5. Relations d équivalences

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "5. Relations d équivalences"

Transcription

1 5. Relatons d équvalences Il est naturel de classfer des choses et on le fat tout le temps. Les nombres naturels sont de deux sortes : ceux qu sont pars et ceux qu sont mpars. On consdère Par et Impar comme deux objets, et on dt des choses comme : " Par + Impar = Impar, Impar fos Impar est Impar ". Les nombres enters vennent en tros classes : les nombres postfs, les nombres négatfs et 0. Les bêtes sont classfés dans pluseurs classes : les chens, les chats, les oseaux, les graffes, etcetera. Les symbôles sont dvsés dans les classes a,b,c,...,z,1,2,...*,&,*,(,?,... Les symbôles A, a, a, a, a... sont tous dans la même classe "a". Nous avons beson de modélser cet dée en termes d ensembles. On le fat avec les relatons d équvalence. t l ne faut pas avor trop de peur de ça. C est une abstracton d une dée naturelle. Mas l faut s habtuer. Comme on s est habtué aux fractons, car les fractons (ou les éléments de Q) sont en fat auss des classes d équvalence. Auss une bonne défnton des nombres réels se fat par une relaton d équvalence. Nous voulons dvser les éléments d un ensemble U de notre ntéresse dans pluseurs classes (sous-ensembles) non-vdes, selon une certane classfcaton. On ne veut pas permettre un élément dans deux classes dfférentes. Ses classes forment les éléments d un nouveau ensemble (U/ ) et on obtent une foncton surjectve Cl : U (U/ ) où Cl(u) est l unque classe qu content u. Par exemple Cl : Z {Par, Impar} et Cl( 2) = Cl(0) = Cl(22224) = Par et Cl( 25) = Cl(1) = Impar Un exemple. Sot un ensemble fn, dsons = n. Consdérons U = P () l ensemble des sous-ensembles de. Donc chaque élément de U est un sous-ensemble de. On va classfer selon la talle. Soent A 1 et A 2 deux éléments de U = P (), c.-à-d., deux sous-ensembles de. Nous dsons que A 1 et A 2 sont dans la même classe, et on écrt A 1 A 2, s A 1 = A 2, alors s les deux sous-ensembles ont la même talle. On a trvalement A 1 A 1, s A 1 A 2 alors A 2 A 1, s A 1 A 2 et A 2 A 3 alors A 1 A 3. Une classe d équvalence est par défnton la collecton de tous les sous-ensembles de même talle. := {A A = } P (), l ensemble de tous les sous-ensembles de avec exactement éléments. La collecton des classes d équvalence a donc + 1 éléments et est notée : (U/ ) = (P ()/ ) := {,,,..., } P (P ()) n Il a une foncton surjectve Cl : P () (P ()/ ) telle que Cl(A) = ( ) s A ( ). 43

2 44 Remarque. Il faut comprendre les dstnctons : Un élément A de ( ), ou A ( ), est par défnton un sous-ensemble de, A, tel que A =. t ( ) est un élément de (P ()/ ), mas ( ) est auss un certan sous-ensemble de P () et auss une collecton de sous-ensembles de. Chaque élément de P () (=chaque sous-ensemble de ) est dans une unque classe d équvalence). t donc n P () = est une partton de P () : c.-à-d. chaque ( ) ( est non-vde, et ) ( et ) j sont dsjonts s j. n conséquence : n P () = Par exemple, pour = {a, b, c}. =0 =0 0 = { } 1 = {{a}, {b}, {c}} 2 = {{b, c}, {a, c}, {a, b}} 3 = {} P () = P ()/ = {,,, } n partculer a {a, b}, {a, b} ( 2), ( 2) (P ()/ ). Mas {a, b}, ( 2) P () Défnton de relaton d équvalence. Sot U un ensemble et F (u 1, u 2 ) une foncton propostonnelle avec unvers du dscours U U. Cette foncton défnt un sous-ensemble R = R F U U ans : R := {(u 1, u 2 ) U U F (u 1, u 2 ) est vrae}. Sot G(u 1, u 2 ) une autre foncton propostonnelle auss avec unvers du dscours U U. Alors R F = R G s et seulement s F et G sont logquement équvalentes c.-à-d., pour chaque (u 1, u 2 ) on a F (u 1, u 2 ) est vrae (c.-à-d. (u 1, u 2 ) R F )) s et seulement s G(u 1, u 2 ) est vrae (c.-à-d. (u 1, u 2 ) R G )). Dans le sens nverse, chaque sous-ensemble R U U défnt une foncton propostonnelle F R (u 1, u 2 ) avec unvers du dscours sur U U par F R (u 1, u 2 ) := (u 1, u 2 ) R. La foncton F et la foncton assocée à R F sont logquement équvalentes.

3 S nous avons fxé F (ou seulement R), nous allons écrre u 1 u 2 s (u 1, u 2 ) R (ou F (u 1, u 2 ) vrae) et u 1 u 2 s (u 1, u 2 ) R. Défnton 5.1. Nous allons dre que (ou F ou R) est une relaton d équvalence sur U s pour chaque u, v, w élements de U on a () u u (réflexve) ; () s u v alors v u (symétrque) ; () s u v et v w alors u w (transtve). Dans ce cas nous allons dre que u est équvalent à v s u v. Remarque. À la place du symbole auss autres symboles sont souvent utlsés pour des relatons d équvalence, comme. Vor auss [R, 6.5]. xemple 5.1. S est un ensemble fn, nour posons U = P (). La foncton propostonnelle F (A 1, A 2 ) := A 1 = A 2 avec unvers du dscours U U ndut la relaton d équvalence dans l exemple précédent. Dans la sute du secton nous supposons que est une relaton d équvalence sur U Classes d équvalence. Sot u U. Défnssons sa classe d équvalence 45 Cl(u) = {v U u v} U. Remarque. À la place d utlser Cl(u) comme notaton pour la classe d équvalence de u, souvent une notaton comme u est utlsée. Ou autres. Chaque élément est contenu dans sa propre classe d équvalence et s deux classes d équvalence sont dfférentes, elles sont mêmes dsjonts. n conséquence, chaque élément de U est contenu dans une unque classe d équvalence. Ce sont des conséquence du lemme suvant. Lemme 5.1. Soent u, v U. () u Cl(u) ; () Cl(u) Cl(v) s et seulement s Cl(u) = Cl(v). Démonstraton. () u Cl(u) parce que u u (par réflexvté). () Sot w Cl(u) Cl(v), c.-à-d., u w et v w. Par symétre auss w u et w v. Donc par transtvté on a auss u v, v u. S x Cl(u) alors u x et x u. Avec u v et transtvté l sut x v et v x, ou x Cl(v). Donc Cl(u) Cl(u) Cl(v) Cl(u). Il sut Cl(u) = Cl(u) Cl(v) et Cl(u) = Cl(v) nsemble des classes d équvalence. Posons (U/ ) := {Cl(u) u U} pour l ensemble des classes d équvalence dfférentes. C est un ensemble mportant! Auss dans la vrae ve. Nous pouvons donc consdérer chaque Cl(u) comme sous-ensemble de U ou comme élément de U/.

