Stéphane MARION Maître de Conférences IAE Université Jean Moulin Lyon 3 Septembre 2016

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1 Technique de financement Stéphane MARION Maître de Conférences IAE Université Jean Moulin Lyon 3 Septembre 2016

2 Le calcul financier en intérêts simples I. Les calculs financiers en intérêts simples A. Les mathématiques de l intérêt simple : a) Les calculs de base : la durée et l intérêt b) Le calcul en intérêt simple post-compté c) Le calcul en intérêt simple précompté d) Comparaison entre taux post-compté et taux précompté e) La notion de taux proportionnel B. Les domaines d application de l intérêt simple a) Le découvert en compte courant b) Les opérations sur effets de commerce c) Les titres de créances négociables et les bons du trésor.

3 Le calcul financier en intérêts simples Intérêts : rémunération qu un emprunteur verse au prêteur en contrepartie de la mise à disposition d une somme d argent, appelée capital ou principal. Intérêts simples : intérêts versés en une seul fois en début ou en fin d opération Intérêts composés : la rémunération du prêteur est versée périodiquement. Elle peut être incorporée au capital et l on parle de capitalisation des intérêts. A. Les mathématiques de l intérêt simple : Intérêts post-comptés : l intérêt est versé en fin d opération (opération à terme échu ou à taux post-compté) ; Intérêts précomptés : l intérêt est versé en début d opération (opération à intérêt payé d avance, opération à terme à échoir, ou opération à taux précompté). a) Les calculs de base : la durée et l intérêt Le montant de l intérêt : les intérêts I s expriment comme une quantité proportionnelle au capital prêté K, au taux d intérêt i et à la durée du prêt T. I K i T

4 La durée : soit T la durée d un prêt ou d un emprunt en retenant l année comme unité de temps. Pour les opérations court terme T < 1. La durée sera alors exprimée en jour, rapportée à une année. La convention de calcul majoritairement adoptée consiste à mettre au numérateur le nombre de jours exacts, que l on divise par, durée en jour d une année dite «commerciale». On parle de calcul en base «exact/». Le nombre exact de jours se calcul en excluant une des deux bornes. Exemple : une opération se déroulant sur une durée allant du 1 er janvier au 20 mars sera comptabilisé sur 78 jours soit exprimé en année : T = 78/ ~ 0,217 année. Application : M. Senfon emprunte la somme de entre le 12 octobre et le 20 novembre de l année N. Le taux d intérêt est de 5%. Calculez le montant des intérêts qui seront payés par M. Senfon.

5 b) Le calcul en intérêt simple post-compté Valeur acquise (ou valeur future) : on appelle valeur acquise en date T (notée K T ) d un capital noté K 0, au taux i, la valeur obtenue à l issue d un placement au taux i sur la durée T, soit : On en déduit : K T Fondamentaux de mathématiques financières K T K 0 I K0 ( K0 i T K0(1 ( i T )) Exemple : M. Delors place pour 9 mois un montant de 2 500, au taux de 5%. La valeur acquise de cette opération à l échéance est de : * (1+(0,05*9/12)) = 2 593,75 Application : M. Boncou emprunte la somme de , au taux de 7,5% pendant 18 mois. La somme sera remboursée en une seule fois au terme des 18 mois en même temps que le paiement des intérêts. Quelle somme devra t-il débourser au terme de l opération? )

6 Valeur actuelle ( ou valeur actualisée) : il s agit de la somme K 0 qu il faut placer en date 0 pour obtenir K T en date T, ou, du point de vue de l emprunteur, la somme que l on peut emprunter en date 0 si l on veut rembourser K T en T compte tenu d un certain taux d intérêt. On peut également considérer que prêteur ou un emprunteur pouvant accéder au marché des prêts ou des emprunts à un taux i, il est équivalent de détenir k 0 en date 0 ou K T en date T. La valeur actuelle peut donc s interpréter comme le capital aujourd hui équivalent à un capital K T disponible en T. L actualisation permet de comparer des montants monétaires dans le temps. K 0 KT (1 it ) Exemple : La somme que peut emprunter aujourd hui M. Sençou au taux de 7% s il ne peut rembourser que dans onze mois est la valeur actuelle de 5 600, soit : 5600 K0 5262,33 11 (1 0,07 ) 12 Application : M. Lemaire souhaite placer une somme au taux de 4,5% qui lui permette d avoir dans 10 mois Combien doit il placer?

