Exercices supplémentaires Dérivation

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1 Exercices supplémentaires Dérivation Partie A : Lecture graphique et tracé de tangente Exercice Lire graphiquement le coefficient directeur s il existe de chacune des droites représentées ci-dessous Exercice Tracer dans chaque cas, la droite passant par et de coefficient directeur. Déterminer une équation de chacune de ces droites. ) ; et ) ; et ) ; et ) ; et 0 Exercice On a représenté la courbe d une fonction et certaines de ses tangentes. ) Donner l interprétation graphique de puis lire graphiquement sa valeur. ) Lire de même ; et 0.

2 Exercice On considère la fonction définie sur par. ) Tracer la courbe de dans un repère orthonormé. ) On donne. Tracer la tangente à la courbe de au point d abscisse. Exercice On considère le tableau de valeurs suivant : 0 6, 0 0, ) Dans un repère orthonormé, placer les points de la courbe de connus. ) Tracer les tangentes à en ces points. ) Tracer une allure possible de la courbe de. Partie B : Taux de variations Exercice On considère la fonction carrée. ) Calculer et où est un réel. ) En déduire une expression simplifiée de ) Déterminer le nombre dérivé de en. pour non nul. Exercice Un véhicule décrit un mouvement rectiligne. La distance parcourue, en mètres, depuis le temps 0 jusqu au temps en secondes, est. ) Calculer pour 0. ) Déterminer la vitesse instantanée 0 de ce véhicule au temps 0. ) Déterminer sa vitesse instantanée à 0. Exercice ) Etablir la relation pour tous réels et. ) En déduire une factorisation de 8. ) Déterminer le nombre dérivée de la fonction cube en. Exercice On considère la fonction racine carrée définie sur 0; ) Vérifier que pour 0, ) En déduire l existence et la valeur de. Exercice On considère la fonction définie sur par Démontrer que est dérivable en et déterminer. Exercice 6 On considère la fonction définie sur ; par. Démontrer que est dérivable en et déterminer. Partie C : Calcul de dérivées Exercice Calculer dans chacun des cas suivants :

3 ) : et ) : et ) : et ) : et Exercice Dans chaque cas, tracer la courbe de la fonction, déterminer l équation de la tangente à au point d abscisse et tracer cette tangente. ) : et ) : et ) : et ) : et Exercice Dans chaque cas, justifier que est dérivable en précisant l ensemble de dérivabilité puis calculer. ) : ) : ) : 6 ) : ) : 6) : 7) : 8) : 9) : 0) : ) : ) : ) : ) : ) : 6) : 7) : 8) : 9) : 0) : ) : Partie D : Tangente avec conditions et exercices bilan Exercice ) Déterminer le sommet de la parabole d équation. ) Déterminer la tangente à en. ) Démontrer que la tangente au sommet à une parabole d équation avec, et trois réels 0 est toujours horizontale. Exercice On considère les deux courbes : et : 6. ) Tracer et dans un repère orthonormé. ) Montrer qu elles n ont qu un point commun que l on notera. ) Montrer que et ont la même tangente en.

4 Exercice On considère la fonction définie sur par 6 Et on note sa courbe représentative dans un repère orthonormé. ) Déterminer les coordonnées du point où coupe l axe des ordonnées. ) Déterminer une équation de la tangente à en. ) Etudier la position relative de et. Exercice On considère la fonction définie sur par. ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d abscisse. ) Déterminer trois réels, et tels que pour tout réel. ) Etudier les positions relatives de et. Exercice On considère trois fonctions : ; : et : de courbes respectives, et. ) Dresser les tableaux de variations de, et. ) Montrer que le point ; est commun aux trois courbes, et. ) Montrer que les trois courbes admettent la même tangente en. ) Etudier les positions relatives de par rapport à chacune des trois courbes. ) Tracer,, et. 6) Chacune des courbes, et admet-elle une tangente parallèle à la droite d équation? Si oui, préciser en quel point et écrire leur équation. Exercice 6 On considère la parabole d équation et le point ;. On voudrait savoir s il existe une ou plusieurs tangentes à passant par. ) Tracer et émettre une conjecture. ) On considère un réel. Ecrire une équation de la tangente à au point d abscisse. ) Déterminer le ou les réels tels que passe par. Exercice 7 On considère la fonction définie sur sur ;. ) Etudier le sens de variations de sur ;. ) Tracer la courbe de dans un repère orthonormé. ) On admet que est dérivable sur ;. On considère la fonction définie par. a. Justifier que est dérivable sur ; et déterminer une expression de en fonction de et. b. Exprimer en fonction de puis calculer. c. En déduire. ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d abscisse 0 et tracer cette tangente. Exercice 8 On cherche une courbe passant par 0; 0, ; et qui admet pour tangentes en et respectivement les droites et où ; et ;. On considère pour cela une fonction dérivable sur dont serait la courbe représentative. Est-il possible de trouver sous la forme où,, et sont des réels? Exercice 9 ) Dans un repère, tracer la courbe représentative de la fonction : et placer ;. ) Montrer que la tangente à au point d abscisse 0, passe par.

