Découvrez la réponse à cette question dans ce chapitre.

Transcription

1 Erwan, d une mae de 65 kg, fait un aut de bungee. Il tombe de 0 m avant que la corde du bungee commence à étirer. Quel era l étirement maximal de la corde i cette dernière agit comme un reort d une contante de 100 N/m quand elle et étirée? Découvrez la répone à cette quetion dan ce chapitre.

2 Origine du travail L étude de différent ytème imple depui l antiquité montrait que le poid multiplié par le déplacement vertical (P y) avait une importante particulière. En commençant par Archimède, qui remarque que P y et le même pour le deux mae ur un levier à l équilibre il y a un déplacement, juqu à Galilée, qui montre que P y détermine la vitee d un pendule, on utiliait cette quantité pour expliquer de nombreux phénomène. Decarte réume bien, en 1637, l utiliation de cette quantité. «L invention de tou ce engin n et fondée que ur un eul principe, qui et que la même force qui peut lever un poid, par exemple de 100 livre, à la hauteur de deux pied, en peut aui lever un de 00 livre à la hauteur d un pied, ou un de 400 à la hauteur d un demi-pied, et aini de autre Car c et le même de lever 400 livre à la hauteur d un demi-pied, que d en lever 00 à la hauteur d un pied, et le même que d en lever 100 à la hauteur de deux pied» (Attention : Decarte utilie le terme force alor que ce n et pa une force. À cette époque, on ne entendait pa ur ce qu était une force et le terme fut utilié pour preque tout en mécanique.) À partir de ce principe, on expliquait le fonctionnement de pluieur machine utiliée à l époque comme le levier, le poulie, le plan incliné, le pendule et bien d autre. Avec l arrivée de la mécanique de Newton, ce principe fut mi un peu en arrière-plan, mai il ne diparut pa. On e rendit compte un peu plu tard qu on obtient un réultat trè intéreant avec la mécanique de Newton quand on multiplie la force par le déplacement. On utilia pluieur nom pour déigner cette quantité, tel que puiance mécanique, quantité d action ou effet dynamique, juqu à ce que Gapar Corioli lui donne, en 186, le nom de travail. Le travail fait par une force contante ur un objet e déplaçant en ligne droite Si une force contante applique ur un objet en mouvement en ligne droite, alor il y a un travail de fait. Ce travail et le produit calaire entre la force et le déplacement. Le travail fait par une force contante ur un objet qui e déplace en ligne droite () = F coθ ou = F Verion 017b 8 Le travail

3 et le déplacement de l objet et θ et l angle entre le déplacement et la force. du-phyic.org/phyic180/phyic195/topic/chapter7.html L unité utiliée pour meurer le travail et le Nm. On a donné un autre nom à cette unité : le joule (J). Unité du travail : le joule m² 1 J = 1 Nm = 1 kg ² S il y a pluieur force qui appliquent ur un objet, la omme de travaux fait par chacune de force et le travail net. Le travail net ur un objet ( net ) = = net 1 3 Exemple Quel et le travail net ur cette boite i elle e déplace de 3 mètre ver la droite? Calculon le travail fait par chacune de force. Le travail fait par la force de 0 N et 1 = 0N 3m co 90 = 0J Verion 017b 8 Le travail 3

4 L angle et de 90, car la force et ver le ba et le déplacement et ver la droite. Le travail fait par la force de 10 N et = 10N 3m co180 = 30J L angle et de 180, car la force et ver la gauche et le déplacement et ver la droite. Le travail fait par la force de 50 N et L angle et de 60 elon la figure. Le travail net et donc Voici quelque remarque. 3 = 50N 3m co 60 = 75J net = = 0J + 30J + 75J = 45J 1) Le valeur de F et de ne ont jamai négative. On doit mettre le grandeur de la force et du déplacement. ) Il et inutile de éparer le force en compoante quand on calcule le travail avec F coθ. C et la grandeur totale de la force et du déplacement qu on doit mettre dan la formule, pa le compoante. 3) Le travail peut être poitif, négatif ou nul. Comme F et ont toujour poitif, c et la valeur de l angle qui détermine le igne du travail. Comme le coinu et poitif avec un angle inférieur à 90 et négatif avec un angle entre 90 et 180, on a donc 4) L angle et toujour poitif. On prend toujour l angle le plu petit entre la force et le déplacement et il n y a pa de igne à cet angle. L angle era donc néceairement entre 0 et 180. Verion 017b 8 Le travail 4

