Outil d analyse fonctionnelle

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1 Outil d analyse fonctionnelle David Renard 24 octobre 2016 ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

2 Cours 3 : Espaces de Sobolev (suite) et problèmes elliptiques ÉCOLE POLYTECHNIQUE David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

3 Le théorème de Rellich Dans un espace de Hilbert de dimension infinie, il n est pas vrai que, de toute suite bornée, on puisse extraire une sous-suite convergente (au contraire de ce qui se passe en dimension finie). Théorème (de Rellich) Si est un ouvert borné régulier de classe C 1, alors de toute suite bornée de H 1 () on peut extraire une sous-suite convergente dans L 2 () (on dit que l injection canonique de H 1 () dans L 2 () est compacte). Remarques. Le Théorème peut être faux si l ouvert n est pas borné. Par exemple, si = R N, l injection canonique de H 1 (R N ) dans L 2 (R N ) n est pas compacte. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

4 Théorème de Rellich Considérons la suite u n (x) = u(x + ne) où e est un vecteur non nul et u une fonction de H 1 (R N ) (on translate u dans la direction e). Il est clair qu aucune sous-suite de u n ne converge dans L 2 (R N ). Si l on remplace H 1 () par H0 1 (), alors non seulement le Théorème de Rellich reste vrai, mais en plus il n est pas nécessaire de supposer que l ouvert est régulier. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

5 Espaces H m () On peut généraliser la définition de l espace de Sobolev H 1 () aux fonctions qui sont m 0 fois dérivables au sens faible. Soit α = (α 1,..., α N ) un multi-incide, c est-à-dire un vecteur à N composantes entières positives α i 0. On note α = N i=1 α i et, pour une fonction v, α α v v(x) = x α 1 1 x α (x). N N A partir de la définition de la dérivée première faible, on définit par récurrence sur m la dérivée d ordre m faible : on dit qu une fonction v L 2 () est m fois dérivable au sens faible si toutes ses dérivées partielles faibles d ordre m 1 sont dérivables faiblement. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

6 Espaces H m () Remarquons que, dans la définition d une dérivée croisée, l ordre de dérivation n est pas important, à cause du théorème de Schwarz 2 v x i x j = 2 v x j x i, ce qui justifie la notation α v où l ordre de dérivation n est pas indiqué. Définition Pour un entier m 0, l espace de Sobolev H m () est défini par H m () = { v L 2 () tel que, α avec α m, α v L 2 () }, (1) où la dérivée partielle α v est à prendre au sens faible. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

7 Espaces H m () Proposition Muni du produit scalaire u, v = α m α u(x) α v(x) dx (2) et de la norme u H m () = u, u, l espace de Sobolev H m () est un espace de Hilbert. Les fonctions de H m () ne sont pas toujours continues ou régulières (cela dépend de m et de la dimension N), mais si m est suffisamment grand alors toute fonction de H m () est continue. Nous admettrons le résultat suivant David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

8 Espaces H m () Théorème Si est un ouvert borné régulier de classe C 1, et si m > N/2, alors H m () est un sous-espace de l ensemble C () des fonctions continues sur. Remarque : S il existe un entier k 0 tel que m N/2 > k, alors H m () est un sousespace de l ensemble C k () des fonctions k fois différentiables sur. Plus m est grand, plus les fonctions de H m () sont régulières, c est-à-dire dérivables au sens usuel. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

9 Espaces H m () Comme pour H 1 (), les fonctions régulières sont denses dans H m () (si du moins l ouvert est régulier). Théorème Si est un ouvert borné régulier de classe C m, ou bien si = R N +, alors Cc dans H m (). () est dense On peut aussi obtenir des résultats de trace et des formules de Green d ordre plus élevés pour l espace H m (). Par souci de simplicité, nous nous contentons de traiter le cas m = 2 (qui est le seul que nous utiliserons par la suite). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

10 Espaces H m () Théorème Soit un ouvert borné régulier de classe C 1. On définit l application trace γ 1 H 2 () C 1 () L 2 ( ) C ( ) v γ 1 (v) = v, n (3) avec v n = u n. Cette application γ 1 se prolonge par continuité en une application linéaire continue de H 2 () dans L 2 ( ). En particulier, il existe une constante C > 0 telle que, pour toute fonction v H 2 (), on a v n C v H 2 (). (4) L 2 ( ) David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

