 Lnéarté des crcuts électrques Résstance v R Condensateur Inductance C v L dv dt d dt Transformateur déal 2 v a v2 et a Source commandée v 2 µ v v r 2 m g 2 m v α 2 70/73

71 Systèmes lnéares Crcut avec deux sources: V s et V s2 (ça pourrat être une source tenson et une source courant cependant) (l pourrat auss y avor pluseurs sources de tout acabt) Sorte: I, le courant traversant R (ça pourrat être une autre résstance, ou même une tenson) I av s bv s2 a et b détermnées par superposton des sources on annule la source V s2 (V s2 0), I av s on annule la source V s (V s 0), I bv s2 7/73

72 Prncpe de superposton Lorsqu un crcut électrque lnéare est excté par pluseurs sources, l analyse du crcut peut être effectuée en consdérant une seule source ndépendante à la fos, les autres sources ndépendantes étant annulées. La réponse totale sera égale à la somme de toutes les réponses ndvduelles. Exemple : Sources ndépendantes seulement Trouver le courant en utlsant le prncpe de superposton. R V s R 2 I s Vs R I R R 2 s 72/73

73 Exemple 2 Sources ndépendantes et commandées Trouver le courant en utlsant le prncpe de superposton. R R 2 V s I s 3 V R s R R 2 2 I s 3 73/73

74 Pour en savor plus Crcuts électrques, Hoang LeHuy, Les presses de l Unversté Laval, Introducton to electrc crcuts, Dorf R.C., Svoboda J.A., Wley, The analyss and desgn of lnear crcuts, Thomas R.E., Rosa A.J., Wley, /73

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