7 Variation sur la formule de l intérêt simple post-compté : La formule peut être exprimée différemment en fonction de la variable recherchée. Par exemple, si K 0, I et T sont connus, il est possible d en déduire le taux d intérêt : i I 1 ( ) ( ) K 0 T Par ailleurs, en écrivant que l intérêt est égal à la différence entre la valeur acquise et la valeur actuelle (I=K T K 0 ), on peut en déduire : i K ( T K K ) ( T ) i K (( K T 0 ) 1 1) ( T )

8 c) Le calcul en intérêt simple précompté Le taux d intérêt précompté sera noté i e Dans une opération à intérêts payés d avance, l emprunteur paie l intérêt au moment de la mise à disposition du capital K. Il reçoit donc en date 0 la somme : Il remboursera le capital K en T. Valeur acquise et valeur actuelle d un capital : on notera K 0 le capital effectivement disponible pour l emprunteur en date 0 et K T le montant remboursé au prêteur en fin d opération. Le principal de l opération est maintenant k T et non plus k 0 comme dans les opérations à taux post-compté. On obtient alors : pour la valeur actuelle : pour la valeur acquise : Fondamentaux de mathématiques financières K ( K i T ) K(1 ( i T )) e K0 KT ( KT ie T ) K0 KT (1 ( ie T )) K T K0 (1 ( i T )) e e

9 Exemple : Soit une opération d emprunt d un montant de , au taux d intérêt précompté de 6%, débutant le N pour se terminer le N. En excluant une des deux bornes, le calcul de la durée de l opération donne un total de 252 jours ( ). Le calcul de l intérêt se fait à l aide de la formule : On en déduit la valeur actuelle de l emprunt, soit : I K i T , Il décaisse le 25 novembre N le remboursement du capital, soit Application : M. Lemprin emprunte , au taux d intérêt précompté de 7,2%, le 2 mars n jusqu au 20 janvier suivant. Combien recevra t-il le 2 mars? Quel sera le montant des intérêts qu il devra supporter? Combien remboursera t-il le 20 janvier?

10 Variation sur la formule de l intérêt simple précompté : Connaissant le capital effectivement disponible en 0 (K 0 ), le capital remboursé en fin d opération (K T ) et la durée T, on obtient le taux précompté à l aide de la formule suivante : i t KT K0 1 ( ) K T T Le calcul du taux connaissant le montant des intérêts est donné par : i t I 1 ( ) K T T

11 d) Comparaison entre taux précompté et taux post-compté A taux égal, les opérations en intérêt post-compté sont plus avantageuses pour l emprunteur (et moins avantageuses pour le prêteur) que les opérations en intérêt précompté. Il est toujours préférable de retarder un décaissement. De manière formelle, pour un même taux i, les valeurs acquises à la date T d un capital disponible initial k : En intérêt post-compté : K T K 0 (1 ( i T )) En intérêt précompté : K 0 K et (1 ( ie T )) Soit K = , i = 5%, T= 8 mois. En intérêt post-compté : 8 K T (1 (0,05 )) , En intérêt précompté : K et ( (0, )) ,

12 e) La notion de taux proportionnel Le taux fixé ou communiqué lors d une opération financière est un taux annuel. Si le calcul doit être effectué sur des périodes inférieures à l année (mois, trimestre, ) le taux correspondant sera calculé proportionnellement au taux annuel. Un taux d intérêt périodique sera noté i p qui représente la quantité i * T. Le montant des intérêts par période s écrit alors : A la différence de i, i p est exprimé en base T ; il est proportionnel à la durée et l on parle de taux proportionnel. Exemple : un taux annuel de 12% est égal à : Un taux mensuel de 1% ; Un taux trimestriel de 3% ; Un taux hebdomadaire de 0,23%. Fondamentaux de mathématiques financières I K i p