5 ) Nous allons chercher s il existe d autres tangentes à qui passe par. Pour cela, on considère un point de d abscisse. a. Montrer qu une équation de la tangente à en est 0. b. De quelle équation le nombre doit-il être solution pour que la tangente en passe par? c. Montrer que pour tout réel, 8. d. Résoudre dans l équation 0. e. En quels points de, la tangente à passe-t-elle par? ) Nous allons maintenant chercher par quels points du plan on ne peut pas tracer de tangente à. Pour cela, on considère la droite Δ parallèle à l axe des ordonnées et passant par. a. Montrer que les coordonnées d un point de Δ sont ; avec un réel. b. Montrer que le nombre de tangentes à passant par est le nombre de solutions de l équation d inconnue : 0. c. Tracer la courbe de la fonction :. Donner graphiquement, en fonction de, le nombre de solution de 0. d. Préciser où doit se trouver le point sur Δ pour que l on puisse tracer une, deux ou trois tangentes à en.

6 Correction exercices supplémentaires Dérivation Partie A : Lecture graphique et tracé de tangente Exercice Le coefficient directeur est. Le coefficient directeur est. : Le coefficient directeur est 0. : Le coefficient directeur est. n a pas de coefficient directeur. : Le coefficient directeur est. Exercice ) L équation réduite de la droite cherchée est. Comme appartient à cette droite, les coordonnées de vérifient l équation d où ou encore. L équation cherchée est donc. ) L équation réduite de la droite cherchée est. Comme appartient à cette droite, les coordonnées de vérifient l équation d où ou encore. L équation cherchée est donc. ) L équation réduite de la droite cherchée est. Comme appartient à cette droite, les coordonnées de vérifient l équation d où ou encore. L équation cherchée est donc. ) L équation réduite de la droite cherchée est. Comme appartient à cette droite, les coordonnées de vérifient l équation d où. L équation cherchée est donc. - A 0 A A Exercice ) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point d abscisse, donc au point. Graphiquement, on a ) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point donc est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point donc 0 0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de au point donc 0 Exercice A 0 -

7 Exercice y Partie B : Taux de variations Exercice ) Pour réel : et 0 ) Pour non nul : ) Quand prend des valeurs proches de 0, 0 est proche de 0 donc 0 Exercice ) Pour ) Quand est proche de 0, est proche de donc 0 ) Pour déterminer la vitesse instantanée à 0, on doit déterminer 0 donc calculer Quand est proche de 0, ce rapport est proche de donc la vitesse instantanée à 0 est de.. Exercice ) Pour et réels : ) 8 6 ) Pour non nul : 6 Quand prend des valeurs proches de 0, ce rapport est proche de donc le nombre dérivée de la fonction cube en est. Exercice ) Pour 0 : ) Quand est proche de 0, ce rapport est proche de donc est dérivable en est :

8 Exercice Pour non nul : Pour proche de 0, ce rapport est proche de donc est dérivable en et Exercice 6 Pour tel que 0 : Quand est proche de 0, ce rapport est proche de donc est dérivable en et Partie C : Calcul de dérivées Exercice ) pour tout donc 0 ) pour tout donc ) pour tout strictement positif donc ) pour tout non nul donc Exercice ) est dérivable sur et donc. Une équation de la tangente à au point d abscisse est or. Une équation est donc soit ) est dérivable sur et donc 6. Une équation de la tangente à au point d abscisse est or 9. Une équation est donc 69 soit 69 ) est dérivable sur et donc. Une équation de la tangente à au point d abscisse est or. Une équation est donc soit ) est dérivable sur et donc. Une équation de la tangente à au point d abscisse est or. Une équation est donc soit Exercice Dans chaque cas, justifier que est dérivable en précisant l ensemble de dérivabilité puis calculer. ) : est une somme de deux fonctions dérivables sur donc est dérivable sur et ) : est une fonction affine dérivable sur et ) :6 est une fonction affine dérivable sur et ) : est une somme de deux fonctions dérivables sur donc est dérivable sur et ) : est la somme d une fonction dérivable sur et d une fonction dérivable sur donc elle est dérivable sur et