4 46 Remarque. Pour beaucoup de relatons d équvalence l ensemble U/ a une notaton partculère, et ses éléments sont notés de façon partculer auss. Par exemple Q, respectvement 2 3. Souvent on ne reconnaît plus tout de sute certans ensembles comme des U/, et ses éléments comme de type "Cl(u)". t c est bon comme ça. Chaque élément C (U/ ) est par défnton de la forme C = Cl(u), pour un u U, mas un tel u n est pas unque en général. Consdérons u 1, u 2 U alors u 1 u 2 s et seulement s Cl(u 1 ) = Cl(u 2 ), (égalté comme éléments de U/ ou comme sous-ensembles de U). Soent C C deux éléments dfférents de U/. Ce sont donc deux sous-ensembles dfférents de U. Mas le lemme nous dt que ces deux ensembles sont mêmes dsjonts! 5.5. Partton par les classes d équvalences. Supposons l ensemble U est fn. Alors le fat que chaque élément de U est dans un unque classe d équvalence montre que la cardnalté de U est la somme des cardnaltés de ses classes d équvalences dfférentes. n formule U = C (U/ ) Ou s (U/ ) = {C 1, C 2,..., C m } alors U = C 1 C 2... C m et U = C 1 + C C m. C Fonctons. Nous obtenons une foncton surjectve : Cl : U U/ ou u U est envoyé à sa classe d équvalence Cl(u) U/. Cette foncton est mportante, car cette foncton permet de "transport d nformaton" d une côté à l autre, comme un pont entre les deux ensembles. Sot C (U/ ), alors son prémage par la foncton Cl est le sous-ensemble C U, c.-à-d., Cl 1 (C) = C. Une foncton f : U V telle que f(u 1 ) = f(u 2 ) s u 1 u 2 défnt une foncton par f : (U/ ) V f(cl(u)) := f(u). Cette défnton ne dépend pas du chox de u, car s Cl(u 1 ) = Cl(u 2 ) alors u 1 u 2 et donc f(u 1 ) = f(u 2 ), par l hypothèse dur f. Sans cette hypothèse f(cl(u)) := f(u) ne serat pas nécessarement ben défne : car s Cl(u) = Cl(u ) on veut f(cl(u)) = f(cl(u )) et donc auss que f(u) = f(u ) : la condton est nécessare et suffsante pour que c est une défnton d une foncton!

5 5.7. Les fractons. Peut-être l est surprenant de se réalser que Q est défne par une relaton d équvalence. Dscutons cet exemple. Acceptons l ensemble Z des nombres enters. Sur l ensemble U := {(n, d) Z Z d 0} nous défnssons une relaton d équvalence (n, d) (n, d ) s et seulement s nd = n d. Lemme 5.2. est une relaton d équvalence sur U. Démonstraton. Soent (n 1, d 1 ), (n 2, d 2 ) et (n 3, d 3 ) tros éléments de U, c.-à-d., n 1, n 2, n 3 tros enters, et d 1, d 2, d 3 tros non-zéro enters. Il faut vérfer tros choses. () (n 1, d 1 ) (n 1, d 1 ) ; c est le cas car d 1 n 1 = d 1 n 1. () s (n 1, d 1 ) (n 2, d 2 ) alors (n 2, d 2 ) (n 1, d 1 ) ; c est le cas car n 1 d 2 = n 2 d 1 mplque que n 2 d 1 = n 1 d 2. () s (n 1, d 1 ) (n 2, d 2 ) et (n 2, d 2 ) (n 3, d 3 ) alors (n 1, d 1 ) (n 3, d 3 ). Pour montrer ça, supposons que l hypothèse est vrae, c.-à-d. n 1 d 2 = n 2 d 1 et n 2 d 3 = n 3 d 2. Alors auss n 1 d 2 d 3 = n 2 d 1 d 3 et n 2 d 3 d 1 = n 3 d 2 d 1 et n 1 d 2 d 3 = n 3 d 2 d 1. Donc d 2 (n 1 d 3 n 3 d 1 ) = 0. Ic, nous avons seulement utlsé les proprétés élémentares de Z, comme la commutatvté et l assocatvté pour la multplcaton et la dstrbutvté. Nous avons auss la proprété suvante pour deux enters r et s : s rs = 0 et r 0 alors nécessarement s = 0. Applquons cette proprété. Par hypothèse d 2 0 et d 2 (n 1 d 3 n 3 d 1 ) = 0. Donc nécessarement (n 1 d 3 n 3 d 1 ) = 0, ou n 1 d 3 = n 3 d 1, ou (n 1, d 1 ) (n 3, d 3 ). Alors en effet, est une relaton d équvalence sur U. Nous connassons déjà depus longtemps ses classes d équvalence. Défnton 5.2. () Pour (n, d) U (donc n, d sont deux enters, dont d 0) nous allons écrre n := Cl(n, d) d pour la classe d équvalence de (n, d) U. Nous allons appeler n d une fracton. () Nous défnssons l ensemble des fractons. Q := U/, n partculer n 1 d 1 = n 2 d 2 s et seulement s (par défnton) n 1 d 2 = n 2 d 1. Par exemple 2 5 = 6 15, car 2 15 = 6 5 = 30. Nous défnssons l addton et la multplcaton n 1 d 1 + n 2 d 2 := n 1d 2 + n 2 d 1 d 1 d 2 n 1 d 1 n2 d 2 = n 1n 2 d 1 d 2 L applcaton de Z dans Q qu assoce à n la fracton n 1 dstncton entre n et n 1 (malgré que l un est un enter et l autre une fracton). Donc à partr des enters, nous pouvons construre les fractons. 47 est njectve. Souvent on ne fat pas

6 48 À partr de certanes sutes d éléments de Q et une relaton d équvalence on construt les nombres réels comme classe d équvalence et R comme l ensemble des classes d équvalence. Mas c est trop tôt de donner les détals c. xemple 5.2. st-ce que f : Q Z avec f( n m ) = n + m une foncton? 5.8. Relatons d équvalence sur Z. Soent m, n deux enters. On dt que m dvse n, et on écrt m n s l exste un q Z tel que n = qm. Chaque nombre naturel m donne une relaton d équvalence modulo m : n 1 m n 2 s m dvse n 1 n 2. Autre notaton n 1 n 2 mod m. La classe de n est notée Cl m (n) ou Cl(n) s m est fxé dans la dscusson. L ensemble des classes Z/ m est noté Z/mZ. Donc on peut consdérer Cl m (n) comme un élément de Z/mZ ou comme un certan sous-ensemble de Z. Mas on ne peut pas le consdérer comme un nombre enter. On défnt ensute Cl m (n 1 ) + Cl m (n 2 ) := Cl m (n 1 + n 2 ) et Cl m (n 1 ) Cl m (n 2 ) := Cl m (n 1 n 2 ). Nous allons dscuter cet exemple de relaton d équvalence en plus de détals un peu plus tard dans le cours Deux exemples plus drects. (1) S f : U V est une foncton, on obtent une relaton d équvalence sur U s on défnt : u 1 u 2 s f(u 1 ) = f(u 2 ). Dans ce cas Cl(u) = {u U f(u ) = f(u)}. La foncton de U/ dans Im(f) qu assoce à Cl(u) la valeur f(u) est une bjecton. (2) Supposons nous avons une partton de U en sous-ensembles non-vde. C.-à-d. l exste une collecton de sous-ensembles non-vde A, paramétrsée par un ensemble I, telle que A A j = s j. On obtent une relaton d équvalence : u 1 u 2 s l exste un I tel que u 1 A et u 2 A. Les classes d équvalence sont exactement les sous-ensembles A pour I.

