UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a)

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre VII : Dérivation Notations : On reprend dans ce chapitre les notations du chapitre précédent : soit I un intervalle non vide, on note I l intérieur de I. Si x 0 est un nombre réel, on notera I x0 un voisinage de x 0 (i.e. un intervalle ouvert contenant x 0 ), et I x 0 = I x0 {x 0 }. Si x 0 = +, alors I x0 désigne un intervalle ouvert du type ]γ; + [ et si x 0 =, I x0 =] ; γ[. 1 Dérivabilité d une fonction en un réel x 0 Rappels : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a < b deux réels de I. On appelle taux d accroissement de f (ou taux de variation de f, ou accroissement moyen de f) entre a et f(b) f(a) b le rapport. Dans un repère orthogonal, ce rapport est le coefficient directeur de la b a droite (AB) où A(a, f(a)) et B(b, f(b)). m = y B y A f(b) f(a) = x B x A b a y B B y B y A y = mx + p y A j ı A x A x B x A x B Figure 1 Accroissement moyen entre a et b

2 2 Définition 1. Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x 0 un réel appartenant à I. f est dite dérivable en x 0 si f (x,x0 ) = f(x) f(x 0) admet une limite réelle (= finie) l x x 0 lorsque x tend vers x 0 (x x 0 ). Dans ce cas, cette limite est notée f (x 0 ) et est appelée nombre dérivé de f en x 0. Remarque : f (x,x0 ) représente le coefficient directeur de la sécante (MM 0 ) où M(x, f(x)) et M 0 (x 0, f(x 0 )). Dire que f (x,x0 ) possède une limite quand x tend vers x 0 revient à dire que la courbe représentative de f possède au point M 0 une tangente de coefficient directeur f (x 0 ). (tangente non verticale) Ainsi, lorsque f est dérivable en x 0, l équation de la tangente à C f au point M 0 est y = f (x 0 )(x x 0 ) + f(x 0 ) (remarquer que cette droite a pour coefficient directeur f (x 0 ) et passe par M 0 ). Exemples Soit f : f(x) = x 2. Pour x 0 = 1, on a f (x,1) = x2 1 = x + 1 donc lim x 1 (x,1) = 2. f est x 1 dérivable en 1 et f (1) = 2. La tangente à C f au point A(1, 1) a pour équation : y = 2x Soit f x 1 : f(x) = x 1. Pour x 0 = 1, on a f (x,1) = = 1 si x > 1 et 1 si x < 1. x 1 Donc f (x,1) ne possède pas de limite en x 0 = 1 et f n est pas dérivable en 1. Remarque : Avec le changement de variable x 0 = x+h, on a l énoncé suivant : f est dérivable en x 0 si et seulement si f(x 0 + h) f(x 0 ) h admet une limite finie lorsque h tend vers zéro et h 0. Théorème 1. Théorème d approximation affine Soit f définie sur I x0. f est dérivable en x 0 si et seulement s il existe une fonction ε définie sur I x0, continue en x 0, telle que ε(x 0 ) = 0 et un nombre réel A tels que : x I x0 f(x) = f(x 0 ) + A(x x 0 ) + (x x 0 )ε(x) ( ) Figure 2 Approximation affine

3 3 Définition 2. Soit f une fonction définie sur I x0. Si le taux d accroissement de f a une limite finie à droite (respectivement à gauche) en x 0, f est dite dérivable à droite (resp. à gauche) de x 0. On note f d(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0 lim x>x 0 x x 0 et f g(x f(x) f(x 0 ) 0 ) = x x0 lim. x<x 0 x x 0 REMARQUE IMPORTANTE : Une fonction peut très bien être dérivable à droite et à gauche en x 0 mais ne pas être dérivable en x 0. (Voir par l exemple ci-dessus : f d(2) = 0 et f g(2) = 2). Exemple 2. Figure 3 Point anguleux Autres exemples de non-dérivabilité Exemple 3. Figure 4 Point de rebroussement Figure 5 Tangente verticale

4 4 Théorème 2. Une fonction f définie sur I x0 est dérivable en x 0 si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite de x 0 et f d(x 0 ) = f g(x 0 ). Théorème 3. Soit f une fonction définie sur I x0. Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x 0. la réciproque est fausse : penser à la fonction «valeur absolue» qui est continue, mais non dérivable en zéro. 2 Fonction dérivée sur un intervalle Définition 3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable en tout réel de I (si I = [a, b] est fermé on convient alors de supposer que f est dérivable à droite en a et à gauche en b ) on dit que f est dérivable sur I et on peut alors définir la fonction dérivée de f, notée f, sur I par : f : I R x f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h Définition 4. Fonctions dérivées d ordres supérieurs Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I et f sa fonction dérivée. Si f est elle-même dérivable sur I, on peut considérer la fonction dérivée de f, notée f ou f (2), définie sur I. S il est possible de réitérer cette opération n fois, on peut alors définir sur I, la fonction dérivée n ième, notée f (n). Exercices Déterminer toutes les dérivées successives de f : f(x) = 4x 3 5x 2 + 2x 1 2. Soit f : f(x) = 5e 2x. Déterminer la dérivée n ième de f sur R. Les étudiants doivent connaître le tableau des fonctions dérivées des fonctions de références suivantes : (à compléter avec les résultats que vous verrez dans le chapitre suivant)

