Dynamique des fluides parfaits

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1 Chapitre 4 ynamique des fluides parfaits ans ce chapitre, nous nous proposons de traiter de la dynamique des fluides, c est-à-dire de considérer non seulement les mouvements comme dans le chapitre précédent, mais aussi «les efforts» qui conduisent à ces mouvements. Comme dans le chapitre 2 sur la statique des fluides, nous avons à prendre en compte les efforts intérieurs au fluide. ans ce chapitre, nous nous limitons aux efforts de pression et le fluide est dit fluide parfait. ans le chapitre suivant, nous envisageons d autres types d efforts intérieurs et nous introduisons la notion de fluide visqueux. 4.1 Loi fondamentale de la dynamique des fluides Loi fondamentale de la dynamique des fluides (rappel) Considérons un fluide occupant le volume 0 en mouvement. Rappelons la loi fondamentale de la dynamique déjà énoncée dans le chapitre 2 (tatique des fluides) : il existe un référentiel privilégié R appelé galiléen (c est-à-dire un repère galiléen et une chronologie galiléenne), tel que le mouvement de par rapport à ce repère et pour cette chronologie est tel que le torseur des quantités d accélération {A} de est égal au torseur des efforts extérieurs {F e } appliqués à, et ceci pour toute partie de 0 et à chaque instant. Notons que dans cet énoncé, est un domaine matériel que l on suit dans son mouvement, et que de plus, on suppose qu il y a conservation de la masse. {A} = {F e } (4.1) Torseur cinétique, Torseur dynamique ans un repère orthonormé direct R = (O; x, y, z), considérons un fluide occupant le volume 0 et une partie de celui-ci. On note la surface limitant et n le vecteur unitaire normal à et dirigé vers l extérieur de (Fig. 4.1). Pour écrire la loi fondamentale de la dynamique pour le domaine fluide, il nous faut introduire le torseur dynamique {A} de, appelé aussi torseur des quantités d accélération. Nous introduisons également le torseur cinétique {K} de, dit aussi torseur des quantités de mouvement. Torseur cinétique {K} de En chaque point M de, on introduit le vecteur vitesse U, la masse volumique ρ, et la quantité de mouvement ρ U volumique (quantité de mouvement par unité de volume). Le torseur 71

2 72 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT Référentiel galiléen n z M T x O y 0 Fluide f Fig. 4.1 omaine de fluide dans 0 cinétique est défini par l intégrale sur des torseurs univectoriels élémentaires {M, ρ U} : {K} = {M, ρ U} dv (4.2) dont la résultante et le moment en O sont respectivement : R(K) = ρ U dv, M O (K) = Torseur dynamique {A} de OM (ρ U) dv (4.3) En chaque point M de, on introduit le vecteur accélération Γ, la masse volumique ρ, et la quantité d accélération ρ Γ volumique (quantité d accélération par unité de volume). Le torseur dynamique est défini par l intégrale sur des torseurs univectoriels élémentaires {M, ρ Γ} : {A} = {M, ρ Γ} dv (4.4) dont la résultante et le moment en O sont respectivement : R(A) = ρ Γ dv, M O (A) = Torseur des efforts extérieurs appliqués à OM (ρ Γ) dv (4.5) On procède comme dans le chapitre 2, en introduisant des forces volumiques définies dans, et des forces surfaciques définies sur la surface limitant (voir Fig. 4.1) : forces volumiques f définies en chaque point intérieur à ( f est définie par unité de volume), efforts surfaciques T exercés par le milieu extérieur à sur, en chaque point de ( T est une force définie par unité de surface). Compte-tenu de ce qui précède, le torseur des efforts extérieurs {F e } appliqués à est la somme de l intégrale sur des torseurs univectoriels élémentaires {M, f} et de l intégrale sur des torseurs univectoriels élémentaires {M, T } {F e } = {M, f} dv + {M, T } d (4.6)

3 4.2. LOI FONAMENTALE E LA YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT 73 dont la résultante et le moment en O sont respectivement : R(Fe ) = f dv + T d, M O (F e ) = OM f dv + Remarque OM T d (4.7) Le vecteur T modélise les efforts intérieurs au fluide. On admet que ce sont des actions de contact exercées par le milieu extérieur à sur. ans le chapitre 2 sur la statique des fluides, nous avons vu que ce vecteur T était égal à p n, normal à la surface et dirigé vers l intérieur de. ans le cas d un fluide en mouvement, ce vecteur T est à modéliser. ans ce chapitre, nous allons supposer que T s écrit p n comme en statique. Par contre, dans le chapitre suivant, le vecteur T ne sera plus normal à. Nous commenterons plus loin ces modélisations. 4.2 Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits éfinition d un fluide parfait Considérons un fluide occupant le volume 0 et une partie de celui-ci. On note la surface limitant et n le vecteur unitaire normal à et dirigé vers l extérieur de (Fig. 4.1). On appelle fluide parfait, un fluide dans lequel les efforts exercés par le milieu extérieur à sur sont p n par unité de surface en chaque point M de la surface, avec : p = p(m, t), grandeur scalaire ne dépendant que du point M et du temps t, p, scalaire positif (p > 0) et correspondant à un effort de pression (comme en statique). Remarque Le vecteur p n modélise les efforts intérieurs au fluide. Il est normal à la surface et dirigé vers l intérieur de. Il s agit d un choix ; on dit que l on a choisi une loi de comportement. Il faut remarquer que dans un déplacement d un point M de, parallèlement à, la force p n exercée sur une petite surface de a un travail nul. Il n y a pas de frottement entre les filets fluides se déplaçant parallèlement les uns par rapport aux autres Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits (première forme globale) On écrit la loi fondamentale de la dynamique (4.1). La résultante et le moment en O du torseur des accélérations sont donnés en (4.5), tandis que la résultante et le moment en O du torseur des efforts extérieurs sont donnés en (4.7) à condition de remplacer le vecteur T par p n. Il vient : ρ Γ dv = p n d + f dv (4.8) OM (ρ Γ) dv = OM ( p n) d + OM f dv (4.9) pour toute partie de 0. ans ces intégrales, le point M est le point courant dans ou sur. Naturellement si 0 est au repos, l accélération Γ est nulle, et on retrouve la loi fondamentale de la statique donnée en (2.7) et (2.8). Au niveau des hypothèses, la force f est une fonction définie et continue par morceaux sur 0, le champ des vitesses U et la pression p sont définis et de classe C 1 par morceaux sur 0