5 Exemple 8.1. Une boite de 5 kg glie de 10 m ver le ba d une pente inclinée de 30. Le coefficient de frottement entre la pente et la boite et de 0,. Quel et le travail net fait ur la boite? Pour trouver le travail fait par le force, il faut premièrement trouver le force agiant ur l objet. Le force ont : 1) Le poid. ) La normale. 3) La friction. Le travail fait par le poid et N = mg coθ = 5kg 9,8 10m co 60 = 45J g kg puique l angle entre la force et le déplacement et de 60 elon la figure de droite. Le travail fait par la normale et = F 10m co 90 = 0J N N puique l angle entre la force et le déplacement et de 90 elon la figure de droite. Le travail fait par la force de friction et = µ F 10m co180 f c N L angle et de 180 car la friction et ver le haut de la pente et le déplacement et ver le ba de la pente. On voit que pour trouver ce travail, on devra connaitre la grandeur de la force normale. San trop entrer dan le détail puiqu on a fait bien de exemple de calcul de force normale ur une pente dan le chapitre précédent, l équation de force en y et Verion 017b 8 Le travail 5

6 La normale et donc ( ) F = F + mg in 60 = 0 y N N F = mg in 60 = 5kg 9,8 in 60 = 4, 435N N et le travail fait par la friction et kg = µ F 10m co180 = 0, 4,435N 10m 1 = 84,87J f c N Alor, le travail net et = + + = 45J + 0J + 84,87J = 160,1J net g N f Il y a une autre façon de calculer le travail puique, elon ce que vou avez appri en algèbre vectorielle, on peut calculer ce produit calaire à partir de compoante ce vecteur F et. Le travail fait par une force contante ur un objet qui e déplace en ligne droite () = F = F x + F y + F z x y z Exemple F = i + j + k N agit ur un objet qui e déplace du point (1 m, m,3 m) Une force de ( ) au point (5 m, 6 m, -3 m). Quel et le travail fait ur l objet? En paant de (1 m, m, 3 m) à (5 m, 6 m, -3 m), le compoante du déplacement ont Le travail et donc x = 4m y = 4m z = 6m = F x + F y + F z x y z = 3N 4m + 4N 4m + 5N 6m = 1J + 16J 30J = J Verion 017b 8 Le travail 6

7 Le travail fait i F ou θ ne ont pa contant Si la grandeur de la force change ou i l angle entre le déplacement et la force change, on doit éparer le calcul en partie dan lequelle la force et l angle ont contant. On omme enuite le travail fait dan chacune de partie. Le travail fait par une force i F ou θ varie () = F coθ F et θ contant ou = F F et θ contant Exemple Une force ver la droite agit ur un objet e déplaçant de 6 m ver la droite. La force et de 5 N ur une ditance de 5 m et enuite de 3 N ur une ditance de 1 m. Quel et le travail fait ur l objet? Comme la force change, on doit éparer en partie. Le travail fait durant la première partie et 1 = F coθ = 5N 5m co 0 = 5J Le travail fait durant la deuxième partie et = F coθ = 3N 1m co 0 = 3J Le travail fait ur l objet et donc de 5 J + 3 J = 8 J Exemple Une force de 1 N ver la droite agit ur un objet qui e déplace en uivant la trajectoire montrée ur la figure. Quel et le travail fait ur l objet? Comme l angle entre la force et le déplacement change, on doit éparer en partie. Le travail fait Verion 017b 8 Le travail 7

8 durant la première partie (mouvement ver la droite) et 1 = F coθ = 1N 10m co 0 = 10J Le travail fait durant la deuxième partie (mouvement ver le haut) et = F coθ = 1N 10m co 90 = 0J Le travail fait ur l objet et donc de 10 J + 0 J = 10 J. Mai que doit-on faire i la force ou l angle changent contamment? On ne pourrait pa alor éparer en région où la force et l angle ont contant. En fait, on peut. Il uffit de prendre de région trè courte, tellement courte qu elle ont infinitéimale. Le travail fait ur une telle ditance et d = F dx Si on omme enuite tou ce travaux, on obtient Le travail fait ur un objet () (Formule la plu générale) = F coθd ou = F d Il y a une intégrale puique c et ce qu on obtient quand on fait une omme d infinitéimal. De façon correcte, il agit d une intégrale de ligne puique c et le réultat du calcul le long d une ligne (puique l objet pae d un endroit à un autre en uivant une trajectoire, qui et une ligne). Il et poible de calculer ce genre d intégrale pour de trajectoire en troi dimenion, mai c et d un autre niveau. On e contentera ici d un déplacement le long d un axe (qu on appellera x). On aura alor F d = F dx x et donc Travail fait par une force variable ur un objet qui e déplace le long de l axe de x (l objet va de x à x ) = x x F dx x Verion 017b 8 Le travail 8