7 49 6. Dvsblté dans Z Dans Z l y une noton de et une noton de dvsblté 13. Au nveau de défnton les deux sont un peu smlares. Défnton 6.1. Soent n, m deux enters. On écrt n m (ou m n) s l exste un nombre naturel r N tel que n + r = m. S n m on dt "n est plus pett que ou égal à m", ou "m est plus grand que ou égal à n". Défnton 6.2. Soent n, m deux enters. On écrt n m s l exste un nombre enter r Z tel que nr = m. S n m on dt que "n dvse m", ou "m est dvsble par n", ou "m est un n-multple". Voc quelques proprétés élémentares. Théorème 6.1. Soent a, b, c tros nombres enters. () S a b et b c alors a c. () S a b alors a + c b + c. () S a b et b a alors a = b (v) S a b et c N alors ac bc (v) S a b alors b a. Théorème 6.2. Soent a, b, c tros nombres enters. () S a b et b c alors a c. () S a b alors ac bc et a bc. () S a b et b a alors a = b. (v) S a b et a c alors a (b + c). Démonstraton. () S a b et b c l exste r, s N tels que a + r = b et b + s = c. Donc a + (r + s) = b + s = c et r + s N donc a c. S a b et b c l exste r, s Z tels que ar = b et bs = c. Donc a(rs) = bs = c et rs Z donc a c. () S a b alors l exste r N tel que a + r = b. Donc (a + c) + r = b + c et a + c b + c. S a b alors l exste r Z tel que ar = b. Donc (ac)r = bc et ac bc. Auss a ac donc par () : a bc. () S a b et b a, ls exstent r, s N tels que a+r = b et b+s = a. Donc a+r+s = b+s = a et r = s. Mas r, s N, donc r = s = 0, ou a = b. S a b et b a, ls exstent deux enters r, s tels que ar = b et bs = a. Donc ars = bs = a et a(rs 1) = 0. S a = 0, alors b = ar = 0 auss. S a 0 alors rs = 1 donc r = s = 1 ou r = s = 1. Donc a = b ou a = b. (v S a b l exste r N tel que a+r = b. S auss c N alors rc N et ac+rc = (a+r)c = bc, donc ac bc. S a b et a c alors l exste r, s Z tels que ar = b et as = c. Donc a(r + s) = ar + as = b + c et a (b + c). (v) S a b, l exste r N tel que a + r = b. Donc b + r = a et b a. 13. Vor [R, 2.3]

8 50 xemple 6.1. Sot n Z. () On a n N s et seulement s 0 n. () Toujours : 1 n et n 0. () S n a et n b alors pour tous les enters r et s on a n (ra + sb) Modulo m. Rappelons que nous avons défn pour des enters a, b, m (m 0) : a m b s m (a b). Voc la preuve promse du fat que m est une relaton d équvalence. Lemme 6.1. m est une relaton d équvalence sur Z. Démonstraton. () n m n parce que n n = 0 et m 0. () Supposons n 1 m n 2, c.-à-d., m (n 1 n 2 ) : l exste r Z tel que rm = n 1 n 2. Alors ( r)m = n 2 n 1 et r Z, donc par défnton m (n 2 n 1 ) et n 2 m n 1. () Supposons n 1 m n 2 et n 2 m n 3, c.-à-d., m (n 1 n 2 ) et m (n 2 n 3 ) : l exste r 1, r 2 Z tel que r 1 m = n 1 n 2 et r 2 m = n 2 n 3. Alors (r 1 + r 2 )m = (n 1 n 2 ) + (n 2 n 3 ) = n 1 n 3. Donc m (n 1 n 3 ) et n 1 m n 3. Nous avons défn + et sur l ensemble des classes d équvalences modulo m, Z/mZ. Que ces défntons ne dépendent pas des chox est vérfé dans le théorème suvant 14. Théorème 6.3. Soent a, b, c, d, m des nombres enters. () S a m c et b m d, alors (a + b) m (c + d) et (ab) m (cd). () S Cl m (a) = Cl m (c) et Cl m (b) = Cl m (d), alors Cl m (a + b) = Cl m (c + d) et Cl m (ab) = Cl m (cd). Démonstraton. S a m c et b m d alors l exste des enters r, s tels que mr = (a c) et ms = (b d). Donc m(r + s) = (a c) + (b d) = (a + b) (c + d) et (a + b) m (c + d). t auss a = c + mr et b = d + ms. Donc ab cd = (c + mr)(d + ms) cd = m(rd + cs + mrs), ce qu mplque que (ab) m (cd) Dvson avec reste. On ne peut pas dvser dans Z mas on a un alternatf fable. C est essentellement la longue dvson de l école prmare, une dvson partelle avec un pett reste à la fn. Théorème 6.4 (Dvson-avec-reste). Sot m > 0 un nombre naturel non-zéro fxé. Pour chaque n Z l exste deux unques nombres enters q, r tels que smultanément : () n = qm + r () 0 r < m. On dt : r est le reste et q le quotent de la dvson partelle de n par m. 14. Vor [R, p.112]

9 Remarque. Soent n et m > 0 deux nombres naturels. Consdérons la fracton n m. Alors l y un unque nombre naturel q tel que q n m < q + 1. C est le q du théorème. Ce q est donc presque n m. Démonstraton. La preuve se déroule en pluseurs étapes. (a) Pour n Z défnssons la foncton propostonnelle P (n) := q Z r Z ([n = qm + r] [0 r < m]). Montrons d abord P (n) vrae pour chaque n N, par nducton généreuse. Début : Pour 0 n < m, prenons q = 0 et r = n, dans ce cas en effet n = qm + r = 0m + n et 0 r < m sont vraes. Étape d nducton : Supposons n m 1 et P (a) vrae pour chaque 0 a n. Prenons a = n + 1 m, alors 0 a n en effet. Donc par l hypothèse généreuse P (a) est vrae. C.-à-d., l exste des nombres enters q 0 et r 0 tels que n + 1 m = a = q 0 m + r 0 et 0 r 0 < m. Donc n + 1 = (q 0 + 1)m + r 0. n prenant q = q et r = r 0 on obtent n + 1 = qm + r et 0 r < m. Alors P (n + 1) est auss vrae. Par nducton on conclut P (n) vrae pour chaque n N. (b) Mantenant on veut montrer P (n) s n < 0. Nous savons que n > 0 et que P ( n) est vrae. Il exste des enters q 0 et r 0 telles que n = q 0 m + r 0 et 0 r 0 < m. Deux cas : r 0 = 0 et r 0 0. Dans le premer cas n = ( q 0 )m + 0 est la décomposton voulu et P (n) est vrae. Dans l autre cas : posons r = r 0 + m et q = q 0 1. Alors 0 r 0 + m < m mplque 0 r < m et n = ( q 0 1)m + ( r 0 + m) = qm + r. Ce qu montre que P (n) est vrae auss. Concluson : n Z P (n) vrae. (c) Uncté : Supposons n = qm + r = q 1 m + r 1 et 0 r < m et 0 r 1 < m. Alors qm + r = q 1 m + r 1, ou r r 1 = (q 1 q)m. Sans perte de généralté nous pouvons supposer que r r 1. t donc 0 r r 1 < m. Ça mplque que 0 (q 1 q)m < m et donc 0 q 1 q < 1. Mas en général s 0 N < 1 et N enter, mplque N = 0. Donc q 1 = q et r = n qm = n q 1 m = r 1. Une premère conséquence. Corollare 6.1. Sot m > 0 un nombre naturel. () Pour chaque n Z l exste un unque nombre naturel r tel que n m r et 0 r < m. () Pour chaque n Z l exste un unque nombre naturel r tel que Cl m (n) = Cl m (r) et 0 r < m. () Donc Z/mZ = m et Z/mZ = {Cl m (0), Cl m (1), Cl m (2),..., Cl m (m 1)}. Remarque. Mas rappelons que Cl m (0) = Cl m (m) = Cl m ( m) et cetera. Démonstraton. Sot n Z. Par le thm. l exste deux enters q et r tels que n = qm + r et 0 r < m. Alors m (n r) et n m r. S n m r 1 et n m r 2 avec 0 r < m pour chaque = 1, 2. Alors l exste deux enters q 1, q 2 tels que n r = q m ou n = q m + r, pour = 1, 2. Par la parte "uncté" du thm : r 1 = r 2 (et q 1 = q 2 ). 51

