Les proportions. Fractions. Pourcentages. Théorème de Thalès. Fonctions linéaires. Equations d une droite. Fonctions affines.

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1 Les proportions. Frctions. Pourcentges. Théorème e Thlès. Fonctions linéires. Equtions une roite. Fonctions ffines. I Tbleu e proportions 1 Définition. Soit le tbleu T ci-essous. x 1 x 2 x 3... x n y 2 y 3... y n x 1 = y 2 x 2 = y 3 x 3 ) Cs générl. Aucun terme e l première ligne n est nul. x i 0 pour 1 i n. T est un tbleu e proportions signifie que les frctions, x 1 y 2 x 2, y 3 x 3,..., y n x n sont égles. =... = y n x n b) Cs prticulier. T est un tbleu e proportions signifie que : qun un terme e l première ligne est nul lors le terme corresponnt e l euxième ligne est nul. x k = 0 y k = 0 pour 1 k n. les termes non nuls vérifient le cs générl. c) Qun x 1 0 l frction = p ( ou y 2 x 1 x 2 proportionnlité. y i = p x i pour 1 i n. ou... ) est ppelé le coefficient e Pour l suite on consière que les tbleux ont u plus un zéro sur une ligne. 2 Déterminnt. On trville sur un tbleu crré que l on note M. c b Définition. Le éterminnt e ce tbleu, M, est l quntité bc. Théorème. M est un tbleu e proportions si et seulement si le éterminnt est nul. bc = 0. Démonstrtion Conition nécessire. M est un tbleu e proportions onc : ou = 0 c = 0 bc = 0 ou b = 0 = 0 bc = 0 ou 0 et b 0 = = bc bc = 0 Cours sur les proportions. Auteur Thierry Veel. pge 1 sur 5

2 Conition suffisnte. bc = 0 onc : ou = 0 bc = 0 c = 0 (cr et b ne peuvent ps être tous les eux nuls) et M vérifie l éfinition. ou b = 0 bc = 0 = 0 et M vérifie l éfinition. ou 0 et b 0 bc = 0 = bc b = c C.Q.F.D. Conséquence. Le premier tbleu est un tbleu e proportion si et seulement si tous les éterminnts e l forme x i y j x j y i, pour 1 i n et 1 j n, sont nuls. Tout le mone ur reconnu le fmeux prouit en croix mlgré son éguisement. 3 Technique. Recherche e l qutrième proportionnelle, x, ns le tbleu suivnt noté M. b c x On se plce ns le cs ou n est ps nul. M est un tbleu e proportion onc sont éterminnt est nul. x bc=0 x=bc x= b c. On retrouve bien l règle hbituelle. 4 Propriétés. Théorème. Soit M le tbleu e proportions ci-essous. c Le tbleu N ci-essous est un tbleu e proportions. b b + b b c c + c Démonstrtion. M est un tbleu e proportion onc son éterminnt est nul. bc = 0. Montrons que le éterminnt (c+) c(+b) est nul. (c+) c(+b) = c + c cb = bc = 0. Montrons que le éterminnt b(c+) (+b) est nul. b(c+) (+b) = bc + b b = bc = 0. Nous lissons u lecteur le soin e émontrer lui-même les utres églités. Cours sur les proportions. Auteur Thierry Veel. pge 2 sur 5