11 Espaces H m () Le Théorème de trace permet de généraliser aux fonctions de H 2 () une formule de Green précédemment établie pour des fonctions de classe C 2. Théorème Soit un ouvert borné régulier de classe C 2. Si u H 2 () et v H 1 (), on a u u(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx + (x)v(x) ds. (5) n Remarque : On peut montrer que la formule (5) est valable avec des hypothèses un peu plus faible : il suffit de supposer que u H 1 () et que σ = u admet une divergence faible. On peut alors donner un sens à u u n (x)v(x) ds car n (x) admet une trace sur (dans l espace dual de celui dans lequel vit la trace de v, voir le livre section pour les détails techniques si l on veut). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

12 Nous considérons le problème aux limites suivant { u + u = f dans u n = g sur (6) où est un ouvert (non nécessairement borné) de l espace R N, f L 2 () et g L 2 ( ). L équation de (6) est une variante du Laplacien où nous avons ajouté un terme d ordre zéro. L approche variationnelle pour étudier (6) est sensiblement différente de celle présentée à la sous-section précédente dans le traitement des conditions aux limites. C est pourquoi nous détaillons à nouveau les trois étapes de l approche. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

13 Étape 1 : Établissement d une formulation variationnelle. On multiplie l équation (6) par une fonction test régulière v et on intègre par parties. La formule de Green donne f (x)v(x) dx = ( u(x) + u(x)) v(x) dx = ( u(x) v(x) + u(x)v(x)) dx u n (x)v(x) ds (7) = ( u(x) v(x) + u(x)v(x)) dx g(x)v(x) ds. Nous avons utilisé la condition aux limites de Neumann dans (7) et il n est pas nécessaire de l inscrire dans le choix de l espace de Hilbert V. Pour que le premier et les deux derniers termes de (7) aient un sens il suffit de prendre V = H 1 () (on utilise le Théorème de trace pour justifier l intégrale de bord). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

14 Formulation variationnelle : trouver u H 1 () tel que ( u v + uv) dx = gv ds + fv dx, ( v H 1 ()). (8) Les étapes suivantes justifieront le choix de (8). Remarque : La principale différence entre la formulation variationnelle pour une condition aux limites de Neumann et celle pour une condition aux limites de Dirichlet vient de ce que la condition de Dirichlet est inscrite dans le choix de l espace alors que la condition de Neumann apparaît dans la forme linéaire mais pas dans l espace. La condition de Dirichlet est dite essentielle (ou explicite) car elle est forcée par l appartenance à un espace, tandis que la condition de Neumann est dite naturelle (ou implicite) car elle découle de l intégration par partie qui conduit à la formulation variationnelle. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

15 Étape 2 : Résolution de la formulation variationnelle. Nous vérifions que la formulation variationnelle (8) admet une solution unique grâce au théorème de Lax-Milgram : a(u, v) = ( u v + uv) dx et L(v) = gv ds + fv dx. En utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz et à l aide du Théorème de trace, on voit que a est une forme bilinéaire continue sur H 1 () et que L est une forme linéaire continue sur H 1 (). Par ailleurs, la forme bilinéaire a est manifestement coercive (c est pour cela qu on a ajouté un terme d ordre zéro au Laplacien) car a(v, v) = v 2 H 1 () v H1 (). Comme H 1 () est un espace de Hilbert, toutes les hypothèses du Théorème de Lax-Milgram sont satisfaites et on peut donc conclure qu il existe une unique solution u H 1 () de la formulation variationnelle. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

16 Étape 3 : Équivalence avec l équation. Nous interprétons maintenant la formulation variationnelle (8) pour vérifier qu on a bien résolu le problème aux limites de départ, dans un sens à préciser. On déduit de la formulation variationnelle que, en posant σ = u L 2 () N, pour tout v Cc (), σ v dx uv dx + fv dx C v L 2 () Ceci est le critère d existence d une divergence faible pour σ. On peut donc intégrer par partie, ce qui donne : David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