10 52 Le reste de la preuve est une conséquence drecte et est lassé Nombres premers et composés. Défnton 6.3. Un nombre naturel p > 1 est un nombre appelé premer s les seuls dvseurs postfs sont 1 et p. Un nombre naturel n > 1 est un nombre appelé composé s n n est pas premer. Des nombres premers : Des nombres composés : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 26, 27, Théorème 6.5. Pour chaque nombre naturel n > 1 l exste un enter s 1 et des nombres premers p 1, p 2,..., p s tels que n = p 1 p 2... p s On dt : "Une décomposton en facteurs premers exste". Par exemple : 36 = : c s = 4, p 1 = 2, p 2 = 2, p 3 = 3 et p 4 = 3. Il y a auss un aspect d uncté que nous allons énoncer et montrer plus tard. Démonstraton. Posons P (n) := "l exste un s 1 et des nombres premers p 1,..., p s tels que n = p 1 p 2 p s ". Début : P (2) est vrae, parce que 2 = p 1 ou s = 1 et p 1 = 2 est un nombre premer. Étape d nducton : Sot n 2 et pour chaque 2 a n on suppose P (a) vrae. S n + 1 est premer, alors n + 1 = p 1 avec s = 1 et p 1 = n + 1 premer ; ce qu montre que P (n + 1) est auss vrae. S n + 1 n est pas premer, alors l exste un dvseur d > 0 négal à 1 ou n + 1. Donc l exste un q tel que n + 1 = dq. Nécessarement 2 d n et 2 q n. Par l hypothèse généreuse on a P (d) et P (q) vraes. Donc d = p 1 p 2... p s et q = p 1 p 2... p s où s, s > 0 et les p et p des nombres premers. Alors n = dq = p 1 p 2... p s p 1 p 2... p s est un produt de s + s nombres premers. Donc P (n + 1) est auss vrae. Par le prncpe d nducton généreuse P (n) est vrae pour chaque enter n Le pgcd et le ppcm. Soent a et b deux enters. Posons pgcd(a, b), le plus grand commun dvseur de a et b, pour le plus grand nombre naturel d qu dvse a et b smultanément. t posons ppcm(a, b), le plus pett commun multple de a et b, pour le plus pett nombre naturel m qu est un a-multple et un b-multple smultanément. On dt que a et b sont relatvement premer s le pgcd(a, b) = 1. S a 1, alors pgcd(0, a) = a et pgcd(1, a) = 1.

11 53 xemple : pgcd(10, 16) = 2, ppcm(10, 16) = 80. Ic, pgcd(10, 16) ppcm(10, 6) = Un accdent? pgcd(10, 21) = 1 donc 10 et 21 sont relatvement premer. Un premer lemme 15 : Lemme 6.2. Sot m > 0 et n deux enters. Par dvson avec reste l exste des enters q et r tels que n = qm + r et 0 r < m. Alors pgcd(n, m) = pgcd(m, r). S r = 0 alors pgcd(n, m) = m L algorthme d uclde. Le lemme suggère un façon de calculer le plus grand commun dvseur d = pgcd(n, m) par récurrence (m > 0). Sot n = qm + r et 0 r < m. S r = 0 alors d = m et on est prêt avec le calcul. Snon 0 < r < m et d = pgcd(m, r). Sot m = q 1 r + r 1 et 0 r 1 < r. S r 1 = 0, alors d = pgcd(m, r) = r et on est prêt. Snon 0 < r 1 < r < m et d = pgcd(r, r 1 ). Sot r = q 2 r 1 + r 2. S r 2 = 0, alors d = pgcd(r, r 1 ) = r 1 et on est prêt. Snon 0 < r 2 < r 1 < r < m et d = pgcd(r 1, r 2 ). Sot r 1 = q 3 r 2 + r 3. S r 3 = 0, alors d = pgcd(r 1, r 2 ) = r 2 et on est prêt. Snon... Les restes devennent de plus en plus pett, et après mons que m étapes un reste, dsons r +1, devent 0. t alors le pgcd est d = r. C est l algorthme d uclde. xemple 6.2. Calculons pgcd(1351, 1064) avec l algorthme d uclde 16. On calcule la sute des restes 1351 = = = = = = = Donc c les restes sont : r = 287, r 1 = 203, r 2 = 84, r 3 = 35, r 4 = 14, r 5 = 7 et r 6 = 0. Ic : 7 = le derner reste non-zero = pgcd(1351, 1064). t pgcd(1351, 1064) = pgcd(1064, 287) = pgcd(287, 203) = pgcd(203, 84) = = pgcd(84, 35) = pgcd(35, 14) = pgcd(14, 7) = = pgcd(7, 0) = Vor [R, p. 119] 16. Vor auss [R, p.120]

12 67 Département de mathématques et de statstque, Unversté de Montréal, C.P. 6128, succursale Centre-vlle, Montréal (Québec), Canada H3C 3J7 -mal address:

Exercices d arithmétique

Exercices d arithmétique DOMAINE : Arthmétque NIVEAU : Intermédare CONTENU : Exercces AUTEUR : Noé DE RANCOURT STAGE : Cachan 011 (junor) Exercces d arthmétque Exercce 1 - Énoncés - a) Trouver tous les enters n N qu possèdent

Plus en détail

Les Nombres. A.Balan 4 août 2017

Les Nombres. A.Balan 4 août 2017 Les Nombres A.Balan 4 août 2017 1 Les nombres enters naturels 1.1 Défnton On appelle c nombres enters naturels N les cardnaux des ensembles fns [J]. En partculer 0 est le cardnal de l ensemble vde, 1 est

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes A) Forme algébrque des nombres complexes Théorème (adms) Il exste un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté, vérfant les tros proprétés suvantes :. content ;. Il exste dans un élément tel

Plus en détail

Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même.

Dire qu un entier naturel est premier signifie qu il admet deux diviseurs : un et lui-même. Vdoune Termnale S Chaptre spé Arthmétque PPCM et nombres premers Nombre premer Dre qu un enter naturel est premer sgnfe qu l admet deux dvseurs : un et lu-même. Zéro est-l un nombre premer? Un est-l un

Plus en détail

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS

FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS FACTORISATION DE POLYNÔMES SUR DES CORPS FINIS 1. Introducton La factorsaton est l un des ponts où l analoge entre nombres enters et polynômes se rompt. Par exemple, en caractérstque nulle, on peut trouver

Plus en détail

Module Mathématiques pour l Informatique_ partie 10

Module Mathématiques pour l Informatique_ partie 10 Module Mathématques pour l Informatque_ parte 0 Zahra Royer-SafouanaTabou Rappel : On appelle ans les ensembles de nombres : (cf. Wpéda), ensemble des enters naturels., ensemble des enters relatfs., ensemble

Plus en détail

Guylaine Faubert. Enseignante en mathématique et informatique au secondaire Le petit relais scolaire. (gfaubert)

Guylaine Faubert. Enseignante en mathématique et informatique au secondaire Le petit relais scolaire. (gfaubert) Guylane Faubert Ensegnante en mathématque et nformatque au secondare - - A ADDITION - 6 - ARBRE DE FACTEURS - - ARRONDIR UN NOMBRE - 6 - C CALCULER LE POURCENTAGE - 6 - COMMUTATIVITÉ - 6 -, - 7 - CONVERSION

Plus en détail

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckiger 16 mars Quiz 3

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckiger 16 mars Quiz 3 Anneaux et corps Bachelor Semestre 4 Prof. E. Bayer Fluckger 16 mars 2016 Quz 3 Queston 1. Est-ce que les anneaux Z et Q sont somorphes? Non. Par exemple, on a montré Sére 2, Ex.3.1. qu l exste un seul

Plus en détail

Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin)

Chap. C1 : structure et arithmétique dans Z (fin) Chap. C1 : structure et arthmétque dans Z (fn) The aftermath of Gauss... or the math after Gauss (P. Rbenbom, My Number My frends). V Nombres premers 1) Proprétés élémentares a) Défnton : () Termnologe

Plus en détail

»

» Leçon 1 Nombres enters En lsant avec attenton le lvre Le calcul et la géométre au temps des pharaons de M. ROUSSELET, Thomas apprend que «Les premers nombres qu ont été écrts en Égypte datent de 5 000