4 74 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT et le volume est supposé être limité par une surface régulière par morceaux (c est-à-dire de classe C 1 par morceaux). Rappelons que C 1 signifie continûment différentiable et que C 1 par morceaux signifie continûment différentiable par morceaux Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits (deuxième forme globale) ans les équations (4.8) et (4.9), il intervient des intégrales de surfaces. Comme dans le chapitre 2 (tatique des fluides), nous allons transformer ces intégrales de surface en intégrales de volume. Pour ce faire, nous utilisons les lemmes 2.1 et 2.2 démontrés dans le chapitre 2 (paragraphe 2.3.2, formules (2.9) et (2.10)), et que nous rappelons ici. Lemme 2.1 et 2.2 oit un volume de frontière régulière par morceaux. oit p une fonction définie et de classe C 1 sur. Alors : p n d = grad p dv (4.10) OM (p n) d = OM grad p dv (4.11) En utilisant ces deux lemmes, la loi fondamentale de la dynamique donnée en (4.8) et (4.9), devient : ρ Γ dv = grad p d + f dv (4.12) OM (ρ Γ) dv = OM ( grad p) d + OM f dv (4.13) pour toute partie de 0. ans ces expressions, la pression p apparaît dans des intégrales de volume. Comme précédemment on a une loi pour la résultante et une loi pour le moment en O. Remarque Il faut bien remarquer que l application des lemmes 2.1 et 2.2 supposent, au niveau des hypothèses, que U et p sont de classe C 1 sur. Comme conséquence, dans les deux lois (4.12) et (4.13), p est de classe C 1 sur 0. Pour un volume présentant des discontinuités en son sein (un domaine d huile au sein d un domaine d eau par exemple), il faut utiliser les premières expressions (4.8) et (4.9) Loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits sous forme locale Nous procédons comme dans le chapitre 2 (tatique des fluides). oit le volume de fluide 0 et supposons p de classe C 1 sur 0 et Γ et f continus sur 0. Considérons la loi (4.12) et appliquons-la à un domaine très petit et égal à V contenant un point, noté M 0, en son intérieur : V ρ Γ dv = V grad p d + Comme V est très petit, on peut écrire : ( ρ Γ f + grad p ) V = 0 où la valeur de la parenthèse est prise en M 0. Comme V n est pas nul, c est la parenthèse qui est nulle. Le point M 0 est quelconque. On en déduit que ρ Γ f + grad p = 0 en tout point M 0 de 0, donc en tout point M de 0. où : V f dv

5 4.2. LOI FONAMENTALE E LA YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT 75 Loi fondamentale de la dynamique sous forme locale en tout point M de 0. On appelle cette équation, l équation d Euler. Cette équation est valable, que ρ soit constant ou non. ρ Γ = grad p + f (4.14) Interprétation de l équation d Euler On procède comme dans le chapitre 2. ans le repère orthonormé (O; x, y, z), on considère un petit parallélépipède rectangle dont les six faces sont dans les plans d abscisse x et x + x, d ordonnée y et y + y et de cote z et z + z (Fig. 4.2). La quantité d accélération de ce petit volume est ρ Γ(x, y, z, t) V. Les forces s exerçant sur ce petit volume sont, d une part la force f V, et d autre part les forces de pression sur les six faces du parallélépipède. Ces dernières sont égales à (voir chapitre 2, paragraphe 2.3.4) : p(x + x, y, z) y z e x + p(x, y, z) y z e x p(x, y + y, z) x z e y + p(x, y, z) x z e y p(x, y, z + z) x y e z + p(x, y, z) x y e z où e x, e y et e z sont les vecteurs unitaires des axes (O, x), (O, y) et (O, z). Naturellement, dans toutes les fonctions, la variable t est a priori présente ; pour ne pas alourdir l écriture nous ne la faisons pas figurer. Référentiel galiléen z x M y z O y x V = x y z Fig. 4.2 Interprétation de l équation d Euler On écrit, en se limitant à la partie résultante, la loi fondamentale pour ce petit volume : ρ Γ(x, y, z) x y z = {p(x + x, y, z) p(x, y, z)} e x y z {p(x, y + y, z) p(x, y, z)} e y x z {p(x, y, z + z) p(x, y, z)} e z x y + f(x, y, z) x y z Projetons cette équation l axe (O, x) puis divisons le résultat par x y z : e x (ρ Γ(x, y, z) ) = 1 [ ] p(x + x, y, z) p(x, y, z) + ex x f(x, y, z)

6 76 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT Faisons tendre x vers 0. On obtient : e x (ρ Γ(x, y, z) ) p(x, y, z) = + e x x f(x, y, z) soit ρ Γ e x = p x + f e x Un raisonnement analogue sur les deux autres composantes conduit à : ρ Γ e y = p y + f e y, ρ Γ e z = p z + f e z d où l équation vectorielle suivante : ρ Γ = grad p + f On retrouve l équation (4.14), qui traduit donc la loi fondamentale d un petit volume élémentaire autour de M. Remarque i maintenant, on considère la loi (4.13) et si on l applique à un domaine V très petit contenant M 0 en son intérieur, on peut comme précédemment, déduire de (4.13) : OM ( ρ Γ + grad p f ) V = 0 Nous voyons qu avec (4.14), cette dernière équation est toujours vérifiée. En d autres termes, l équation (4.13) pour le moment en O n apporte aucune information supplémentaire au niveau de l équilibre local. ans des cours de mécanique des fluides plus avancés, on montre que ce résultat provient de la modélisation choisie pour les efforts intérieurs Conditions aux limites L objectif de ce paragraphe est de décrire le comportement d un fluide parfait en mouvement quand il se trouve en contact avec une paroi solide ou bien en contact avec un autre fluide parfait. Condition aux limites sur une paroi solide Le fluide parfait est en mouvement le long d une paroi solide (Fig. 4.3-a) au repos. On note n le vecteur unitaire normal à la paroi au point M et dirigé vers le fluide, et U le vecteur vitesse du fluide au point M. On admet que le fluide glisse le long de la paroi, c est-à-dire que l on a : U n = 0 (4.15) La relation (4.15) signifie que le vecteur vitesse U est parallèle à la paroi. Il n y a pas de frottement entre le fluide et la paroi. Remarquons, que si la paroi possède la vitesse W, alors la condition (4.15) est à remplacer par : ( U W ) n = 0 (4.16) Par ailleurs, concernant la pression du fluide à la paroi, nous admettons que la propriété établie en statique des fluides est encore vérifiée, à savoir : La force exercée par la paroi sur le fluide, en tout point M de la paroi, est normale à la paroi, dirigée vers le fluide et de module égal à la pression p du fluide en M.