9 Exemple Un objet allant de x = 1 m à x = 3 m ubit une force variable F = (3 N/m x + N). Quel et le travail fait par la force ur l objet? Le travail et 3m 1m N ( 3 ) = x + N dx m N 3 m x = + N x ( m) 3m 1m ( m) N 3 3 N 3 1 m m = + N ( 3m) + N ( 1m ) = 16J Repréentation graphique du travail Réexaminon le ca du travail fait par une force contante avec un graphique de la force en fonction de la poition. La force et alor une ligne droite. Si on déplace de x à x, le travail et F x. Or, F x et aui l aire ou la courbe de F entre x et x puiqu on a un rectangle donc la hauteur et F et la bae et x. Cette concluion rete valide même i la force et variable. Quand on a calculé Fdx, on a calculé l aire d un rectangle trè mince dont la hauteur et égale à la force à cet endroit et la largeur et égale à dx. Quand on fait la omme par la uite, on omme le aire de tou ce rectangle entre x et x. Ici ça emble ne pa donner exactement l aire ou la courbe, car il manque de petit morceaux en haut de rectangle, mai en réalité, no rectangle ont beaucoup plu mince (infinitéimale) et nombreux (infini) que ce qu on peut voir ur la figure. Le petit morceaux manquant diparaient alor complètement et on arrive à la concluion que l aire ou la courbe et le travail fait ur l objet Verion 017b 8 Le travail 9

10 Le travail fait ur un objet et l aire ou la courbe de la force agiant ur l objet en fonction de la poition Comme le travail peut parfoi être négatif, cette aire peut aui être négative. Comme c et le ca en calcul intégral, l aire et poitive i elle et au-deu de l axe de x et négative i elle et en deou. Cependant, ce igne eront inveré i on déplace l objet d une valeur de x plu élevée ver une valeur de x plu petite. Ceci vient du fait que l inverion de borne d une intégrale change le igne de la répone. en.wikipedia.org/wiki/integral Le travail fait par un reort Avec la définition du travail la plu générale obtenue précédemment, on peut calculer le travail fait par un reort ur un objet. Comme la force exercée par un reort et F = -kx, le travail fait par le reort ur un objet qui e déplace de x à x et Verion 017b 8 Le travail 10

11 R x' x ' kx kx kx = ( kx) dx = = x x que l on peut implifier pour obtenir Travail fait par un reort k R = x x ( ) On aurait trè bien pu faire ce calcul avec l aire ou la courbe. Le graphique de kx étant une droite de pente k paant par l origine, l aire ou la courbe entre x et x et l aire de la région grie ur la figure uivante. La grandeur de cette aire et Aire = (Aire de triangle allant de l origine à x ) (Aire de triangle allant de l origine à x) x ' F ' x F Aire = Puique la grandeur de la force et kx, on obtient x kx x kx Aire = kx kx = Comme cette aire et ou l axe de x, le travail et négatif. On a alor Verion 017b 8 Le travail 11

12 R kx kx = k = x ( x ) Ce qui et le même réultat que celui obtenu avec l intégrale. Le travail fait par un reort et le travail fait ur un reort Attention, on parle parfoi de travail fait par le reort et le travail fait ur le reort. Voici la différence. Le travail fait par le reort et le travail fait ur un objet par le reort qui le poue ou le tire. Il correpond au travail que l on a déjà calculé. Force faite par un reort ur un objet FR = kx Travail fait par le reort ur un objet R = ( x x ) Le travail fait ur le reort correpond au travail qu un objet ou quelqu un doit faire pour compreer ou étirer le reort. Or, elon la troiième loi de Newton, la force qu un objet doit faire ur un reort pour l allonger et le compreer et de même grandeur que la force que le reort fait ur l objet, mai de direction oppoée. Ce changement de direction enlève donc le igne négatif dan la formule de la force et change le igne du travail. On a alor faraday.phyic.utoronto.ca/pvb/harrion/flah/tutorial/flahphyic.html Force faite par un objet ur un reort F = kx k = x x Travail fait par un objet ur le reort ( ) k Preuve du théorème de l énergie cinétique Examinon maintenant pourquoi il peut être utile de calculer le travail ur un objet. Verion 017b 8 Le travail 1

13 Commençon avec notre définition du travail = F d net où et ont le poition à l intant 1 et à l intant. Puique F nette = ma elon la deuxième loi de Newton et que l accélération et la dérivée de la vitee, cette équation devient nette net = ma d dv = m d dt v d = m dv v dt La dérivée de la poition étant la vitee, on arrive à net v = mv dv v Or, on a d v = d v v = v dv + dv v = v dv ( ) ( ) Ce qui ignifie que Si on fait cette intégrale, on trouve que v mv dv v m 1 net = = v v d v 1 v net = m ( ) d v v 1 v = m v v 1 = m( v v ) 1 1 = mv mv ( ) On va maintenant donner un nom à cette quantité qui vient d apparaitre uite à ce calcul. Ce era l énergie cinétique. Verion 017b 8 Le travail 13

