Partie 1. Manipulations. Plan. Approche expérimentale de la tangente à une courbe. 1 ère S

Transcription

1 1 ère S pproche epérmentale de la tangente à une courbe Parte 1 anpulatons Dans toute cette parte, on consdère la courbe de la foncton «carré» dans le plan mun d un repère. Plan Parte 1 anpulatons I. Tracé «à la man» II. Tracé sur calculatrce III. Tracé à l ade d une logcel de tracé de courbe Parte 2 Les dées de Fermat I. Prncpe II. Utlsaton d un logcel de géométre dnamque III. Généralsaton Parte 3 omportement local de la courbe I. bservatons II. Une autre «défnton» possble de la tangente III. Utlsaton de la tangente Nous consdérons le pont (1 ; 1) de. Nous cherchons à tracer la tangente à en. Il s agt d une drote. Il convent de noter que l étude qu est fate en pourrat être fate de la même manère pour tout autre pont de la courbe. ppendces ppendce 1 : ensemble des tangentes à la courbe de la foncton «carré» ppendce 2 : orgne du mot «tangente» Introducton : n rappelle la défnton de la tangente à un cercle : La tangente en un pont à un cercle est la drote passant par le pont et perpendculare au raon. 1 2

2 I. Tracé «à la man» n utlse la règle non graduée. n peut d emblée eclure certans tracés qu ne correspondent pas à l dée ntutve que l on se fat d une tangente. n peut tracer appromatvement une drote passant par qu semble tangente à. ette démarche n est pas rgoureuse. II. Tracé sur calculatrce odèle TI : n commence par tracer la foncton sur l écran de la calculatrce. 2nde prgm 5 : (tangente) entrer 1 abscsse du pont en lequel on désre tracer la tangente L équaton rédute de la tangente s affche au bas l écran. odèle aso La drote coupe la courbe en un seul pont mas n est pas tangente. La drote n est manfestement pas tangente à la courbe. Vor lvre Indce édton 2011 p. 355 (tangente à une courbe) III. Tracé à l ade d une logcel de tracé de courbe Les logcels de tracés de courbes possèdent une commande permettant de tracer la tangente en un pont. Dans ce chaptre, nous allons travaller avec Geogebra. Nous allons détaller la procédure pour Geogebra. ucun de ces deu tracés ne convent. n prend la règle et on la fat tourner autour du pont. n fat en sorte que l un de bords de la règle sot «collée» à la courbe le plus possble. T n commence par tracer la courbe représentatve de la foncton f : n «crée» le pont de la courbe d abscsse 1. n défnt la tangente en à la courbe en tapant Tangente[, f]. L équaton rédute s affche. 2. Le geste que l on fat avec la règle est mportant. Il s agt d un tracé appromatf. 3 4

3 Parte 2 T Les dées de Fermat Perre de Fermat ( ) L dée de Fermat : «les drotes qu tournent» ; mse en œuvre d une démarche dnamque Nous allons décrre dans ce chaptre une démarche orgnale et un peu déroutante de prme abord, due à Fermat. I. Prncpe Nous reprenons la stuaton de la foncton «carré» étudée dans la parte 1. n s ntéresse à la tangente à en un pont. 1 ère dée : «créer» un pont. 2 e dée : consdérer la drote (). 3 e dée : bouger le pont ( moble, dnamque). 4 e dée : fare se rapprocher de et observer une poston lmte. Il est mportant de retenr le concept de «drote moble». ette dée est partculèrement ntéressante car elle permet de mathématser la stuaton comme nous allons le vor dans les chaptres suvants. La mse en œuvre de cette dée peut se fare «à la man» (avec une règle non graduée que l on fat «tourner» autour du pont ) mas est beaucoup facltée par l utlsaton d un logcel de géométre dnamque comme nous allons le vor dans le paragraphe suvant. n retendra essentellement de ce paragraphe la démarche avec la règle qu permet de fare «apparaître» la tangente sur le graphque. II. Utlsaton d un logcel de géométre dnamque Nous allons travaller avec Geogebra. n défnt f pus le pont. n crée ensute un pont quelconque sur «à promté» de. n défnt la drote (). Le pont est fe. n fat ensute «bouger» le pont. n rapproche le pont de et l on observe ce qu se passe pour la drote (). Lorsque se rapproche de, la drote () se rapproche de la tangente en à la courbe. Il est mportant de savor refare la démarche et de savor refare dans sa tête («epérence de pensée»). 5 6