13 B. Les domaines d application de l intérêt simple Fondamentaux de mathématiques financières Nous pouvons appliquer les intérêts simples au calcul de frais liés à un découvert bancaire, à l escompte d effets de commerce ou à la valorisation de titres ou de créances négociables. a) Le découvert en compte courant calcul des agios : Le découvert correspond à un solde de compte bancaire débiteur (dans les livres de la banque). Il s analyse comme un prêt que l établissement de crédit consent à son client et donne lieu à rémunération appelée agios, généralement calculée et payée tous les trimestres. Les agios sont composés d intérêts proprement dits (post-comptés) et de commissions : Les intérêts débiteurs sont calculés sur les soldes débiteur au prorata du nombre de jours de découvert, selon la technique de l intérêt simple post-compté. Le taux est négociable. Il dépend du taux de base bancaire (TBB), il est de l ordre de TBB + 1,5% à TBB + 2,2%. La commission de plus fort découvert (CPFD) est calculée en appliquant un taux au plus fort découvert de chaque mois. Ce taux est d environ 0,05%. La commission de mouvement, qui s applique au total des mouvements débiteurs de la période. Le taux est de l ordre de 0,025% à 0,030%. Seule cette commission est assujettie à la TVA.

14 Le montant du découvert variant chaque jour, le calcul des intérêts est facilité par l établissement d un document appelé échelle d intérêts. Tableau récapitulatif de l ensemble des mouvements et soldes du compte courant Date de valeur Fondamentaux de mathématiques financières Mouvements Soldes Nombres Débit Crédit Débit Crédit Nb jours Nb débiteurs Les intérêts sont calculés à partir du tableau selon la méthode des nombres sur la base d une année commerciale de jours. Le calcul se fait en nombre exact de jours de découvert par solde. Ces soldes sont établis par la banque en date de valeur, dates qui sont différentes des dates d opération (les banque ont pour pratique de retarder les dates d encaissements et d avancer les dates de décaissements). Si par exemple un particulier fait une remise de chèques en date J (date d opération), la banque enregistre l opération le jour J, mais les fonds ne sont considérés comme disponibles sur le compte qu en J+2 ouvrés, soit 2 jours ouvrés après la date de remise des documents. On dit que l établissement applique deux jours de banque.

15 Supposons que le solde ait été débiteur de M 1 pendant n 1 jours, puis de M 2 pendant n 2 jours. Les intérêts s élèvent alors à : I = M 1 n 1 *(i/) + M 2 n 2 *(i/) = i/ *(M 1 n 1 + M 2 n 2 ) Le terme i/ est le taux journalier proportionnel au taux annuel i. De façon générale, pour N soldes débiteurs successifs, nos avons : I Fondamentaux de mathématiques financières i K N 1 On appelle nombre débiteur la quantité M k n K, c est-à-dire le produit du solde débiteur par le nombre de jours de découvert à ce solde. Le calcul des intérêts s obtient en appliquant un taux proportionnel journalier à la somme des nombres débiteurs. Exemple : Considérons l entreprise Flouze, dont le compte bancaire est tenu en. Les intérêts du découvert sont facturés au taux TBB+2%. La CPFD est de 0,05% et la commission de mouvements de 0,025%. Le TBB est à 8%. Le tableau ci-après présente, dans ses cinq premières colonnes, l évolution des mouvements de ce compte sur les trois premiers mois d une année N. Les deux dernières colonnes sont réservées au calcul des nombres débiteurs. M n k k

16 Date de valeur Mouvements Soldes Nombres Débit Crédit Débit Crédit Nb jours Nb débiteurs 1 janv janv janv janv fév fév fév er mars mars mars mars mars Total Fondamentaux de mathématiques financières

17 Date de valeur Fondamentaux de mathématiques financières Mouvements Soldes Nombres Débit Crédit Débit Crédit Nb jours Nb débiteurs 1 janv janv janv janv fév fév fév er mars mars mars mars mars Total

18 Calcul du ticket d agios : Les intérêts i s établissent à : Fondamentaux de mathématiques financières (8% 2%) 1203,06 La CDFP porte sur le plus fort découvert de chaque mois. Elle se calcule simplement par application du taux à chacun de ces plus forts découverts : ( ) 0,05% 163 En l absence de mouvements exonérés, la commission de mouvement est de : ,025% 288,25 Cette commission est assujettie à la TVA, soit : 288,2520% Le montant TTC du ticket d agios s élève donc à : 1203, ,

