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1 I Itroductio : NOTION DE PROBABILITÉ Site MathsTIE de Adama Traoré Lycée Techique Bamako ) Exemple : O lace fois e l air u dé o pipé (ormal), x et y fot u pari Si 66 apparaît alors x gage 600Frs Si ou apparaît alors y gage 300Frs Qui est favorisé das ce jeux? O costate que x a «ue chace» sur 6 de gager 600Frs Par cotre y a «deux chaces» sur 6 de gager 300Frs 6 uméros peuvet apparaître quad o lace u dé e l air : c est ce qu o appelle les cas possibles L esemble des cas possibles formet l Uivers de probabilité Ω ; Ω = { ; ; 3 ; ; 6 } Das le cas de y, uméros lui permettet de gager 300Frs O dit qu il y a cas favorables pour y oclusio : Das cet exemple l issue de l opératio «lacer le dé e l air» est pas certaie, o dit que c est ue opératio aléatoire ) Défiitios ou vocabulaire : - as possibles = résultats d ue épreuve : - Uivers de probabilité = esemble de cas possibles ; - as favorables = situatio qui est favorable ; - Évèemet = sous-esemble de l uivers de probabilité ; Exemple : Das le lacé de dé Ω = { ; ; 3 ; ; ; 6 } u évèemet A={; 3 ;6} Pour y les cas favorables sot : et ; B = { ; } est u évèemet favorable ; ={} est u évèemet favorable - Évèemet élémetaire ou évetualité = sous-esemble de Ω ayat u seul élémet Exemple : O lace 3 fois de suite ue pièce de moaie ormale Détermier le ombre de cas possibles Le ombre de cas possible Ω = {PPP ; PFP ; FFP ; FFF ; FPF ; PFF ; FPP ; PPF} U cas possible est : {3 lacers} {P, F} le ombre d applicatio : 3 = ; X = {PFP} est ue évetualité - Évèemet impossible = c est u évèemet qui e peut pas se réaliser ; il est oté φ Notio de Probabilité Page sur Adama Traoré Professeur Lycée Techique

2 Exemple : O tire au hasard cartes d u jeux ormal de cartes Le ombre de cas favorables est «Avoir As de cœur» est u évèemet impossible - Évèemet certai = évèemet qui se réalise à coup sûr au cours d ue épreuve Par exemple «Avoir Pile (P) ou bie Face (F) e laçat ue pièce de moaie e l air» - Évèemets équiprobables = évèemets ayat les même chaces de réalisatio Exemple : O lace e l air ue pièce de moaie fois Le ombre de cas possibles est ²= Ω = {PP ; PF ; FF ; FP} Les évèemets A = «avoir 0 fois P» et B = «avoir exactemet fois F» sot évèemets équiprobables II Probabilité : Soit u Ω uivers d évetualités équiprobables (o e peut pas discerer les évetualités qu après l épreuve) Posos ard Ω = Soit A u évèemet de Ω tel que carda = k - Défiitio : La probabilité de réalisatio de A est k réel otée défiie par : = k Nombre de cas Favorables = Nombre de cas Possibles k k = ( k 0 P ; k 0 = 0 ( 0) 0 ( 0 P d où Remarques : R ) La probabilité d u évèemet certai est égal à ; Ω) = = R ) La probabilité d u évèemet impossible est égal à 0 Exemple : Das u jeu ormal de cartes, o tire au hasard sas remise 3 cartes alculer la probabilité d avoir exactemet Rois et As parmi les 3 cartes tirées Répose : le ombre de cas possibles est 3 et le ombre de cas favorable est : La probabilité de A = «d avoir deux Rois et u As» est : 3 P ( = = = = 0, Notio de Probabilité Page sur Adama Traoré Professeur Lycée Techique