14 Énergie cinétique (E k ) Ek = 1 mv On a donc que 1 1 net = mv mv = E E k k Pour obtenir finalement ce qu on appelle le théorème de l énergie cinétique. Théorème de l énergie cinétique net = E k Le travail net nou donne donc la variation d énergie cinétique. Il nou permet de trouver aez facilement la variation de vitee d un objet. On remarque alor ce qui ignifie le igne du travail net 1- Si le travail net et poitif, l énergie cinétique augmente : la grandeur de la vitee de l objet augmente. - Si le travail net et négatif, l énergie cinétique diminue : la grandeur de la vitee de l objet diminue. 3- Si le travail net et nul, l énergie cinétique et contante : la grandeur de la vitee de l objet et contante. Exemple 8..1 Une boite de 5 kg glie de 10 m ver le ba d une pente inclinée de 30. Le coefficient de frottement entre la pente et la boite et de 0,. Quelle et la vitee du bloc au bout de la gliade de 10 m i la vitee était nulle au départ? On a le deux poition uivante : Verion 017b 8 Le travail 14

15 Intant 1 : La boite en haut du plan incliné. Intant : La boite 10 m plu ba ur la pente. Calcul de net On a déjà calculé le travail net fait ur la boite entre ce deux intant à un exemple de la ection précédente (exemple 8.1.). On avait obtenu net = 160,1J Calcul de E k Avec une vitee initiale nulle, la variation d énergie cinétique et 1 1 Ek = mv mv 1 1 = =,5kg v m ( ) 5kg v 5kg 0 Application de théorème de l énergie cinétique net = E 160,1J =,5kg v v = 8,003 k m Exemple 8.. Erwan, d une mae de 65 kg, fait un aut de bungee. Il tombe de 0 m avant que la corde du bungee commence à étirer. Quel era l étirement maximal de la corde i cette dernière agit comme un reort d une contante de 100 N/m quand elle et étirée? On a le poition montrée ur la figure aux intant 1 et. Sur cette figure, d et l étirement de la corde. Verion 017b 8 Le travail 15

16 Calcul de E k Comme Erwan a une vitee nulle aux deux intant, la variation d énergie cinétique et 1 1 Ek = mv mv 1 1 = 65kg = 0J m m ( ) kg ( ) Calcul de net Regardon maintenant quel et le travail net fait entre le deux intant à partir de force agiant ur l objet. Le force ont : 1- Le poid de 637 N ver le ba. - La force faite par la corde (reort) ver le haut. Cette force agira eulement aprè un déplacement initial de 0 m ver le ba. Le travail fait par la gravitation et Le travail fait par la corde et = F coθ g g ( ) ( ) = 637N 0m + d co0 = 637N 0m + d k R = x x ( ) Au départ, l étirement de la corde et nul (x = 0) et à la fin il et de d (x = d). On a donc R k = N = 50 d ( d 0 ) m Le travail net et donc = + net g R N ( ) = 637N 0m + d 50 d m Verion 017b 8 Le travail 16

17 Application de théorème de l énergie cinétique net = E N ( ) 637N 0m + d 50 d = 0J d N d J = N 50 m Si on réout cette équation quadratique, on trouve d = 3,56 m. (on trouve également d = 10,8 m, ce qui correpond à une compreion de la corde, ce qui et impoible ici.) La corde étire donc de 3,56 m, pour une chute totale de 43,56 m. k m Notez que la olution de ce problème aurait été beaucoup plu longue i on avait utilié uniquement le loi de Newton puiqu il aurait fallu faire une intégrale pour trouver comment change la vitee avec l étirement de la corde. En effet, avec une force qui n et pa contante, l accélération n et pa contante et toute le formule du mouvement à accélération contante ne ont pa valide ici. C et pourquoi on aurait dû faire une intégrale pour trouver le déplacement. On peut y aller finalement avec un coneil de écurité routière : n allez pa trop vite, car la ditance de freinage augmente avec le carré de la vitee. C et ce que va nou montrer l exemple uivant. Exemple 8..3 Quelle et la ditance de freinage minimale d un véhicule allant à 90 km/h i le coefficient de friction tatique entre le pneu et la route et de 0,9? No deux intant ont : Intant 1 : Le véhicule avance à 90 km/h. Intant : Le véhicule et arrêté, plu loin. fr.depoitphoto.com/577683/tock-illutration-car.html Verion 017b 8 Le travail 17

18 Calcul de E k Comme la vitee pae de 90 km/h à 0, la variation d énergie cinétique et 1 Ek = mv 1 = mv 1 mv Calcul de net Trouvon maintenant ce travail avec le force entre le intant 1 et. Il y a alor troi force ur le véhicule. 1) Le poid ver le ba. ) La normale ver le haut. 3) La force de freinage (de la friction), oppoée à la vitee. Le travail fait par le poid et la normale ont tou le deux nul, car ce force ont perpendiculaire à la vitee et donc au déplacement. Il n y a que la friction qui fait un travail ici. Aini = = F coθ net f f La force étant dan la direction contraire du déplacement, on a = F co180 = F net f f Application de théorème de l énergie cinétique net = E 1 Ff = mv 1 Ff = mv Comme la force de friction tatique doit être inférieure à µ F N, on a k F µ F f N On obtient alor Verion 017b 8 Le travail 18