17 u Divσ(x)v(x) dx = u(x) v(x) dx + (x)v(x) ds. (9) n qui est valable pour u, v H 1 (). Rappelons que l intégrale de bord dans (9) a bien un sens grâce à une remarque faite précédemment. On déduit alors de (8) et (9) que, pour tout v H 1 (), ( ) u (Divσ u + f )v dx + n g v ds = 0. (10) David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

18 En particulier ceci est vrai pour toute fonction v Cc (), pour lesquelles le terme de bord est nul. Donc (Divσ u + f )v dx = 0 pour toute fonction v Cc (). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

19 On déduit que Divσ u + f = 0 dans L 2 (), donc presque partout dans. En particulier, Divσ = u L 2 (). Par conséquent, le membre de gauche de (10) est nul pour v H 1 (), donc ( g u ) v ds = 0 ( v H 1 ()). n Or l image de H 1 () par l application trace est dense dans L 2 ( ), ce qui entraîne que g u n = 0 dans L2 ( ), et donc presque partout sur. En conclusion nous avons démontré le résultat suivant. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

20 Théorème Soit un ouvert régulier de classe C 1 de R N. Soit f L 2 () et g la trace sur d une fonction de H 1 (). Il existe une unique solution u H 1 () de la formulation variationnelle (8). De plus, u est solution de (6) au sens où u + u = f presque partout dans, u n = g presque partout sur. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

21 On peut montrer que la solution de (6) minimise une énergie. La Proposition suivante est une application immédiate de la Proposition du livre. Proposition Soit J(v) l énergie définie pour v H 1 () par J(v) = 1 ( v 2 + v 2) dx 2 fv dx gv ds. (11) Soit u H 1 () la solution unique de la formulation variationnelle (8). Alors u est aussi l unique point de minimum de l énergie, c est-à-dire que J(u) = min v H 1 () J(v). Réciproquement, si u H 1 () est un point de minimum de l énergie J(v), alors u est la solution unique de la formulation variationnelle (8). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

22 Nous revenons maintenant au véritable opérateur Laplacien (sans ajout d un terme d ordre zéro) et nous considérons le problème aux limites { u = f dans u n = g sur (12) où est un ouvert borné connexe de l espace R N, f L 2 () et g L 2 ( ). La difficulté nouvelle est qu il n existe une solution que si les données f et g vérifient une condition de compatibilité. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

23 S il existe une solution u H 2 (), alors intégrant l équation sur (ou bien utilisant la formule de Green) on a nécessairement f (x) dx + g(x) ds = 0. (13) Remarquons aussi que si u est solution alors u + C, avec C R, est aussi solution. En fait, (13) est une condition nécessaire et suffisante d existence d une solution dans H 1 (), unique à l addition d une constante près. Remarque : Physiquement, la condition de compatibilité s interprète comme une condition d équilibre : f correspond à une source volumique, et g à un flux entrant au bord. Pour qu il existe un état stationnaire ou d équilibre (c est-à-dire une solution de (12)), il faut que ces deux termes se balancent parfaitement. De même, l unicité à une constante additive près correspond à l absence d origine de référence sur l échelle qui mesure les valeurs de u (comme pour la température, par exemple). David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

24 Théorème Soit un ouvert borné connexe régulier de classe C 1 de R N. Soit f L 2 () et g L 2 ( ) qui vérifient la condition de compatibilité (13). Il existe une solution faible u H 1 () de (12), unique à l addition d une constante près. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

25 Principe du maximum est un ouvert borné de R N et f L 2 (). On a vu qu il existe une unique solution u H 1 0 () de { u = f dans u = 0 sur. (14) Théorème (Principe du maximum) Si f 0 presque partout dans, alors u 0 presque partout dans. Remarque. Le principe du maximum est parfaitement naturel du point de vue physique : par exemple dans le contexte de l équation stationnaire de la chaleur, si on chauffe (f 0), la température intérieure est toujours plus grande que la température au bord (u 0). Le principe du maximum reste valable si l on considère le problème avec condition aux limites de Neumann. David Renard Outil d analyse fonctionnelle 24 octobre / 25

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