1 Argument d un nombre complexe. 2 Ecriture trigonométrique. M(z = a + ib) r = z = OM. θ = arg(z) Chapitre 5 Les nombres complexes (2)

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1 Chapitre 5 Les nombres complexes ) 1 rgument d un nombre complexe Un point M peut être repéré dans le plan muni d un repère orthonormé direct O; u, v ) de deux façons : par ses coordonnées cartésiennes x et y ou par ses coordonnées polaires notées r et θ où r = OM et θ= u, OM) si M est distinct de O Définition Soit z un nombre complexe non nul et M le point d affixe z dans le plan muni d un repère orthonormé direct O; u, v ) On appelle argument de z, noté argz), une mesure de l angle orienté de vecteurs u ; OM) Remarques : 0 n a pas d argument Tout point M est repéré dans le plan complexe par son affixe z = x+ i y, et lorsque M est différent de O, par ses coordonnées polaires z et argz) Ecriture trigonométrique Soit z un nombre complexe non nul d écriture algébrique z = a+ i b et θ un argument de z lors : a = z cosθ et b = z sin θ On a alors z = z cosθ+i sinθ) b Mz = a + ib) r = z = OM v θ = argz) Ç u a En effet, z est un nombre complexe non nul et M le point d affixe z dans le plan complexe On sait que OM= z Donc on a bien a= z cosθ et b= z sinθ

2 Définition Soit z un nombre complexe non nul L écriture z = z cosθ + i sin θ), où θ désigne un argument de z est appelée écriture trigonométrique ou forme trigonométrique de z Remarque : Soit z un nombre complexe non nul Si on connaît une écriture trigonométrique de z, z = r cosθ+i sinθ) r > 0), alors on obtient son écriture algébrique a +i b en écrivant : a= r cosθ et b= r sinθ Si on connaît l écriture algébrique de z, z = a+ i b, alors on obtient son écriture trigonométrique z = r cosθ+i sinθ) en écrivant : r = a + b, cosθ= a a + b, sinθ= b a + b Exercice : On pose z 1 = 3+i Trouver la forme trigonométrique de z 1 z est le complexe de module 3 et d argument π 4 Quelle est la forme algébrique de z? Propriétés Soit z un nombre complexe z est un réel non nul si, et seulement si, argz)=0+kπ k Z) z est un réel strictement positif si, et seulement si, argz) = 0 + kπ k Z) z est un réel strictement négatif si, et seulement si, argz) = π + kπ k Z) z est un imaginaire pur si, et seulement si, argz)= π + kπ k Z) Egalité de complexes écrits sous forme trigonométrique Si z = r cosθ+i sinθ) et z = r cosθ + i sinθ ) sont égaux, alors puisqu ils sont associés au même point, on a r = r et θ=θ + kπ k Z) z = z équivaut à r = r et θ=θ mod π) Remarque : Si z = r cosθ+i sinθ) avec r > 0, alors z =r et argz)=θ mod π

3 3 Propriété des arguments 31 Premières propriétés arg z)= argz) mod π arg z)=π+argz) mod π 3 rgument d un produit Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z : argzz )=argz)+argz ) mod π Exemple [ : π ) π )] z = cos + i sin et z = [ 3 cos π ) + i sin π )] zz = 3 et argzz )= π 5 π 4 mod π= π 0 mod π, d où zz = [ 3 cos π ) + i sin π )] 0 0 Conséquences : On peut alors Démontrer que z n = z n et argz n )=n argz) mod π Formule De Moivre : Pour tout entier n et tout nombre réel θ, cosθ+i sinθ) n = cosnθ)+i sinnθ) Exercice : Donner la forme algébrique du nombre z = 1 i 3) 5

4 33 rgument d un quotient Quels que soient les nombres complexes non nuls z et z : z ) arg z = argz) argz ) mod π En effet, en posant Z= z z, on obtient Zz = z, ce qui donne Zz = Z z = z et Z = z z et argzz )=argz)+argz ) mod π=argz) mod π, d où argz)= argz) argz ) mod π Conséquences : Si z est non nul, 1 z = 1 1 et arg = argz) mod π z z Exercice : Donner la forme trigonométrique du nombre Z= 1+i)4 3+i) 3 Ecrire sous forme trigonométrique les nombres complexes z 1 = 3 i, z = 1 i et Z= z 1 z Ecrire Z sous forme algébrique, en déduire les valeurs exactes de cos π 1 et sin π 1 4 Interprétations géométriques Soit B un vecteur et M le point tel que OM= B On a z M = z B =, donc z M = De plus, ar g z M )= ar g )= u ; OM)= u ; B) insi, B= et u ; B)= ar g ) Soit, B, C et D tels que B et C D lors CD B = z D z C z B ; CD)= B ; u)+ u ; CD)= u ; CD) u ; B)= ar g zd z C ) ar g )= ar g insi, zd z B ; CD)= ar g C zd z C )