7 4.2. LOI FONAMENTALE E LA YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT 77 Écoulement le long de la paroi (a) M n 1 2 fluide Paroi au repos paroi au repos U Écoulement le long d une interface air huile (b) M U 1 n 1 2 U2 eau fluide 1 fluide 2 Fig. 4.3 Conditions aux limites Condition aux limites au niveau d une interface oit maintenant deux fluides parfaits en mouvement séparés par une surface (appelée interface)(fig. 4.3-b). Notons 1 et 2 les deux fluides, M un point de et n 1 2 le vecteur unitaire, normal à en M et dirigé de 1 vers 2. Les vitesses en M des fluides 1 et 2 sont notées respectivement U 1 et U 2. On admet que les fluides glissent le long de l interface, c est-à-dire que l on a : U 1 n 1 2 = 0, U2 n 1 2 = 0 (4.17) Par ailleurs, concernant les pressions p 1 et p 2 des deux fluides en M, point de l interface, nous admettons que la propriété établie en statique des fluides est encore vérifiée, à savoir : p 1 = p 2 (4.18) Un système complet d équations et de conditions aux limites Cas d un fluide incompressible On rappelle que Γ = U/t. Les équations de la conservation de la masse et d Euler s écrivent : div U = 0 ρ U t = grad p + f (4.19) Ici, ρ est constant. On a quatre équations scalaires pour les quatre inconnues U = (u, v, w) et p. Ces quatre inconnues sont fonction des quatre variables d Euler x, y, z et t. On adjoint à ce système d équations, sur les bords du domaine limitant le fluide, les conditions aux limites décrites dans le paragraphe précédent. On peut être amené également à devoir écrire des conditions à l infini si le fluide vient de l infini (ou va à l infini). Remarquons que dans (4.19), la pression ne figure que par son gradient. i on ajoute à p une constante, les équations sont inchangées. Il sera donc nécessaire de se donner la pression en un

8 78 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT point de l écoulement (éventuellement à l infini) afin de pouvoir déterminer la pression en tout point du fluide. Cas d un fluide compressible ans ce cas, la masse volumique ρ n est pas constante. À titre d exemple, adjoignons la loi d état de Mariotte aux équations de la conservation de la masse et d Euler, d où : ρ t + div( ρ U ) = 0 ρ U t = grad p + f (4.20) p = r ρ T Ici, on a six équations scalaires pour les sept inconnues ρ, U = (u, v, w), p et T, où T est la température absolue. Il manque une équation. En fait, il manque une équation pour T. Cette équation manquante est celle traduisant le bilan d énergie, donnée par le premier principe de la thermodynamique, comme ceci sera vu en 3 e année de Licence de Mécanique. Pour un fluide compressible, il y a donc couplage entre le problème mécanique et le problème thermique éfinition d un problème de dynamique des fluides parfaits stationnaire ans le chapitre 3 (Cinématique des fluides), la définition d un écoulement stationnaire a été donnée. Nous rappelons que l écoulement est dit stationnaire, si le vecteur vitesse U exprimé en variables eulériennes (x, y, z, t) ne dépend pas explicitement de la variable t. Un problème de dynamique de fluides parfaits est dit stationnaire, si les inconnues U = (u, v, w) et p (ou plus généralement ρ, U = (u, v, w), p et T ) exprimées en variables eulériennes (x, y, z, t) ne dépendent pas explicitement de la variable t. 4.3 Théorème de Bernoulli ans ce paragraphe, nous considérons la dynamique des fluides parfaits incompressibles, c est-à-dire ayant une masse volumique ρ constante (cas des liquides usuels), dans le champ de la pesanteur. Nous supposons, de plus, que l accélération de la pesanteur g est constante. Par ailleurs comme dans le chapitre 2 (tatique des fluides), l axe vertical est Oz et est dirigé de bas en haut. Nous établissons le théorème de Bernoulli (aniel Bernoulli, ), puis nous donnons un certain nombre d applications. Théorème 4.1 ous les hypothèses suivantes : le fluide est incompressible (ρ = cste), le fluide est parfait, les seules forces extérieures sont les efforts de pesanteur avec l accélération g = g e z constante, l écoulement est stationnaire (la vitesse U et la pression p exprimées en variables eulériennes ne dépendent pas explicitement du temps), on a, U désignant le module du vecteur vitesse U : sur chaque ligne de courant (ou chaque trajectoire). U p + g z = cste (4.21) ρ Il est à remarquer, que si le fluide est au repos, alors U = 0, et on retrouve la loi de l hydrostatique (Chapitre 2, formule (2.19)).

9 4.3. THÉORÈME E BERNOULLI 79 émonstration du théorème achant que ρ est constant, que Γ = U/t et que f = ρ g = ρ g e z, l équation vectorielle d Euler (4.14) s écrit : U t + grad p + g e z = 0, ρ Multiplions cette équation scalairement par U : U U t + U grad p + g U ρ e z = 0 (4.22) ans le dernier terme, on reconnaît g w = g z/t, w étant la composante de U sur l axe (O, z). ans le second terme, on reconnaît la dérivée particulaire de la quantité p/ρ, car ρ est constant et l écoulement stationnaire (voir Chapitre 3, paragraphe 3.2, formule (3.14)). Enfin pour le premier terme, on peut écrire : U U t = u u t + v v t + w w t achant que l écoulement est stationnaire, on a : u u ( t = u u u x + v u y + w u ) = 1 ) (u u2 z 2 x + v u2 y + w u2 = 1 u 2 z 2 t On fait de même avec v (v/t) et w (w/t). Il vient : U U t = 1 ( ) u 2 2 t + v2 t + w2 = 1 U 2 t 2 t Comme conséquence, l équation (4.22) s écrit : ( U 2 t 2 + p ) ρ + g z = 0 où, en appliquant la propriété établie dans le paragraphe du chapitre 3 : U p ρ + g z = cste le long de chaque trajectoire, ou le long de chaque ligne de courant (car l écoulement est stationnaire). Interprétation du théorème de Bernoulli L équation de Bernoulli (4.21) peut être considérée comme un principe de conservation d énergie adapté aux fluides parfaits incompressibles en mouvement. Considérons une particule fluide de masse unité. Le premier terme U 2 /2 est l énergie cinétique de cette unité de masse. Le dernier terme g z est l énergie potentielle de cette unité de masse dans le champ de la pesanteur. Enfin le second terme p/ρ correspond à «l énergie de pression» de cette unité de masse de fluide. La somme de ces trois termes est constante le long de la trajectoire, c est-à-dire lorsque l on suit la particule fluide dans son mouvement. On dit que «l énergie se conserve». Il faut bien noter qu ici le fluide est parfait, et qu il n y a pas de frottement à l intérieur du fluide, donc pas de perte d énergie.