Plus en détail

CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent

CHAPITRE V. Formes différentielles sur les variétés. I. Espace tangent CHAPITRE V Formes dfférentelles sur les varétés I. Espace tangent Sot M une varété dfférentable de dmenson n et U = (U, ϕ ) I un atlas de M. On note par ϕ j := ϕ ϕ 1 j le dfféomorphsme entre les ouverts

Plus en détail

Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Nombres complexes. Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Les nombres complexes. Défnton............................................................... Opératons...............................................................3 Parte réelle

Plus en détail

Fractions rationnelles

Fractions rationnelles Unversté Claude Bernard Lyon 1 L1 de Mathématques : Math. II Algèbre (parcours prépa.) Année 2013 2014 Fractons ratonnelles I On fxe un corps K. On connaît l anneau des polynômes K[X], dont l arthmétque

Plus en détail

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire UE MAT234 Notes de cours sur l algèbre lnéare Matrces - Systèmes lnéares - Détermnants - Dagonalsaton Dans tout ce document, K désgne ndfféremment le corps des nombres réels IR, ou celu des nombres complexes

Plus en détail

Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève

Mathématiques B30. Les nombres complexes Module de l élève Mathématques B30 Les nombres complexes Module de l élève 00 Mathématques B30 Les nombres complexes 10 y axe magnare Module de l élève 4+6 x -10 10 axe réel --4 Bureau de la mnorté de langue offcelle 00-10

Plus en détail

Nombres premiers et décomposition primaire

Nombres premiers et décomposition primaire [htt://m.cgeduuydelome.fr] édté le 10 jullet 2014 Enoncés 1 ombres remers et décomoston rmare Exercce 1 [ 01219 ] [correcton] Montrer que les nombres suvants sont comosés : a) 4n 3 + 6n 2 + 4n + 1 avec

Plus en détail

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître.

Terminale S Les ROC : complexe/géométrie à connaître. Termnale S Les ROC : complexe/géométre à connaître Vous trouvere c les démonstratons que vous ave offcellement dues fare en cours (dans le programme) Il est mportant de précser que cela ne sgnfe en aucun

Plus en détail

VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES

VI INERTIE GEOMETRIE DES MASSES VI INERTIE EOMETRIE DE ME Dans l étude de la dynamque des systèmes matérels et des soldes l est mportant d étuder la répartton géométrque des masses, afn d exprmer smplement les concepts cnétques qu apparassent

Plus en détail

Polynômes en plusieurs indéterminées

Polynômes en plusieurs indéterminées Polynômes en pluseurs ndétermnées Marc SAGE 29 octobre 25 Table des matères La A-algèbre A ( ) 2I 2. Dé ntons................................................. 2.2 Écrture canonque des polynômes...................................

Plus en détail

10 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES

10 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES 10 I. INTRODUCTION À LA THÉORIE DES GROUPES () Pour tout x H, x 1 H Cela sgnfe que la restrcton de à H H que l on note encore mas qu l faudrat en toute rgueur désgner par H donne une lo nterne de H et

Plus en détail

EXERCICE 1. SOLUTION (5 i ) (2 + 3 i ) (1 i 5) (5 4 i )(3 + 6 i ). 3 i ; 1

EXERCICE 1. SOLUTION (5 i ) (2 + 3 i ) (1 i 5) (5 4 i )(3 + 6 i ). 3 i ; 1 EXERCICE 1. Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 1.1. (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ). 1.. (5 )( + 6 ); ( + ) ( ). 1.. 1.. 1.5. 1+ ; 1 ; +. 1+ 7 + + + 1. 1+ α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β)

Plus en détail

Texte Urnes et particules

Texte Urnes et particules Unverstés Rennes I Épreuve de modélsaton - Agrégaton Externe de Mathématques 2009. Page n 1. Texte Urnes et partcules À la fn du 19 ème sècle et au début du suvant, la tempête fat rage autour de la théore

Plus en détail

Andreea Dragut Cours de cryptographie Chapitre IV Fonctions conjecturées à sens unique : Le problème du logarithme

Andreea Dragut Cours de cryptographie Chapitre IV Fonctions conjecturées à sens unique : Le problème du logarithme ELGamal Andreea Dragut (dragut@unvmed.fr) Cours de cryptographe Chaptre IV 4.0.1 Fonctons conjecturées à sens unque : Le problème du logarthme dscret Defnton. Un groupe cyclque G, est un groupe dans lequel

Plus en détail

L ANOVA (complements)

L ANOVA (complements) L ANOVA (complements) On utlse le t de Student pour comparer deux moyennes. Cependant s on veut comparer tros moyennes ou plus l devent nécessare d utlser l Analyse de Varance smple ou l ANOVA 1. L applcaton

Plus en détail

L ANOVA ( ceci est un complément)

L ANOVA ( ceci est un complément) L ANOVA ( cec est un complément) On utlse le t de Student pour comparer deux moyennes. Cependant s on veut comparer tros moyennes ou plus l devent nécessare d utlser l Analyse de Varance smple ou l ANOVA

Plus en détail

Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles

Clôture transitive (accessibilité) Clôture transitive des graphes. Clôture par produits. Représentations matricielles Clôture transtve (accessblté) Problème G = (S, A) graphe (orenté) Calculer H = (S, B) où B est la clôture réflexve et transtve de A. Clôture transtve des graphes et tous les plus courts chemns Note : (s,t)

Plus en détail

1 ère S Le plan muni d un repère

1 ère S Le plan muni d un repère 1 ère S Le plan mun d un repère Ce chaptre fat sute à celu des vecteurs du plan bectf : consolder et compléter les bases de géométre analtque dans le plan de seconde (repérage des ponts dans le plan) I

Plus en détail

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité

TD6 : groupe linéaire, homographies, simplicité École Normale Supéreure 1ère année Année 2015-2016 Algèbre 1 TD6 : groupe lnéare, homographes, smplcté Exercces : à préparer à la mason avant le TD, seront corrgés en début de TD. Exercces : seront tratés

Plus en détail

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus.

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 Année 2011 12. TD4. Tribus. Unversté Perre & Mare Cure (Pars 6) Lcence de Mathématques L3 UE LM364 Intégraton 1 Année 2011 12 TD4. Trbus. Échauffements Exercce 1. Sot X un ensemble. Donner des condtons sur X pour que les classes

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.ra] 9 Aug 2002

arxiv:math/ v1 [math.ra] 9 Aug 2002 arxv:math/874v [mathra] 9 Aug Matrces autosmlares Roland Bacher November 8, 3 Résumé: Cette note ntrodut une classe de matrces dont les détermnants sont facles à calculer L exemple le plus frappant est

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1

NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1. EXERCICE 2. EXERCICE 3. EXERCICE 4. 3 i ; 1. Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : i 1 NOMBRES COMPLEXES EXERCICE 1 Détermner (x + y ), représentaton cartésenne du nombre complexe : 11 (5 ) ; ( + ) ; (1 5 ) 1 (5 4 )( + 6 ); (4 + ) (4 ) 1 14 15 ; 1 ; + 7 + + + 1 α ( α + β ) α + ( α ; ; (α,β)

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes LGL Cours de Mathématques 6 Les nombres complexes Notaton, Défnton A Introducton et notatons Dans l'ensemble des enters naturels, une équaton telle que x + 5 admet une soluton. Pour que l'équaton x + 5

Plus en détail

A =

A = Exercces avec corrgé succnct du chaptre 2 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérique Elémentaire FichedeTDno2

UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérique Elémentaire FichedeTDno2 1 UNIVERSITE DE BOURGOGNE MM5: Analyse Numérque Elémentare FchedeTDno2 1 Que peut-on dre d une méthode tératve dont la matrce a un rayon spectral nul? 2 Etuder les méthodes de Jacob et Gauss-Sedel pour

Plus en détail

Devoil libre N 6 2ème TSI 1 Correction

Devoil libre N 6 2ème TSI 1 Correction CPGE- Lycée technque Mohammeda Devol lbre N 6 Correcton Mathématques Exercce 1 : Un compact de R est une parte bornée fermée http://mathscpge.wordpress.com 1 http://mathscpge.wordpress.com CPGE- Lycée