19 1 mv = Ff µ mg 1 mv µ mg v µ g La ditance minimale et donc v min = µ g m ( 5 ) = 0,9 9,8 = 35,43m Aini, la ditance de freinage d une voiture augmente avec le carré de la vitee. N kg = min v µ g Vou pouvez d ailleur admirer cette augmentation de la ditance de freinage avec la vitee dan ce petit vidéo. La formule indique aui que le coefficient de friction influence la ditance de freinage. Plu le coefficient de friction et grand, plu la ditance d arrêt et petite. Le coefficient de friction entre la route et le pneu d une formule 1 étant beaucoup plu grand que pour le pneu d une voiture ordinaire, la ditance de freinage de formule 1 et nettement plu petite. On a également intérêt à ne pa bloquer le roue lor d un freinage. Pour minimier la ditance de freinage, il faut freiner le plu fort poible, mai an bloquer le roue. Si elle bloquent et qu elle glient ur la route, on pae alor en friction cinétique. Comme le coefficient de friction cinétique et plu petit que le coefficient de friction tatique, cela entrainera une augmentation de la ditance de freinage. C et une de utilité de ytème antiblocage (ABS) ur le voiture : elle évitent que le roue bloquent. L autre utilité majeure (en fait, la principale) de ce ytème et de permettre au conducteur de garder le contrôle de on véhicule. En effet, il et impoible de diriger on véhicule quand le roue ont bloquée. Même i on tourne le volant, la voiture ne tourne pa. Si on empêche le roue de e bloquer, on permet au conducteur de tourner on véhicule même pendant un freinage aez intene. Verion 017b 8 Le travail 19

20 Définition La puiance moyenne et le travail fait divié par le temp requi pour faire ce travail. La puiance moyenne ( ) P = t Cette puiance et donc en J/. On a donné un nom à cette unité, il agit du watt (). Unité de la puiance : le watt J 1 = 1 = 1 kgm ² ³ On utilie parfoi une autre unité, le hore-power qui vaut 746. Sachez qu un cheval peut fournir beaucoup plu qu un hore-power. Ce 746 et le réultat d une etimation fait au 19 e iècle de la puiance moyenne que fait un cheval quand il travaille an trop forcer. À ne pa confondre avec le cheval-vapeur qui ne vaut que 736! Unité de la puiance : le hore-power 1 hp = 746 On calcule la puiance intantanée de la même façon que la puiance moyenne, mai en prenant le travail fait pendant un temp trè court, un temp infinitéimal. On a aini La puiance (P) P = d dt La puiance correpond donc au rythme auquel le travail et fait. En utiliant ce qu on ait du travail, on a Verion 017b 8 Le travail 0

21 F coθ P = = (Si la force et contante) t t d Fd coθ P = = dt dt Ce qui nou donne Puiance moyenne et puiance intantanée P = Fv co θ = F v (Si la force et contante) P = Fv coθ = F v Interprétation graphique La formule P = d dt ignifie évidemment que ur un graphique u travail fait ur un objet en fonction du temp, la pente et la puiance. Le travail à partir de la puiance Si la puiance et contante, on a P = t Cela ignifie qu on peut obtenir le travail à partir de la puiance avec Verion 017b 8 Le travail 1

22 Travail à partir de la puiance i la puiance et contante = P t Si la puiance n et pa contante, on utilie P = d dt pour obtenir le travail fait pendant un temp infinitéimal. d = Pdt On omme enuite tou ce travaux pour obtenir Travail à partir de la puiance i la puiance n et pa contante = Pdt Graphiquement, cela ignifie que le travail fait et égal à l aire ou la courbe de la puiance en fonction du temp. Verion 017b 8 Le travail

23 Exemple Exemple Un aceneur de 1000 kg (incluant le paager) monte avec une vitee contante de 3 m/. Si la force de friction oppoant au mouvement de l aceneur et de 4000 N, quelle et la puiance (en hp) du moteur qui fait monter l aceneur? La force faite par le moteur e trouve avec la omme de force verticale. F = mg + F F = 0 y moteur f moteur F = 9800N N moteur F = mg + F F moteur = 13800N f La puiance et donc P = F v coθ moteur moteur m = 13800N 3 co 0 = = 55,5hp L angle et de 0 puique la force et la vitee ont toute le deux dirigée ver le haut. Exemple 8.3. La puiance du moteur d une voiture de 1000 kg et de 1 hp quand elle roule ur le plat avec une vitee contante de 80 km/h. Quelle et la puiance du moteur i la même voiture monte une pente inclinée de 10 avec une vitee contante de 80 km/h? Commençon par examiner ce qui e pae ur le plat. Cette étude nou permettra de connaitre la force de friction exerçant ur la voiture quand elle roule à 80 km/h. Le force ur le véhicule ont illutrée ur la figure. Verion 017b 8 Le travail 3

