Généralisation de la notion d intégrale

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1 Généralisation de la notion d intégrale I) Intégration d une fonction discontinue.) Fonction définie par morceaux On considère une fonction continue sur un intervalle, sauf en un nombre fini de points en lesquels elle admet des ites à droite et à gauche finies (mais distinctes, sinon on pourrait utiliser des prolongements par continuité). On peut calculer l intégrale de à de cette fonction comme somme des intégrales de la fonction sur chacun des intervalles où cette fonction est continue. Par exemple, considérons la fonction définie par si si 3 si 3 Représentons graphiquement cette fonction ura 3 ln ln5 3 ln ln 5 3

2 .) Vers la notion de convergence La question abordée dans l'exemple précédent est tout à fait différente si la ite de la fonction est infinie pour l'une des bornes. Considérons par exemple la fonction définie sur par Sa courbe représentative est alors : , 0,4 0,6 0,8, Comme la fonction n'est pas continue en 0, on n'a aucune garantie sur l'existence de l'intégrale : On peut par contre calculer pour tout 0, On dira que l'intégrale existe ou converge et l'on écrira. Considérons maintenant la fonction définie sur par /. Comme la précédente, elle n'est pas définie (et donc pas continue en 0). Que peut-on penser de son intégrale entre 0 et? On reprend la même méthode. Soit 0.

3 donc On dira que l'intégrale diverge. On dira que l'intégrale ln ln n'existe pas. ln.3) Définition de la convergence d'une intégrale Définition On considère une fonction continue sur un intervalle, (ou, ) telle que. Si la fonction φ définie par admet une ite finie quand tend vers, on dit que existe ou est convergente et l'on pose. Dans le cas contraire on dit que l'intégrale est divergente..4) L'exemple fondamental On considère la fonction définie sur un intervalle, par : Pour, on a Ce qui donne On s'intéresse à la quantité. Si, on a : 0 donc Si, alors 0. : alors Si, on a 3

4 ln ln ln donc La fonction φ n'admet une ite finie que si. D'où le théorème : Théorème L'intégrale est convergente si et seulement si..5) Un critère de convergence dans le cas des fonctions positives On suppose ici que la fonction est positive de ite égale à + quand tend vers et que. On définie toujours la fonction φ par Cette fonction est la primitive de qui s'annule en. Elle est croissante puisque sa dérivée est positive. Si elle n'est pas majorée, elle tend vers +. Comme dans le cas des suites, on démontre que si elle est majorée elle admet une ite finie quand tend vers. On en déduit le théorème suivant Théorème Une condition nécessaire et suffisante pour que soit majorée sur l'intervalle,. soit convergente est que Une conséquence importante est la suivante : Soient et deux fonctions telles que sur l'intervalle,. donc,, Comme, on a Si l'intégrale Donc la fonction Si l'intégrale Donc la fonction est convergente, alors la fonction est majorée et donc l'intégrale n'est pas convergente, alors la fonction est majorée. converge. n'est pas majorée. n'est pas majorée et donc l'intégrale ne converge pas. 4

5 .6) Le critère des équivalents Considérons que fonctions positives et telles que. Alors Ce qui signifie qu'il existe un nombre réel de l'intervalle, tel que,, 3 Sur l'intervalle,, on peut appliquer les critères du.5). Comme sur,, les fonctions sont continues et que les intégrales existent, on peut en conclure le théorème suivant : Théorème : Soit et deux fonctions positives sur l'intervalle, telles que. Alors les intégrales Exemple L'intégrale et dx est elle convergente? Nous savons que est convergente. Donc l'intégrale est convergente. sont de même nature..7) Intégrale absolument convergente Soit une fonction de signe quelconque continue sur un intervalle, avec. le théorème suivant que l'on admettra sans démonstration : Théorème et définition : Si est une intégrale convergente, alors convergente. On dit alors que est absolument convergente. est aussi une intégrale II) Intégration sur,..) Convergence On reprend les mêmes notions que dans la première partie, mais avec cette fois-ci. donc fonction continue sur,. Cette fois-ci la condition disparaît. Nous verrons même qu'elle conduit à une divergence de l'intégrale. 5

6 Dans la première partie, la condition était nécessaire pour que le problème se pose. En effet si cette ite avait été finie, par prolongement par continuité, on pouvait considérer la fonction comme continue sur, et l'existence de l'intégrale était alors assurée. Si la borne est infinie, ce prolongement par continuité n'est plus possible. Le problème de l'existence de l'intégrale se pose donc a priori quelle que soit la ite de la fonction en +. Nous verrons toutefois que suivant la ite, l'intégrale sera automatiquement divergente. On pose toujours alors la définition suivante : Définition Si admet une ite finie quand tend vers, on dit que l'intégrale existe ou est convergente et l'on pose : Remarque importante pour tout La fonction étant continue, Donc les intégrales inie. et est une quantité inie. On en déduit que la convergence ou la divergence de.) L'exemple fondamental On considère la fonction définie sur, (avec 0 par : Si, on a : On en déduit que Il y a donc divergence. tendent simultanément vers l'inini ou vers une ite ln ln ln ne dépend pas de. Si, alors : 6