10 80 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT 4.4 Applications du théorème de Bernoulli Le théorème de Bernoulli a de très nombreuses applications. ans cette partie du cours, nous en donnerons seulement trois : le tube de Venturi, le tube de Pitot et la formule de Torricelli. L étudiant en verra d autres dans les exercices corrigés (paragraphe 4.7). Mais auparavant, introduisons la notion «d approximation par tranches», et donnons quelques généralités sur les écoulements dans des tubes de courant de section lentement variable. Naturellement, les hypothèses du théorème de Bernoulli sont supposées satisfaites Approximation des écoulements par tranches Considérons un tube de courant (voir la définition, chapitre 3, paragraphe 3.1.7). Ce tube est supposé relativement effilé (Fig. 4.4-a). La ligne centrale L, appelée aussi ligne moyenne, est une ligne de courant particulière, paramétrée par x. On note (x) la section droite du tube au point d abscisse x, et n le vecteur unitaire normal à la section (x), tangent à la ligne de courant L et orienté dans le sens du courant. On dit que l écoulement vérifie l approximation des écoulements par tranches si on a : en tout point de chaque section droite (x), le vecteur vitesse U tel que U = U(x) n, en tout point de chaque section droite (x), la pression p telle que p = p(x). Le vecteur vitesse U et la pression ne dépendent donc que de x, et ne dépendent pas des coordonnées transversales dans (x). Il faut bien noter qu il s agit d une approximation : en effet, en général près de la surface du tube de courant la vitesse U = U(x) n n est pas tangente au tube, ce qui contredit la définition du tube de courant (où la vitesse est tangente aux lignes de courant). Nous verrons, sur des exemples simples, que cette approximation permet une première approche des problèmes physiques tout à fait acceptable, et très utile dans de nombreuses applications. Cette approximation est bien justifiée lorsque le tube de courant ne s évase pas trop. Une inclinaison inférieure à 7 entre la paroi externe du tube et la ligne moyenne est généralement acceptable (voir figure 4.4-a). (a) (x) n L U(x) n, p(x) Tube de courant (b) (x 0 ) (x) n L n 0 U(x 0 ) n 0, p(x 0 ) U(x) n, p(x) Fig. 4.4 Approximation des écoulements par tranches

11 4.4. APPLICATION U THÉORÈME E BERNOULLI Évolution de la pression et de la vitesse le long d un tube de courant de section lentement variable Les notations sont celles du paragraphe précédent. Considérons un tube de courant de section lentement variable, c est-à-dire que (x) varie peu en fonction de x, et supposons que l approximation des écoulements par tranches soit possible. upposons de plus que la loi de la conservation de la masse soit vérifiée. Pour l écoulement présent à l intérieur du tube de courant, nous allons écrire d une part le théorème de Bernoulli le long de la ligne moyenne L, et d autre part la conservation du débit le long de ce même tube. Théorème de Bernoulli le long de L Conservation du débit massique U 2 (x) 2 + p(x) ρ + g z = cste (4.23) ρ U(x) (x) = cste (4.24) En effet ρ U(x) (x) est la quantité de fluide qui traverse, par unité de temps, la section (x) dans la direction du vecteur n. e même, ρ U(x 0 ) (x 0 ) est la quantité de fluide qui traverse, par unité de temps, la section (x 0 ) dans la direction du vecteur n 0 (Fig. 4.4-b). La loi de la conservation de la masse implique que ces deux quantités sont égales, car il n y aucun transfert de masse au travers de la surface latérale du tube de courant. upposons que la ligne L soit dans un plan horizontal, et qu ainsi la cote z soit constante le long de L. Comme conséquence de (4.23) et de (4.24), il vient, sachant que ρ est une constante : ρ U 2 (x) 2 + p(x) = cste, ρ U(x) (x) = cste (4.25) i l aire de la section (x) décroît avec x, alors la vitesse U(x) augmente d après la seconde relation, et la pression p(x) diminue d après la première relation. i l aire de la section (x) croît avec x, alors la vitesse U(x) diminue d après la seconde relation, et la pression p(x) augmente d après la première relation. éfinition Le tube est dit convergent si la section (x) décroît avec x (Fig. 4.5). Le tube est dit divergent si la section (x) croît avec x (Fig. 4.5). Lorsqu un tube convergent se prolonge par un tube divergent, la section d aire minimale est appellée col (Fig. 4.5). Un tel tube est dit «tube convergent - divergent». Conclusion ans un tube convergent, la vitesse U(x) croît, et la pression décroît. ans un tube divergent, la vitesse U(x) décroît, et la pression croît. ans un tube convergent - divergent, la vitesse U(x) croît, passe par un maximum au col puis décroît. La pression p(x), quant à elle, décroît, passe par un minimum au col puis croît (Fig. 4.5). Il faut bien noter que la vitesse U(x) prend sa valeur la plus grande au col, alors que la pression prend sa valeur la plus petite au col.

12 82 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT x x Tube convergent Tube divergent col x Tube convergent - divergent U(x) croît, p(x) décroît U(x) décroît, p(x) croît Fig. 4.5 Tube convergent, divergent, convergent-divergent Tube de Venturi Giovanni Battista Venturi (physicien italien, ), désirant arroser son jardin pensait qu une réduction de diamètre sur une canalisation d eau lui permettrait d augmenter la pression de l eau. Inutile de dire que le résultat fut à l opposé de ce qu il attendait (voir la conclusion ci-dessus). Principe du Venturi Considérons un tube de révolution autour de l axe x x horizontal (Fig. 4.6-a), constitué de deux tronçons cylindriques et d un tronçon de section plus petite entre les deux. La section droite d abscisse x est circulaire et a pour aire (x). Un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ traverse ce tube. Ce tube est aussi un tube de courant, car la vitesse de l écoulement est tangente à la paroi du tube. On adopte l approximation des écoulements par tranches, et on note U(x) et p(x) la vitesse et la pression dans la section (x). En amont (Fig. 4.6-a), la section est 0, la vitesse U 0 et la pression p 0. Comme précédemment, nous appliquons le théorème de Bernoulli le long de l axe x x entre les deux sections 0 et (x), et la conservation de la masse entre ces deux mêmes sections. Il vient, d après (4.23) et (4.24) : U 2 (x) 2 + p(x) ρ = U p 0 ρ ρ U(x) (x) = ρ U 0 0 Il vient en éliminant la vitesse U(x) entre ces deux relations : ( ) 1 2 U (x) 1 = p 0 p(x) ρ d où : 2 (p 0 p(x)) U 0 = (x) ρ (0 2 2 (x)) (4.26)