5 5 pplications BCD est un parallélogramme B= DC zb = z C z D BC est isocèle en B= C = z C Soit la médiatrice de [B] : Mz) M=BM z = z Soit C le cercle de centre et de rayon r : M C z =r B)//CD) zd z B ; CD)=0 mod π) ar g C = 0 mod π) z D z C R utrement dit, uz) et u z ) sont colinéaires non nuls z z R, B et C sont alignés B ; zc z C)=0 mod π) ar g = 0 mod π) z C R z B) CD) π zd z B ; CD)= mod π) ar g C = π mod π) z D z C est un imaginaire pur non nul utrement dit, uz) et u z ) sont orthogonaux non nuls z est un imaginaire pur non nul z ) BC rectangle en B ; C)= π zc mod π) ar g = π mod π) z C est un imaginaire pur z zc z BC rectangle isocèle en ar g = π mod π) et z C z = 1 zc z BC est équilatéral ar g = π 3 ou π 3 mod π) et z C z = 1 6 La forme exponentielle 61 Définition Posons f θ)=cosθ+i sinθ θ R) On a démontré que f θ+θ )= f θ)f θ ) La fonction f est donc une solution complexe) de l équation fonctionnelle f a + b) = f a) f b) Or, on sait que les solutions de cette équation fonctionnelle sont solutions des équations différentielles y = ay Si on prolonge aux complexes les propriétés de la dérivation, on vérifie que f θ)=i f θ) D où f θ)= f 0)e iθ = e iθ Cette constatation rend parfaitement légitime la notation suivante : Pour tout réel θ, on pose e i θ = cosθ+i sinθ Cette forme est la forme exponentielle de z e iθ désigne donc le nombre complexe de module 1 et d argument θ : e iθ =1 et ar g e iθ )=θ [π] Exemples : e i0 = 1, e i π = i, e iπ = 1 e iπ = 1, e i π = i Un nombre complexe z de module r et d argument θ s écrit z = r e iθ Remarque : Le conjugué de e iθ est e iθ

6 Exercice : 1 Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes : e 3i π 4 ; 6e i π 3 Ecrire sous forme exponentielle les nombres suivants : 5i ; 4 + 4i 6 Règles de calculs e iθ e iθ = e iθ+θ ) e iθ e iθ = e iθ θ ) e iθ) n = e inθ pour n Z La notation exponentielle rend les calculs très simples Exemples : z = e i π 4, z = 3e i π 3 alors zz = 6e i π 4 π 3 )= 6e i π 1 ; z z = 3 ei Formule de Moivre : Pour tout θ R et tout n Z, π 4 + π 3 )= 7π ei 1 3 cosθ+i sinθ) n = cosnθ)+i sinnθ) Formules d Euler : Démonstrations : Utilisons les formes exponentielles : cosθ= eiθ + e iθ cosθ+i sinθ) n = e iθ + e iθ = cosθ+i sinθ+cos θ)+i sin θ)=cosθ e iθ e iθ = cosθ+i sinθ cos θ) i sin θ)=i sinθ Exercice : Ecrire sous forme exponentielle le nombre suivant : 3 i) 5 et sinθ= eiθ e iθ i e iθ) n = e niθ = cosnθ)+i sinnθ) Exercice : ] θ est dans 0; π [ Donner une forme exponentielle du complexe z = 1+e iθ M appartient au cercle de centre z ) et de rayon r si, et seulement si : z = z + r e iθ avec θ réel M appartient au cercle de centre et de rayon r équivaut à M= r, c est à dire z =r On a alors z = r e iθ c est à dire z = z + e iθ

7 7 Liens entre les nombres complexes et certaines transformations du plan Ecriture complexe d une translation La translation de vecteur u, d affixe a, transforme un point Mz) en un point M z ) tel que : z = z+ a "jouter un nombre a, c est translater d un vecteur d affixe a" Mz) M z + a) 1 a) O Dire que M est l image de M par la translation de vecteur u signifie : MM = u Ce qui se traduit, en termes d affixes, par z z = a D où le théorème Ecriture complexe d une rotation La rotation de centre Ωω) et d angle θ transforme un point Mz) en un point M z ) tel que : z ω=e iθ z ω) "Multiplier par e iθ, c est faire tourner d un angle θ" Illstration dans le cas où Ω=O : M e iθ z) 1 θ Mz) O argz) Si M=Ω, la relation z ω=e iθ z ω) est triviale Supposons M Ω Dire que M est l image de M par la rotation de centre Ω et d angle θ signifie : { ΩM = ΩM ΩM ; ΩM )= θ z ω = z ω Ce qui se traduit en termes d affixes, par : z ) ω ar g = θ z ω On en déduit z ω z ω = eiθ D où le résultat

8 Cas particuliers : Si Ω= O, alors l écriture complexe de la rotation devient z = e iθ z Si θ= π quart de tour de sens direct), alors l écriture complexe de la rotation devient z ω=i z ω) Si Ω= O et θ= π, alors l écriture complexe de la rotation devient : z = i z Cas du triangle équilatéral Soient, B et C trois points du plan d affixes respectives z, et z C BC est équilatéral de sens direct z C = e i π3 en effet, c est équivalent de dire que C est l image de B par la rotation de centre et d angle π 3 ) Ecriture complexe d une homothétie L homothétie de centre Ωω) et de rapport k R transforme un point Mz) en un point M z ) tel que : z ω=kz ω) Dire que M est l image de M par l homothétie de centre Ω et de rapport k signifie : ΩM = k ΩM Ce qui se traduit bien, en termes d affixes, par : z ω=kz ω)

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