24 fr.depoitphoto.com/577683/tock-illutration-car.html (La normale et en réalité répartie ur le quatre roue. La force du moteur applique en fait au contact de roue et du ol puique c et la friction entre le roue et l aphalte qui fait avancer la voiture.) On remarque aez rapidement que i la vitee et contante, on doit avoir F = F F = 0 x moteur f F f = F On peut connaitre cette force du moteur puiqu on connait la puiance du moteur. On a donc moteur P = F v coθ moteur moteur m 1hp 746 = F, co 0 F moteur moteur = 40,8N L angle et de 0 puique la force et la vitee ont toute le deux ver la droite. On ait donc maintenant que la grandeur de la force de friction ur la voiture et de 40,8 N quand elle e déplace à 80 km/h. Examinon maintenant ce qui e pae i la voiture monte la pente de 10. On a alor le force illutrée ur la figure. fr.depoitphoto.com/577683/tock-illutration-car.html Verion 017b 8 Le travail 4

25 Pour trouver la puiance du moteur, il faudra trouver la force faite par le moteur. On la trouve avec la omme de force en x. F = F F + mg co100 = 0 x moteur f F = F mg co100 moteur f Puiqu on va à la même vitee, que ur le plat, la force de friction et la même (40,8 N) on a donc La puiance et donc F = F mg co100 moteur f N = 40,8N 1000kg 9,8 co100 = 40,8N ,8 N = 104, 6N P = F v coθ moteur moteur m = 104,6N, co 0 = = 6,7hp kg On voit que la puiance du moteur néceaire augmente beaucoup pour monter cette pente. Certaine voiture ne pourraient réalier cet exploit par manque de puiance. Le célèbre Chevette de année 80, n ayant qu une puiance de 53 hp (modèle de bae), n auraient pa pu monter cette côte à 80 km/h. en.wikipedia.org/wiki/chevrolet_chevette Exemple Un objet de 4 kg ubit une force dont la puiance et donnée par 6 4 ² P = t + t a) Sachant que l objet était arrêté à t = 0, déterminez la vitee de l objet à t = 3. On va utiliez le théorème de l énergie cinétique = E k pour trouver la vitee. Le travail fait ur l objet et Verion 017b 8 Le travail 5

26 = ( 6 ² t 4 ) 0 Pdt = + ² 3 3 ² t t 0 = + ( ) ( ) 3 = = 7J t dt Aini, on a = E 1 1 7J = mv mv 1 v = 6 7J = 4kg v 0 m k b) Sachant qu il agit d un mouvement le long de l axe de x, déterminez la force ur l objet à t = 3. On va trouver la force avec P =Fvcoθ. Pour un mouvement en une dimenion, l angle ne peut être que 0 ou 180. La puiance à t = 3 et P = t + t 6 ² 4 ² ( ) = = 66 Aini, la formule de la puiance intantanée donne P = Fv coθ m 66 = F 6 coθ Puique la valeur de la puiance et poitive, l angle doit être de 0. La grandeur de la force et donc m 66 = F 6 co 0 F = 11N Verion 017b 8 Le travail 6

27 Le travail fait par une force contante ur un objet qui e déplace en ligne droite () = F coθ ou = F Le travail net ur un objet ( net ) = = net 1 3 Le travail fait par une force contante ur un objet qui e déplace en ligne droite (), à partir de compoante = F = F x + F y + F z x y z Le travail fait par une force i F ou θ varie () = F coθ F et θ contant ou = F F et θ contant Le travail fait ur un objet () (Formule la plu générale) = F coθd ou = F d Travail fait par une force variable ur un objet qui e déplace le long de l axe de x (l objet va de x à x ) = x x F dx x Verion 017b 8 Le travail 7

28 Le travail fait ur un objet et l aire ou la courbe de la force agiant ur l objet en fonction de la poition Travail fait par un reort k R = x x ( ) Énergie cinétique (E k ) Ek = 1 mv Théorème de l énergie cinétique net = E k La puiance moyenne ( ) P = t La puiance (P) P = d dt Puiance moyenne et puiance intantanée P = Fv co θ = F v (Si la force et contante) P = Fv coθ = F v Verion 017b 8 Le travail 8

29 La puiance et la pente ur un graphique du travail en fonction du temp Travail à partir de la puiance i la puiance et contante = P t Travail à partir de la puiance i la puiance n et pa contante = Pdt Le travail et l aire ur la courbe de la puiance ur un graphique de la puiance en fonction du temp 8.1 Définition du travail 1. Quel et le travail fait par Mutafa dan cette ituation? cnx.org/content/m4147/latet/?collection=col11406/latet Verion 017b 8 Le travail 9