13 4.4. APPLICATION U THÉORÈME E BERNOULLI 83 U 0, p 0 U(x), p(x) U = K h x 0 (x) x (a) Principe du tube de Venturi (c) 0 h U, p 1 c g (b) h B A Tube de Venturi Fig. 4.6 Tube de Venturi i on connaît la géométrie du tube et si on sait mesurer la différence de pression p 0 p(x), la formule (4.26) permet de trouver la vitesse en amont U 0. Application du tube de Venturi Une application très connue du principe du Venturi est la mesure de la vitesse d un écoulement. Considérons ici l écoulement d un gaz, que nous supposons être un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ, ayant la vitesse U et la pression p. Nous introduisons dans cet écoulement, et parallèlement à la vitesse U, que nous supposons horizontale, un petit tube de révolution, très fin (comme une aiguille), de telle sorte qu il ne perturbe pas l écoulement initial. Le fluide pénètre dans le tube (Fig. 4.6-b) avec la vitesse U = U e x et la pression p ( e x est le vecteur unitaire de l axe du tube). Notons 1 l aire de la section droite d entrée du tube et c l aire de la section droite au col (section d aire minimale). Par ailleurs, on place un manomètre à liquide entre les deux sections 1 et c, la masse volumique du liquide étant ρ 0. Nous appliquons la formule (4.26) avec U 0, p 0, p(x), 0 et (x) remplacés respectivement par : U, p, p c, 1 et c. Il vient : 2 (p p c ) U = c ρ (1 2 2 c ) ans le manomètre, les fluides sont au repos. Au niveau de la prise de pression en 1, le gaz qui a pénétré dans le manomètre, est au repos et à la même pression que dans la section du Venturi : autrement dit le gaz est à la pression p, et cette pression se retrouve à la surface B du liquide (Fig. 4.6-b), soit p B = p. e même, au niveau de la prise de pression au col, le gaz est au repos dans le manomètre et ainsi la pression à la surface A du liquide est p A = p c. La section c étant plus petite que 1, on sait d après le paragraphe précédent que l on a : p c < p. La cote du point A est donc supérieure à celle du point B. Notons h la différence de cote des deux points A et B. La loi de l hydrostatique (chapitre 2, formule (2.19)) dans le manomètre donne : p A p B = ρ 0 g h p p c = ρ 0 g h

14 84 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT On déduit des relations précédentes : On peut donc écrire : 2 ρ 0 g h U = c ρ (1 2 2 c ) 2 ρ 0 g U = c h (4.27) ρ (1 2 2 c ) U = K h où K est une constante ne dépendant que de l appareil. La vitesse U est donc obtenue à partir de la mesure de h. La vitesse U croît comme h (Fig. 4.6-c). On peut étalonner l appareil et ainsi avoir un appareil permettant de mesurer la vitesse. Cet appareil est utilisé, par exemple, pour mesurer la vitesse d un avion en vol : il faut bien noter que l appareil fixé sur l avion donne la vitesse de l air par rapport à l avion (et non la vitesse de l avion par rapport au sol). ur les avions, le cadran correspondant sur le tableau de bord et donnant la vitesse s appelle le «badin», du nom du premier constructeur. Notons que c est en 1879 que naît Raoul-Edouard Badin, officier français, et que c est en 1914 qu il invente l anémomètre qui, dans les avions, permet de mesurer la vitesse de l aéronef par rapport à l air et qui depuis s appelle, un badin. Remarque Un tube de Venturi peut aussi être utilisé pour mesurer des vitesses de fluides dans d autres situations que celle donnée ici : par exemple pour des écoulements non horizontaux, des écoulements de liquide,... Il faut alors reprendre les calculs en les adaptant à la situation précise envisagée (voir exercices corrigés) Tube de Pitot Henri Pitot (ingénieur et physicien français, ) a conçu un dispositif qui est toujours utilisé pour déterminer la vitesse des aéronefs, mais aussi pour mesurer la vitesse des écoulements en laboratoire. Comme le tube de Venturi, il utilise les variations de pression décrites par la loi de Bernoulli. U, p (1) p A A U, p B A U, p (2) B p p B B h A (a) Principe du tube de Pitot (b) Tube de Pitot Fig. 4.7 Tube de Pitot Principe du Pitot Considérons deux petits tubes (1) et (2) de révolution d axes horizontaux (Fig. 4.7-a), ayant grossièrement la forme indiquée sur la figure (comme une bouteille très élancée) avec, pour le

15 4.4. APPLICATION U THÉORÈME E BERNOULLI 85 premier une ouverture en son extrémité, et pour le second une ouverture en B sur le côté. Ces tubes, appelés aussi «sondes», sont placés parallèlement à un écoulement de fluide parfait, incompressible de masse volumique ρ, de vitesse et de pression constantes et égales respectivement à U et p. Les tubes sont maintenus immobiles. Ils sont très effilés de telle sorte que l écoulement n est pas perturbé. Par l ouverture, supposée petite, le fluide pénètre dans la sonde (1) jusqu au point A au fond du tube, fond qui est perpendiculaire à l écoulement (Fig. 4.7-a). L axe du tube, sur lequel est le point A, est une ligne de courant. Le point A est un point d arrêt car la vitesse du fluide en A est nulle. On note p A la pression du fluide en A. Nous appliquons le théorème de Bernoulli le long de cette ligne de courant, entre un point en amont (vitesse U et pression p) et le point A. Il vient : U p ρ = p A (4.28) ρ Considérons maintenant la seconde sonde. Le fluide pénètre dans le tube (2) et y est au repos (Fig. 4.7-a). On note p B la pression en B à l intérieur du tube. Au niveau de l ouverture en B, il y a une interface entre le fluide extérieur au tube qui a la vitesse U et la pression p, et le fluide intérieur au tube qui a la vitesse nulle et la pression p B. ur cette interface, on écrit la condition au limite (4.18), d où : p = p B (4.29) soit : Il vient en éliminant la pression p entre les équations (4.28) et (4.29) : 1 2 U 2 = p A ρ p B ρ U = 2 ρ (p A p B ) (4.30) i on sait mesurer la différence de pression p A p B, la formule (4.30) permet de trouver la vitesse U de l écoulement. Remarquons que la pression au point d arrêt p A est toujours plus grande que la pression de l écoulement p (voir (4.28), donc plus grande que la pression p B. Réalisation technologique d un tube de Pitot Il y a bien des façons de réaliser un tube de Pitot. Considérons ici l écoulement d un gaz, que nous supposons être un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ ayant la vitesse U. Nous introduisons parallèlement à cet écoulement, les deux sondes emboitées (Fig. 4.7-b). Comme le fluide est un gaz, à l intérieur de la sonde ouverte en B, on a partout la pression p B. On place un manomètre à liquide dont la masse volumique est ρ 0, entre le point A de la sonde (1), et un point quelconque de la sonde (2) où naturellement la pression est p B. Comme précédemment, dans le manomètre, les fluides sont au repos. Au niveau des prises de pression, on retrouve les pressions p A et p B sur les surfaces A et B du liquide du manomètre (Fig. 4.7-b). La cote du point B est supérieure à celle du point A, car p A est plus grande que p B. Notons h la différence de cote des deux points B et A. La loi de l hydrostatique (chapitre 2, formule (2.19)) dans le manomètre donne : p A p B = ρ 0 g h p A p B = ρ 0 g h On déduit de (4.30) et de la dernière relation ci-dessus : 2 U = ρ ρ 0 g h (4.31)