19 b) Les effets de commerce : Fondamentaux de mathématiques financières La lettre de change est un document émis par une personne appelée tireur (le créancier, c est à dire le fournisseur) qui donne mandat à une personne appelée tiré (le débiteur, c est à dire le client) de payer, à une date donnée, une somme d argent à une troisième personne, appelée bénéficiaire (généralement le tireur ou une tierce personne). Le tiré reconnaît sa dette vis-à-vis du tireur en acceptant la lettre de change. L acceptation se traduit par l apposition d une signature au recto du document. Le billet à ordre est un document émis par une personne appelée souscripteur (le débiteur) qui s engage à payer, à une date donnée, une somme d argent à une personne, appelée le bénéficiaire (le créancier). Le détenteur d un effet de commerce peut le conserver jusqu à l échéance pour en attendre le règlement ou le remettre à sa banque avant l échéance et en demander l escompte. L escompte est assimilable à une opération de prêt à intérêt précompté : le banquier paie immédiatement le montant de l effet (noté M) appelé valeur nominale, diminué des intérêts et des commissions. Les agios notés A correspondent à la somme des intérêts et des commissions.

20 Les agios sont composés de l intérêt, proportionnel à la valeur nominale de l effet et à la durée de l opération, d une commission, également proportionnelle à la valeur nominale et à la durée (dite commission d endos non soumise à TVA), d environ 0,60% et de commissions fixes (soumises à TVA). On appelle valeur actuelle, notée V, la valeur nominale de l effet diminué des agios : V M A Dans le calcul de la durée de l opération il est d usage de décompter un certain nombre de jours de banque, qui viennent s ajouter à la durée exacte de l opération, correspondant à la durée comprise entre la date de remise de l effet (date de négociation) et la date de l échéance de celui-ci. Par ailleurs pour les effets proches de l échéance (effets brûlants), la plupart des établissements de crédit décomptent un nombre minimal de jours (dix jours en général).

21 Exemple : L entreprise Hassec, le 12/11/N remet à sa banque deux effets d échéances respectives 19/11/N et 15/12/N et de montants respectifs : et La banque applique un taux d intérêt i e = 9% et compte deux jours de banque. La commission d endos est de 0,60%. Le total hors taxes (HT) des commissions fixes se monte à 15 par effet. La banque applique une durée minimale de 10 jours. Calcul des agios sur l effet n 1 : Les intérêts : % 53,75 La commission d endos se monte à : ,6% 3,58 Le total des agios HT relatifs à l effet n 1 est de : 53,75 3, ,33

22 Pour les deux opérations, le total des agios se monte à 148 HT. Calcul des agios sur l effet n 2 : Les intérêts : % 56,88 La commission d endos se monte à : ,6% 3,79 Agios : 56,88 3, ,67 Le rééchelonnement d effets de commerce : pour éviter un incident de paiement à l échéance un client peut demander à son fournisseur le report d une échéance. Par annulation du premier effet et remplacement par un second avec une date d échéance postérieure ; Par avance des fonds au client pour lui permettre d honorer sa dette (lorsque le fournisseur n est plus en possession de l effet) et émission d un nouvel effet pour matérialiser la dette. Le problème à résoudre consiste à rechercher, au jour du renouvellement, la nouvelle valeur nominale qui, compte tenu d un taux d intérêt donné, rende le nouvel effet équivalent à l ancien.

23 Soit : M 1 = valeur nominale de l ancien effet ; M 2 = valeur nominale du nouvel effet ; n 1 = durée de l ancien effet ; n 2 = durée du nouvel effet ; i e = le taux précompté de référence pour le calcul de l intérêt. n1 V M ( 1 1 ( i e )) L égalisation des valeurs actuelles des deux effets donne : M 1 Fondamentaux de mathématiques financières n1 n2 ( 1 ( ie )) M 2(1 ( ie )) Exemple : L entreprise Lever doit à l entreprise Dora une somme de , dette constatée par l acceptation d une traite à l échéance du 30/09/N. Le 10/09/N, l entreprise Lever prévoit qu elle ne pourra pas faire face au règlement de sa dette. Elle demande un report au 31/10/N. L entreprise Dora accepte de détruire la première traite et en tire une seconde. Elle doit calculer sa valeur nominale sachant qu elle retient un taux d escompte de 10%.