Plus en détail

OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous

OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous UTILS MATHEMATIQUES L1 SVG 1 Paul Broussous Chaptre II. Nombres complees Défnton. L ensemble C des nombres complees est formé des epressons de la forme +, et nombres réels avec les règles : (Egalté) +

Plus en détail

PLAN L OPTIMISATION MULTICRITÈRE

PLAN L OPTIMISATION MULTICRITÈRE PLAN COURS 5 OPTIMISATION MULTICRITÈRE Master IAD DMDC PATRICE PERNY LIP6 UnverstéPars6 1 Défntons 2 Relatons de domnance, effcacté 3 Fonctons scalarsantes 4 Exploraton de la frontère effcace 2/28 L OPTIMISATION

Plus en détail

1 ère S Le plan muni d un repère

1 ère S Le plan muni d un repère 1 ère S Le plan mun d un repère Ce chaptre fat sute à celu des vecteurs du plan bectf : consolder et compléter les bases de géométre analtque dans le plan de seconde (repérage des ponts dans le plan) I

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel.

NOMBRES COMPLEXES. L addition et la multiplication de 2 entiers naturels donnent un entier naturel. NOMRES OMPLEXES RPPELS SUR LES ENSEMLES DE NOMRES Ensemble N : ensemble des enters naturels. L addton et la multplcaton de enters naturels donnent un enter naturel. La soustracton et la dvson de enters

Plus en détail

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1

Contrôle du lundi 19 novembre 2012 (45 minutes) 1 ère S1 1 ère S1 Contrôle du lund 19 novembre 01 (45 mnutes) Compléter le tableau c-dessous donnant la dstrbuton de fréquences pour cet échantllon (calculs au broullon, fréquences sous forme décmale) : Prénom

Plus en détail

TD 1. Z la prévision de Monsieur Sûr-de-lui. On donne les lois jointes de (X, Y ) et celles de (X, Z) dans les deux tableaux suivants Elles

TD 1. Z la prévision de Monsieur Sûr-de-lui. On donne les lois jointes de (X, Y ) et celles de (X, Z) dans les deux tableaux suivants Elles TD 1 Exercce 1. Dans la vallée de la mort : l pleut en moyenne 1 jour sur 100. la météo prédt 3 jours de plue sur 100. chaque fos qu l pleut, la météo l a prévu. Monseur Sûr-de-lu prévot qu l ne pleut

Plus en détail

CORRIGÉ ABRÉGÉ DE LA SÉRIE D EXERCICES n o 1 de ThL

CORRIGÉ ABRÉGÉ DE LA SÉRIE D EXERCICES n o 1 de ThL Unversté Mouloud MAMMERI de Tz-Ouzou Année unverstare : 2016/2017 Faculté de géne électrque et nformatque 2ème année Lcence-Informatque Département d nformatque module : Théore des langages CORRIGÉ ABRÉGÉ

Plus en détail

Circuits en courant continu

Circuits en courant continu Crcuts en courant contnu xercce On consdère les tros montages suvants : montage montage montage ) Montrer que le premer montage équvaut à une résstance unque eq telle que : + eq ) Montrer que le deuxème

Plus en détail

OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS

OUTILS MATHEMATIQUES GLISSEURS & TORSEURS Statque et Cnématque des soldes 0-0 Chaptre Chap: OUTILS THETIQUES GLISSEUS & TOSEUS L'obectf de ce chaptre est de donner brèvement les outls mathématques nécessares à la compréhenson de la sute de ce

Plus en détail

Nombre dérivé d une fonction (2) Plan du chapitre

Nombre dérivé d une fonction (2) Plan du chapitre Nombre dérvé d une foncton (2) Plan du captre Introducton : Nous poursuvons l étude des tangentes en procédant par pettes touces. Dans le captre précédent, nous avons défn la noton de nombre dérvé d une

Plus en détail

Correction Mines PC 2 : Problème de Waring

Correction Mines PC 2 : Problème de Waring Correcton Mnes PC : Problème de Warng Glbert Prmet glbertprmet@9onlnefr 9 ma 6 Merc d adresser vos éventuelles remarques et correctons à l adresse c-dessus A Proprétés élémentares du Wronsken On pose d)

Plus en détail

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles Prépa CAPES UPMC 2010-2011 Mattheu Romagny Polynômes et fractons ratonnelles Table des matères 1 Constructon de l'anneau des polynômes 1 2 Dvson eucldenne et conséquences 4 3 Fonctons polynomales et dérvaton

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN REPERGE DNS LE PLN I. Repère du plan 1. Repère et coordonnées Tros ponts dstncts deux à deux, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (, I, J). L orgne et les untés I et J permettent de graduer

Plus en détail

Une introduction à la théorie de la NP-Complétude

Une introduction à la théorie de la NP-Complétude Chaptre 8 Une ntroducton à la théore de la P-Complétude. Introducton: u chaptre, nous avons dscuté l mportance d avor des solutons de complexté polynomale. Dans l étude de la complexté des problèmes, le

Plus en détail

N - ANNEAUX EUCLIDIENS

N - ANNEAUX EUCLIDIENS N - ANNEAUX EUCLIDIENS Dans ce qu sut A est un anneau untare, mun de deux opératons notées addtvement et multplcatvement. Le neutre de l addton est noté 0, celu de la multplcaton est noté e. On pose A

Plus en détail

1 L1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

1 L1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1 1 L1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 2 Equvalence d effets à ntérêts composés. Deux effets sont équvalents à une date donnée, s escomptés au même taux ls ont à cette date la même valeur actuelle. Un effet

Plus en détail

Méthode des résidus pondérés

Méthode des résidus pondérés Produt propre d un opérateur Méthode des résdus pondérés Ecrture d un opérateur u avec Ω les coordonnées spatales x, y, z p dans Ω Pour un opérateur lnéare u u u u avec α, β des nombres quelconques Pour

Plus en détail

Nombre d occurences Note

Nombre d occurences Note Épreuve écrte d nformatque-mathématques Flère MP spécalté Info ENS : ULM, LYON, CACHAN, RENNES Correcteurs : Anne Boullard, Blase Genest et Xaver Goaoc Le sujet portat sur l étude de la complexté d hypergraphes

Plus en détail

Équations et racines

Équations et racines CHAPITRE III Équatons et racnes III.1. Quadratques et cubques Équatons quadratques. On dspose de formules pour la résoluton des équatons quadratques (c est à dre du second degré). En fat, la résoluton

Plus en détail

Chapitres sur les groupes

Chapitres sur les groupes Unversté Montpeller II Année unverstare 2013-2014 L3 Mathématques, GLMA501 Cours d Algèbre Générale 1 Chaptres sur les groupes Ces notes contennent les énoncés des prncpaux résultats du cours et quelques

Plus en détail

Probabilités et Statistique

Probabilités et Statistique robabltés et Statstque rogramme Calcul des probabltés: Espaces probablsés Varables aléatores dscrètes et contnues Los usuelles dscrètes et contnues Statstque Applquée: Convergences stochastques Approxmatons

Plus en détail

Editions ENI. Access Collection Référence Bureautique. Extrait

Editions ENI. Access Collection Référence Bureautique. Extrait Edtons ENI Access 2010 Collecton Référence Bureautque Extrat Relatons entres les tables Tables Établr une relaton entre deux tables Les dfférents types de relaton entre les tables Établr une relaton entre

Plus en détail

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours

Valeur absolue et fonction valeur absolue Cours Valeur absolue foncton valeur absolue Cours CHAPITRE 1 : Dstance entre deu réels 1) Eemples prélmnares 2) Défnton 3) Proprétés CHAPITRE 2 : Valeur absolue d un réel 1) Défnton 2) Proprétés CHAPITRE 3 :

Plus en détail

Chapitre 2. Probabilités. Sommaire. 1. Introduction Espace fondamental et évènements. 3

Chapitre 2. Probabilités. Sommaire. 1. Introduction Espace fondamental et évènements. 3 Mathématques : Outls pour la ologe Deug SV1 UCL D. Mouchroud 10102002 Chaptre 2 robabltés Sommare 1. Introducton 3 2. Espace fondamental et évènements. 3 2.1. Défnton 3 2.2. Evènements remarquables.. 5

Plus en détail

Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal».