5 5 f : f(x) =... f (x) =... Ensemble de validité ax + b a R x n (n N ) nx n 1 R x n (n Z ) nx n 1 ] ; 0[ ]0; + [ x 1 2 x ]0; + [ x α (α R ) αx α 1 ]0; + [ e x e x R ln x 1 x ]0; + [ a x (a R +) (ln a)a x ]0; + [ Opérations usuelles Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I : alors les fonctions f + g, k.f (où k R) et fg sont dérivables sur I : Si de plus g ne s annule pas sur I, 1 g et f g sont dérivables sur I Fonction Dérivée Condition f + g f + g k.f k.f k R f g f g + f g 1 g f g g g 2 x I, g(x) 0 f g f g g 2 x I, g(x) 0 Théorème 4. Dérivée d une fonction composée Soient f et g deux fonctions dérivables sur respectivement I et J tels que f(i) J. Alors la fonction composée g f est dérivable sur I et pour tout x I, ( g f ) (x) = f (x) ( g f ) (x) On obtient ainsi les dérivées suivantes :

6 6 Fonction Dérivée Condition f n (n N ) nf f n 1 f n (n Z ) nf f n 1 x I, f(x) 0 f α (α R ) αf f α 1 x I, f(x) > 0 ln f exp(f) f f f exp(f) x I, f(x) 0 3 Variations - extrema d une fonction dérivable Théorème 5. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) 0 alors f est croissante sur I. 2. Si x I, f (x) 0 alors f est décroissante sur I. 3. Si x I, f (x) = 0, alors f est constante sur I. Théorème 6. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. 1. Si x I, f (x) 0 et f ne s annule qu en des réels isolés, alors f est strictement croissante sur I. 2. Si x I, f (x) 0 et f ne s annule qu en des réels isolés, alors f est strictement décroissante sur I. Exemple : f x x 3. x R, f (x) = 3x 2 0 et f ne s annule qu en x = 0, donc f est strictement croissante sur R. Définition 5. Soit f une fonction définie sur D f. 1. On dit que f admet un maximum local en x 0, s il existe un voisinage I x0 tel que x 0 I x0, f(x) f(x 0 ). 2. On dit que f admet un minimum local en x 0, s il existe un voisinage I x0 tel que x 0 I x0, f(x) f(x 0 ). 3. On dit que f admet un extremum en x 0 si f admet un minimum ou un maximum en x 0. Théorème 7. Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I x0, si f admet un extremum en x 0, alors f (x 0 ) = 0. Conséquence graphique : Sous les conditions du théorème, la tangente à C f est horizontale. Remarque : La réciproque du théorème précédent est fausse : par exemple soit f : x x 3, f (0) = 0 mais f n admet pas d extremum en x = 0.

7 7 Théorème 8. Soit f une fonction définie et dérivable sur I x0, si f (x 0 ) = 0 et si f (x) change de signe en x 0, alors f admet un extremum en x 0. Théorème 9. Soit f une fonction deux fois dérivable sur I x0. 1. Si f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) > 0, alors f admet un minimum en x Si f (x 0 ) = 0 et f (x 0 ) < 0, alors f admet un maximum en x 0. Exercice 2. Soit f définie sur R + par f(x) = ( ln x ) 3 3 ln x. Calculer f (x) puis déterminer les variations de f sur R +. 4 Dérivée d une fonction réciproque Théorème 10. Soit f une bijection définie et continue d un intervalle I sur un intervalle. Si f est dérivable en x 0 I et si f (x 0 ) 0, alors f 1 est dérivable en y 0 = f(x 0 ) et ( f 1) (y0 ) = 1 f (x 0 ) Exemples x ]0; + [ y = x 2 } x I y = f(x) f (x 0 ) 0 { y ]0; + [ x = y y J x = f 1 (y) ( ) f 1 (y0 ) = 1 f (x 0 ) Soit f : x x 2, f est dérivable sur ]0; + [, et pour tout x > 0, f (x) = 2x 0. La fonction réciproque de f est la fonction «racine carrée» : cette fonction est dérivable sur ]0; + [, et pour tout x ]0; + [, y = x 2, ( ) 1 y = 2x = 1 2 y x ]0; + [ y = ln x } { y R x = exp(y) Soit f : x ln x, f est dérivable sur ]0; + [, et pour tout x > 0, f (x) = 1 0. La x fonction réciproque de f est la fonction «exponentielle» : cette fonction est dérivable sur R, et pour tout x ]0; + [, y = ln(x) et ( exp y ) 1 = ln (x) = 1 1 = x = exp(y). On retrouve x le fait que la fonction exponentielle est sa propre dérivée. Exercice 3. Soit f la fonction définie par f(x) = 1 ( ) 1 + x 2 ln 1 x 1. Déterminer l ensemble de définition D f de f. 2. Démontrer que f admet une fonction réciproque f 1 sur D f. Sur quel ensemble f 1 est-elle définie? 3. Déterminer la dérivée de f 1 là où elle est dérivable.

