Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

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1 Itinéraire d'accès à Al9ahira (point B sur la carte) en partant de la Place Ibéria

2 Corrigé du concours national commun 009 Filière : MP 88 Massira A Marrakech Tel Mprepa@menara.ma Physique I Problème I : Optique ère Partie : Etude et propriétés des télescopes.. Question de cours... Approximation de l optique géométrique est valable lorsque les dimensions d des ouvertures considérées sont très grandes devant la longueur d onde λ (d λ). On néglige le phénomène de diffraction.... Un système optique centré est un système qui possède une symétrie de révolution autour d un axe optique (symétrie cylindrique)..3. Approximation de Gauss : les rayons lumineux sont peu inclinés et peu écartés par rapport à l axe optique principal (rayons paraxiaux). Propriétés : le système optique dans les condition de Gauss est stigmatique et aplanétique (approché)... Etude d un miroir sphérique... Foyer objet F : c est le point sur l axe optique dont l image par le miroir est à l infini. Position du foyer objet : d après la relation de conjugaison (A F, A ) on a SF = SC Foyer image F : c est l image, par le miroir, d un point qui est sur l axe optique à l infini. Position du foyer image : d après la relation de conjugaison (A, A F ) on a SF = SC La distance focale f est : f = R Construction géométrique de l image A B :... Position de A : A sur l axe, donc A F soit : SA = R Position de B : B hors axe, donc B se trouve dans le plan focal image (en dessous de A si B est au dessus de l axe (α < 0)). Corrigé Physique I

3 B( ) A( ) α C F S A B Dans les conditions de Gauss (α faible) on a (schéma...) : A B = R α L image est réelle (renversée) A B est proportionnelle à R, donc il faut choisir le rayon R grand pour avoir une grande image Application numérique : α = = 4, rad, R = 8,76 m A B = 40 µm Remarque : Dans l enoncé.., B est au dessus de l axe optique, donc α doit être négatif!!..3. Pour voir les deux points images A et B sur la CCD il faut que A B h α h R Application numérique : α min = 0, 8 = 6, rad..3. Etude du télescope Cassegrain.3.. A donc : A F (foyer image du miroir M ) A est le foyer du télescope. A est l image de F par le miroir M donc : S A + S F = S C or : S C = R et S F = S S + S F = d R = α min soit : S A = R R d R R + d Application numérique : S A = 5, 05 m.3.. Construction géométrique : B( ) M A( ) A A B B Corrigé Physique I

4 .3.3. D après... A B = R α puisque γ = AB A B A B = γ R α.3.4. La focal du télescope est : f = AB α f = γ R.3.5. D après.3.. on a : F A, d où S F = S A = S S + S A S F = d + S A Application numérique : S F =, 65 m Le grandissement de M est : γ = SA car A S est l image de F par le miroir M. F Avec : S A = 5, 05 m et S F = S S + S F = d R =, 98 m d où : γ = 7, 6 La focale du télescope est : f = 09, 3 m A B =, 06 mm Conclusion : avec le télescope, l image finale est plus grande qu avec un seul miroir (7,6 fois plus grande) Pour avoir les deux images A et B sur la matrice CCD il faut que : A B h, d où : α h γr AN : α min = 8, rad = 0, 07. = α min α min < α min Avec le télescope, on obtient une résolution plus grande. ème Partie : Diffraction par une fente.. Montage de diffraction à l infini (montage à lentilles) : Fente L L Écran S P O.. Principe de Huygens-Fresnel : Les surfaces élémentaires dσ d une surface d onde (d une source primaire S) se comportent comme des sources secondaires d amplitude proportionnelle à dσ et à s source Les sources secondaires sont cohérentes..3. La diffraction à l infini (de Fraunhofer) est obtenue lorsque : la source est à l infini (rejetée à l infini par la lentille L ) l observation se fait à l infini (L ramène la figure de diffraction de l infini à son plan focal image). Corrigé Physique I 3