Résumé. Sommaire. «Toute théorie n est bonne qu à condition de s en servir pour passer outre». André Gide in «Journal». «Toute théore n est bonne qu à condton de s en servr pour passer outre». ndré Gde n «Journal». Résumé L usage des los de Krchhoff permet de toujours trouver les tensons et courants dans un réseau électrque

Plus en détail

1 ère S Fonctions de référence

1 ère S Fonctions de référence ère S Fonctons de référence Cette méthode est dffcle à mettre en œuvre pour certanes fonctons ; nous étuderons un ben melleur moyen cette année. 4 ) Tableau de varaton (pour mémore) bectfs : - Revor et

Plus en détail

Primitives élémentaires de fonctions élémentaires

Primitives élémentaires de fonctions élémentaires Prmtves élémentares de fonctons élémentares Ahmed Moussaou et Ramanujan Santharoubane Exposé de maîtrse encadré par Franços Loeser Septembre 2008 1 Table des matères 1 Corps dfférentels 3 2 Équatons dfférentelles

Plus en détail

Probabilités. Définition : Chacun des résultats possible d une expérience aléatoire est appelée issue de l expérience.

Probabilités. Définition : Chacun des résultats possible d une expérience aléatoire est appelée issue de l expérience. Probabltés A) Vocabulare.. Expérence aléatore. Défntons : Une expérence est dte aléatore s elle vérfe tros condtons : Elle condut à des résultats possbles qu on est capable de nommer. On ne sat à l avance

Plus en détail

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire

IFT1575 Modèles de recherche opérationnelle (RO) 7. Programmation non linéaire IFT575 Modèles de recherche opératonnelle (RO 7. Programmaton non lnéare Fonctons convees et concaves Sot et deu ponts dans R n Le segment de drote jognant ces deu ponts est l ensemble des ponts + λ( -

Plus en détail

II MOMENTS - TORSEURS

II MOMENTS - TORSEURS II OENTS - TORSEURS Le torseur est l'outl prvlégé de la mécanque. Il sert à représenter le mouvement d'un solde, à caractérser une acton mécanque et à formuler le PFD (prncpe fondamental de la dynamque),

Plus en détail

arxiv:math/ v1 [math.gr] 28 Oct 2005

arxiv:math/ v1 [math.gr] 28 Oct 2005 CENTRE, COMMUTATIVITÉ ET CONJUGAISON DANS UN GRAPHE DE GROUPE Jean-Phlppe PRÉAUX 2 arxv:math/05063v [math.gr] 28 Oct 2005 Abstract. We gve characterzatons of the center, of conjugated and of commutng elements

Plus en détail

Calcul linéaire de toutes les périodes locales d un mot. Thierry Lecroq

Calcul linéaire de toutes les périodes locales d un mot. Thierry Lecroq Calcul lnéare de toutes les pérodes locales d un mot Therry Lecroq ABISS Unversté de Rouen - France Therry.Lecroq@unv-rouen.fr http://www-gm.unv-mlv.fr/~lecroq traval commun avec Jean-Perre Duval (Rouen),

Plus en détail

Cours d analyse numérique de C. Bertelle. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr

Cours d analyse numérique de C. Bertelle. FMdKdD fmdkdd [à] free.fr Cours d analyse numérque de C Bertelle FMdKdD fmdkdd [à] freefr Unversté du Havre Année 009 00 Table des matères Rappels d algèbre lnéare Espace vectorel Applcatons lnéares et matrces Matrce nverse d une

Plus en détail

Étude constructive de problèmes de topologie pour les réels irrationnels

Étude constructive de problèmes de topologie pour les réels irrationnels Étude constructve de problèmes de topologe pour les réels rratonnels Verson fnale. Avrl 98 Mohamed Khalouan Département de Mathématques, Faculté des Scences Semlala, Unversté de Marrakech, MAROC, et Equpe

Plus en détail

Les nombres premiers ( Spécialité Maths) Terminale S

Les nombres premiers ( Spécialité Maths) Terminale S Les nombres premers ( Spécalté Maths) Termnale S Dernère mse à jour : Mercred 23 Avrl 2008 Vncent OBATON, Ensegnant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 2007-2008) Lycée Stendhal, Grenoble ( Document de

Plus en détail

Leçon 1. Statistiques

Leçon 1. Statistiques Leçon 1 Statstques Lors d une séance de saut en hauteur, le professeur d EPS a relevé, en centmètres, les performances c-dessous : 110-115-10-110-100-110-15-15-100-95-135-105-1-110-95-100-110-85-85-105-140-15-100-135-105-1-135-115-10-135

Plus en détail

A. Équations algébriques réciproques

A. Équations algébriques réciproques SESSION 22 Concours commun Mnes-Ponts PREMIÈRE EPREUVE. FILIÈRE MP Sot P R n []. Posons P = A. Équatons algébrques récproques n a k k. k= n u n P = n a n k k = a k n k = k= k= n a n k k. u n P est effectvement

Plus en détail

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation.

Fiche technique : diagonalisation, trigonalisation. Fche technque 4 : dagonalsaton trgonalsaton - - Fche technque : dagonalsaton trgonalsaton Dagonalsaton de matrces le prncpe pour dagonalser en pratque une matrce est smple : calculer les espaces propres

Plus en détail

Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d

Réseaux linéaires. C Fig 1-a Fig 1-b Fig 1-c Fig 1-d etour au menu éseaux lnéares Défntons Un réseau électrque lnéare est un ensemble de dpôles lnéares, relés par des conducteurs de résstance néglgeable. On suppose que le réseau content au mons un générateur.

Plus en détail

Version du 15 août 2016 (11h16)

Version du 15 août 2016 (11h16) CHAPTRE. CARACTÉRSTQUES GÉOMÉTRQUES DES SECTONS PLANES........ -.1 -.1. ntroducton............................................................. -.1 -.. Moment statque et centre de gravté..........................................

Plus en détail

Chapitre 4 : Ecoulement adiabatique avec frottement «Ecoulement de Fanno»

Chapitre 4 : Ecoulement adiabatique avec frottement «Ecoulement de Fanno» Cours : Dynamque des gaz. Unversté de ed Boudaf sla Année Unverstare 06/07 Faculté des echnologes Opton : Energétque Département de Géne écanque aster ère Année Chaptre 4 : Ecoulement adabatque avec frottement

Plus en détail

( ), dans les conditions standards, va

( ), dans les conditions standards, va THERMOCHIMIE R. Duperray Lycée F.BUISSON PTSI U T I L I S A T I O N D E S T A B L E S D E S G R A N D E U R S T H E R M O D Y N A M I Q U E S S T A N D A R D Dans le chaptre précédent, nous avons vu l

Plus en détail

Boules Critiques. Serge Beucher. Centre de Morphologie Mathématique Mines Paristech

Boules Critiques. Serge Beucher. Centre de Morphologie Mathématique Mines Paristech Boules Crtques Serge Beucher Centre de Morphologe Mathématque Mnes Parstech Sémnare sur la caractérsaton de formes Fontanebleau, 27 Avrl 2009 1 Avertssement! Cette présentaton est un document de traval

Plus en détail

Établir une relation entre deux tables

Établir une relation entre deux tables Access 2013 Tables Relatons entre les tables Access 2013 Établr une relaton entre deux tables Les dfférents types de relaton entre les tables Établr une relaton entre les tables de la base de données va