24 Le calcul du nombre de jours donne : entre le 10 et 30 septembre : 20 jours ; entre le 10 septembre et le 31 octobre : 51 jours. D après l égalisation des valeurs : M 1 Fondamentaux de mathématiques financières Le calcul financier en intérêt simple n1 n2 ( 1 ie ) M 2(1 ie ) (1 0,1 ) M 2(1 51 0,1 ) M , ,1 M ,14

25 c) Les titres de créances négociables et les bons du trésor Les Titres de Créances Négociables (TCN) sont des titres représentatifs d une créance, émis par les entreprises, les établissements de crédit ou l Etat et qui, en théorie, peuvent être souscrits par toute personne morale ou physique. Il existe quatre grands types de TCN qui se distinguent principalement par le statut des émetteurs : Les Billets de Trésorerie (BT) : il sont émis par les entreprises industrielles et commerciales. Leur durée de vie est de un jour à un an. Les billets de trésorerie sont principalement émis par les grandes sociétés par actions, les sociétés financières et les entreprises du secteur public. Les certificats de dépôt (CD) : sont émis par les établissements de crédit, leur durée de vie est située entre un jour et un an. Les Bons à Moyen Terme Négociables (BMTN) : peuvent être émis par toute personne morale habilité à émettre des TCN. Leur échéance doit être supérieure à un an, sans que soit précisé de durée maximale. Leur étude sort du cadre de ce chapitre consacré aux opérations à court terme. Les Bons du Trésor Négociables (BTN) : sont émis par l Etat. Ils ne sont pas expressément des TCN, mais présentent des caractéristiques similaires.

26 Les Bons du Trésor à taux Fixe (BTF) et intérêts précompté : leur durée de vie est le plus souvent de 13, 26, 52 semaines. Les Bon du Trésor Annuels Normalisés (BTAN) également à taux fixe : leur durée à l émission est comprise entre deux et cinq ans. Les BTAN sortent également du cadre de ce chapitre. Cet ensemble de titre constitue des moyens de financement pour les émetteurs et des instruments de placement pour tous les agents économiques. La cotation des bons du trésor à taux fixe : L intérêt est précompté : à l achat le souscripteur paie la valeur nominale du bon diminuée de l intérêt et à l échéance il reçoit la valeur nominale. La cotation se fait néanmoins en terme de taux post-compté, appelé également taux in fine. Soit P le prix d un BTF, M sa valeur nominale, n le délai courant jusqu à son échéance et i son taux d intérêt in fine. P 1 M n i Le prix du BTF est égal à la valeur nominale actualisée au taux du marché, selon une base de calcul des jours exacts/.

27 Les calculs financiers sur titres de créances négociables : Ils respectent les règles précédemment énoncées à propos des intérêts précomptés ou post comptés. Exemples : Un bon du trésor à 13 semaines (91 jours) de 1 million d euros de nominal est émis au taux post-compté de 5,65% a. Calcul du prix à l émission et du taux précompté correspondant : Le prix du bon est égal à la valeur actuelle de 1 million d au taux de 5,65% sur 91 jours, soit : Les intérêts payés d avance s élèvent à : Fondamentaux de mathématiques financières P , , , ,84

28 Partant de la formule des intérêts précomptés taux d intérêt précompté : i e I e M 1 * T, on peut en déduire le 14080, * 91 5,57% b. Prix du BTF 12 jours après l émission, sachant que le taux in fine du marché est de 5,55%. L échéance du bon est dans = 79 jours. Le prix est : P , ,38 c. Valeur du bon 3 jours avant l échéance si le taux du marché est de 12% : P ,

29 Exemple : Un certificat de dépôt, d une valeur nominale de 5 millions d, de durée initiale de 92 jours est émis au taux post-compté de 5%. a. Le souscripteur recevra à l échéance la valeur acquise : (1 0,05 ) ,89 b. Soixante jours après l émission, le taux du marché est de 4,8%. La nouvelle valeur du certificat est : , ,76 32 (1 0,048 )

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