Conception : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES. 2 mai 2017, de 8 h. à 12 h.
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- Maxime Morency
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1 Coceptio : EDHEC OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES mai 07, de 8 h à h La présetatio, la lisibilité, l orthographe, la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies Les cadidats sot ivités à ecadrer das la mesure du possible les résultats de leurs calculs Ils e doivet faire usage d aucu documet L utilisatio de toute calculatrice et de tout matériel électroique est iterdite Seule l utilisatio d ue règle graduée est autorisée Si au cours de l épreuve, u cadidat repère ce qui lui semble être ue erreur d éocé, il la sigalera sur sa copie et poursuivra sa compositio e epliquat les raisos des iitiatives qu il sera ameé à predre Eercice O cosidère la foctio f qui à tout couple (, y de R associe le réel : Justifier que f est de classe C sur R (, = ( f y y y a Calculer les dérivées partielles d ordre de f + y = 0 b Motrer que le gradiet de f est ul si, et seulemet si, o a : y + y = 0 c E déduire que f possède trois poits critiques : ( 0,0, (, et (, a Calculer les dérivées partielles d ordre de f b Écrire la matrice hessiee de f e chaque poit critique c Détermier les valeurs propres de chacue de ces trois matrices puis motrer que f admet u miimum local e deu de ses poits critiques Doer la valeur de ce miimum, f, au voisiage de = 0 Coclure quat à d Détermier les siges de f ( et ( l eistece d u etremum e le troisième poit critique de f 4 a Pour tout (, y de R, calculer f (, y ( ( y ( y + b Que peut-o déduire de ce calcul quat au miimum de f?
2 5 a Compléter la deuième lige du script suivat afi de défiir la foctio f fuctio z=f(,y z = edfuctio =lispace(-,,0 y= fplotd(,y,f b Le script précédet, ue fois complété, revoie l ue des trois appes suivates Laquelle? Justifier la répose Nappe Nappe Nappe Eercice O ote E l espace vectoriel des foctios polyomiales de degré iférieur ou égal à et o rappelle que la famille (e 0, e, e est ue base de E, les foctios e 0, e, e état défiies par : t R, e 0 (t =, e (t = t et e (t = t O cosidère l applicatio ϕ qui, à toute foctio P de E, associe la foctio, otée φ( P, défiie par : R, ( ( ( P( + t dt φ P = 0 a Motrer que ϕ est liéaire b Détermier ( φ( e0 (, ( φ( e ( et ( φ( e ( e foctio de, puis écrire φ( e 0, φ( e et φ( e comme combiaisos liéaires de e 0, e, e c Déduire des questios précédetes que φ est u edomorphisme de E a Écrire la matrice A de ϕ das la base (e 0, e, e O vérifiera que la première lige de A est : ( b Justifier que ϕ est u automorphisme de E c L edomorphisme ϕ est-il diagoalisable? Compléter les commades Scilab suivates pour que soit affichée la matrice A pour ue valeur de etrée par l utilisateur : =iput( etrez ue valeur pour : A=[------] disp( a Motrer par récurrece que, pour tout etier aturel, il eiste u réel u tel que l o ait : / u A = Doer u 0 et établir que : N, u+ = u + ( + 6 /6
3 b E déduire, par sommatio, l epressio de u pour tout etier aturel c Écrire A sous forme de tableau matriciel Eercice Soit V ue variable aléatoire suivat la loi epoetielle de paramètre, dot la foctio de répartitio 0 si 0 est la foctio F V défiie par : FV ( = e si > 0 O pose W = lv et o admet que W est aussi ue variable aléatoire dot la foctio de répartitio est otée F W O dit que W suit la loi de Gumbel a Motrer que : R, ( F e W e = b E déduire que W est ue variable à desité O désige par u etier aturel o ul et par X,, X des variables aléatoires défiies sur le même espace probabilisé, idépedates et suivat la même loi que V, c est-à-dire la loi E ( O cosidère la variable aléatoire Y défiie par Y = ma ( X, X,, X, c'est-à-dire que, pour tout ω de Ω, o a : Y (ω = ma ( X(ω, X (ω,, X (ω O admet que Y est ue variable aléatoire à desité a Motrer que la foctio de répartitio F Y de Y est défiie par : 0 si < 0 FY ( = ( e si 0 b E déduire ue desité f Y de Y a Doer u équivalet de FY ( t + ( l itégrale Y ( 0 F t dt est covergete b Établir l égalité suivate : c Motrer que F ( lorsque t est au voisiage de +, puis motrer que ( ( ( ( R +, Y ( = Y + Y 0 0 ( Y lim = 0 + F t dt F t f t dt d E déduire que Y possède ue espérace et prouver l égalité : ( ( = Y ( E Y F t dt a Motrer, grâce au chagemet de variable u = e t, que l o a : u F t dt du u ( e R +, Y ( = 0 0 k ( e b E déduire que ( FY ( t dt =, puis doer ( 0 k = k E Y sous forme de somme /6