Plus en détail

Modèles stochastiques. Chaîne de Markov en temps continu

Modèles stochastiques. Chaîne de Markov en temps continu odèles stochastues Chaîne de arkov en temps contnu Dans le chapître précédent sur les chaînes de arkov, les moments (temps) t etaent dscrets ( t =,, ). antenant, nous allons analyser des stuatons où les

Plus en détail

Théorie des Nombres - TD1 Rappels d arithmétique élémentaire

Théorie des Nombres - TD1 Rappels d arithmétique élémentaire Unversté Perre & Mare Cure Master de mathématques 1 Année 2012-2013 Module MM020 Théore des Nombres - TD1 Rappels d arthmétque élémentare Exercce 1 : Trouver tous les enters n N tels que ϕ(n) = 6. Même

Plus en détail

EC 2 Étude des circuits linéaires en régime continu

EC 2 Étude des circuits linéaires en régime continu Étude des crcuts lnéares en régme contnu PS 2016 2017 Objet du chaptre : donner des outls pour détermner l état électrque d un crcut : potentels des dfférents nœuds par rapport à un nœud chos comme référence

Plus en détail

CIRCUITS LOGIQUES SEQUENTIELS

CIRCUITS LOGIQUES SEQUENTIELS Chap-II: Regstres à décalage CIRCUITS LOGIQUES SEQUENTIELS Regstres à décalage Attenton! Ce produt pédagogque numérsé est la proprété exclusve de l'uvt. Il est strctement nterdt de la reprodure à des fns

Plus en détail

Exercices type Bac Nombres complexes

Exercices type Bac Nombres complexes Exercces type Bac Nombres complexes Exercce 1 : Pour chaque queston, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 pont. Une absence de réponse n est pas sanctonnée. Il sera retré 0,5 pont

Plus en détail

ANALYSE DE LA VARIANCE. Pierre-Louis GONZALEZ

ANALYSE DE LA VARIANCE. Pierre-Louis GONZALEZ ANALYSE DE LA VARIANCE Perre-Lous GONZALEZ ANALYSE DE LA VARIANCE Introducton Comparason des moyennes de pluseurs populatons Interprétaton statstque de résultats recuells à l ade d une stratége d expérmentaton

Plus en détail

Chapitre I Les pourcentages. Exemples : Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de poiriers. Combien y a-t-il de poiriers? =6 Il y a 6 poiriers.

Chapitre I Les pourcentages. Exemples : Il y a 20 arbres dans le verger, donc 30% de poiriers. Combien y a-t-il de poiriers? =6 Il y a 6 poiriers. Chaptre I Les pourcentages Extrat du programme : - Expresson en pourcentage d une augmentaton ou d une basse. / coeff multplcateur - Augmentatons et basses successves - aratons d un pourcentage. - Pourcentages

Plus en détail

2. Loi de propagation des erreurs (cas simples)

2. Loi de propagation des erreurs (cas simples) Lycée Blase-Cendrars/Physque/Labos/DC///04 Labos de physque : Mesures - Propagaton d erreurs - Mesures répéttves - Statstques. Prncpe de la mesure en physque Une mesure est toujours mprécse. La précson

Plus en détail

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i

Solution : 1. Soit y = α + βt, l équation de la droite considérée. Le problème de régression linéaire s écrit. i=1 2(α + βt i b i )t i Exercces avec corrgé succnct du chaptre 3 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qu apparassent dans ce texte sont ben défns dans la verson écran complète

Plus en détail

Loi binomiale - Echantillonnage

Loi binomiale - Echantillonnage Lo bnomale - Echantllonnage I Epreuve de Bernoull Lo de Bernoull 1. Epreuve de Bernoull Une épreuve de Bernoull est une expérence aléatore qu n'a que deux ssues : - S appelé succès avec une probablté p.

Plus en détail

CHAPITRE 7. CALCUL DES INDICATEURS DU SOUTIEN AUX CONSOMMATEURS

CHAPITRE 7. CALCUL DES INDICATEURS DU SOUTIEN AUX CONSOMMATEURS Chaptre 7 : Calcul des ndcateurs du souten aux consommateurs CHAITRE 7. CALCUL DES INDICATEURS DU SOUTIEN AUX CONSOMMATEURS 313. À l nstar du chaptre 6, le présent chaptre décrt en détal la méthode à applquer

Plus en détail

C 15/03/2017. Cahier Technique E. Tests de conformité 1/7

C 15/03/2017. Cahier Technique E. Tests de conformité 1/7 Indce de Révson Date de mse en applcaton C 15/03/017 Caher Technque E 1/7 Table des matères TABLE DES MATIERES... 1 1 PRICIPE... CRITERES DE COFORMITE DE LA VALEUR THERMIQUE DECLAREE....1 TEST DE COFORMITE

Plus en détail

Calculer une enveloppe convexe

Calculer une enveloppe convexe Calculer une enveloppe convexe Préparaton à l agrégaton opton Calcul formel Antone Chambert-Lor (verson revue par Mchel Coste) 1. Introducton Sot A une parte du plan ; de nombreux problèmes géométrques

Plus en détail

1351 = = = = = = =

1351 = = = = = = = 7.6. L algorithme de Bézout-Euclide. Soient a > b deux nombres naturels. Si b = 0 alors pgcd(a, b) = 0. Si b 0 il existe nombres naturels q, r tels que a = qb + r et 0 r < b et pgcd(a, b) = pgcd(b, r),

Plus en détail

Leçon 3 Les statistiques, révisions

Leçon 3 Les statistiques, révisions Leçon 3 Les statstques, révsons Pour cette parte, je reprends d abord toutes les notons vues en seconde. Il y a un vocabulare de base à connaître. Les statstques sont utlsées dans tous les domanes, scences,

Plus en détail

Introduction aux algorithmes de tri. Les tris séquentiels. Méthodologie de la programmation E2I.1- Les algorithmes de tri. Les tris récursifs.

Introduction aux algorithmes de tri. Les tris séquentiels. Méthodologie de la programmation E2I.1- Les algorithmes de tri. Les tris récursifs. Vue d'ensemble Méthodologe de la programmaton E2I.1- Les algorthmes de tr Cyrlle CHAVET 2 Plan Objectfs é Tr: Ordonner un ensemble d éléments selon un ensemble de clés sur lesquelles est défne une relaton

Plus en détail

Mesures Physiques Intégrales triples Calcul de volumes et d hyper-volumes

Mesures Physiques Intégrales triples Calcul de volumes et d hyper-volumes IUT ORSAY Mesures Physques Intégrales trples Calcul de volumes et d hyper-volumes Cours du ème semestre A. omane «cubable» On dt qu un domane est cubable quand son volume peut être approché par une subdvson

Plus en détail

Fractions rationnelles

Fractions rationnelles Bblothèque d exercces Énoncés L Feulle n 8 Fractons ratonnelles Exercce Décomposer + 4 Décomposer + + + Décomposer + + + 4 Décomposer 4 + + 5 Décomposer 4 6 Décomposer 5 + 4 + 7 Décomposer 5 + 4 + ( )

Plus en détail

Utilisation du symbole

Utilisation du symbole HKBL / 7 symbole sgma Utlsaton du symbole Notaton : Pour parler de la somme des termes successfs d une sute, on peut ou ben utlser les pontllés ou ben utlser le symbole «sgma» majuscule noté Par exemple,

Plus en détail

Estimateurs MCD de localisation et de dispersion: définition et calcul. Fauconnier Cécile Université de Liège

Estimateurs MCD de localisation et de dispersion: définition et calcul. Fauconnier Cécile Université de Liège Estmateurs MCD de localsaton et de dsperson: défnton et calcul Fauconner Cécle Unversté de Lège Plan de l eposé 2 Introducton: Pourquo les estmateurs robustes? Estmateur MCD : défnton Algorthmes appromatfs

Plus en détail