3 III Probabilité coditioelle : Soit Ω u uivers d évetualités, A et B évèemets de Ω ) Évèemet Somme : a) Défiitio : L évèemet somme de A, B est l évèemet oté :A B «A ou B» qui est réalisé si et seulemet si l u au mois des évèemets A ou B est réalisé Exemple : O lace e l air u dé ormal = «avoir ou» est la somme des évèemets A= «avoir» ; B = «avoir» ; = A B b) Défiitio : O dit que évèemets A et B sot icompatibles si et seulemet si ils e peuvet pas se produire e même temps Exemple : Das le lacé d u dé, A= «avoir» ; B = «avoir» ; A et B sot icompatibles, A B = φ c) Théorème : Soiet A et B évèemets icompatibles d u uivers Ω P (A B) = + B) Démostratio Le ombre de cas possibles est card Ω = ; 0 Le ombre de cas favorables : posos carda = k et cardb = m ard(a B) = carda + cardb card(a B) ; A B = φ card(a B) = k + m P (A B) = k + m k m = + = + B) Exemple: O tire au hasard cartes d u jeu ormal de cartes alculer la probabilité d avoir Dames ou Rois Le ombre de cas possibles est Soit = «avoir D ou R» et soiet les évèemets A = «avoir D» ; B = «avoir R» A et B sot icompatibles A B = φ Doc P (A B) = P ( + P (B) = et B) = ; P (A B) = + = Notio de Probabilité Page 3 sur Adama Traoré Professeur Lycée Techique

4 ) Évèemet otraire : Soit Ω u uivers d évetualités, A et B deux évèemets de Ω a) Défiitio 3 : O dit que l évèemet B est l évèemet cotraire de A si et seulemet si, B est réalisé si A e l' est pas et A est réalisé si B e l' est pas Notatio : B = A Exemple : Das le lacé d ue pièce de moaie, soiet A = «avoir P» et B = «avoir F» ; B = A et A = B b) Théorème : Soit A u évèemet d u uivers Ω A ) = AI A Démostratio = Φ ; AU A = Ω, p( A U = p( + p( A ) = ; d' où p( = p( Exemple : i) Das u jeu de cartes, quelle est la probabilité pour qu u joueur recevat cartes au hasard ait au mois cœur? ii) Même questio avec au mois cœurs? Solutio : i) A = «avoir au mois cœur» A = «avoir 0 cœur parmi les cartes tirées» + A ) = alculos A ) Nombre de cas possibles est ; ombre de cas favorables A ) = Doc P ( = p ( A ) = ii) A = «avoir au mois cœurs» A = «avoir 0 cœur ou cœur» + A ) = alculos A ) B = «avoir cœur parmi les cartes tirées» ; = «avoir 0 cœur parmi les cartes tirées» B = A et B = φ doc A )= B) + ) - B) : ombre de cas possibles = ; ombre de cas favorables = D où B) = - ) : ombre de cas possibles = ; ombre de cas favorables = 0 D où ) = 0 A ) = 0 + P ( = p ( A )= 0,37 Notio de Probabilité Page sur Adama Traoré Professeur Lycée Techique

5 3 ) Évèemet Produit : Soit Ω u uivers d évetualités, A et B deux évèemets de Ω a) Défiitio : l évèemet produit des évèemets A, B est l évèemet oté A B qui est réalisé si et seulemet si, A et B sot simultaémet réalisés Exemple : u lacé de dés «avoir 6 et» ; A= «avoir» ; B = «avoir 6» = A B b) Théorème 3 : Soiet évèemets quelcoques A et B P (A B) = P ( + P (B) P (A B) Exemple : D u jeu de cartes o tire au hasard simultaémet cartes alculer la probabilité d avoir u Roi ou u Valet parmi les cartes tirées ) Probabilité coditioelle - évèemets idépedats : Soiet les évèemets A et B d u uivers Ω a) Défiitio : La probabilité coditioelle de B sachat que A est réalisé est le AI B) ombre réel oté P (B/ et défiie par : P (B/ = ; p( 0 Exemple : D u jeu de cartes o tire successivemet cartes au hasard Quelle est la probabilité d avoir u as au ème tirage? a) Défiitio 6 : Deux évèemets A et B sot dits idépedats si et seulemet si, P (A B) =P (B/ P ( Remarque : E réalité das le cocret, évèemets A et B sot idépedats si la réalisatio de A a aucue ifluece sur celle de B et réciproquemet Exemple : d u sac coteat des boules blaches et des boules oires o tire au hasard successivemet e remettat chaque fois la boule tirée A = «avoir ue boule blache au er tirage» B = «avoir ue boule oire au ème tirage» A et B sot idépedats Deux évèemets cocrètemet idépedats sot idépedats e probabilité Notio de Probabilité Page sur Adama Traoré Professeur Lycée Techique

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