9 6) : est la somme de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur et 7) : est de la forme avec : dérivable sur et : dérivable sur avec et donc est dérivable sur et 8) : est de la forme avec : dérivable sur et : dérivable sur avec et donc est dérivable sur et 6 8 9) : est de la forme avec : dérivable sur et : dérivable sur avec et donc est dérivable sur et 8 0 0) : est de la forme avec : dérivable sur et : dérivable sur avec et donc est dérivable sur et 7 ) : est de la forme avec : dérivable sur et s annulant en avec donc est dérivable sur ; ; et ) : est de la forme avec : dérivable sur et s annulant en et en avec donc est dérivable sur ; ; ; et ) : est de la forme avec : dérivable sur et s annulant en et donc est dérivable sur ; et sur ; et ) : est de la forme avec et : dérivable sur et ne s annulant pas avec donc est dérivable sur et 0 ) : est de la forme avec : dérivable sur avec et : dérivable sur et s annulant en avec donc est dérivable sur ; ; et 7 6) : est de la forme avec : dérivable sur avec et : dérivable sur et s annulant en avec donc est dérivable sur ; ; et

10 7) : est de la forme avec : dérivable sur avec et : dérivable sur et ne s annulant pas avec donc est dérivable sur et 8) : est de la forme avec : dérivable sur avec et : dérivable sur et s annulant en 0 avec donc est dérivable sur et 9) : est de la formu avec : dérivable sur et : donc est dérivable sur et 8 Remarque : on pouvait aussi développer le carré et ensuite calculer la dérivée. 0) : est de la forme avec : dérivable sur avec et : dérivable sur avec donc est dérivable sur et 6 ) : est une somme de fonctions dérivables sur donc est dérivable sur et 6 Partie D : Tangente avec conditions et exercices bilan Exercice ) L abscisse du sommet de la parabole d équation est soit. ) On considère la fonction : dérivable sur avec. Une équation de la tangente à au point d abscisse est or 0 et donc l équation cherchée est ) On considère la fonction : avec,, des réels et 0. Alors la courbe représentative de est la parabole donc le sommet a pour abscisse. De plus est dérivable sur avec. Le coefficient directeur de la tangente à au point d abscisse est. Or 0 Le coefficient directeur de la tangente en est nul donc la tangente est horizontale. Exercice ) Faire le tracé ) Déterminer les points communs de et en résolvant l équation 6 or Donc et ont un unique point commun d abscisse. ) Tangente à au point d abscisse : on note :. est dérivable sur et. Une équation de la tangente à en est or et donc l équation cherchée est soit Tangente à au point d abscisse : on note : 6. est dérivable sur et 6. Une équation de la tangente à en est or et donc l équation

11 cherchée est soit Les courbes et ont dont bien la même tangente en. Exercice ) Pour déterminer l intersection de avec l axe des ordonnées, on calcule l image de 0 par or 0 6 donc 0; 6 ) est de la forme avec : 6 dérivable sur avec et : dérivable sur et s annulant en donc est dérivable sur et 6 Une équation de la tangente à en est 0 0 or 0. L équation cherchée est donc 6 ) Pour étudier la position relative de et, on étudie le signe de 6 or pour tout, Le numérateur est clairement positif donc 6 est du signe de. Sur ;, est négatif donc est en dessous de. Sur ;, est positif donc est au dessus de. Exercice ) est dérivable sur en tant que somme de fonctions dérivables sur et. Une équation de est. Or et donc l équation cherchée est soit ) Pour tout réel, Par identification avec, on a 0 ou encore. On a donc ) Pour étudier les positions relative de et, on étudie le signe de soit de. Grâce à la question précédente, cela revient à étudier le signe de. Signe de : Δ 9 donc est du signe de sauf entre les racines et On construit alors le tableau de signes : Signe de 0 Signe de 0 0 Signe de 0 0 Donc sur ;, est en dessous de et sur ;, est au dessus de. Exercice ) est de la forme avec donc est décroissante puis croissante et son minimum est atteint en soit en 0. est de la forme avec donc est décroissante puis croissante et son minimum est atteint en. est de la forme avec donc est croissante puis décroissante et son maximum est atteint en. 0 0