30 . Honoré poue une caie de 30 kg ver le haut d une pente inclinée de 8 ur une ditance de 5 m. La caie a une accélération de 1 m/² ver le haut de la pente et il y a une force de friction de f = 70 N qui oppoe au mouvement de la caie. a) Quel et le travail fait par la gravitation? b) Quel et le travail fait par la force de friction? c) Quel et le travail fait par Honoré? d) Quel et le travail net? cnx.org/content/m4150/latet/?collection=col11406/latet 3. Un objet ubit le deux force uivante F = i + j k N F = i + j + k N ( 4 ) ( 4 5 ) 1 Quel et le travail net ur l objet il e déplace en ligne droite de la poition (0 m, 1 m, m) à la poition (5 m, - m, -3 m) pui encore une foi en ligne droite de la poition (5 m, - m, -3 m) à la poition (8 m, m, -5 m)? 4. Rita, dont la mae et de 80 kg, decend une pente en ki inclinée de 30. Le coefficient de friction entre le ki et la pente et de 0,1. La ditance parcourue par Rita et de 300 m. a) Quel et le travail fait par la force de gravitation? b) Quel et le travail fait par la force de friction? c) Quel et le travail net fait ur Rita? vhcc.vhcc.edu/ph1fall9/frame_page/opentax_problem.htm Verion 017b 8 Le travail 30

31 5. Un bloc de 10 kg glie et fonce dan un reort. Lor de la colliion, le reort atteint une compreion maximale de 0 cm. Quel et le travail fait par le reort i la contante du reort vaut 000 N/m? faraday.phyic.utoronto.ca/pvb/harrion/flah/tutorial/flahphyic.html 6. Un objet e déplace de 6 m en uivant la trajectoire montrée ur la figure. Pour le premier 3 m, l objet ubit une force de 40 n ver la droite. Pour le m uivant, l objet ubit une force de 80 N ver la gauche. Finalement, l objet ubit une force de 100 N ver la droite pour le dernier 1 m. Quel et le travail fait ur l objet? 7. Voici le graphique de la force ur un objet en fonction de la poition. Quel et le travail fait ur l objet par cette force i l objet pae de la poition x = 0 m à x = 6 m? Verion 017b 8 Le travail 31

32 8. Voici le graphique de la force ur un objet en fonction de la poition. Quel et le travail fait ur l objet par cette force i l objet pae de la poition x = 4 m à x = 0 m? 9. Un objet e déplace le long de la trajectoire montrée ur la figure. Sur cette figure, on indique la force ubit par l objet ur chaque partie rectiligne de la trajectoire. Quel et le travail fait ur l objet? 10. La force ur un objet et donnée par la formule F x = x 18 N m² Quel et le travail fait ur l objet par cette force i l objet pae de la poition x = 1 m à x = 3 m? Verion 017b 8 Le travail 3

33 8. Le théorème de l énergie cinétique 11. Un ballon de occer de 430 g et lancé ver le haut avec une vitee de 30 m/ à partir du ol. Déterminer la grandeur de la vitee du ballon quand il et à une hauteur de 0 m en utiliant le théorème de l énergie cinétique et en négligeant la force de friction de l air. 1. Mara, dont la mae et de 5 kg, decend la gliade d eau montrée ur la figure. Le coefficient de friction cinétique entre Mara et la gliade et de 0,1. En utiliant le théorème de l énergie cinétique, déterminez la vitee de Mara quand elle va arriver dan l eau. ww.phyicforum.com/howthread.php?t= La force de friction doit faire un travail de 3000 J pour arrêter complètement un kieur qui glie ur une urface horizontale avec une vitee initiale de 10 m/. vhcc.vhcc.edu/ph1fall9/frame_page/opentax_problem.htm Quelle erait la vitee du kieur i la friction n avait fait qu un travail de 1500 J? 14. René, dont la mae et de 55 kg, fait un aut en chute libre à partir d un ballon immobile. 10 econde aprè on départ, René a parcouru 300 m et a vitee et de 39,4 m/. Quel et le travail fait par la force de friction pendant ce 10 econde? Verion 017b 8 Le travail 33

34 15. On upend une mae de 00 g à un reort dont la contante vaut 50 N/m. Initialement, le reort n et pa étiré ni comprimé. On laie alor tomber la mae. Quel era l étirement maximum du reort? en.wikipedia.org/wiki/hooke'_law 16. On place une balle de 500 g ur un reort vertical dont la contante vaut 500 N/m. On comprime le reort de 10 cm et on laie partir la balle. Juqu à quelle hauteur audeu du reort la balle va-t-elle monter? (On néglige la friction de l air.) 17. Un place un bloc de 500 g dan le canon à reort montré ur la figure. Initialement, le reort et comprimé de 50 cm. Il n y a pa de friction entre le bloc et la pente. compr-q Quelle era la ditance parcourue par le bloc avant de arrêter? Verion 017b 8 Le travail 34