4 5 O pose Z = Y l a O rappelle que grad(,,'ep', simule variables aléatoires idépedates et suivat toutes la loi epoetielle de paramètre Compléter la déclaratio de foctio Scilab suivate afi qu elle simule la variable aléatoire Z fuctio Y=f( = grad(,,'ep', Z = edfuctio b Voici deu scripts : V=grad(,0000,'ep', W=-log(V s=lispace(0,0, histplot(s,w Script ( =iput('etrez la valeur de : ' Z=[] // La matrice-lige Z est vide for k=:0000 Z=[Z,f(] ed s=lispace(0,0, histplot(s,z Script ( Chacu de ces scripts simule variables idépedates, regroupe les valeurs revoyées e 0 9,0, et trace l histogramme correspodat classes qui sot les itervalles [ 0, ], ], ], ], ],, ] ] (la largeur de chaque rectagle est égale à et leur hauteur est proportioelle à l effectif de chaque classe Le script ( das lequel les variables aléatoires suivet la loi de Gumbel (loi suivie par W, revoie l histogramme ( ci-dessous, alors que le script ( das lequel les variables aléatoires suivet la même loi que Z, revoie l histogramme ( ci-dessous, pour lequel o a choisi = 000 Histogramme ( Histogramme ( pour = 000 Quelle cojecture peut-o émettre quat au comportemet de la suite des variables aléatoires ( Z 6 O ote F Z la foctio de répartitio de Z F = F + l a Justifier que, pour tout réel, o a : Z ( ( Y b Détermier eplicitemet FZ ( e c Motrer que, pour tout réel, o a : lim l ( + d Démotrer le résultat cojecturé à la questio 5b = e 4/6
5 Problème Partie : étude d ue variable aléatoire Les sommets d u carré sot umérotés,, et 4 de telle faço que les côtés du carré reliet le sommet au sommet, le sommet au sommet, le sommet au sommet 4 et le sommet 4 au sommet U mobile se déplace aléatoiremet sur les sommets de ce carré selo le protocole suivat : Au départ, c est-à-dire à l istat 0, le mobile est sur le sommet Lorsque le mobile est à u istat doé sur u sommet, il se déplace à l istat suivat sur l u quelcoque des trois autres sommets, et ceci de faço équiprobable Pour tout de N, o ote X la variable aléatoire égale au uméro du sommet sur lequel se situe le mobile à l istat D après le premier des deu poits précédets, o a doc X 0 = Doer la loi de E X de la variable aléatoire X O admet pour la suite que la loi de X est doée par : P( X = =, P( X = = P( X = = P( X = 4 = 9 X, aisi que l espérace ( Pour tout etier aturel supérieur ou égal à, doer, e justifiat, l esemble des valeurs prises par X a Utiliser la formule des probabilités totales pour établir que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, o a : P( X + = = ( P( X = + P( X = + P( X = 4 b Vérifier que cette relatio reste valable pour = 0 et = P X = + P X = + P X = + P X = 4 = et e c Justifier que, pour tout de N, o a ( ( ( ( déduire l égalité : d Établir alors que : N, P( X + = = P( X = + P X = = ( N, ( 4 a E procédat de la même faço qu à la questio précédete, motrer que l o a : N, P( X + = = ( P( X = + P( X = + P( X = 4 P X = b E déduire ue relatio etre P( X + = et ( c Motrer efi que : P X = = ( N, ( 5 O admet que, pour tout etier aturel, o a : P( X P( X E déduire sas calcul que : = = = + + = = = + et P( X 4 P( X 4 = = = = ( N, P( X P( X Détermier, pour tout etier aturel, l espérace E ( X de la variable aléatoire X 5/6
6 Partie : calcul des puissaces d ue matrice A M : Pour tout de N, o cosidère la matrice-lige de,4 ( R ( ( ( ( ( 4 U = P X = P X = P X = P X = 7 a Motrer (grâce à certais résultats de la partie que, si l o pose N, U+ = U A b Établir par récurrece que : N, U = U0 A c E déduire la première lige de A A = 0 0, o a : Epliquer commet choisir la positio du mobile au départ pour trouver les trois autres liges de la matrice A, puis écrire ces trois liges Partie : ue deuième méthode de calcul des puissaces de A O cosidère les matrices I et J suivates : I = et J = Détermier les réels a et b tels que A = ai + bj 0 a Calculer J puis établir que, pour tout etier aturel k o ul, o a : J k = 4k J b À l aide de la formule du biôme de Newto, e déduire, pour tout etier aturel o ul, l epressio de A comme combiaiso liéaire de I et J c Vérifier que l epressio trouvée reste valable pour = 0 Partie 4 : iformatique a Compléter le script Scilab suivat pour qu il affiche les 00 premières positios, autres que celle d origie, du mobile dot le voyage est étudié das ce problème, aisi que le ombre de fois où il est reveu sur le sommet uméroté au cours de ses 00 premiers déplacemets (o pourra utiliser la commade sum A = [-----]/ = grad(00,'markov',a, = disp( disp( b Après avoir eécuté ciq fois ce script, les réposes cocerat le ombre de fois où le mobile est reveu sur le sommet uméroté sot =, = 8, =, = 5 et = 6 E quoi est-ce ormal? 6/6
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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