7 Si, c'est-à-dire si Donc L'intégrale est divergente. Si, c'est-à-dire si alors L'intégrale converge. On en déduit le théorème suivant : 0 Théorème : L'intégrale converge si et seulement si.3) Critère de convergence des fonctions positives On considère une fonction continue et positive sur,. On définit toujours la fonction φ par Cette fonction est croissante puisque se dérivée est positive. Si la fonction φ n'est pas majorée alors, on a. L'intégrale est donc divergente. On démontre comme pour les suites que si la fonction φ est majorée, comme pour les suites que puisque φ est croissante et majorée, elle admet une ite finie quand tend vers +. donc le théorème suivant : Théorème Soit une fonction continue et positive sur,. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'intégrale la fonction soit majorée. existe est que Conséquence fondamentale Soit et deux fonctions continues et positives sur, telles que Si Si converge alors diverge alors converge. diverge. Cette propriété se démontre comme la propriété équivalente du I. 7

8 Exemple On peut démontrer facilement que En effet Donc converge. On en tire en particulier sans qu'il soit besoin d'en calculer la valeur que converge. Or,, donc et donc par croissance de la fonction exponentielle : Donc, l'intégrale converge. Et donc, l'intégrale converge. Nous verrons bientôt que l'on a Deuxième exemple Nous voudrions étudier maintenant Ici on ne peut plus directement utiliser la comparaison comme précédemment, car, Nous n'avons pas de conclusion possible. Pour montrer que l'intégrale converge, nous allons essayer de majorer la fonction par une fonction dont on sait qu'elle correspond à une intégrale convergente, c'est-à-dire une fonction du type avec. Essayons de montrer par exemple que Il y a peu de chance que cette inégalité soit toujours vérifiée. Mais ce qui nous importe, c'est qu'elle le soit à partir d'un certain réel. Peut-on affirmer qu'il existe un réel, pour lequel si, on a bien : Cela revient à prouver qu'il existe un réel pour lequel si, on a Sous cette forme, on peut garantir l'existence de. En effet, on sait par croissance comparée que 0 8

9 Ce qui garantit qu'à partir d'une certaine valeur, la quantité sera toujours inférieure ou égale à. On en déduit donc que pour, on a Or l'intégrale converge, donc l'intégrale Et donc l'intégrale converge. converge..4) Un critère simple de divergence. Considérons une fonction positive et continue sur un intervalle,. Posons l Si l 0, alors l'intégrale diverge. La fonction étant positive, nous savons que l est un nombre positif. Si, alors quelque soit le réel strictement positif, il existe un réel tel que si, alors. Or Et Si l est un nombre réel strictement positif (et donc pas + ), on sait qu'il existe un réel tel que si, on a ura de la même façon l 3l l l l l Et l l Dans le cas où l = 0, on peut seulement majorer, puisque la fonction étant positive elle est nécessairement minorée par 0. Mais on ne plus rien en conclure. donc le théorème suivant : Théorème Soit une fonction continue positive sur un intervalle, telle que l (l pouvant être un réel positif ou nul ou + ). Si l 0, alors l'intégrale diverge..5) Utilisation des équivalents Comme dans le I, nous avons un théorème sur les équivalents qui se démontrent de la même façon. 9

10 Théorème Soient et deux fonctions continues positives sur un intervalle, telles que. Alors les intégrales et ont la même nature. Exemple Etude de l'intégrale. La fonction est déinie et continue sur,. : Donc Et donc Or comme, nous savons que Donc diverge diverge Un deuxième exemple plus compliqué Etude de la convergence de l'intégrale Posons La difficulté est que cette fonction est bien continue et positive sur l'intervalle ouvert,. On doit donc procéder à deux études séparées. On va examiner la convergence des intégrales : et Sur l'intervalle, et sur l'intervalle,, la fonction est continue. 0

11 Donc C'est-à-dire D'après les critères vues dans le I, on peut conclure que converge également Donc donc converge convergente avec.6) Cas des fonctions de signe quelconque Comme dans la première partie, on a le résultat suivant. Théorème et définition Si l'intégrale converge, alors l'intégrale converge. On dit alors que l'intégrale est absolument convergente.8) Etude d'un exemple : la fonction gamma On définit la fonction Γ de la façon suivante : Γ ) Montrer que Γ existe pour tout 0. ) A l'aide d'une intégration par partie, établir une relation entre Γ et Γ. 3) On pose pour tout 0, Γ. Déterminer et écrire la relation qui existe entre et. En déduire la valeur de Γ. 4) En posant et en se servant d'un résultat vu en cours, montrer que Γ