35 18. Un bloc de 10 kg glie ur une urface horizontale. Le coefficient de friction entre le bloc et la urface et de 0,1. Quand le bloc et à 1 m d un reort ayant une contante de 0 N/m, il a une vitee de m/. a) Quelle era la vitee du bloc quand le reort era comprimé de 0 cm? b) Quelle era la compreion maximale du reort quand l objet va foncer dan le reort? faraday.phyic.utoronto.ca/pvb/harrion/flah/tutorial/flahphyic.html 19. Voici le graphique de la force en fonction de la poition ur un objet de 5 kg. quantumprogre.wordpre.com/011/01//reading-graph-with-your-lizard-brain/ L objet a une vitee de m/ ver la x poitif quand il et à x = 0. a) Quelle era la vitee de l objet à x = 5 m? b) Quelle era la vitee de l objet à x = 1 m? 8.3 La puiance 0. Une BM 335i 007 roule ur une route horizontale avec une vitee de 10 km/h. Quelle et la puiance de la voiture (en hp), achant que la valeur de C x et de 0,63 m² pour ce modèle de voiture? (En uppoant qu il n y a que la friction de l air qui oppoe au mouvement de la voiture et que la mae volumique de l air et de 1,3 kg/m³.) Verion 017b 8 Le travail 35

36 1. Laura monte un piano de m en 0 econde en utiliant le ytème de poulie montré ur la figure. Quelle et la puiance moyenne de Laura (en hp)? (Le piano a une vitee nulle au départ et une vitee nulle à la fin de ce mouvement.) Un treuil tire une caie de 5 kg initialement au repo et lui donne une vitee de 0 m/ en 10 econde. Il n y a pa de friction entre la caie et la urface. phyweb.bgu.ac.il/archive/coure/010a/physics1_indtmngmnt/010a/h5_q.php Combien faudra-t-il de temp pour atteindre une vitee de 10 m/ i le treuil tire maintenant une caie de 100 kg initialement au repo et i le treuil a la même puiance moyenne? 3. Un treuil fait monter une caie de 50 kg le long d une pente inclinée de 30 avec une vitee contante de 10 m/. phyweb.bgu.ac.il/archive/coure/010a/physics1_indtmngmnt/010a/h5_q.php a) Quelle et la puiance du treuil il n y a pa de friction entre la caie et la urface? b) Quelle et la puiance du treuil i le coefficient de friction cinétique entre la caie et la urface et 0,3? Verion 017b 8 Le travail 36

37 4. Une fuée jouet ayant une mae de 30 kg décolle verticalement à partir du ol. Au bout de 3 minute, e moteur arrêtent. La fuée a alor une vitee de 30 m/ et et à une altitude de 600 m. a) Quel et le travail fait par le moteur de la fuée? b) Quelle et la puiance moyenne de moteur de la fuée? (En réalité, la mae de la fuée diminuerait en perdant du combutible, mai on va faire comme i la mae retait contante.) 5. Un objet de 0 kg ubit une force dont la puiance et donnée par P = 1 t Initialement, l objet et au repo. Il agit d un mouvement en une dimenion le long de l axe de x. a) Quel et le travail fait ur l objet entre t = 0 et t = 10? b) Quelle et la vitee de l objet au bout de 10? c) Quelle et l accélération de l objet à t = 10? d) Quelle et la force ur l objet à t = 10 e) Quelle et le déplacement de l objet entre t = 0 et t = 10? Défi (Quetion plu difficile que le quetion qu il y aura à l examen.) 6. Un objet de 1 kg initialement au repo et oumi à une force donnée par la formule F = 9N 1 N x m² À quel endroit l objet atteint-il a vitee maximale et quelle et cette vitee maximale? Verion 017b 8 Le travail 37

38 7. La force ur un objet pouvant e déplacer en dimenion et donnée par la formule F = x + y i + y + x j ( 3 N ² 1 N ) ( N 1 N m m m m ) Cet objet e déplace du point (1,1) au point (.). a) Quel et le travail fait ur l objet il uit la trajectoire A? b) Quel et le travail fait ur l objet il uit la trajectoire B? c) Quel et le travail fait ur l objet il uit la trajectoire C? 8.1 Définition du travail ,7 J. a) -10,9 J b) J c) 35,9 J d) 750 J 3. 4 J 4. a) J b) J c) J J 6. 49,15 J J 8. 5 J ,71 J J 8. Le théorème de l énergie cinétique 11.,54 m/ 1. 7,57 m/ Verion 017b 8 Le travail 38

39 13. 7,071 m/ J 15. 7,84 cm ,0 cm 17. 6,959 m 18. a) 1,5 m/ b) 63,5 cm 19. a) 6,164 m/ b) l objet ne peut pa être à x = 1 cm 8.3 La puiance 0. 0,4 hp 1. 0,1314 hp a) 450 b) a) J b) a) 4000 J b) 0 m/ c) 3 m/² d) 60 N e) 80 m Défi 6. 6 m/ à x = 3 m 7. a) 13 J b) 13 J c) 13 J Verion 017b 8 Le travail 39