5 0 Remarque : La diffraction de Fraunhofer est obtenue aussi dans un plan conjugué de la source en utilisant une seule lentille..4. La signification de grande dimension suivant OY est : b λ Conséquence : on peut négliger la diffraction suivant la direction OY La différence de marche est : δ(m) = (SP M) (SOM) = nx sin(α) + nx sin(θ) (car α est algébrique, il est négatif sur le schéma). Puisque on est dans les conditions de Gauss (α et θ sont faibles) alors : δ(m) = n (θ α) X, soit :.5.. Calcul de l amplitude A(M) : δ(m) = n ( ) x f α X A(M) = K = K a a [ exp j π ( ) ] x n λ 0 f α X dx [ [ ]] a j e π λ 0 n( x f α)x a [ ( )] j π x λ 0 n f α d où : [ ( )] πa x A(M) = Ka sin xc n λ 0 f α.6. L intensité lumineuse I(M) : On a : I(M) = ka(m)a (M), d où : ( ( ))] πa x I(M) = I(x) = I 0 [sin c n λ 0 f α Avec I 0 = ka K Remarque : il y a une erreur dans l enoncé : il y a α au lieu de +α dans l argument de sin c car α est choisi algébrique!.7. Figure de diffraction (α < 0) : y x A B C S α Caractéristiques : La frange centrale est deux fois plus large que les autres. Sa largeur est proportionnelle à /a allongée selon Ox Corrigé Physique I 4

6 A( ) B( ) A B C S α Allure de la courbe I(x) (α < 0) : Caractéristiques : La frange centrale est deux fois plus large que les autres. L intensité du maxima secondaire est 0,04 I 0 Centrée sur x 0 = αf L intensité est maximale autour de l image géomértique de la source : x max = αf Conclusion : L image un point source n est pas un point mais une tache de diffraction plus large, ce qui limite la résolution du télescope. 3 ème Partie : Phénomènes limitant le pouvoir de résolution 3.. La figure de diffraction à la même symétrie que l objet diffractant (symétrie circulaire) donc elle est formé d une tache circulaire entourée d anneaux La distance entre les deux maxima est f α. D près le critère de Rayleigh, les deux taches de diffraction sont séparées si fα R 0, soit : 3... La résolution angulaire : D après 3..., on déduit : D, λ 0 nα α, λ 0 nd = α min 3.3. Phénomènes limitant le pouvoir de résolution : la turbulence atmosphérique qui déforme le front d onde des ondes lumineuses. la diffraction par la pupille d entrée du télescope. les aberrations (géométriques et chromatiques) La résolution des télecopes est limitée essentielement par la turbulence atmosphérique Méthodes de correction : l optique adaptative permet de corriger les effets de la turbulence atmosphérique l apodisation permet d atténuer les maxima secondaires de la tache de diffraction L utilisation des télescopes de grands diamètres permet de collecter plus de lumière afin de voir les objets célestes les moins brillants (qui sont assez loins). Corrigé Physique I 5

7 4 ème Partie : Effet de la turbulence atmosphérique 4.. Dimension de C : [C] = L 3 M m 3.kg 4.. L équation d un gaz parfait est ϱ = M P R T, d où : 4.3. Application numérique : C =, m 3.kg n = + C M R P T 4.4. Expression de δn : On a : n = + C M P R T, d où : dn = C M R = C M R ( dp T ( dp T ( )) + P d T P dt ) T soit : δn = C M R ( δp T P δt ) T 4.5. La surface d onde = une surface où la phase ϕ d one onde à la même valeur à un instant donné (ϕ = cte) Théorème de Malus : Les rayons lumineux sont perpendiculaire aux surfaces d ondes Calcul de la phase ϕ(x, z) (l origine : ϕ(x, 0) = 0) : si 0 < z < e : si x > r0 si x < r0 si z > e : si x < r0 ϕ(x, z) = πn λ 0 z π(n + δn) ϕ(x, z) = z λ 0 ϕ(x, z) = π(z n + e δn) λ Equation de la surface d onde est ϕ = ϕ 0 = cte z = cte : si 0 < z < e : si x > r0 z = λ 0 πn ϕ 0 si x < r0 z = λ 0 π(n + δn) ϕ 0 si z > e : si x < r0 z = λ 0 πn ϕ 0 e δn n dans chaque région la surface d onde est un plan Tracé des surfaces d ondes : Σ une surface d onde dans la zone z < 0. Σ une surface d onde dans la zone z > e ( ϕ = πe λ 0 δn) Corrigé Physique I 6