12 ) ; et donc ; appartient bien aux trois courbes, et. ) Pour vérifier que les trois tangentes sont confondues, on peut déterminer les équations de chacune d entre elles ou simplement vérifier qu elles ont le même coefficient directeur car elles passent déjà par un point commun. Autrement dit, il suffit de vérifier que. Or, et sont trois fonctions polynômes du second degré donc sont dérivables sur et ; et. On a donc ; et. Les trois courbes admettent donc bien la même tangente en. ) Commençons par déterminer l équation de : elle est de la forme d où ce qui donne. Position relative de avec : on étudie le signe de soit de. Or donc c est toujours positif et est au dessus de. Position relative de avec : on étudie le signe de soit de. Pour cela, on calcule le discriminant Δ 0 donc est toujours du signe de donc positif et est au dessus de. Position relative de et : on étudie le signe de soit de ou encore de ce qui est négatif. Donc est en dessous de. ) 6) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. On doit donc résoudre ; puis. Pour : Donc il existe une tangente à parallèle à la droite d équation. C est au point d abscisse. Une équation de cette tangente est : soit A Pour : 0 Donc il existe une tangente à parallèle à la droite d équation. C est au point d abscisse 0. Une équation - 0 de cette tangente est : 00 soit Pour : Donc il existe une tangente à parallèle à la droite d équation. C est au point d abscisse. Une équation de cette tangente est : soit y 6 Exercice 6 ) Il semble qu il y ait une unique tangente à passant par. ) Une équation de est en notant la fonction carrée. est dérivable sur et donc une équation de est ou encore ) passe par si et seulement si ses coordonnées vérifient l équation de autrement dit. Or 0 : pour cette dernière équation, on calculer le discriminant : Δ0 donc il y a deux solutions et 0 S

13 . Il y a donc deux tangentes à qui passe par. Exercice 7 ) est une fonction de la forme avec : strictement croissante et positive sur ; donc est strictement croissante sur ;. ) ) a. est le produit de deux fonctions dérivables sur ; donc elle est dérivable sur ; et b. Pour ; : car pour, est strictement positif. On a alors c. D après les questions précédentes, pour, on a et alors donne ce qui 0 6 ) Une équation de la tangente à au point d abscisse 0 est 0 0 ce qui donne Exercice 8 donc 0 0 ce qui donne 0. donc ce qui donne 7 9 ou encore 9 Le coefficient directeur de la tangente à en est 0 mais aussi qui vaut d où 0. Or est dérivable sur avec d où. Le coefficient directeur de la tangente à en est mais aussi soit. On a donc ce qui donne 7 6 Finalement, en remplaçant par sa valeur, on obtient deux équations : 9 6 et Finalement il est possible de trouver avec les conditions données : : Exercice 9 ) ) La tangente à au point a pour équation 0, 0, 0,. est dérivable sur et donc 0, 0,7 et 0, 0, d où l équation cherchée : 0,70,. Vérifions si appartient à cette droite : 0,7 0,,7 0, donc appartient bien à la tangente à au point. ) a. Une équation de la tangente à en est or Donc une équation cherchée est ou encore 0.

14 b. La tangente en passe par si et seulement si 0 soit 0 c. Pour tout réel : d ou 80 Pour la seconde équation : Δ668 donc il y a deux racines et Finalement l équation 0 a trois solutions réelles : ; ; e. Les tangentes à en, et passe par. ) a. Δ est une droite parallèle à l axe des ordonnées donc son équation est de la forme or elle passe par donc son équation est. Un point qui appartient à Δ a donc des coordonnées de la forme ; avec un réel. b. Une équation de la tangente à en un point d abscisse est 0. Cette tangente passe par si et seulement si 0 Le nombre de tangentes correspond donc au nombre de solution de cette équation. c. On cherche le nombre de solutions de. - A Si 0, alors 0 et l équation 0 a une unique solution. Si 0, alors 0 a deux solutions. 00 Si 0 alors 0 et l équation 0 a trois 7 solutions Si alors l équation a deux 0 solutions. Si alors l équation a une solution. d. On considère le point de Δ d ordonnée 0 et le point d ordonnée. Si est au dessus de ou en dessous de alors on peut tracer une unique tangente à passant par. Si est en ou en, on peut tracer deux tangentes à passant par. Si est entre et (ce qui est le cas pour ), on peut tracer trois tangentes à passant par. 0

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