16 86 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT On peut donc écrire : 2 ρ0 g U = h ρ U = K h où K est une constante ne dépendant que de ρ, ρ 0 et g. La vitesse U est donc obtenue à partir de la mesure de h. Comme pour le tube de Venturi, la vitesse U croît comme h (Fig c). On peut étalonner l appareil et ainsi avoir un appareil permettant de mesurer la vitesse de l écoulement. Cet appareil est toujours utilisé pour mesurer la vitesse d un avion en vol, vitesse de l air par rapport à l avion. Remarque Un tube de Pitot peut être utilisé pour mesurer des vitesses de fluide dans d autres situations que celle donnée ici : par exemple pour des écoulements non horizontaux, des écoulements de liquide,... Il faut alors reprendre les calculs en les adaptant à la situation précise envisagée Formule de Torricelli Evangelista Torricelli (physicien mathématicien italien, ) a mis en évidence l existence de la pression atmosphérique et inventé le baromètre à mercure. on œuvre est considérable. On lui doit en particulier, en hydraulique, la formule de Torricelli : U = 2 g h. ans le champ de la pesanteur, on considère la vidange d un réservoir de grandes dimensions contenant un fluide incompressible (par exemple de l eau). La vidange se fait au travers d un petit trou (Fig. 4.8-a). Connaissant la hauteur du fluide au-dessus du trou de vidange, trouver le débit, telle est la question. On suppose que le petit orifice pour la vidange du réservoir a la section et est situé dans le bas du réservoir (Fig. 4.8-a). Le jet après sa sortie se contracte (il s agit d une observation expérimentale), pour donner un jet uniforme de section constante c avec c = 0, 6 environ. La constante c est appelée «coefficient de contraction». On admet que le réservoir est grand, et que la surface libre du réservoir a une aire A très grande par rapport à l aire du trou (Fig. 4.8-a). On note (O, z) l axe vertical ascendant, g l accélération de la pesanteur supposée constante, p a la pression atmosphérique supposée constante, et h la hauteur d eau entre le point A de la surface libre et le point B du jet juste après la contraction. A partir du point B, on admet que le jet est cylindrique et vertical. On suppose que l on peut adopter l approximation des écoulements par tranches dans le jet au voisinage du point B. Ainsi au sein du jet, au niveau de B, la vitesse est constante, dirigée vers le bas et de module U. e plus, la pression est constante dans la section droite du jet en B ; cette pression qui est celle du liquide au bord du jet est donc égale à la pression p a de l atmosphère à l extérieur du jet. onc la pression dans la section droite du jet en B est p a. On note p A la pression du liquide sur la surface libre. après (4.18), cette pression est égale à la pression atmosphérique et par suite p A = p a. On note U A le module de la vitesse d un point de la surface libre ; on suppose que cette vitesse est constante pour tous les points de la surface. Ainsi la conservation du débit massique conduit à : ρ U A A = ρ U c, soit U A U = c A 1 On peut donc négliger U A devant U. ans ce qui suit, nous ferons U A = 0. On étudie la vidange du réservoir sur un intervalle de temps assez court pour que l on puisse considérer que la surface libre en A ne bouge pas et que l écoulement est stationnaire. Par

17 4.4. APPLICATION U THÉORÈME E BERNOULLI 87 z p a g z A A g h m h B c O O p a (a) (b) Fig. 4.8 Vidange d un très grand réservoir ailleurs, les autres hypothèses du théorème de Bernoulli sont satisfaites : fluide parfait, ρ = cste et champ de la pesanteur constant. On introduit une ligne de courant (que l on suppose exister) entre un point A de la surface libre et un point B dans la section droite du jet en B (Fig. 4.8-a). Le théorème de Bernoulli donne : 1 2 U A 2 + p A ρ + g z A = 1 2 U B 2 + p B ρ + g z B où les indices A et B indiquent que les quantités auxquelles ils sont appliqués sont à prendre en A et B. Compte tenu des remarques faites précédemment, on a : 0 + p a ρ + g z A = 1 2 U 2 + p a ρ + g z B U 2 = 2 g (z A z B ) = 2 g h U = 2 g h Formule de Torricelli (4.32) On obtient aisément le débit massique Q m et le débit volumique Q v : Q m = ρ c 2 g h, Q v = c 2 g h Remarques 1. La formule de Torricelli est extrêmement simple. L hypothèse de fluide parfait est essentielle : il n y a pas de frottement entre les filets fluides permettant de ralentir la chute du fluide. 2. Il faut remarquer que la vitesse U ne dépend pas du fluide contenu dans le réservoir. Cette vitesse est la même pour de l eau, de l alcool, de l huile, à condition naturellement que l on puisse bien supposer les fluides parfaits. 3. Une comparaison intéressante est celle que l on peut faire avec la chute d un corps solide dans le champ de la pesanteur et dans le vide. Considérons un corps solide de masse m, laché à l instant initial t = 0, sans vitesse initiale, d une hauteur h. Notons z la cote de

18 88 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT son centre d inertie, ż sa vitesse et z son accélération (Fig. 4.8-b). L écriture de la loi fondamentale conduit à : m z = m g ż = g t z = 1 2 g t2 + h Le corps a parcouru la distance h quand z = 0, c est-à-dire pour un temps tel que : t 2 = 2 h/g. La vitesse du corps est alors : ż = g 2 h g = 2 g h soit une vitesse, en module, égale à 2 g h. On retrouve la formule de Torricelli. On a aussi ce même résultat pour la chute d un corps dans l atmosphère, lorsqu on néglige les frottements de l air. 4.5 Théorème des efforts globaux ans les paragraphes précédents, nous avons exploité la loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits sous forme locale (équation d Euler et théorème de Bernoulli). ans ce paragraphe et le suivant, nous allons exploiter la loi fondamentale de la dynamique des fluides parfaits sous forme globale, mais uniquement pour la partie «résultante». On peut aussi exploiter la partie «moment», mais les calculs étant un peu plus compliqués, ceci sera vu en 3 e année de Licence de Mécanique Calcul préliminaire oit un fluide occupant le volume 0 et une partie de celui-ci. On note la surface limitant (Fig. 4.9). Nous avons introduit, dans le paragraphe 4.1.2, le torseur cinétique {K} et le torseur dynamique {A}. On se limite ici, aux résultantes de ces torseurs. On a : R(K) = ρ U dv, R(A) = ρ Γ dv Lemme 4.2 ous les hypothèses suivantes : on suit 0 dans son mouvement, la masse volumique ρ(x, y, z, t) et le champ des vitesses U(x, y, z, t) définis en variables d Euler sont de classe C 1 sur 0, la surface limitant est de classe C 1 par morceaux, la loi de la conservation de la masse est vérifiée en tout point de, on a : émonstration ρ U t dv = = (ρ U) t ρ U t dv = dv + ρ U ( U n) d ρ Γ dv (4.33) Tout d abord, considérons le cas où ρ(x, y, z, t) et U(x, y, z, t) sont de classe C 1 sur. Rappelons la formule donnant la dérivée particulaire d une intégrale de volume (Chapitre 3,

