INFO Informatique. Séance 5 - Espace d états, conditions et conception systématique

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Jacqueline Prudhomme
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1 INFO Informatique Séance 5 - Espace d états, conditions et conception systématique Gérard Dethier

2 Table des matières Espace d états Prédicats et conditions Méthode de conception systématique d un programme

3 Table des matières Espace d états Prédicats et conditions Méthode de conception systématique d un programme

4 Espace d états Programme variables (typées) Exécution modification des valeurs des variables État = valeur variable Espace d états = tous les états possibles d un programme

5 Exemple d espace d états Programme python : x, y = A, B while x!= y: if x > y: x -= y if x < y: y -= x Espace d état associé : y x

6 Trajectoire Initialisation des variables état E 0 Affectation au temps t E t+1 Exécution : E 0,E 1,E 2,... Trajectoire dans l espace d états.

7 Exemple de trajectoire Programme python : x, y = 6, 8 while x!= y: if x > y: x -= y if x < y: y -= x Trajectoire associée : y E E 3 E 2 E x

8 Trajectoires «dégénérées» infinie (E 0 = ( 4, 2)) infinie et concentrée en un point (E 0 = (4,0)) x, y = A, B while x!= y: if x > y: x -= y if x < y: y -= x

9 Trajectoires «intéressantes» finie point final = solution (tableau trié, minimum trouvé,... ) Comment déterminer les trajectoires intéressantes?

10 Table des matières Espace d états Prédicats et conditions Méthode de conception systématique d un programme

11 Prédicats Soit D un ensemble d objets appelé domaine Prédicat = propriété d un objet o D relation entre n objets o 1,o 2,...,o n D propriété ou relation vraie ou fausse. Exemples : x est un nombre premier (domaine?) x est plus petit que y (domaine?)

12 Conditions Condition = prédicat dont le domaine est l espace d états Conditions particulières : Postcondition Précondition

13 Postcondition Rappel : trajectoire intéressante point final = solution Définition : Condition permettant de séparer les points solutions des autres Remarque : Il n est pas nécessaire de connaître la solution pour énoncer la postcondition Exemple de postcondition pour la recherche de minimum : La variable min a la plus petite valeur du vecteur v

14 Précondition Condition sépare les points initiaux origine d une trajectoire intéressante des autres

15 Remarques Postcondition demandeur Précondition demandeur et programmeur Programme OK pour demandeur si tous les cas envisagés sont repris par la précondition (restrictions éventuelles par programmeur pour raison techniques)

16 (Très) petite introduction (très) rapide à la logique des prédicats opérateurs de base : and, or, non (not en Python) Tables de vérité : A B A and B F F F F T F T F F T T T A B A or B F F F F T T T F T T T T A F T non A T F

17 Quelques règles de simplification Négation : non (non A) = A Commutativité : A or B = B or A A and B = B and A Associativité : (A or B) or C = A or (B or C) (A and B) and C = A and (B and C) Distributivité : (A or B) and C = (A and C) or (B and C) (A and B) or C = (A or C) and (B or C)

18 Cand et cor A cand B and conditionnel B n est évalué que si A = T A cor B or conditionnel B n est évalué que si A = F Exemple d utilisation : i < N cand v[i] = 0 Version Python : i < N and v[i] == 0

19 Quantificateurs Quantificateur existentiel (noté E ou ) B 0 or B 1 or... or B n 1 = ( i : 0 i < n : B i ) Quantificateur universel (noté A ou ) B 0 and B 1 and... and B n 1 = ( i : 0 i < n : B i ) Exemples : ( i : 0 i < n : A[i] 0) ( i : 0 i < n : A[i] > 0)

20 Table des matières Espace d états Prédicats et conditions Méthode de conception systématique d un programme

21 Conception d un programme Données : précondition I postcondition R Objectif : écrire un programme S tel que {I} S {R}

22 Raisonnement pour le if I = I 0 or I 1 or...or I n 1 S i tel que {I i } S i {R} G i une expression booléenne écrite en Python telle que G i I i = Le programme S suivant : if G_0: S_0 elif G_1: S_1... elif G_n_moins_1 S_n_moins_1

23 Exemple pour le if X,Y des valeurs entières Postcondition R : z = max(x,y ) Précondition I = T (tous les entiers sont valides) I = (X < Y ) or (X Y ) = Le programme S suivant : if X < Y: z = Y elif X >= Y: z = X ou encore if X < Y: z = Y else: z = X

24 Raisonnement pour le while Objectif (rappel) : S tel que {I} S {R} S implémentable par while si on peut trouver : Prédicat P (l invariant de boucle) Expression booléenne G (le gardien) Séquence d instructions S init (commande d initialisation) Séquence d instructions S 0 Tels que # I Sinit # P while G : # P and G S0 # P # R = (P and non G)

25 Raisonnement pour le while (suite) La détermination de P est essentielle P moins restrictif que R S init détermine point initial où P vérifié # I Sinit # P while G : # P and G S0 # P # R = (P and non G)

26 Exemple pour le while (1) X,Y des valeurs entières, X > 0 et Y 0 Postcondition R : z = X Y Précondition I : (X > 0 and Y 0) Proposition d invariant P : z a b = X Y

27 Exemple pour le while (2) P : z a b = X Y P = R si b = 0 le gardien G : b!= 0 S init : z,a,b = 1,X,Y Il faut trouver S 0 tel que : z, a, b = 1, X, Y while b!= 0: # P and b!= 0 S0 # P # P and b = 0

28 Exemple pour le while (3) Une version simple de S 0 : z, b = z * a, b - 1 Améliorations possibles?

29 Exemple pour le while (4) Amélioration proposée : si b > 0 and b est pair, a b = (a a) b/2 = Convergence plus rapide (b diminue plus vite) z, a, b = 1, X, Y # P while b!= 0: if b % 2 == 1: z *= a b -= 1 else: b /= 2 a *= a

30 Étapes de la conception d un boucle while 1. R P,G en utilisant R = (P and non G) 2. I,P S init 3. Concevoir S 0 tel que {P and G}S 0 {P} 4. Montrer que G peut être falsifié

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