8 8 5 Théorème des accroissements finis Théorème 11. de Rolle Soit f une fonction définie sur un segment [a, b] de R. On suppose que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et que f(a) = f(b). Alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Figure 6 Théorème de Rolle Théorème 12. des accroissements finis Soit f une fonction définie sur un segment [a, b] de R. On suppose que f est continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c) Figure 7 Théorème des accroissements finis Remarque : Une application de ce théorème est la démonstration du théorème qui lie signe de la dérivée et variation de la fonction

9 9 Par exemple : Si f est croissante sur I, pour tout x 0 I, f(x) f(x 0 ) 0 et par passage à x x 0 la limite, on en déduit que f (x 0 ) 0. Réciproquement, supposons que f (x) 0 pour tout x I. Soient a et b (a < b) deux réels de I : on applique le théorème des accroissements finis à f sur [a, b] : il existe c [a, b] tel que f f(b) f(a) f(b) f(a) (c) = d où 0, d où f(b) f(a) 0, et f est croissante sur I. b a b a Théorème 13. Inégalité des accroissements finis Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un segment [a, b] et dérivables sur ]a, b[. On suppose que pour tout x ]a, b[, f (x) g (x), alors f(b) f(a) g(b) g(a) Exercice 4. Première partie : étude d une fonction g Soit g la fonction définie sur ]0; + [ par : g(x) = x ln x x Après avoir justifié de la dérivabilité de g sur son domaine de définition, calculez la fonction dérivée de g puis donnez le tableau des variations de g (limites comprises). 2. Déterminez le signe de g sur ]0; + [. Seconde partie : étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur ]1; + [ par : f(x) = 1 x 1 ln x 1. Déterminer la fonction dérivée de f puis donner le tableau des variations de f. 2. Calculer la limite de f en Calculez la limite de f en 1 + Troisième partie : étude de l équation f(x) = 1 2 Dans cette partie, on a besoin de connaître ln 3 1, 10 et ln 4 1, 4 1. Montrez que l équation f(x) = 1 admet une unique solution α dans l intervalle [3; 4] Soit h la fonction définie sur I = [3; 4] par : h(x) = ln x x (a) Montrez que α est solution de l équation h(x) = x (b) Etudiez les variations de h sur I. (c) Montrez que pour tout x de I on a : h(x) I et h (x) 5 6. Quatrième partie : étude de la suite récurrente u : u n+1 = h(u n ) 1. Montrer que l on peut définir la suite (u n ) n N d éléments de [3, α] de façon récurrente par : u 0 = 3 et u n+1 = h(u n ) On pourra justifier que pour tout entier n, u n [3, α].

10 10 2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, u n+1 α 5 6 u n α ( 5 n 3. Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel n : u n α 6) 4. En déduire la convergence de la suite (u n ) n N. 6 Dérivées successives I est toujours un intervalle de R non vide et non réduit à un point et R I fonctions définies sur I à valeurs dans R l ensemble des Définition 6. Soit f une fonction définie sur I : on définit par récurrence la dérivée n ième de f, notée f (n) par : f (0) = f et pour tout n N : si f (n 1) est dérivable sur I on note f (n) = ( f (n 1)) Définition 7. On dit qu une fonction f est de classe D n (n N ) sur I lorsque f est dérivables sur I et que pour tout p [[1; n 1], la dérivée p ième est définie sur I et f (n 1 est dérivable sur I Définition 8. Soit n N. ON dit que f est de classe C n sur I quand elle est de classe Dn sur I et si f (n ) est continue sur I. Par analogie, on dit que f est de classe C 0 sur I lorsqu elle est continue. Notation : D n (I) est l ensemble des fonctions de classe D n sur I (n 1) C n (I) est l ensemble des fonctions de classe C n sur I (n 1) Par analogie, on note aussi C 0 (I) l ensemble de fonctions continues sur I. On verra dans le cours d algèbre : Proposition 1. Pour tout n 1, D n (I) et C n (I) sont des sous-espaces vectoriels de l espace vectoriel R I Théorème 14. Formule de Leibniz Soient n N et f et g deux fonctions de D n alors f.g appartient à D n (I) et ( ) n n (fg) (n) = f (p )g (n p) p p=0