19 4.5. THÉORÈME E EFFORT GLOBAUX 89 formule (3.18)) : t (t) k( x, t) dv = = (t) (t) ( x, t) dv + k t (t) ( k t ( x, t) + div{ k( x, t) U( x, t) } k( x, t) U( x, t) n d ) dv Appliquons cette formule pour le volume et k( x, t) remplacé par ρ u, u étant la composante de U sur l axe (O, x). Les deux autres composantes seront notées comme précédemment v et w. Il vient : (ρ u) ρ u dv = dv + ρ u ( ) U n d t t { (ρ u) = + div ( ρ u U t )} (4.34) dv mais : div ( ρ u U ) = (ρ u2 ) x + (ρ u v) y + (ρ u w) z = ρ u u (ρ u) + u x x + ρ v u (ρ v) + u + ρ w u (ρ w) + u y y z z div ( ρ u U ) = ρ U grad u + u div ( ρ U ) On peut donc écrire : { (ρ u) + div ( ρ u U t )} = { ( u ρ t + U ) ( ρ grad u + u t + div( ρ U ) )} ans le second membre, la seconde parenthèse est nulle d après la loi de conservation de la masse (Chapitre 3, formule (3.23)), et on reconnaît dans la première parenthèse la dérivée particulaire de u. Finalement on peut écrire (4.34) sous la forme : t ρ u dv = (ρ u) t dv + ρ u ( U n ) d = ρ u t dv Naturellement, on a un résultat analogue pour les composantes v et w : (ρ v) ρ v dv = dv + ρ v ( ) U n d = ρ v t t t dv (ρ w) ρ w dv = dv + ρ w ( ) U n d = ρ w t t t dv En écrivant sous forme vectorielle ces trois derniers résultats, et sachant que Γ = U/t, on trouve le résultat (4.33). Remarque i maintenant les fonctions ρ et U sont de classe C 1 par morceaux sur, on considère des sous-domaines de, sur lesquels les fonctions ρ et U sont de classe C 1 et on applique le résultat (4.33) sur chacun des sous-domaines. Pour le domaine tout entier, on additionne les intégrales et on peut établir le résultat : ρ U t dv = ρ Γ dv Il est à noter que l hypothèse de la conservation de la masse est essentielle, comme ceci sera vu dans des cours plus avancés de mécanique.

20 90 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT Théorème des efforts globaux Théorème 4.3 ous les hypothèses suivantes : le fluide est incompressible (ρ = cste), le fluide est parfait, les seules forces extérieures sont les efforts de pesanteur avec l accélération g = g e z constante, l écoulement est stationnaire (la vitesse U et la pression p exprimées en variables eulériennes ne dépendent pas explicitement du temps) ; de plus, U et p sont de classe C 1 sur le domaine fluide, on a, la loi de la conservation de la masse étant satisfaite : ρ U ( ) U n d = p n d + m() g (4.35) pour tout domaine fluide limité par la surface, le vecteur n étant unitaire normal à et dirigé vers l extérieur de, et m() étant la masse de fluide contenu dans (Fig. 4.9). Le domaine est appelé volume de contrôle et la surface surface de contrôle Ce même théorème est connu aussi sous le nom de «Théorème des quantités de mouvement» ou «Théorème d Euler». : volume de contrôle p n n z : volume de contrôle M U O y ρ g x Référentiel galiléen Fig. 4.9 Volume de contrôle, surface de contrôle émonstration Rappelons la loi fondamentale écrite sous la première forme globale pour la résultante et donnée par (4.8) : ρ Γ dv = p n d + f dv Ici f = ρ g. Utilisons le résultat (4.33). Il vient : ( ρ U ) dv + ρ U t ( ) U n d = p n d + ρ g dv Le problème est stationnaire, donc ( ρ U ) / t est nul. Le vecteur g est constant, et on introduit la masse de. On trouve bien la relation (4.35) : ρ U ( ) U n d = p n d + m() g

21 4.6. APPLICATION U THÉORÈME E EFFORT GLOBAUX 91 Interprétation de (4.35) On rappelle que n est dirigé vers l extérieur de. Le premier membre de (4.35) donne le flux sortant des quantités de mouvement ρ U à travers la surface de contrôle (Fig. 4.9), car ( ) U n est le volume balayé par le morceau de, par unité de temps, dans la direction n. Le premier terme dans le second membre de (4.35) est la résultante des efforts de pression exercés sur la surface par l extérieur de. La résultante des efforts de pression exercés sur la surface par le fluide intérieur de est donc p n d Enfin, m() g est le poids du fluide intérieur à. Remarque importante sur (4.35) Il est à remarquer que les deux intégrales figurant dans (4.35) sont des intégrales de surface. Pour appliquer le théorème des efforts globaux, il suffit de connaître U et p sur la surface de contrôle, et non en les points intérieurs à. Pour appliquer ce théorème, il est inutile de chercher à déterminer U et p dans l intérieur de. Cette remarque est très importante, comme nous allons le voir dans les applications qui suivent. 4.6 Application du théorème des efforts globaux Le théorème des efforts globaux a de très nombreuses applications. ans ce paragraphe, nous en donnerons seulement trois : les efforts sur une canalisation, les efforts sur un embout de tuyau, et les efforts d un jet sur une plaque plane. L étudiant en verra d autres dans les exercices corrigés (paragraphe 4.7). Naturellement, les hypothèses du théorème des efforts globaux sont supposées satisfaites dans les trois exemples donnés Efforts sur une canalisation hydraulique On considère une conduite hydraulique présentant un changement de direction et l on souhaite calculer la résultante R des efforts de pression exercés par le fluide sur les parois du coude (Fig. 4.10). ans les sections droites 1 et 2 en amont et en aval du coude, on admet que le fluide est en écoulement uniforme et que la pression y est constante : ainsi dans 1 la vitesse est U 1 constante et perpendiculaire à la surface 1 et la pression est p 1 constante ; de même, dans 2 la vitesse est U 2 constante et perpendiculaire à la surface 2 et la pression est p 2 constante. Au niveau du coude, on ne fait aucune hypothèse sur la régularité de l écoulement. On introduit le volume de contrôle limité par les surfaces 1, 2 et la surface latérale l de la canalisation (Fig. 4.10). La surface de contrôle est = 1 2 l. La résultante R cherchée est : R = p n l d l où p est la pression dans le fluide sur la paroi l, n l le vecteur unitaire normal à la paroi et dirigé vers l extérieur (Fig. 4.10). Au niveau des notations, on introduit aussi, la vitesse U du fluide en un point quelconque de l écoulement, les normales n 1 et n 2 aux sections 1 et 2 dirigées vers l extérieur et m la masse du fluide contenu dans.