8 Σ x Σ r/ 0 n + δn e z r/ ϕ Conclusion : une variation de la température T et de la pression P entraine une variation δn de l indice de réfraction n de l atmosphère et par conséquence, une déformation des surfaces d onde. Pour corriger les effets de la turbulence atmosphérique sur les d ondes, on utilise des miroirs déformables au rythme de la déformation du front d onde (c est l optique adaptative). Problème II : Electronique ère Partie : Etude théorique.. L AO est en régime linéaire car la patte ( ) est reliée à la sortie (réaction négative)... Aux basse fréquences (ω 0) les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts, donc : v s v B = 0 car i = 0. Aux hautes fréquences (ω + ) les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs fermés, donc : v s v A = v B = 0 Conclusion : c est un filtre passe-bande..3. Millman en A : puisque v B = 0, alors : v A = v e R + jcωv B + jcωv s + 0 R R + jcω + R Millman en B : v A = v e R + jcω v s R + R + jcω v B = jcωv A + v s R 3 jcω + R 3 Corrigé Physique I 7

9 puisque v B = 0, il vient : v s = j C ω R 3 v A.4. Expression de H : En combinant les relations de.3., il vient : ( + + jcω R R ) vs jcωr 3 = v e R + jcωv s d où : d où : avec : H 0 = R 3 R Q = R 3 4R 3 H = v s = v e R + +jcω R R }{{ } = R 3 H = R3 R R3Cω j R 3 Cω + j = jcωr 3 jcω H 0 + jq(x /x) ω 0 = C R 3 R 3.5. Aux hautes fréquences (x ) : H H0 jqx = H0ω0 Q Aux basses fréquences (x ) : H Aux hautes fréquences (H = H0ω0 Q jω : le montage à un caractère intégrateur. H0 jq/x = H0 Qω 0 jω : le montage à un caractère dérivateur. jω ) v s = H0ω0 v e Q jω v s(t) = H 0ω 0 Q Aux basses fréquences (H = H0 Qω 0 jω) v s = H0 Qω 0 jωv e v s (t) = H 0 dv e (t) Qω 0 dt.6. v e (t) dt + cte Définition de la pulsation de coupure ω c à 3 db : H(ω c ) = H max Calcul des ω c : on a H max = H 0 d où : ω c = ω ( 0 4 Q + + Q ) ω c = ω 0 ( Q Q ) La largeur de la bande passante : ω = ω c ω c = ω 0 Q.7. Application numérique : f = 50 Hz Corrigé Physique I 8

10 H 0 Le module de H est : H(ω) = ( + Q ω ω 0 ) ω0 ω [ L argument de H est : ϕ(ω) = π Arctan Q( ω ω ] 0 ω 0 ω ).8.. H(ω) est maximale si son dénominateur est minimal donc pour : ω = ω 0 = ω 0 Allure de H(ω) : H H x ème Partie : Analyse de Fourier.. f BP = [ ω c π, ] ωc π vs = v e H(ω)e jϕ(ω) = Ee j(ωt π/) H(ω)e jϕ(ω), d où : et puisque f = f 0 :.. Pas de question!!.3. Le signal possède une composante continue E/ La partie variable est impaire donc en sinus.4. Allure du spectre en fréquence : E H 0 v s = Re(v s ) = ( ) sin [πft + ϕ(ω)] + Q ω ω0 ω ω 0 v s = E H 0 sin [πft + π] = E H 0 sin (πft).5. f 0 = f BP c est la seule fréquence qui passe (p = 0), donc : v s (t) = E H 0 π sin[πft + ϕ(f)] = E H 0 π sin(πf t).6. Pour balayer le domaine de fréquence on peut faire varier R 3 ou C ce qui permet de déterminer les fréquences et les amplitudes des harmoniques, donc le spectre. Corrigé Physique I 9

11 S p = E (p+)π 0 f f f n 3 ème Partie : Etude pratique 3.. Montage expérimentale : CH _ + CH GBF ~ v e v s 3.. Etude du filtre : On utilise un signal sinusoïdal dont on fait changer la fréquence. on mesure l amplitude de v s et de v s et on déduit le module H = Vs V e. On mesure aussi le déphasage ϕ = ϕ s ϕ e 3.3. Si l amplitude V s de v s dépasse V sat = 5V, l AO se sature. v s(t) t Corrigé Physique I 0

12 Le signal reste sinusoïdal si : dvs dt max = V s ω σ ω σ V s = ω Application numérique : f = 0, 6 khz Si vous avez des réponses plus élégantes, n hésitez pas de nous les communiquer aux adresses suivantes : lhaghazzaf@yahoo.fr, cpgemaroc@yahoo.fr et habib_af@yahoo.f r Corrigé Physique I

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