Traces des droites et des plans

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1 Traces des droites et des plans Définition : TRACE = intersection avec les plans de projection Les traces sont représentées en épre par lers dex projections, frontale et horizontale. V F (d ) v H F (P ) (D) (d) y U y H Les traces d ne droite sont les points d intersection de la droite avec les plans de projection. La trace horizontale d ne droite (D)=le point d intersection U entre (D) et le plan horizontal de projection U = (D) H. La trace frontale de la droite (D) = le point d intersection V entre (D) et le plan frontal de projection : V = (D) F. Représentation en épre : Chaqe point de trace est représenté en épre par ses dex points de projection : U = (, ) avec LT ( c est la côte nlle d point U) V = (v, ) avec v LT (v c est l éloignement nl d point V). Les traces d n plan sont les droites d intersection d plan avec les plans de projection. La trace horizontale d plan Ω = la droite d intersection entre Ω et le plan horizontal de projection : = Ω H La trace frontale d plan Ω = la droite d intersection entre Ω et le plan frontal de projection : = Ω F Représentation en épre : Chaqe droite de trace est représentée en épre par ses dex droites de projection : = (, (P ) ) avec (P ) = LT = (, ) avec = LT. Théorème (Les traces des droites et des plans) : Soit (D) ne droite qelconqe d n plan Ω = (PQ ). Alors les dex points de trace, U et V, de la droite (D) se trovent sr les droites de trace correspondantes, et, d plan : U = (D) = (d ) LT et = (d), V = (D) = (d ) et v = (d) LT.

2 Droites principales d n plan Les droites principales d n plan sont : les frontales d plan, les horizontales d plan, les droites de pls grande pente d plan. Définitions : Une frontale d n plan c est ne droite frontale qi appartient a plan. Une horizontale d n plan c est ne droite horizontale qi appartient a plan. Exemples : La trace frontale d plan est n cas particlier de frontale d plan. La trace horizontale d plan est n cas particlier d horizontale d plan. Constrction : Les frontales d n plan sont déterminées par l intersection d plan donné avec des plans frontax. Les horizontales d n plan sont déterminées par l intersection d plan donné avec des plans horizontax. Rappels de géométrie : 1. Tos les plans frontax sont parallèles entre ex. Tos les plans horizontax sont parallèles entre ex. 2. L intersection d n plan avec plsiers plans parallèles se fait selon des droites parallèles. 3. La propriété de parallélisme se transmet en projections orthogonales : Si (D 1 ) (D 2 ) alors (d 1 ) (d 2 ) et (d 1 ) (d 2 ). Théorème (Les frontales d n plan) : Totes les frontales d n plan, y compris la trace frontale d plan, sont parallèles entre elles: (F). A nivea des dex projections, cela revient à : (F) (f ) et (f ) = LT. Théorème (Les horizontales d n plan) : Totes les horizontales d n plan, y compris la trace horizontale d plan, sont parallèles entre elles (H). A nivea des dex projections, cela revient à : (H) (h ) (P ) = LT et (h).

3 Le problème d point dans le plan 3.a) Soit A et B dex points d n plan Ω. En tilisant selement la droite (D) déterminée par ces dex points, constrire la projection horizontale d point B. b (d ) a (d) a b 1) Comme A et B sont dex points d plan Ω, la droite (D) déterminée par ces points fait partie d plan : (D) = (AB) Ω. 2) En épre sont données les projections frontales : (d ) = (a b ). 3) En projection horizontale, en épre on a ne sele projection horizontale a, d point A. Por déterminer la projection horizontale de la droite (D) il nos fat encore n point de cette droite, avec sa projection horizontale. On va déterminer le point de trace U de (D), avec ses projections (, ) : U = (D) = (d ) LT et on descende en ligne de rappel en = (d). Remarqe : l atre point de trace (frontale) est déjà donné en épre. C est le point A. 4) On détermine la projection horizontale (d) de la droite (D) : (d) = (a). 5) Comme B (D), de b (d ) on descende en ligne de rappel en b (d).

4 3.b) Soit Ω n plan déterminé par ses traces (PQ). Soit N n point d plan Ω. On connaît la projection horizontale n d point N. A l aide d ne frontale (F) d plan Ω passant par le point N, déterminer la projection frontale n d point N, tel q il soit n point d plan Ω. (f ) n (f) n Soit (F) ne frontale d plan Ω qi passe par le point N. Alors on a : a) N (F) n (f) et n (f ) b) (F) (f ) et (f) = LT 1) On constrit la projection horizontale de (F) : (f) LT et passe par le point n. 2) On détermine le (sel) point de trace horizontale U de (F) : U = (F) = (f) et on remonte en ligne de rappel por trover LT 3) On détermine la projection frontale de (F) : (f ) et passe par le point. 4) Comme N (F), de n (f) on remonte en ligne de rappel por trover n (f ). 3.c) Soit Ω n plan déterminé par ses traces (PQ). Soit N n point d plan Ω. On connaît la projection frontale n d point N. A l aide d ne frontale (F) d plan Ω passant par le point N, déterminer la projection horizontale n d point N, tel q il soit n point d plan Ω. (f ) n (f) n Soit (F) ne frontale d plan Ω qi passe par le point N. 1. On constrit la projection frontale de (F) : (f ) et passe par le point n. 2. On détermine le point de trace horizontale U de (F) : U = (F) = (f ) LT et on descende en ligne de rappel por trover. 3. On détermine la projection horizontale de (F) : (f ) LT et passe par le point. 4. De n (f ) on descende en ligne de rappel por trover n (f).

5 3.d) Soit Ω n plan déterminé par ses traces (PQ). Soit M n point d plan Ω. On connaît la projection frontale m d point M. A l aide d ne horizontale (H) d plan Ω passant par le point M, déterminer la projection horizontale m d point M, tel q il soit n point d plan Ω. m (h ) v m (h) Soit (H) ne horizontale d plan Ω, qi passe par le point M. 1) On constrit la projection frontale de (H) : (h ) LT et passe par le point m. 2) On détermine le point de trace frontale V de (H) : V = (H) = (h ) et on descende en ligne de rappel por trover v LT. 3) On détermine la projection horizontale de (H) : (h) et passe par le point v. 4) De m (h ) on descende en ligne de rappel por trover m (h). 3.e) Soit Ω n plan déterminé par ses traces (PQ). Soit M n point d plan Ω. On connaît la projection horizontale m d point M. A l aide d ne horizontale (H) d plan Ω passant par le point M, déterminer la projection frontale m d point M, tel q il soit n point d plan Ω. (h) v m (h ) m Soit (H) ne horizontale d plan Ω, qi passe par le point M. 1) On constrit la projection horizontale de (H) : (h) et passe par le point m. 2) On détermine le point de trace frontale V de (H) : V = (H) v = (h) LT et on descende en ligne de rappel por trover. 3) On détermine la projection frontale de (H) : (h ) LT et passe par le point. 4) De m (h) on descende en ligne de rappel por trover m (h ).