22 92 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT F 2 F1 F 1 U 1 g R U 1 n 1 1 g l n l l F 2 U 2 U2 n 2 2 Écrivons (4.35) : Fig Écoulement dans une canalisation ρ U ( U n ) d = n l p n d + m g (4.36) Considérons d abord l intégrale du premier membre, et décomposons la en trois morceaux : ρ U ( ) U n d = ρ U ( ) U1 1 n 1 d + ρ ( ) U U2 2 n 2 d + ρ U ( ) U nl d 1 2 l Au second membre, la troisième intégrale est nulle, car le fluide glisse sur la paroi (voir la formule (4.15)) et on a U n l = 0. Les deux premières intégrales sont faciles à calculer du fait des hypothèses faites, et en notant U 1 et U 2 les modules de U 1 et U 2, on a : ρ U ( ) ( ) U n d = ρ U1 U1 n ρ U ( ) U2 2 n 2 2 = ρ U1 2 1 n 1 + ρ U2 2 2 n 2 Considérons maintenant l intégrale avec le terme de pression p : p n d = p 1 n 1 d + 1 p 2 n 2 d + 2 p n l d l Au second membre, la troisième intégrale correspond à la résultante R cherchée. Les deux premières se calculent facilement, d où : p n d = p 1 1 n 1 + p 2 2 n 2 + R Finalement, en revenant à (4.36) on a : ρ U n 1 + ρ U n 2 = p 1 1 n 1 p 2 2 n 2 R + m g R = (ρ U p 1 ) 1 n 1 (ρ U p 2 ) 2 n 2 + m g (4.37) ans (4.37), m g est le poids du fluide contenu dans le coude, et les premiers termes du second membre correspondent à ce que l on appelle la poussée dynamique. Cette poussée est due au changement de direction et de section de la canalisation. Cette poussée est : (ρ U 2 1 +p 1) 1 n 1 (ρ U p 2) 2 n 2. Il faut remarquer, que contrairement à l équation de Bernoulli (4.21), il n y a pas le facteur 1/2 devant le terme en U 2 1 ou U 2 2.

23 4.6. APPLICATION U THÉORÈME E EFFORT GLOBAUX 93 Interprétation Posons F 1 = (ρ U 2 1 +p 1) 1 n 1 et F 2 = (ρ U 2 2 +p 2) 2 n 2. upposons les forces de pesanteur négligeables. On a : R = F 1 + F 2 Ces vecteurs sont représentés sur la figure On voit que R est la somme géométrique des deux poussées F 1 et F 2. Notons bien, à nouveau, qu il suffit de connaître l écoulement sur la surface de contrôle pour avoir R. On n a pas besoin de connaître le détail de l écoulement dans le coude Efforts sur un embout On considère un tuyau d arrosage, ou une lance d incendie, se terminant par un embout de masse négligeable (Fig a). Cet embout est de révolution autour de l axe x x, a la section 1 en amont et la section 2 à la sortie du jet. On suppose que le jet débouche dans l atmosphère et que l axe x x est horizontal. Le fluide a la masse volumique ρ constante et est en écoulement stationnaire. ans les sections droites 1 et 2, on admet que le fluide est en écoulement uniforme et que la pression y est constante : dans 1 la vitesse est U 1 constante et perpendiculaire à la surface 1 et la pression est p 1 constante ; de même, dans 2 la vitesse est U 2 constante et perpendiculaire à la surface 2 et la pression est p 2 constante. Quelle force F faut-il exercer sur l embout pour le maintenir au repos? (a) x 1 2 g e x U1 U2 x Embout (b) F 1 R F2 x Embout Pression du fluide le long de la paroi de l embout Fig Efforts de pression sur un embout On peut reprendre la formule (4.37) de l exemple précédent. ans le cas présent, n 1 = e x et n 2 = e x où e x est le vecteur unitaire de l axe x x. R = { (ρ U p 1 ) 1 (ρ U p 2 ) 2 } ex + m g L embout est maintenu au repos sous l effet des deux forces : R, force exercée par le fluide sur l embout, et F. onc F = R (4.38)

24 94 CHAPITRE 4. YNAMIQUE E FLUIE PARFAIT On peut donner une autre expression à R, donc à F, en utilisant la conservation du débit, et le théorème de Bernoulli écrit le long de la ligne de courant x x reliant les points A 1 et A 2 centres des sections 1 et 2 : d où : ρ 1 U 1 = ρ 2 U ρ U p 1 = 1 2 ρ U p 2 U 1 = 2 1 U 2, p 1 = p ρ U ρ U 2 2 Le résultat final est : ( R e x = (p 2 + ρ U2 2 ) 2 + p ρ U ) 2 ρ U ρ U1 2 ( 1 = p 2 ( 1 2 ) ρ U ρ U ) 2 ρ U ( = p 2 ( 1 2 ) + ρ U ) F e x = R e x = p 2 ( 1 2 ) + ρ U 2 2 ( 1 2 ) (4.39) Comme 1 est supérieur à 2, on voit, sur le résultat (4.39), que R e x est positif, ce qui signifie que la résultante des efforts de pression exercés par le fluide sur l embout est dirigée dans la direction de e x, c est-à-dire dans le sens de l écoulement, ce qui est intuitivement correct (Fig b). Quant à la force à exercer pour tenir l embout, elle est naturellement dans le sens opposé à l écoulement Efforts de pression exercés par un jet sur une plaque plane On considère l écoulement plan stationnaire d un fluide de masse volumique ρ constante schématisé sur la figure 4.12-a. Il s agit d un jet de vitesse U e x et de largeur d. Ce jet heurte une paroi plane et se sépare en deux parties comme il est indiqué sur la figure, formant à une certaine distance de l impact deux jets coulant le long de la plaque. Le premier est de largeur d 1 et de vitesse U 1 i, le second de largeur d 2 et de vitesse U 2 i (Fig a). La plaque fait l angle α avec l axe horizontal. Les lignes BC et AF limitant le jet sont des lignes de courant, dites lignes de jet. Le long de ces lignes, la pression est constante et égale à la pression atmosphérique (les lignes de jet sont des lignes interfaces entre l atmosphère extérieure et le fluide du jet). ans les sections AB, C et EF les écoulements sont supposés uniformes : les vitesses U, U 1 et U 2 sont constantes et les pressions y sont constantes. Ces pressions sont donc celles des bords du jet (interface entre l atmosphère et le fluide du jet) et sont donc égales à p a. L objectif est de calculer la résultante des efforts de pression exercés par le jet sur la plaque entre les points E et (voir Fig a). Les efforts de pesanteur sont négligés. Remarquons que ce problème est plan. Ceci signifie que l on a le même écoulement dans tous les plans parallèles au plan de la figure. Pour appliquer le théorème des efforts globaux, on considère une surface de contrôle constituée de trois parties : l, avant et arrière. La surface l est cylindrique, perpendiculaire au plan de la figure, de largeur L et de section le contour ABCEF A, noté L, l abscisse curviligne étant l (Fig b). On note avant et arrière les