4 III. Généralsaton L dée de Fermat est généralsable à d autres courbes représentatves de fonctons (autres que la foncton carré). est cette dée qu va permettre une mathématsaton dans le chaptre suvant. Nous allons donner une «défnton» provsore de la tangente. n consdère une foncton f et l on note sa courbe représentatve dans un repère. Sot un pont fé de. Sot un pont moble de dstnct de. Dans les cas que nous allons étuder, lorsque se rapproche de, la drote () se rapproche d une drote fe T. ette drote est appelée T est appelée la tangente à au pont (ou tangente en à ). Parte 3 omportement local de la courbe d une foncton II. Une autre «défnton» possble de la tangente À l ade de l observaton précédente, nous pouvons donner une autre défnton de la tangente. n consdère une foncton f et l on note sa courbe représentatve dans un repère. n note un pont de. La tangente en à est la drote passant par la plus proche de la courbe au vosnage du pont. ette défnton ne sera pas utlsée cette année mas l est bon de l avor en tête. Une utlsaton est cependant donnée dans le paragraphe suvant. III. Utlsaton de la tangente Il découle de la défnton du paragraphe II que la courbe épouse la forme de T au vosnage du pont. Nous verrons plus tard que cela est ntéressant à savor lorsque l on veut effectuer le tracé «à la man» de la courbe représentatve d une foncton (cela montre en outre l utlsaton des tangentes à une courbe qu n est pas évdent à percevor de prme abord). Les tangentes permettent d obtenr un tracé plus précs d une courbe que s on ne les avat pas. S on trace quelques tangentes, on obtent un tracé assez précs de la courbe. À la queston «À quo servent eactement les tangentes en mathématques?», des réponses plus précses seront données dans les chaptres suvants. I. bservatons à l ade d un logcel de tracé de courbes Nous reprenons la stuaton de la foncton «carré» prse comme modèle d étude tout au long du chaptre. Nous allons observer ce qu se passe au vosnage du pont. Pour cela, nous effectuons des «zooms» successfs. À quo servent les tangentes? Tangentes changement de progresson, changement de varatons de la courbe (devent décrossante ou crossante) Nous observons que : - la courbe est quasment rectlgne au vosnage du pont ; - la courbe est très proche de la tangente T et même quasment confondue avec T au vosnage du pont. Il serat cependant fau de crore que la courbe est confondue avec la tangente au vosnage du pont. n peut en effet démontrer que la courbe et la tangente n ont que le pont en commun. utrement dt l n a pas de «zone de contact» au vosnage du pont contrarement à ce qu on pourrat crore. Le pont est appelé pont de contact ou pont de tangence de la drote T avec. 7 8

5 ppendces ppendce 1 : ensemble des tangentes à la courbe de la foncton «carré» n déplace le pont sur la courbe et l on se place en mode «trace actvée». n «efface» ensute la courbe. La courbe apparaît comme «l enveloppe» de ses tangentes. n vot qu l est possble de reconsttuer la courbe à partr de ses tangentes. Résumé du cours sur approche epérmentale de la tangente 1. pproche dnamque Noton de pont fe ; pont moble (pont dnamque) Drote fe ; drote moble La tangente est la poston lmte des sécantes. Il est possble de tracer appromatvement «à la man» la tangente à une courbe (c est ce qu on fat en phsque). n consdère une foncton f et l on note sa courbe représentatve dans un repère. 2. llure locale La tangente est la drote la plus proche de la courbe au vosnage du pont. Il est possble de tracer la tangente à l ade d un logcel de tracé de courbe ou d une calculatrce graphque. ela marche pour la courbe représentatve de la foncton «carré» mas pas pour la courbe représentatve de la foncton «cube». Pour la courbe représentatve de la foncton «cube», l faudrat tracer les tangentes que pour la parte des 0 ou pour la parte des 0 (cela tent au fat que la courbe représentatve de la foncton «cube» présente un changement de concavté en l orgne). ppendce 2 : orgne du mot «tangente» Le mot tangente vent de tangere en latn qu sgnfe «toucher». n peut cter les adectfs «tangble», «tactle» qu ont la même étmologe. u XVII e sècle, on ne parlat pas de tangente mas de «touchante». ttenton d alleurs à l orthographe du mot «tangente». Une faute d orthographe classque consste à écrre «tangeante». 9 10