3 II Les pourcentges. 1 Définition. l quntité est égle à t% e b signifie que le tbleu, M, ci-essous est un tbleu e proportion. t b 2 Technique. Clcul e t% e b. D près le I3 : = t b. Clcule u tux e pourcentge, t, que représente pr rpport à b. On construit le tbleu e proportion, M, où t est l inconnue. t b M est un tbleu e proportions onc son éterminnt est nul. bt = 0. On résout cette éqution à une inconnue, t. 3 L règle es pourcentges. Ajouter ( ou ugmenter e ) t% c est multiplier pr k= 1 t. Retrncher ( ou bisser e ) t% c est multiplier pr k = 1 k est ppelé le coefficient multiplicteur. t. Exemples. Le crburnt subi eux ugmenttions successives, l première e 12% et l euxième e 9%. Clcul u pourcentge ugmenttion totl, t. A l première husse le prix été multiplié pr k = ( 1 + ) = 1,12. A l euxième husse le prix été multiplié pr l = ( 1 + ) = 1,09. En tout le prix été multiplié pr k l = 1,12 x 1,09 = 1, t = 1,2208 t = 1, t = 22,08 Le crburnt ugmenté e 22,08%. b Une popultion ugmente e 30% puis iminue e 30%. Est-elle restée globlement stble? Clcul u pourcentge ugmenttion totl, t. Durnt l première périoe l popultion été multipliée pr k = 1,3. Durnt l euxième périoe l popultion été multipliée pr l = 0,7. En tout l popultion été multipliée pr k l = 1,3 x 0,7 = 0,91 1 t = 0,91 t = 0,91 1 t = 9 L popultion iminué e 9%. Cours sur les proportions. Auteur Thierry Veel. pge 3 sur 5

4 III Le théorème e Thlès. 1) Le théorème. Soit et eux roites sécntes en O. Deux roites, δ 1 et δ 2, coupent respectivement en A et B et en A et B. Si δ 1 et δ 2 sont prllèles lors le tbleu ci-essous, M, est un tbleu e proportions. OA OB AB OA OB A B On it ussi que les tringles, OAB et OA B, sont semblbles. L un est une réuction ( moèle réuit ) e l utre. Le rpport e proportion est l échelle ( comme pour les crtes e géogrphie ou routières). 2) L réciproque. Soit O,A et B trois points lignés sur et O,A et B trois points lignés ns le même orre que O,A et B. Soit le tbleu M ci-essous. OA OB OA OB Si M est un tbleu e proportions lors les roites (AA ) et (BB ) sont prllèles. 3) Vrinte u théorème. Sous les mêmes hypothèses on peut conclure : le tbleu ci-essous est un tbleu e proportions. OA OA AB A B Suivnt l isposition es points, AB est l somme ou une ifférence e OA et OB. On pplique I4. Cours sur les proportions. Auteur Thierry Veel. pge 4 sur 5

5 IV Fonctions linéires. 1 Fonctions. Une fonction, notée f, exprime une quntité y en fonction une quntité x à l ie une «formule» f(x). x pprtient à un ensemble E, ppelé ensemble e éprt, et f(x) (ou y) pprtient à un ensemble F, ppelé ensemble rrivée. Nottion. f : E F x f(x). Exemple. L fonction f, «ire un crré» en fonction e l longueur u côté x. Une longueur est toujours positive onc x est un nombre réel positif. L ensemble e éprt est IR +, ensemble es nombres réels positifs. Pour l ensemble rrivée on peut choisir IR ou IR +. f : IR + IR x x 2 On note ussi : f(x) = x 2. 2 Fonctions linéires. Une fonction f, e IR ns IR, est linéire signifie que son tbleu e vleurs ci-essous, M, est un tbleu e proportion. x x 1 x 2... x n f(x) f(x 1 ) f(x 2 )... f(x n ) Exemple. L fonction «ouble». f : IR IR x 2x ou encore : f(x) = 2x. Tbleu e vleurs : x x f(x) x Si on ppelle p le coefficient e proportionnlité u tbleu e vleurs une fonction linéire f lors f(x) = px. 3 Représenttion grphique une fonction linéire f. Soit f une fonction linéire. f : IR IR x px. Le pln est muni un repère (0,, ). Chque couple (x, f(x)) est représenté ns le pln pr un point M e cooronnées (x, y = f(x)). Cet ensemble e point forme une courbe ppelée représenttion grphique e l fonction f. Point O A B C bscisse x oronnée y = f(x) 0 p 2p 3p L représenttion grphique une fonction ffine est une roite pssnt pr l origine. Cours sur les proportions. Auteur Thierry Veel. pge 5 sur 5

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